专题09 余弦定理、正弦定理的应用（期中复习专项训练）高一数学下学期苏教版

专题09 余弦定理、正弦定理的应用 题型1 正、余弦定理判定三角形的形状（重点） 题型6 正余弦定理与三角函数性质的综合应用（重点） 题型2 证明三角形中的恒等式或不等式（难点） 题型7 距离测量问题（重点） 题型3 求三角形中边长或周长的最值或范围（重点） 题型8 高度测量问题（重点） 题型4 几何图形中的计算 题型9 角度测量问题（重点） 题型5 求三角形面积的最值或范围（常考点） 题型10 正余弦定理的其他应用（重点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 正、余弦定理判定三角形的形状（共5小题） 1．的内角：所对边分别为，下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则是等腰三角形 C．若，则是锐角三角形 D．若，则是等腰直角三角形 【答案】AD 【详解】对于A，因为在中，由正弦定理可得等价于，又因三角形中大边对大角，故等价于，选项A正确； 对于B，因为，所以或，即或，是等腰三角形或直角三角形，选项B错误； 对于C，由可以确定是锐角，但不能确定和的大小，所以不能判断是锐角三角形，选项C错误； 对于D，由正弦定理，结合条件， 得，， ，，，，又，， 所以，，所以是等腰直角三角形，选项D正确. 2．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法错误的是（   ） A．若，则 B．若，则是锐角三角形 C．若，则为钝角三角形 D．若为锐角三角形，且，则的最小值为8 【答案】AB 【分析】根据正弦定理，可判断A的正误；根据数量积公式，可得，分析可判断B的正误；根据同角三角函数的关系及正弦、余弦定理，可判断C的正误；根据诱导公式、同角三角函数的关系，可得的表达式，利用换元法，结合基本不等式，即可判断D的正误. 【详解】对于A，在中，若，则. 由正弦定理，得，故，故A错误. 对于B，由向量数量积的定义，得， 则，即A为锐角，但不确定B，C是否是锐角， 所以不一定是锐角三角形，故B错误. 对于C，因为，所以， 得到， 由正弦定理，得，即. 由余弦定理，得，则为钝角三角形，故C正确. 对于D，因为， 又，则， 所以，所以. 因为为锐角三角形，所以，所以. 令， 则， 当且仅当，即时，等号成立，故D正确. 3．已知中，角所对的边分别是，若，且，那么是（   ） A．直角非等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰非等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【详解】由题意有：， 所以，由余弦定理得， 所以，又，所以， 又，由， 所以， 所以，所以，可得， 所以是等边三角形. 4．在中，已知，则的形状为______ 【答案】等腰或直角三角形 【分析】利用余弦定理边化角化简等式，再利用二倍角的正弦公式及正弦函数性质推理判断即可. 【详解】在中，由及余弦定理，得， 整理得，即， 而，因此或， 所以或，即为等腰三角形或直角三角形. 故答案为：等腰或直角三角形 5．在斜三角形中，角的对边分别为．若，则（   ） A．为锐角三角形 B． C．若，则 D． 【答案】BCD 【分析】根据诱导公式以及正弦定理，结合三角恒等变换以及二次函数性质，可得答案. 【详解】由正弦定理可得，且，则，故C正确； 由，可得是锐角, 当时，由，则，显然不合题意， ，由，解得，故A错误，B正确； 因为, 可得 ， 由，则，可得， 令，则，可得， 由，则代入可得最大值为，代入可得， 所以，故D正确. 故选：BCD. 题型二 证明三角形中的恒等式或不等式（共5小题） 6．已知钝角中，若，则下列命题中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】对于A，根据三角形内角的性质，结合正弦函数的单调性，利用分类讨论思想，可得答案；对于B，根据余弦函数的性质，结合钝角三角形的性质，可得答案；对于C，根据余弦函数的单调性，可得答案；对于D，利用特殊反例，可得答案. 【详解】对于A，由题意可知，且，则， 当为锐角时，由在上单调递增，则， 当为钝角时，即，则，所以，故A正确； 对于B，当为钝角时，则，此时，故B错误； 对于C，由题意可知，且函数在上单调递减，则，故C正确； 对于D，当，，时，符合题意， 则，，即，故D错误. 故选：AC. 7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，三角形面积为S，若D为AC边上一点，满足，，且. (1)求角； (2)证明：； (3)求的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用三角形的面积公式和已知条件，结合正弦定理化简求得，即可求得的值； （2）先利用正弦定理求得，，进而表示出，在结合正弦定理化简为角，化简运算，即可得证； （3）结合（2），利用三角恒等变换的公式，化简得到，再结合的范围，利用正弦函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：因为，可得， 又因为，所以， 由正弦定理得， 又由， 所以， 即， 因为，可得，所以，所以， 又因为，所以. （2）证明：因为，所以， 在中，由正弦定理得，所以， 在直角中，， 所以，所以， 在中，由正弦定理得， 所以， 所以 .    （3）解：由（2）知，，所以， 因为，所以， 所以, 因为，所以，所以， 故的取值范围为. 8．已知锐角分别为角的对边，若. (1)求证：； (2)求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据题干，利用余弦定理化简可得，再由正弦定理可得即，再根据是锐角三角形，所以即可得解； （2）由是锐角三角形，所以，由正弦定理可得结合角的范围即可得解. 【详解】（1） 根据正弦定理，由 ， 即. 是锐角三角形， ，， 因此有 （2）是锐角三角形，，而， 由正弦定理，得， 则， 而 所以， 因此的取值范围为. 9．中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知. (1)求的值； (2)若BD是的角平分线. （i）证明：； （ii）若，求的最大值. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）根据正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式化简，即可得答案； （2）（i）在和中，分别应用正余弦定理，得出线段之间的等量关系，结合角平分线以及分式的性质，即可证明结论；（ii）利用（i）的结论以及基本不等式即可求得答案. 【详解】（1）因为中，， 故 ， 因为，故； （2）（i）证明：中，由正弦定理得①，    又②， 同理在中，③， ④， BD是的角平分线，则， 则， 又，故， 故①÷③得⑤，即， 由②④得， ， 则 ， 即； （ii）因为，故， 则由⑤得，则， 由以及（i）知， 即，则， 当且仅当，结合，即时等号成立， 故，即的最大值为. 10．在锐角△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，设向量，，且. (1)求证： (2)求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据余弦定理，正弦定理，解三角方程即可证明； （2）根据正弦定理将边转化为角，构建关于角的函数，再利用换元法及对勾函数的性质，即可求解. 【详解】（1）因为，，且， 所以， 又由余弦定理，，得， 所以，即， 由正弦定理可得，， 在△ABC中，，代入上式， 得，， 即，又因为是锐角， 所以，即. （2）由和正弦定理可得， ， 因为△ABC是锐角三角形， 所以，所以， 所以，，令， 则， 因为对勾函数在上单调递增，所以， 所以的取值范围是. 题型三 求三角形中边长或周长的最值或范围（共5小题） 11．已知斜三角形的内角的对边分别为，已知，且内角满足，则的最大值为________． 【答案】 【分析】易知，根据三角恒等变换的化简计算可得，讨论、，利用三角恒等变换和正弦定理的化简计算可得，结合正弦函数的图象与性质即可求解. 【详解】由题意知，，，则， 所以，则； 由， 所以， 结合已知有，即， 当时，，即，得，此时，不符合题意； 当时，即，此时，且， 所以，则 ， 又，所以，所以， 则，当且仅当即时，等号成立. 所以的最大值为. 12．在中，角，，所对的边分别为，，，，． (1)再从下面给出的条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积； 条件①：； 条件②：； 条件③：． (2)若，求周长的取值范围． 【答案】(1)条件①：不存在，该条件不可选；条件②：或；条件③： (2) 【分析】（1）选择①，利用正弦定理推出不存在； 若选择②，利用余弦定理求出，再由面积公式计算可得； 若选择③，首先求出，利用正弦定理求出，再由两角和的正弦公式求出，最后由面积公式计算可得； （2）根据正弦定理及三角恒等变换公式化简可得的周长为，结合角的范围及正弦函数的性质求解即可． 【详解】（1）选条件①：，由正弦定理得， 解得，故无解，所以不存在，故该条件不可选； 选条件②：，由余弦定理得，则， 解得或，当时，， 当时，； 选条件③：，则， 由正弦定理得，则， 又， 所以． （2）由，则，所以为钝角， 因为，所以，又， 则的周长为， 因为，所以，则， 所以， 即周长的取值范围为． 13．在中， (1)求c的值； (2)已知，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一，求的周长． 条件①：； 条件②：AB边上的高为； 条件③：． 【答案】(1) (2)分类讨论，答案见解析. 【分析】（1）利用正弦定理将边化为角，再结合两角和的正弦公式化简求解的值； （2）根据所选条件，结合正弦定理、三角形面积公式等求出三角形的其他边，进而求得周长． 【详解】（1）由正弦定理及 得． 所以． 所以． 又因为，所以． 所以． （2）选条件①：因为，且， 所以． 因为，所以．所以． 又因为，所以． 所以． 又，所以． 所以的周长为． 选条件②：因为边上的高为，所以． 又因为，所以． 所以． 因为，所以． （1）当时，由，得． 又，所以． 联立，解得． 所以的周长为． （2）当时，由，得． 又，所以，不符合题意． 综上，的周长为． 选条件③：因为，所以，所以角必为锐角，故， 由余弦定理，可得，即． 解得或，此时不唯一，不符合要求． 14．在中，内角A、B、C对应的边分别是a、b、c，且. (1)求角A的大小； (2)若，，求a； (3)若，求的取值范围. 【答案】(1). (2) (3) 【分析】（1）用正弦定理将边转化为角，再利用三角形内角和定理与三角恒等变换公式化简，进而求出角A； （2）先利用三角形面积公式求出边c的长度，再用余弦定理求出边a； （3）用余弦定理得到b、c的式子，再用基本不等式来分析求解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得，即， 因为在中，，所以， 又，所以. （2）因为，，，所以，解得. 由余弦定理得. （3）因为， 所以， 所以，所以，当且仅当时等号成立， 又，所以. 15．在中，角所对的边分别为，已知． (1)求； (2)若，且，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理得，再根据三角恒等变形化简求解即可； （2）利用的和角公式，结合及，可得，利用正弦定理得，再根据余弦定理求出即可． 【详解】（1）解：由正弦定理得， ， ， ， 因为，所以，解得： 又因为，所以； （2）由（1）知，则， ， ，， 解得：， 由正弦定理得， 由余弦定理得， 即，解得：， 故的周长． 题型四 几何图形中的计算（共5小题） 16．如图，在河岸上测量河对面，两点间的距离，测得，，，，，则（   ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】应用正弦定理及余弦定理计算求解. 【详解】因为，， 在中，由正弦定理可得，则． 在中，由正弦定理可得，则． 在中，由余弦定理可得，则． 17．在中，角所对的边分别是，且. (1)求； (2)若是边上靠近的三等分点，，，求的面积； (3)若是的角平分线，，，求的长. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理边化角，结合三角恒等变换得，再根据三角函数性质即可求得； （2）由题意，进而根据向量模的关系求得，再计算面积即可； （3）根据题意，结合得，再根据余弦定理求解即可. 【详解】（1）解：因为， 由正弦定理可得， 所以， 所以， 又因为，所以， 所以，又因为，所以， 所以，故； （2）解：因为是边上靠近的三等分点， 所以， 所以， 又因为，，， 所以，化简得， 即，解得或（舍去）， 所以； （3）解：已知平分，且，故， 由 得； 将 ，代入得 ，解得 ∵ ∴ 18．矗立在曲靖一中北门广场中央的水滴形不锈钢雕塑（如图1），以灵动舒展的造型承载着学校“润泽教育”的核心理念与“知行合一、止于至善”的校训精神，曲靖一中某数学兴趣小组成员为测量水滴形不锈钢雕塑的高度，在与雕塑底O位于同一水平面上共线的A，B，C三处进行测量（如图2）．已知在A处测得雕塑顶端P的仰角为30°，在B处测得雕塑顶端P的仰角为45°，在C处测得雕塑顶端P的仰角为60°，BC＝6米，AB＝3米，则水滴形不锈钢雕塑的高度OP＝（   ） A．m B．m C．m D．m 【答案】C 【详解】设OP＝h，依题意，，， ，在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 由，可得：，解得：. 19．在中，已知，是边上一点，如图，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在中用余弦定理，求出，之后在中，用正弦定理计算的长度. 【详解】在中，,所以,. 在中, ，，由余弦定理可得， 代入数值：,整理得，解得(舍去负根)； 在中，,根据正弦定理：代入数值：. 故答案为：C 20．冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如在弯折位置通常采用、、、、、等特殊角度.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求.该同学取端点绘制了，如图，测得，，，，若点恰好在边上，则的值为_____. 【答案】 【分析】根据余弦定理可得，即可由同角关系可得，进而由正弦定理即可求解. 【详解】由题意，在中，由余弦定理，； 因为，所以， 在中，由正弦定理， 所以，解得， 故答案为：. 题型五 求三角形面积的最值或范围（共5小题） 21．如图所示，某区有一块空地，其中，，．当地区政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖，其中M，N都在边AB上，且，挖出的泥土堆放在地带上形成假山，剩下的地带开设儿童游乐场．为安全起见，需在人工湖的周围安装防护网． (1)当时，求防护网的总长度； (2)若要求挖人工湖用地的面积是堆假山用地的面积的倍，试确定的大小； (3)为节省投入资金，人工湖的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使的面积最小？最小面积是多少？ 【答案】(1) (2) (3)时，面积取最小值为 【分析】（1）在中利用余弦定理可求得，可知为正三角形，由此可得结果； （2）设，由可得；在中，利用正弦定理可得；由此可构造方程求得； （3）设，由（2）知；在中，利用正弦定理可得，根据，结合三角恒等变换知识可化简得到，由正弦函数的最值可确定所求最小值. 【详解】（1）在中，，，，则， 在中，由余弦定理得：， 即，则，可得， 可知为正三角形，其周长为，即防护网的总长度为. （2）设， 因为，即，可得， 在中，由得：， 即，可得， 又因为，则， 则，解得，所以. （3）设，由（2）知：， 在中，由得：， 则， 当且仅当，即时，面积取最小值为. 22．在中，角的对边分别为，若，则面积的最大值为__________. 【答案】/ 【分析】首先根据余弦定理和基本不等式求出的最大值，然后根据面积公式即可求解. 【详解】由余弦定理得， 即，当且仅当时，等号成立， 故. 因此，面积的最大值为. 23．已知点是边长为3的正三角形的重心，过点的动直线分别交线段，于点，，则面积的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，，，利用三角形重心性质、向量线性运算建立关于的方程，可得，可得的面积为， 再利用换元法和对勾函数性质求解最值. 【详解】如图所示，取的中点为， 因为点是正三角形的重心，则，即， 所以，① 设，，，，， 则 ，② 所以结合①和②可得，整理得， 又，，则， 得，且，解得， 又因为是边长为3的正三角形，则，， 则的面积为 ， 令，，则，， ，， 根据对勾函数的性质，当时，取得最大值，且最大值为， 所以面积的最大值为． 24．已知中，角，，所对的边分别为，，，且，若为的中点，边上的中线长为，则面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由余弦定理结合已知条件，求出角，向量两边同时平方，由基本不等式可求出面积最大值. 【详解】由及余弦定理得， 由两边平方得： 即 ，整理得： ，解得，当且仅当时取等号， 又因为，所以三角形面积最大值为. 25．公园内有一块三角形绿地，其中米，米，.绿地内种植有一扇形的花卉景观，扇形的两边都落在和上，弧与相切于点.    (1)求扇形花卉景观的半径，以及面积； (2)为美观起见，设计在原有绿地基础上扩建成三角形（如图），其中，使得原有的扇形花卉景观扩建为半径米，并且与相切于点，两边都落在三角形边上的扇形，求绿地三角形占地面积的最小值，并求此时、的长. 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据余弦定理求出的长度，再根据扇形弧与相切，借助等面积法求解； （2）假设，利用余弦定理得到，然后表示出三角形的面积，最后使用基本不等式计算可得结果. 【详解】（1）在中， 由余弦定理，所以， 因为弧与相切于点，所以， 所以， 所以，； （2）设， 则由余弦定理可得， 所以， 因为，所以， 即，所以，即， 当且仅当时，取最小值为256． 所以当时，三角形占地面积最小，为． 题型六 正余弦定理与三角函数性质的综合应用（共5小题） 26．在斜三角形中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，记（且） (1)时，若，求的值； (2)，为钝角，求角与的最大值； (3)若，的内切圆半径为，外接圆半径为，求的最大值. 【答案】(1) (2)，的最大值为. (3) 【分析】（1）利用求出，再利用结合正弦定理即可求出； （2）利用以及两角和差的余弦公式即可求出，再利用正弦定理边角互化得出，结合求三角函数的值域即可； （3）先利用，余弦定理，基本不等式，化简得出，再求出， ，结合倍角公式化简得出即可求出最值. 【详解】（1）在中，，得，又，则， 由题意有，则， 在中利用正弦定理得，. （2）在中，， 则， 因，则，可得， 又因为为钝角，所以. 在中利用正弦定理，有 ， 又因为，则，得，得. 故的最大值为. （3）由题有，即， 在中，由余弦定理有 ， 当且仅当时等号成立， 设内切圆分别交，，于点E，F，G，内切圆圆心为， 则，，，， 有， 内切圆半径， 外接圆半径， 则 ， 故的最大值为. 27．在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，利用三角形面积公式与余弦定理，可得，再根据同角三角函数的平方关系可得，，然后利用正弦定理与三角恒等变换公式化简可得，结合条件可得取值范围，进而求得的取值范围. 【详解】在中，由余弦定理得，且的面积， 由，得，化简得， 又，，联立解得，， 所以， 为锐角三角形，有，，得， 则有，可得，所以. 故选：C 28．在中，角的对边分别为，已知. (1)若，且边的中线长为，求的面积； (2)若是锐角三角形，求的范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理得，求得，再由，联立方程组，求得，因为为边中线，得到，列出方程，求得，结合三角形的面积公式，即可求解； （2）由正弦定理，化简得到，再由是锐角三角形，求得，结合正切函数的性质，进而求得的取值范围. 【详解】（1）解：在中，因为， 由余弦定理可得，即， 整理得，所以， 因为，所以， 又因为， 联立方程组，解得，所以， 因为为边中线，则， 所以， 可得，解得或（舍去）， 所以的面积为. （2）解：由正弦定理，可得 . 因为是锐角三角形，则，可得，所以， 因为，所以，则， 所以，所以. 29．在中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为边BC上一点． (1)若，求； (2)若平分，求AD的取值范围； (3)若，令，试求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用余弦定理将角化边，即可得到，结合得到、，最后由余弦定理计算可得； （2）由等面积法得到，再由余弦定理得到，再由基本不等式求出bc的范围，最后利用换元法及函数的性质计算可得； （3）利用余弦定理和正弦定理得，再将其平方转化为关于的函数，再配凑即可求出最值． 【详解】（1）因为， 由余弦定理可得，整理得， 又，所以，则， 所以，所以， 由余弦定理， 又，所以； （2）因为，即， 所以， 由余弦定理， 所以， 所以， 因为，且，所以，当且仅当时取等号，则 所以，令，则， 所以， 因为在上单调递增， 当时，当时， 所以，即AD的取值范围为．    （3）由余弦定理，， 所以， 所以 ， ， 所以．当且仅当， 即时，． 30．在锐角中，内角所对的边分别为，且满足． (1)求角； (2)求的取值范围； (3)当时，角的平分线交于，求长度的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，由正弦定理化简得到，再利用余弦定理，求得，进而求得的大小； （2）由正弦定理，可得，根据为锐角三角形，求得，利用三角函数的性质，即可求解； （3）设长度为，由，求得，得到，再由余弦定理，化简得到， 设，进而求得长度的最大值. 【详解】（1）因为， 由正弦定理，可得，整理得， 又由余弦定理，可得， 又因为，所以. （2）由正弦定理，可得 ， 因为为锐角三角形，且，可得， 则，可得，则， 所以，即， 所以的取值范围. （3）设长度为， 由，可得， 因为，可得， 所以，可得， 又由余弦定理得，所以， 则， 设 ， 由，可得， 所以长度的最大值为． 题型七 距离测量问题（共5小题） 31．某船只在海面上向正东方向行驶了迅速将航向调整为南偏西，然后沿着新的方向行驶了，此时发现离出发点恰好30km，那么的值为（   ） A．30 B．60 C．40或60 D．30或60 【答案】D 【分析】做出图形，根据正弦定理计算角度，得出角的大小，分情况求出的值． 【详解】设出发点为，向东航行到处后改变航向到达， 则，，，， 由正弦定理可得：，即， ． 或， （1）若，则，为直角三角形， ； （2）若，则，为等腰三角形 综上，的值为30或60. 故选：D． 32．如图，为了测量河对岸，两点之间的距离，观察者找到一个点，从点可以观察到点，；找到一个点，从点可以观察到点，；找到一个点，从点可以观察到点，，并测量得到一些数据：，，，，，，.（其中）    (1)求，两点之间的距离； (2)求，两点之间的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中，应用正弦定理求解即可； （2）在中，应用正弦定理，求出，再在中,由余弦定理求得答案. 【详解】（1）由题意知,在中,. 由正弦定理得. （2）在中, ，由正弦定理得， 在中,由余弦定理得， ∴ 33．位于P处的雷达接收到在其正东方向相距海里的B处的一艘渔船遇险后抛锚的营救信号后，即刻通知位于P处雷达北偏东且与P处雷达相距30海里的M处的甲船前往救援，则甲船至少需要航行的海里数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意利用余弦定理可解. 【详解】题意如图，    当甲船沿航行时，航行的里数最少. 由题意，，在中，根据余弦定理可得： ， 所以. 即甲船至少需要航行的海里数为. 故选：B. 34．海洋洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得，，，，则A、B两点的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，在中，，， ，所以， 由正弦定理得，解得， 在中，，， ， 所以，故， 所以在中，由余弦定理得 ， 则，即A，B两点间的距离为． 故选：D. 35．如图，有A，B，C三艘渔船在海岛D附近作业，D在A的东北方向，D在B的东偏北方向，C在B的东偏北方向，B在A的正东方向，已知A，B相距，B，C相距，则（   ） A．D在C的北偏西方向 B． C．D，C相距 D．D，B相距 【答案】C 【分析】根据方位角，画出图形，利用正弦定理及勾股定理求解. 【详解】如图所示， 又， 所以在中，解得， 在中，， 所以，则， 所以在的北偏西方向，且,相距． 故选：C. 题型八 高度测量问题（共5小题） 36．某湿地公园正在修建一个云星塔，其主体工程现已完成，由于还没有完全完工，周围由一圈铁皮围栏围着，塔与道路之间的距离无法直接测得，有同学选取了与塔底同一水平面内共线的三个点，，，且在点，，处测得塔顶端的仰角分别为，，，同时测得，（如下图），则塔的高度为________. 【答案】60 【分析】设，则可由余弦定理构建关于的方程，求出其解即可. 【详解】由题设， 设，则， 在中，由余弦定理有， 故，同理， 而，故， 所以，故， 故. 37．10世纪阿拉伯天文学家阿尔·库希设计出一种方案，通过两个观察者异地同时观测同一颗流星来测定流星的高度．如图，设有两个观察者在地球上A、B两地同时观察到一颗流星S，仰角分别是和（，表示当地的地平线）．设，，，地球的半径，则流星的高度约为______________（精确到）． 【答案】 【分析】利用正弦定理，结合三角函数恒等变换求解即可. 【详解】已知弧长，地球的半径，设圆心角为， 则， 仰角，是视线与地平线的夹角，而地平线垂直于地球半径， 视线与半径的夹角分别为， ， 设为流星的高度，则地心到流星的距离， 在中，①， 在中，②， 且③， 设，由①可得， 由②可得， 由③可得， ，， ， ，化简得，解得， ，解得． 38．一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，如图，到处时测得公路北侧一铁塔底部在西偏北的方向上，行驶200m后到达处，测得此铁塔底部在西偏北的方向上，塔顶的仰角为，则此铁塔的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设此铁塔高，在直角中，可得，再在中，利用正弦定理，列出方程，即可求解. 【详解】设此铁塔高，根据题意，可得， 在直角中，可得， 在中，由，可得， 根据正弦定理，可得，解得． 故选：A. 39．圣⋅索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球､圆柱､棱柱于一体，极具对称之美.为了估算圣⋅索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为，在它们之间的地面上的点（，，三点共线）处测得建筑物顶､教堂顶的仰角分别是和，在建筑物顶处测得教堂顶的仰角为，则可估算圣⋅索菲亚教堂的高度约为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意求得，在中由正弦定理求出，即可在直角中求出. 【详解】由题可得在直角中，，，所以， 在中，，， 所以， 所以由正弦定理可得，所以， 则在直角中，， 即圣.索菲亚教堂的高度约为. 故答案为：D. 40．渝北中学大力传承和弘扬“红岩·莲华”精神，在王朴母子雕像前举行纪念活动.某同学为测量王朴母子雕像的高度AB（雕像的底端视为点，雕像的顶端视为点），在地面选取了两点C，D（其中四点在同一个铅垂平面内），在点处测得点的仰角为，在点处测得点A，B的仰角分别为，测得，则按此法测得的王朴母子雕像AB的高为（    ）    A．34m B．35m C．36m D．37m 【答案】C 【分析】设直线与交于点E，分别用表示出，利用解出，再解出，最后求出雕像高即可. 【详解】如图，设直线CD与AB交于点E，则，    由题意得， 又，且， 代入解得，从而， 进而， 则雕像高米，故C正确. 故选：C 题型九 角度测量问题（共5小题） 41．一艘海轮从处出发，以每小时50海里的速度沿南偏东的方向直线航行，2小时后到达处，在处有一座灯塔，海轮在处观察灯塔，其方向是南偏东，在处观察灯塔．其方向是北偏东，那么两点间的距离是（   ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】A 【分析】确定中各角度数，利用正弦定理即可求出答案. 【详解】由已知可知（海里）， 则，故（海里）， 故选：A 42．灵山江畔的龙洲塔，有“人文荟萃，学养深厚”的福地一说.如图，某同学为了测量龙洲塔的高度，在地面处测得塔在南偏东的方向上，向正南方向行走后到达D处，测得塔在南偏东的方向上，处测得塔尖的仰角为，则可得龙洲塔高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据题意得到角度和边，则在中，由正弦定理可求得， 而塔是垂直于地面的，故在中，结合仰角和可算得龙洲塔高度. 【详解】由题意可知，所以， 在中，由正弦定理可得， 因为处测得塔尖的仰角为，即， 则在中，龙洲塔高度为. 故选：C. 43．如图所示，在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物的顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进100m到达处，又测得对于山坡的斜度为，若，，且山坡对于地平面的坡度为，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出，在中由正弦定理求出，在中由正弦定理求出，再由求得的值. 【详解】因为，所以， 在中，由正弦定理可得：，解得：， 在中，由正弦定理可得，解得：， 即，所以； 故选：C 44．如图所示，有一艘缉毒船正在A处巡逻，发现在北偏东方向、距离为60海里处有毒贩正驾驶小船以每小时海里的速度往北偏东的方向逃跑，缉毒船立即驾船以每小时海里的速度前往缉捕． (1)求缉毒船经过多长时间恰好能将毒贩抓捕； (2)试确定缉毒船的行驶方向． 【答案】(1)缉毒船经过2小时恰好能将毒贩抓捕 (2)缉毒船的行驶方向为北偏东 【分析】（1）设缉毒船经过t小时恰好能将毒贩抓捕，可知，利用余弦定理运算求解； （2）根据（1）中结果，利用正弦定理可得，进而可得结果. 【详解】（1）设缉毒船经过t小时恰好能将毒贩抓捕， 由题意可知：， 由余弦定理可得， 即， 整理可得，解得， 所以缉毒船经过2小时恰好能将毒贩抓捕. （2）由（1）可知：， 由正弦定理可得， 且为锐角，则，可得， 所以缉毒船的行驶方向为北偏东. 45．一艘海轮从A出发，沿北偏东的方向航行后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东的方向航行2到达海岛C. (1)求AC的长； (2)如果下次航行直接从A出发到达C，应沿什么方向航行多少？ 【答案】(1) (2)沿北偏东方向航行即可到达C处 【分析】（1）先计算出，由余弦定理求出； （2）由余弦定理求出，从而得到答案. 【详解】（1）在中，，， 由余弦定理得： ，解得 （2）在中，由余弦定理得： ， 所以，又， 因此应沿北偏东方向航行即可到达C处. 题型十 正余弦定理的其他应用（共5小题） 46．某公园拟建造一个四边形的露营基地，如图所示．为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形区域中，将三角形区域设立成花卉观赏区，三角形区域设立成烧烤区，边修建观赏步道，边修建隔离防护栏，其中米，米，． (1)若米，求角的余弦值； (2)如果烧烤区是一个占地面积为9600平方米的钝角三角形，那么需要修建多长的隔离防护栏（精确到0.1米）？ (3)考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大时，再使得花卉观赏区的面积尽可能大，则应如何设计观赏步道？ 【答案】(1) (2)米 (3)米，米， 【分析】（1）由余弦定理即可求解； （2）由三角形面积公式及余弦定理即可求解； （3）由三角形面积公式，正弦定理，三角恒等变换得面积表达式，再结合余弦函数的性质即可求最大值． 【详解】（1）由余弦定理得，． （2），解得， 又为钝角，所以， 由余弦定理得， 米． （3），当且仅当时等号成立， 此时，， 设， 在中，由正弦定理得，， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 此时，， 所以应设计米，米，． 47．已知海岛在海岛的北偏东的方向上，且两岛的直线距离为. 一艘海盗船以的速度沿着北偏东方向从海岛出发，同时海警船以的速度从海岛进行追赶，经过小时后两船相遇，则海警船的航行方向是北偏东_______. 【答案】 【分析】设海警船的航行方向是北偏东，根据条件，利用正弦定理得到，即可求解. 【详解】设海警船的航行方向是北偏东， 由题知，，， 在中，由正弦定理得到，得到， 又，所以，得到， 故答案为：. 48．在某海域A处的巡逻船发现南偏东方向，相距a海里的B处有一可疑船只，此可疑船只正沿东偏北（以B点为坐标原点，正东，正北方向分别为x轴，y轴正方向，1海里为单位长度，建立平面直角坐标系）方向匀速航行．巡逻船立即开始沿直线匀速追击拦截，巡逻船出发t小时后，可疑船只所在位置的横坐标为bt．若巡逻船以30海里/小时的速度向正东方向追击，则恰好1小时与可疑船只相遇． (1)求a，b的值； (2)若巡逻船以海里/小时的速度进行追击拦截，能否拦截成功？若能，求出拦截时间；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)能够拦截成功拦截，时间为2小时 【分析】（1）设1小时后两船相遇于点C，根据关于y轴对称，且，即可求解； （2）设t小时后两船相遇于点D，利用余弦定理列出方程，即可求解. 【详解】（1）若巡逻船以30海里/小时的速度向正东方向追击，设1小时后两船相遇于点C， 如图所示，则轴，，且关于y轴对称， 所以， 所以. （2）若巡逻船以海里/小时进行追击，设t小时后两船相遇于点D，如图所示， 则，，，， 因为， 可得， 整理得，解得或（舍去）， 所以能够拦截成功拦截时间为2小时. 49．在某海滨城市附近海面上有一台风，据监测，当前台风中心位于城市的东偏南方向300km的海面处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动.台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几时后该城市开始受到台风的侵袭?    【答案】12小时后该城市开始受到台风的侵袭. 【分析】设在时刻台风中心位于点，城市受到干扰时，，结合图中的角度，运用余弦定理算出，解不等式即可. 【详解】设在时刻台风中心位于点，则， 如图显然是锐角，由可得， 又， 故. 因此，即，解得. 故小时后该城市开始受到台风的侵袭.    50．夏季来临，气温升高，是学生溺水事故的高发期．为有效预防学生溺水事件的发生，增强学生防溺水的安全防范意识，提高学生的自护自救能力，减少安全事故的发生，切实保护学生的生命安全，学校组织各班召开了防溺水安全教育主题班会．某地一河流的岸边观测站位于点处（离地面高度忽略不计），观察到位于点西南方向且距离为的点处有一名钓友，正目不转睛地盯着其东偏北方向上点处一个正在岸边玩耍的小孩子，突然小孩不慎落水．已知的距离为，假设三点在同一水平面上． (1)求此时钓友与小孩之间的距离． (2)若此时钓友到点处比到点处的距离更近，且在孩子落水的瞬间钓友跳进河里开始以的速度救援，与此同时孩子在水流的作用下以的速度沿北偏东方向移动，由于钓友平时缺乏锻炼受耐力限制，最多能持续游，试问钓友这次救援是否有成功的可能？若有可能，求钓友救援成功的最短时间；若不能，请说明原因． 【答案】(1)距离为100或200米； (2)钓友这次救援有成功的可能，救援成功的最短时间为. 【分析】（1）作出图形，利用余弦定理即可得到答案； （2）根据（1）中的结论得，求出，设，根据余弦定理得到方程，解出即可. 【详解】（1）由题意得，，， 在三角形中，根据余弦定理有， 即，解得或100，    故钓友与小孩之间的距离为100或200米. （2）因为钓友到点处比到点处的距离更近，则，      设钓友在最短时间内救援到地点为点，， 则， 所以 整理得，解得（负根舍去）， 因为，所以钓友这次救援有成功的可能， 且成功的最短时间为. 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 余弦定理、正弦定理的应用 题型1 正、余弦定理判定三角形的形状（重点） 题型6 正余弦定理与三角函数性质的综合应用（重点） 题型2 证明三角形中的恒等式或不等式（难点） 题型7 距离测量问题（重点） 题型3 求三角形中边长或周长的最值或范围（重点） 题型8 高度测量问题（重点） 题型4 几何图形中的计算 题型9 角度测量问题（重点） 题型5 求三角形面积的最值或范围（常考点） 题型10 正余弦定理的其他应用（重点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 正、余弦定理判定三角形的形状（共5小题） 1．的内角：所对边分别为，下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则是等腰三角形 C．若，则是锐角三角形 D．若，则是等腰直角三角形 2．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法错误的是（   ） A．若，则 B．若，则是锐角三角形 C．若，则为钝角三角形 D．若为锐角三角形，且，则的最小值为8 3．已知中，角所对的边分别是，若，且，那么是（   ） A．直角非等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰非等边三角形 D．等腰直角三角形 4．在中，已知，则的形状为______ 5．在斜三角形中，角的对边分别为．若，则（   ） A．为锐角三角形 B． C．若，则 D． 题型二 证明三角形中的恒等式或不等式（共5小题） 6．已知钝角中，若，则下列命题中正确的是（    ） A． B． C． D． 7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，三角形面积为S，若D为AC边上一点，满足，，且. (1)求角； (2)证明：； (3)求的取值范围. 8．已知锐角分别为角的对边，若. (1)求证：； (2)求的取值范围. 9．中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知. (1)求的值； (2)若BD是的角平分线. （i）证明：； （ii）若，求的最大值. 10．在锐角△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，设向量，，且. (1)求证： (2)求的取值范围. 题型三 求三角形中边长或周长的最值或范围（共5小题） 11．已知斜三角形的内角的对边分别为，已知，且内角满足，则的最大值为________． 12．在中，角，，所对的边分别为，，，，． (1)再从下面给出的条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积； 条件①：； 条件②：； 条件③：． (2)若，求周长的取值范围． 13．在中， (1)求c的值； (2)已知，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一，求的周长． 条件①：； 条件②：AB边上的高为； 条件③：． 14．在中，内角A、B、C对应的边分别是a、b、c，且. (1)求角A的大小； (2)若，，求a； (3)若，求的取值范围. 15．在中，角所对的边分别为，已知． (1)求； (2)若，且，求的周长． 题型四 几何图形中的计算（共5小题） 16．如图，在河岸上测量河对面，两点间的距离，测得，，，，，则（   ） A． B． C．4 D． 17．在中，角所对的边分别是，且. (1)求； (2)若是边上靠近的三等分点，，，求的面积； (3)若是的角平分线，，，求的长. 18．矗立在曲靖一中北门广场中央的水滴形不锈钢雕塑（如图1），以灵动舒展的造型承载着学校“润泽教育”的核心理念与“知行合一、止于至善”的校训精神，曲靖一中某数学兴趣小组成员为测量水滴形不锈钢雕塑的高度，在与雕塑底O位于同一水平面上共线的A，B，C三处进行测量（如图2）．已知在A处测得雕塑顶端P的仰角为30°，在B处测得雕塑顶端P的仰角为45°，在C处测得雕塑顶端P的仰角为60°，BC＝6米，AB＝3米，则水滴形不锈钢雕塑的高度OP＝（   ） A．m B．m C．m D．m 19．在中，已知，是边上一点，如图，，，，则（    ） A． B． C． D． 20．冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如在弯折位置通常采用、、、、、等特殊角度.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求.该同学取端点绘制了，如图，测得，，，，若点恰好在边上，则的值为_____. 题型五 求三角形面积的最值或范围（共5小题） 21．如图所示，某区有一块空地，其中，，．当地区政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖，其中M，N都在边AB上，且，挖出的泥土堆放在地带上形成假山，剩下的地带开设儿童游乐场．为安全起见，需在人工湖的周围安装防护网． (1)当时，求防护网的总长度； (2)若要求挖人工湖用地的面积是堆假山用地的面积的倍，试确定的大小； (3)为节省投入资金，人工湖的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使的面积最小？最小面积是多少？ 22．在中，角的对边分别为，若，则面积的最大值为__________. 23．已知点是边长为3的正三角形的重心，过点的动直线分别交线段，于点，，则面积的最大值为（ ） A． B． C． D． 24．已知中，角，，所对的边分别为，，，且，若为的中点，边上的中线长为，则面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 25．公园内有一块三角形绿地，其中米，米，.绿地内种植有一扇形的花卉景观，扇形的两边都落在和上，弧与相切于点.    (1)求扇形花卉景观的半径，以及面积； (2)为美观起见，设计在原有绿地基础上扩建成三角形（如图），其中，使得原有的扇形花卉景观扩建为半径米，并且与相切于点，两边都落在三角形边上的扇形，求绿地三角形占地面积的最小值，并求此时、的长. 题型六 正余弦定理与三角函数性质的综合应用（共5小题） 26．在斜三角形中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，记（且） (1)时，若，求的值； (2)，为钝角，求角与的最大值； (3)若，的内切圆半径为，外接圆半径为，求的最大值. 27．在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 28．在中，角的对边分别为，已知. (1)若，且边的中线长为，求的面积； (2)若是锐角三角形，求的范围. 29．在中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为边BC上一点． (1)若，求； (2)若平分，求AD的取值范围； (3)若，令，试求的最大值． 30．在锐角中，内角所对的边分别为，且满足． (1)求角； (2)求的取值范围； (3)当时，角的平分线交于，求长度的最大值． 题型七 距离测量问题（共5小题） 31．某船只在海面上向正东方向行驶了迅速将航向调整为南偏西，然后沿着新的方向行驶了，此时发现离出发点恰好30km，那么的值为（   ） A．30 B．60 C．40或60 D．30或60 32．如图，为了测量河对岸，两点之间的距离，观察者找到一个点，从点可以观察到点，；找到一个点，从点可以观察到点，；找到一个点，从点可以观察到点，，并测量得到一些数据：，，，，，，.（其中）    (1)求，两点之间的距离； (2)求，两点之间的距离. 33．位于P处的雷达接收到在其正东方向相距海里的B处的一艘渔船遇险后抛锚的营救信号后，即刻通知位于P处雷达北偏东且与P处雷达相距30海里的M处的甲船前往救援，则甲船至少需要航行的海里数为（    ） A． B． C． D． 34．海洋洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得，，，，则A、B两点的距离为（   ） A． B． C． D． 35．如图，有A，B，C三艘渔船在海岛D附近作业，D在A的东北方向，D在B的东偏北方向，C在B的东偏北方向，B在A的正东方向，已知A，B相距，B，C相距，则（   ） A．D在C的北偏西方向 B． C．D，C相距 D．D，B相距 题型八 高度测量问题（共5小题） 36．某湿地公园正在修建一个云星塔，其主体工程现已完成，由于还没有完全完工，周围由一圈铁皮围栏围着，塔与道路之间的距离无法直接测得，有同学选取了与塔底同一水平面内共线的三个点，，，且在点，，处测得塔顶端的仰角分别为，，，同时测得，（如下图），则塔的高度为________. 37．10世纪阿拉伯天文学家阿尔·库希设计出一种方案，通过两个观察者异地同时观测同一颗流星来测定流星的高度．如图，设有两个观察者在地球上A、B两地同时观察到一颗流星S，仰角分别是和（，表示当地的地平线）．设，，，地球的半径，则流星的高度约为______________（精确到）． 38．一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，如图，到处时测得公路北侧一铁塔底部在西偏北的方向上，行驶200m后到达处，测得此铁塔底部在西偏北的方向上，塔顶的仰角为，则此铁塔的高度为（   ） A． B． C． D． 39．圣⋅索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球､圆柱､棱柱于一体，极具对称之美.为了估算圣⋅索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为，在它们之间的地面上的点（，，三点共线）处测得建筑物顶､教堂顶的仰角分别是和，在建筑物顶处测得教堂顶的仰角为，则可估算圣⋅索菲亚教堂的高度约为（    ）    A． B． C． D． 40．渝北中学大力传承和弘扬“红岩·莲华”精神，在王朴母子雕像前举行纪念活动.某同学为测量王朴母子雕像的高度AB（雕像的底端视为点，雕像的顶端视为点），在地面选取了两点C，D（其中四点在同一个铅垂平面内），在点处测得点的仰角为，在点处测得点A，B的仰角分别为，测得，则按此法测得的王朴母子雕像AB的高为（    ）    A．34m B．35m C．36m D．37m 题型九 角度测量问题（共5小题） 41．一艘海轮从处出发，以每小时50海里的速度沿南偏东的方向直线航行，2小时后到达处，在处有一座灯塔，海轮在处观察灯塔，其方向是南偏东，在处观察灯塔．其方向是北偏东，那么两点间的距离是（   ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 42．灵山江畔的龙洲塔，有“人文荟萃，学养深厚”的福地一说.如图，某同学为了测量龙洲塔的高度，在地面处测得塔在南偏东的方向上，向正南方向行走后到达D处，测得塔在南偏东的方向上，处测得塔尖的仰角为，则可得龙洲塔高度为（    ） A． B． C． D． 43．如图所示，在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物的顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进100m到达处，又测得对于山坡的斜度为，若，，且山坡对于地平面的坡度为，则等于（    ）    A． B． C． D． 44．如图所示，有一艘缉毒船正在A处巡逻，发现在北偏东方向、距离为60海里处有毒贩正驾驶小船以每小时海里的速度往北偏东的方向逃跑，缉毒船立即驾船以每小时海里的速度前往缉捕． (1)求缉毒船经过多长时间恰好能将毒贩抓捕； (2)试确定缉毒船的行驶方向． 45．一艘海轮从A出发，沿北偏东的方向航行后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东的方向航行2到达海岛C. (1)求AC的长； (2)如果下次航行直接从A出发到达C，应沿什么方向航行多少？ 题型十 正余弦定理的其他应用（共5小题） 46．某公园拟建造一个四边形的露营基地，如图所示．为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形区域中，将三角形区域设立成花卉观赏区，三角形区域设立成烧烤区，边修建观赏步道，边修建隔离防护栏，其中米，米，． (1)若米，求角的余弦值； (2)如果烧烤区是一个占地面积为9600平方米的钝角三角形，那么需要修建多长的隔离防护栏（精确到0.1米）？ (3)考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大时，再使得花卉观赏区的面积尽可能大，则应如何设计观赏步道？ 47．已知海岛在海岛的北偏东的方向上，且两岛的直线距离为. 一艘海盗船以的速度沿着北偏东方向从海岛出发，同时海警船以的速度从海岛进行追赶，经过小时后两船相遇，则海警船的航行方向是北偏东_______. 48．在某海域A处的巡逻船发现南偏东方向，相距a海里的B处有一可疑船只，此可疑船只正沿东偏北（以B点为坐标原点，正东，正北方向分别为x轴，y轴正方向，1海里为单位长度，建立平面直角坐标系）方向匀速航行．巡逻船立即开始沿直线匀速追击拦截，巡逻船出发t小时后，可疑船只所在位置的横坐标为bt．若巡逻船以30海里/小时的速度向正东方向追击，则恰好1小时与可疑船只相遇． (1)求a，b的值； (2)若巡逻船以海里/小时的速度进行追击拦截，能否拦截成功？若能，求出拦截时间；若不能，请说明理由． 49．在某海滨城市附近海面上有一台风，据监测，当前台风中心位于城市的东偏南方向300km的海面处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动.台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几时后该城市开始受到台风的侵袭?    50．夏季来临，气温升高，是学生溺水事故的高发期．为有效预防学生溺水事件的发生，增强学生防溺水的安全防范意识，提高学生的自护自救能力，减少安全事故的发生，切实保护学生的生命安全，学校组织各班召开了防溺水安全教育主题班会．某地一河流的岸边观测站位于点处（离地面高度忽略不计），观察到位于点西南方向且距离为的点处有一名钓友，正目不转睛地盯着其东偏北方向上点处一个正在岸边玩耍的小孩子，突然小孩不慎落水．已知的距离为，假设三点在同一水平面上． (1)求此时钓友与小孩之间的距离． (2)若此时钓友到点处比到点处的距离更近，且在孩子落水的瞬间钓友跳进河里开始以的速度救援，与此同时孩子在水流的作用下以的速度沿北偏东方向移动，由于钓友平时缺乏锻炼受耐力限制，最多能持续游，试问钓友这次救援是否有成功的可能？若有可能，求钓友救援成功的最短时间；若不能，请说明原因． 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $