精品解析：贵州毕节市赫章县第一中学2025～2026学年第二学期高一素养测练（一）数学试题

赫章一中2025~2026学年第二学期高一素养测练（一） 数学 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第I卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 第I卷（选择题，共58分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在四边形中，若，则图中相等的向量是（    ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 3. 已知向量，，若，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 4. 函数在的零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量 则向量在向量上的投影向量为 （ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，则它的部分图象大致是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，，则的最小值（ ） A. 2 B. 8 C. 9 D. 18 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法错误的有（ ） A. 若，则 B. ，则 C. 若，且，则 D. 若，则与不共线 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 函数是奇函数 D. 函数在上的值域为 11. 已知函数的定义域为，对，，都有．当时，，且，则（ ） A. B. 为偶函数 C. 为上的减函数 D. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 幂函数在区间上单调递增，则______. 13. 已知是两个不共线的向量，.若与是共线向量，则________． 14. 已知函数在上单调递增，则a的取值范围是______． 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （1）已知向量满足与的夹角为，求； （2）已知向量满足，求． 16. 已知集合，． （1）若，求； （2）设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围． 17. 已知函数． （1）求函数的最小正周期和单调增区间； （2）求函数在区间上的最小值以及取得该最小值时的值. 18. 如图，扇形所在圆的半径为1，，为弧的中点，动点分别在线段，上运动（包含端点），且总有，设. （1）若，用表示； （2）求的取值范围. 19. 对于函数，若存在使得成立，则称为函数的不动点. （1）求函数的不动点； （2）若函数有两个不相等的不动点，且均为正数，求的最小值； （3）若函数，有两个不相等的不动点，求a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 赫章一中2025~2026学年第二学期高一素养测练（一） 数学 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第I卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 第I卷（选择题，共58分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简集合B，再根据集合并的意义求解. 【详解】解方程，可得或， 所以集合，故. 故选：A. 2. 如图，在四边形中，若，则图中相等的向量是（    ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】D 【解析】 【分析】利用相等向量的概念一一判断. 【详解】因为，所以四边形ABCD是平行四边形，所以互相平分. 对于A：与不平行，不可能相等，故A错误； 对于B：与大小相同，方向相反，故B错误； 对于C：与不平行，不可能相等，故C错误； 对于D：大小相等，方向相同．即与是相等的向量． 故选：D 3. 已知向量，，若，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出向量，再根据向量垂直的坐标关系列式求解即可. 【详解】因为向量，，所以， 因为，所以，即，解得， 所以. 4. 函数在的零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据零点存在性定理即可求解. 【详解】因为函数和在上都是单调递减， 所以在上单调递减， 又，，，，， 故， 所以函数的零点所在区间是. 故选：B. 5. 已知向量 则向量在向量上的投影向量为 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】向量在向量上的投影向量为 6. 已知函数，则它的部分图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由奇偶性的定义及时函数值符号，应用排除法即可得. 【详解】由题设，函数的定义域为，且， 所以为奇函数，排除B、D， 当时，，故，排除C. 故选：A 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式得出的值，再利用二倍角公式和弦化切可得出的值. 【详解】由，得， ， 故选：C. 8. 如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，，则的最小值（ ） A. 2 B. 8 C. 9 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】由向量加法及数乘的几何意义得，再由向量共线的结论有，最后应用“1”的代换及基本不等式求最小值. 【详解】由题意，，又共线，则， 且，所以， 当且仅当时取等号，即的最小值为9. 故选：C 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法错误的有（ ） A. 