11.3.1 余弦定理、正弦定理的应用（1） 同步测试-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修

11.3.1 余弦定理、正弦定理的应用（1） 同步测试-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 一、单项选择题 1 (2025宁波期中)在△ABC中，已知B＝120°，AC＝，AB＝2，则BC的长为(　　) A.5 B.3 C. D.1 2 (2025白银期中)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A＝，b＝，且△ABC有两解，则a的取值范围为(　　) A. B. C. D.∪ 3 (2025新海期中)若三条线段的长分别为5，6，7，则用这三条线段(　　) A.能组成直角三角形　 B.能组成锐角三角形 C.能组成钝角三角形　 D.不能组成三角形 4 (2024宁波期中)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(a＋b)2－c2＝4，C＝，则△ABC的面积为(　　) A. B. C. D.2 5 (2025佛山期中)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＋c＝a，cos B＝，则△ABC的形状是(　　) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.不确定 6 (2025无锡期中)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2b cos A＝2c－a，＝＋，则a＋c的最大值是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 二、多项选择题 7 (2025镇江期末)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝7，b＝8，cos C＝，则下列结论中正确的是(　　) A.c＝3 B.A＝120° C.△ABC的面积为6 D. 边AB上的高为4 8 (2025苏州期中)在△ABC中，下列结论中正确的是(　　) A.若sin A>sin B，则A>B B.若sin 2A＝sin 2B，则△ABC为等腰三角形 C.若sin A＋cos B＝0，则△ABC为钝角三角形 D.若A，B是锐角，sin A>cos B，则△ABC为锐角三角形 三、填空题 9 (2025上饶期中)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a∶b∶c＝∶∶2，则cos C＝________． 10 (2025山西期中)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知＋－1＝，b＝2，则B＝________． 11 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A＝60°，且△ABC的面积为，若b＋c＝3，则a＝________． 四、解答题 12 (2024河西期中)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2＋c2－bc＝a2. (1) 求角A的大小； (2) 若b＝2，sin C＝. ①求sin B的值； ②求△ABC的面积. 13 (2024宁波期中)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b cos A－a cos B＝a＋c. (1) 求角B的大小； (2) 若b＝，a＝2，点D在边AC上，且 CD＝2AD，求BD的长． 参 考 答 案 1.B　由余弦定理，得cos B＝＝－，即＝－，即BC2＋2BC－15＝0，解得BC＝3(负值舍去). 2.B　由△ABC有两解，得b sin A<a<b，所以<a<. 3.B　设△ABC的三边分别为a＝5，b＝6，c＝7.因为c>b>a，所以C是△ABC的最大角．又因为cos C＝＝>0，且0<C<π，所以C为锐角，故△ABC为锐角三角形． 4.A　在△ABC中，由余弦定理，得＝＝，即＝，解得ab＝，则S△ABC＝××＝. 5.A　在△ABC中，由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝a2＋c2－ac.因为b＋c＝a，所以b＝a－c，代入上式，得a2＝3ac，即a＝3c，所以b＝3c，则a＝b＝3c，故△ABC为等腰三角形． 6.B　因为2b cos A＝2c－a，所以2sin B cos A＝2sin C－sin A＝2sin B cos A＋2cos B sin A－sin A，整理，得2cos B sin A＝sin A.又A为三角形内角，所以sin A>0，所以cos B＝.又B∈(0，π)，所以B＝，所以b2＝a2＋c2－2ac cos B＝a2＋c2－ac.因为＝＋，所以＝＋，所以2a2b＝a2＋b2－c2＋ac，所以2a2b＝a2＋a2＋c2－ac－c2＋ac＝2a2，即b＝1，所以a2＋c2－ac＝1，即(a＋c)2＝1＋3ac≤1＋(a＋c)2，解得0<a＋c≤2，当且仅当a＝c＝1时，等号成立，故a＋c的最大值为2. 7.ACD　对于A，由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝49＋64－2×7×8×＝9，即c＝3，故A正确；对于B，由余弦定理，得cos A＝＝＝.因为0°<A<180°，所以A＝60°，故B错误；对于C，S△ABC＝bc sin A＝×8×3×＝6，故C正确；对于D，设边AB上的高为h，则S△ABC＝ch＝h＝6，解得h＝4，故D正确．故选ACD. 8.ACD　对于A，设△ABC的外接圆的半径为R，因为sin A>sin B，所以2R sin A>2R sin B，由正弦定理，得a>b，所以A>B，故A正确；对于B，因为0<A<π，0<B<π，所以0<2A<2π，0<2B<2π.因为sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，故B错误；对于C，因为0<A<π，0<B<π，所以sin A>0.又sin A＋cos B＝0，所以cos B<0，即<B<π，所以B为钝角，所以△ABC为钝角三角形，故C正确；对于D，因为0<A<，0<B<，所以0<－B<.若sin A>cos B，则sin A>sin (－B).由函数y＝sin x在区间上单调递增，得A>－B，即A＋B>.又因为A＋B＋C＝π，所以C∈，所以△ABC为锐角三角形，故D正确．故选ACD. 9.　因为a∶b∶c＝∶∶2，所以设a＝t，则b＝t，c＝2t，所以cos C＝＝＝. 10.　由正弦定理，得＋－1＝，两边同乘ac，得a2＋c2－ac＝4＝b2，解得cos B＝＝.又因为B∈(0，π)，所以B＝. 11.3　由S△ABC＝bc sin A＝，解得bc＝6.又b＋c＝3，联立bc＝6，得b＝2，c＝或b＝，c＝2.由余弦定理，得cos A＝＝＝，解得a＝3(负值舍去). 12. (1) 因为b2＋c2－bc＝a2， 由余弦定理，得b2＋c2－2bc cos A＝a2， 所以cos A＝. 又A∈(0，π)，所以A＝. (2) ①因为sin C＝<sin A， 由正弦定理，得c<a，所以C<A＝， 所以cos C＝＝， 则sinB＝sin (A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C＝×＋×＝. ②由正弦定理，得a＝＝＝， 故△ABC的面积为S△ABC＝ab sin C＝××2×＝. 13. (1) 因为b cos A－a cos B＝a＋c， 由余弦定理，得b·－a·＝a＋c， 整理，得a2＋c2－b2＝－ac， 所以cos B＝＝－. 又B∈(0，π)，所以B＝. (2) 因为b＝，a＝2，B＝， 所以由正弦定理＝， 得sin A＝＝＝. 易得A为锐角，所以cos A＝＝. 由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cosB， 即7＝4＋c2－2×2×c×， 整理，得c2＋2c－3＝0，解得c＝1或c＝－3(舍去). 如图，因为点D在边AC上， 且CD＝2AD， 所以AD＝AC＝， 所以在△ABD中，由余弦定理，得BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD cos A＝12＋－2×1××＝，即BD＝. 学科网（北京）股份有限公司 $