若，则 B. ，则 C. 若，且，则 D. 若，则与不共线 【答案】BCD 【解析】 【分析】由向量概念，相等向量、共线向量概念逐项判断即可. 【详解】由向量相等的定义可得，若，则，故A正确； 由向量的性质得，向量是有方向的量，不能比较大小，故B不正确； 当时，与不一定平行，故C不正确； 令，，满足， 但此时与共线，故D不正确． 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 函数是奇函数 D. 函数在上的值域为 【答案】AB 【解析】 【分析】根据函数图象可得，根据周期可求出，结合图象过点求出，即可判断A，B； 根据三角函数的奇偶性即可判断C；根据余弦函数的性质即可判断D. 【详解】由图可知，故A正确； ，又， 所以，所以，故B正确； 则， 又，所以， 所以， 又，所以， 所以， 对于C，，为非奇非偶函数，故C不正确； 对于D，因为，所以， 所以， 所以函数在上的值域为，故D错误 故选：AB. 11. 已知函数的定义域为，对，，都有．当时，，且，则（ ） A. B. 为偶函数 C. 为上的减函数 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】运用赋值法，令，得，令，得，故为奇函数，即可判断A、B；设，，且，得，即可判断C；比较的大小关系，结合单调性即可判断D． 【详解】选项B：由于对，，都有． 令，得，故， 令，得，故， 故为奇函数，故B错误； 选项A：为奇函数，故， 故，故A正确； 选项C：设，，且，则，故， 又， 故，即， 故为上的减函数，故C正确； 选项D：由C的推导知为上的减函数， 且， 故，故D正确． 故选：ACD 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 幂函数在区间上单调递增，则______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据给定条件，利用幂函数定义及单调性列式求解. 【详解】由幂函数在区间上单调递增， 得，所以. 故答案为：2 13. 已知是两个不共线的向量，.若与是共线向量，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量共线可得，存在实数，使，待定系数，即可得答案. 【详解】因为与是共线向量， 所以存在实数，使，即， 所以，解得. 故答案为： 14. 已知函数在上单调递增，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】分段函数在上单调递增需满足每一段上单调递增，再结合分段处的函数值比较列出不等式求解即得. 【详解】当时，都是增函数， 则在上为增函数， 故在R上单调递增，需满足，解得. 故答案为： 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （1）已知向量满足与的夹角为，求； （2）已知向量满足，求． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）通过结合向量数量积运算性质即可求解， （2）通过结合向量数量积运算性质即可求解. 【详解】解：（1）因为， 所以， 所以． （2）因为， 所以． 16. 已知集合，． （1）若，求； （2）设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（1）先解二次不等式化简集合A，再利用集合的运算求解即可. （2）利用命题是命题的必要不充分条件得到集合B是集合A的真子集，分与 两种情况讨论即可得解. 【小问1详解】 因为，所以，所以， 若，则，所以 ， 所以， 【小问2详解】 因为命题是命题的必要不充分条件，所以集合是集合的真子集. 当时，，得到； 当时，，得到； 综上所述，，所以实数的取值范围为. 17. 已知函数． （1）求函数的最小正周期和单调增区间； （2）求函数在区间上的最小值以及取得该最小值时的值. 【答案】（1），递增区间为； （2）最小值， 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简，利用正弦型函数的周期公式与整体代入法即可得解； （2）由计算出的取值范围，再利用正弦函数的基本性质可求得该函数的最小值及其对应的值. 【小问1详解】 因为函数 ， 所以函数最小正周期是； 由，得， 函数单调递增区间为. 【小问2详解】 因为，所以； 所以当时，即时，， 此时， 所以函数在区间上的最小值为，此时. 18. 如图，扇形所在圆的半径为1，，为弧的中点，动点分别在线段，上运动（包含端点），且总有，设. （1）若，用表示； （2）求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算法则，可求出，又，根据条件，代入计算，即可得答案. （2）设，则，根据线性运算法则，可得、表达式，根据数量积公式，可得的值，代入所求，化简整理，结合二次函数的性质，即可得答案. 【小问1详解】 连接AC、BC，如图所示，因为，所以， 所以均为等边三角形， 所以四边形为菱形. 所以， 因为， 所以. 【小问2详解】 设，则， 所以， ， 因为扇形所在圆的半径为1，， 所以， 所以 ， 因为，所以当时，取得最小值， 当或1时，取得最大值， 所以的取值范围为. 19. 对于函数，若存在使得成立，则称为函数的不动点. （1）求函数的不动点； （2）若函数有两个不相等的不动点，且均为正数，求的最小值； （3）若函数，有两个不相等的不动点，求a的取值范围. 【答案】（1）和1 （2）18 （3） 【解析】 【分析】（1）根据不动点定义列方程计算可得结果； （2）利用根的个数以及符号可限定，再结合韦达定理化简计算利用基本不等式可得其最小值； （3）将对数函数方程化简并利用换元法可得在上有两个不相等的实数根，根据二次函数性质可得a的取值范围为. 【小问1详解】 由不动点定义可得，即， 解得或， 即函数的不动点为和1. 【小问2详解】 依题意方程可化为， 即方程有两个不相等的正实数根， 于是，解得， 因此 ， 当且仅当，即时取等号. 【小问3详解】 令， 那么，， 设，又因为，且在上单调递增，因此， 即在上有两个不相等的实数根， 在上的最小值为，最大值为， 结合图象可知， 所以的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $