精品解析：湖北枣阳市第一中学2025-2026学年高三下学期阶段测试（一）数学试题

高三年级阶段测试（一） 数学 本试卷共4页，19题．全卷满分150分，考试用时120分钟． ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在平行四边形中，边，，点E是对角线BD上靠近点D的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 已知复数（i为虚数单位），且，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆与双曲线（，）的渐近线相切，则双曲线的离心率（ ） A. B. C. D. 6. 夏日炎炎，某奶茶店推出了新款奶茶——“冰桶”系列，受到了年轻消费者的喜爱，已知该系列奶茶的容器可以看作是一个圆台与一个圆柱拼接而成，其轴截面如图所示，其中，，则该容器的容积为（ ）（不考虑材料厚度） A. B. C. D. 7. 已知函数的最小正周期为，且，若在上有且只有三个最值点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数及其导函数的定义域均为 ，记，若，为偶函数，则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的上四分位数为18 B. 设两个变量x，y之间的线性相关系数为 ，则的充要条件是成对数据构成的点都在经验回归直线上 C. 若，，…，的平均数为2，方差为1，，，…，的平均数为6，方差为2，则，，…，的方差为5.5 D. 若某组数据的频率分布直方图是单峰不对称的，且在左边“拖尾”，则该组数据的平均数大于中位数 10. 已知正方体的棱长为3，点 是线段 上靠近点的三等分点，是中点，则（ ） A. 该正方体外接球的表面积为 B. 直线与所成角的余弦值为 C. 平面截正方体所得截面为等腰梯形 D. 点到平面的距离为 11. 在无穷数列中，，则下列选项正确的是（ ） A. 若 ，，则对任意，都存在，使得 B. 若 （ ），，且对任意，都有 ，则 的最大值是 C. 若，，使得集合中有有限个元素 D. 若，当时，为递减数列，且存在常数，使得 恒成立 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线l： 与曲线和 都相切，则 _______. 13. 甲、乙、丙、丁四位大学生计划到三个地方实习，每人选择一个地方且每个地方至少一人，则学生甲不去A的概率为_________． 14. 已知动直线与圆O：相切，与椭圆相交于不同的两点A，B，则原点到 的中垂线的最大距离为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，在 中，， 为 延长线上的一点，，． （1）若，求 的长； （2）若，求的面积． 16. 已知函数． （1）若的最大值为1，求的值； （2）若恒成立，求的取值范围． 17. 在 中，，，点D，E分别在边 ， 上，且，（），将 沿 折起，点 落在点的位置，连接，，得到如图所示的四棱锥，点 在线段上，且． （1） 若平面，求． （2）当四棱锥体积最大时，线段上是否存在点Q使得C，D，Q，F四点共面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 18. 已知抛物线： （ ）， 为坐标原点，直线 ： ， 经过该抛物线的焦点，且与抛物线交于 ， 两点， 为线段 中点．动直线 ： 在轴上方． （1）求抛物线的方程； （2）当线段 在直线上方时，直线等分三角形的面积，求 的值． （3）点 在直线上的射影为点 ，是否存在 使得以点 为圆心且过点 的圆过定点，若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由． 19. 一个有限项数列，若满足：其中连续项，，，是1，2，，的一个排列，且为使这个排列在数列中的连续项的最小的，则称为这个排列的阶“明月项”；若对于1，2，，的任一排列，在中都能找到相应的“明月项”，则称这个数列为阶“明月数列”；如：数列：1，2，3，1，1，2，3，1中排列2，3，1的3阶“明月项”为． （1）写出1，2，3，1，3，2，1，3的全部3阶“明月项”，并判断这个数列是否是3阶“明月数列”； （2）证明：任意有限项数列不存在连续项都是阶“明月项”； （3）求4阶“明月数列”项数的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三年级阶段测试（一） 数学 本试卷共4页，19题．全卷满分150分，考试用时120分钟． ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求解集合 ，再由集合的并集求解即可. 【详解】因为，或，所以或. 2. 如图，在平行四边形中，边，，点E是对角线BD上靠近点D的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】在平行四边形中，边，，点 是对角线 上靠近点D的三等分点， 所以. 3. 已知，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用同角的正余弦函数的平方关系求解，再由两角差的正弦公式求解即可. 【详解】因为，，所以，所以. 4. 已知复数（i为虚数单位），且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，则， ，， ． 5. 已知圆与双曲线（，）的渐近线相切，则双曲线的离心率（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由双曲线方程得其一条渐近线的方程，由圆 得圆心、半径，利用直线与圆相切列方程即可得． 【详解】由双曲线，可得其一条渐近线的方程为，， 由圆，得，则圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为，则，可得. 6. 夏日炎炎，某奶茶店推出了新款奶茶——“冰桶”系列，受到了年轻消费者的喜爱，已知该系列奶茶的容器可以看作是一个圆台与一个圆柱拼接而成，其轴截面如图所示，其中，，则该容器的容积为（ ）（不考虑材料厚度） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出圆台部分的高，根据圆台以及圆柱的体积公式，即可求得答案. 【详解】由题意得，圆台的高， 故该容器的容积， 故选：D. 7. 已知函数的最小正周期为 ，且，若在上有且只有三个最值点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，求得，再由时，，结合余弦函数性质即可求解. 【详解】因为，所以， 故， 故，即， 因为，所以，故， 当时，， 要想在上有且只有三个最值点， 则要，解得 即的取值范围是， 故选：B. 8. 已知函数及其导函数的定义域均为 ，记，若，为偶函数，则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据奇函数和偶函数的定义，结合函数的周期性和对称性，即可判断. 【详解】对于A选项：令，则； 令，则，所以，故A正确； 对于B选项：因为， 两边求导，得，即，即； 因为为偶函数，所以， 所以，故成立，故B正确； 对于C选项：因为， 所以，（为常数） 未必为0，故C错误； 对于D选项：因为， 令，则，故D正确. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的上四分位数为18 B. 设两个变量x，y之间的线性相关系数为 ，则的充要条件是成对数据构成的点都在经验回归直线上 C. 若，，…，的平均数为2，方差为1，，，…，的平均数为6，方差为2，则，，…，的方差为5.5 D. 若某组数据的频率分布直方图是单峰不对称的，且在左边“拖尾”，则该组数据的平均数大于中位数 【答案】ABC 【解析】 【分析】首先确定上四分位数的位置，然后将数据按从小到大的顺序排列取出在该位置上的数据即为上四分位数判断A，利用相关系数的性质判断B，利用平均数与方差的性质判断C，数据分布偏左，根据平均数及中位数的概念判断D即可. 【详解】对于A，而 ， 所以该组数据的上四分位数为从小到大排列的第8位数据：18，故A正确； 对于B，若，则完全线性相关， 得到成对数据构成的点都在经验回归直线上，故B正确， 对于C，设整体平均数为，由题意得， 设整体方差为 ，可得，故C正确， 对于D，由题意知数据分布偏左，导致平均数受极端值影响会偏小， 而中位数是按顺序排列的一组数据中居于中间位置的数， 受极端值影响小，所以该组数据的平均数小于中位数，故D错误. 10. 已知正方体的棱长为3，点 是线段 上靠近 点的三等分点， 是中点，则（ ） A. 该正方体外接球的表面积为 B. 直线 与 所成角的余弦值为 C. 平面截正方体所得截面为等腰梯形 D. 点 到平面的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正方体的外接球的直径是正方体的体对角线可求外接球的表面积，可判断A的真假；利用平行把异面直线所成的角转化为平面角，再利用三角形的边角关系可求异面直线所成角的三角函数，判断B的真假；做出截面，判断截面形状，可判断C的真假；构造三棱锥，利用体积法求点到面的距离，可判断D的真假. 【详解】对A：棱长为3的正方体的体对角线长为：， 所以所求正方体的外接球表面积为：，故A正确； 对B：如图 连接 ，∵ ，所以 即为异面直线 与 所成的角，设为. 在中，， ，， 所以，所以，故B正确； 对C：如图： 取 中点 ，连接 ，过 点作，交 于点 ，则， 所以平面截正方体所得截面为梯形. 由，所以. 所以，，所以， 所以梯形不是等腰梯形，故C错误； 对D：如图： 设点 到平面的距离为 ，则， 而， ， 所以：，故D正确. 故选：ABD 11. 在无穷数列中，，则下列选项正确的是（ ） A. 若 ，，则对任意，都存在，使得 B. 若 （ ），，且对任意，都有 ，则 的最大值是 C. 若，，使得集合中有有限个元素 D. 若，当时，为递减数列，且存在常数，使得 恒成立 【答案】AC 【解析】 【分析】对于选项A，需要分析函数 的单调性，结合 的范围判断数列的变化趋势；对于选项 B ，根据递推关系和 的条件，通过不等式求解 的取值范围；对于选项 C D，结合反例可判断它们的正误. 【详解】对于选项A，已知 ，对其求导得 ，所以 在 上单调递增； 因为 ，则 ，由于 ，所以 ，那么 . 同理 ， 下证：当时， . 证明：当时，，故成立； 设当时，，则， 而 ， 故， 由数学归纳法可得， 因为时，，故， 故对任意 ，都存在 ，使得 ，故A正确. 对于选项B，已知 ． 因为对任意 ，都有 ，所以 ，解得 ， 又 ，即 ， 当 时， ，不满足对任意 ， 所以 的最大值不可能为 ，故选项B错误. 对于选项C，当 时， ， ， 以此类推，对任意 ，都存在 ，使得 ， 此时集合 有有限个元素，故选项C正确； 对于选项D，因为 ， 由于 ，故，所以 ， 这与为递减数列矛盾, 故选项D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线l： 与曲线和 都相切，则 _______. 【答案】## 【解析】 【分析】先分别设切点求导数得出切线斜率进而得出切线方程，由题意对照直线方程分别求出即得. 【详解】设直线 与曲线的切点为 ， 由求导得，则切线方程为 依题意，其与直线为同一条直线， 故 ,解得; 设直线l： 与曲线 的切点为 由求导得 则切线方程为 ， 依题意，其与直线为同一条直线， 故, 由②解得， 代入①，可得. 所以 . 13. 甲、乙、丙、丁四位大学生计划到三个地方实习，每人选择一个地方且每个地方至少一人，则学生甲不去A的概率为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，先将四名大学生分成3组，即一组两人，另外两组各一人，再分配到3个地方得到总情况数，再分类讨论得到符合题意的情况数，最后结合古典概型公式即可得解. 【详解】先将四名大学生分成3组，有种方法， 再将分好的3组全排列，分配到3个地方，有种情况， 则每个地方至少分到一名大学生的方法数有种. 当甲单独一组不去A时，共有种情况， 当甲和其他人一组不去A时，共有种情况， 由古典概型概率公式得概率为. 14. 已知动直线与圆O：相切，与椭圆相交于不同的两点A，B，则原点到 的中垂线的最大距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出直线斜率不存在时，原点到 的中垂线的距离，斜率为0时与椭圆只有一个交点，直线斜率存在时，设其方程为，利用与圆相切，求出关系，直线方程与椭圆方程联立，求出 中点坐标，得到 的中垂线方程，进而求出原点到 中垂线的距离表达式，结合关系，即可求出结论. 【详解】当直线的斜率不存在时，直线为， 线段 的中垂线为 轴，原点到 轴的距离为0. 当直线的斜率存在时，设斜率为 ，依题意可设， 因为直线与圆相切，所以， 设，，联立， 得， 由，得，又因为，所以 ， 所以， 所以 的中点坐标为， 所以 的中垂线方程为， 化简，得， 原点到 的中垂线的距离， 当且仅当，即时，等号成立， 所以原点到 的中垂线的最大距离为. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，在 中，， 为 延长线上的一点，， ． （1）若，求 的长； （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理求出，结合三角形内角和及外角性质求出，最后在 中利用正弦定理求出 的长； （2）利用余弦定理求出 的长，进而求出，确定 的形状，然后根据面积公式求解. 【小问1详解】 在中，根据正弦定理可得， 即， 由为钝角，得为锐角，所以， 所以， 所以 ． 【小问2详解】 因为， 在中，由余弦定理得，， 解得，则， 则，在 中，， 所以 的面积为 16. 已知函数． （1）若的最大值为1，求的值； （2）若恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）求导分析函数单调性和极值点，进而建立关于的方程求解即可；（2）参变分离，构造函数，求导分析函数单调，进而结合二阶导数分析一阶导数单调性和零点，再求解最小值即可. 【小问1详解】 的定义域为， 令，得， 令，得；令，得， 在上单调递增，在上单调递减． 因为 ． 【小问2详解】 若恒成立， 即恒成立，即 即恒成立， 设， 则， 令， 则在上单调递增，易知， 即存在，使得， 即，则，两边取对数有，即， 即时，，此时单调递减， 时，，此时单调递增， 则， 所以，即的取值范围为． 17. 在 中，，，点D，E分别在边 ， 上，且，（），将 沿 折起，点 落在点的位置，连接，，得到如图所示的四棱锥，点 在线段上，且． （1） 若平面，求． （2）当四棱锥体积最大时，线段上是否存在点Q使得C，D，Q，F四点共面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）作直线 交于点 ，利用线面平行的性质可得 ，进而可求得的值． （2）利用体积公式求得，记，利用导数可求得体积的最大值，确定，法一：延长 交 于 ，连接交 于 ，设，利用向量的线性运算可求得的值；法二：建立空间直角坐标系，设，求得平面 的一个法向量，进而利用 可求得 ，进而可求得的值. 【小问1详解】 作直线交于点 ，因为，所以． 因为平面，面 ，面平面， 所以，所以四边形 为平行四边形，所以，所以． 【小问2详解】 因为 ，，，所以平面， 在 中，， ，所以， 又（ ），所以，所以， 因为，且 ，所以，所以， 因为四棱锥的体积 ， 记，，， 令，得，解得或（舍去）， 当时，；当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减， 则当时，四棱锥的体积最大，此时，，． 方法一： 如图，延长 交 于 ，连接交于 ， 设， 由解得， 则得，则， 即得 所以. 方法二： 如图，分别以 ，，所在直线为 ，， 轴建立空间直角坐标系. 则，，，，． 设，，，， 设平面法向量， 则，故可取， 由解得， 所以. 18. 已知抛物线 ： （ ）， 为坐标原点，直线 ： ， 经过该抛物线的焦点，且与抛物线交于 ， 两点， 为线段 中点．动直线 ： 在 轴上方． （1）求抛物线 的方程； （2）当线段 在直线 上方时，直线 等分三角形的面积，求 的值． （3）点 在直线 上的射影为点 ，是否存在 使得以点 为圆心且过点 的圆过定点，若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）利用抛物线标准方程的焦点坐标公式，结合直线恒过的定点与焦点重合，直接求解参p，得到抛物线方程； （2）联立直线与抛物线方程，通过韦达定理得到交点坐标的整体关系，结合三角形面积公式及共线线段的纵坐标比例，将面积条件转化为t与交点纵坐标的等式，进而求出t； （3）用斜率参数k表示圆心、半径相关点的坐标，写出圆的标准方程，将方程整理为关于参数k的多项式形式，构造方程组得出定点坐标及t的值． 【小问1详解】 直线l： 经过点，由题意知，抛物线焦点即为， 所以 ， 故抛物线 方程为： ． 【小问2详解】 已知直线与抛物线交于 两点，设，，联立直线与抛物线方程得： ， ，， 记直线 分别与 ， 交于点E，F， 由三角形面积公式 ， 则，， 所以． 【小问3详解】 存在，， D为线段 中点，则 ， ， 故，点， 以点 为圆心且过点 的圆为， 即 ， 令， 所以存在，，使得以点 为圆心且过点 的圆过点． 19. 一个有限项数列，若满足：其中连续 项，，，是1，2，， 的一个排列，且 为使这个排列在数列中的连续 项的最小的 ，则称为这个排列的 阶“明月项”；若对于1，2，， 的任一排列，在中都能找到相应的“明月项”，则称这个数列为 阶“明月数列”；如：数列：1，2，3，1，1，2，3，1中排列2，3，1的3阶“明月项”为． （1）写出1，2，3，1，3，2，1，3的全部3阶“明月项”，并判断这个数列是否是3阶“明月数列”； （2）证明：任意有限项数列不存在连续项都是 阶“明月项”； （3）求4阶“明月数列”项数的最小值． 【答案】（1），，，，是全部的3阶“明月项”，不是3阶“明月数列” （2）假设中，，…，都是 阶“明月项”， 注意到，，…，与，，…，都是1，2，…， 的一个排列， 此时必有. 同理对于，有， 于是，，…，与，，…，是1，2，…， 的同一个排列， 此时不是 阶“明月项”，矛盾. 因此中，不存在连续项都是 阶“明月项”. （3）33 【解析】 【分析】（1）根据题干的材料描述及新定义分析判断即可； （2）应用反证思想，假设中，，…，都是 阶“明月项”，得到、，进而得到矛盾即可证； （3）分析知4阶“明月数列”至少有27项，结合（2）的结论得4阶“明月数列”至少有项，再应用反证法否定项的情况，即可得. 【小问1详解】 ，，，，是全部的3阶“明月项”， 数列的连续3项中不存在排列3，1，2，因此不是3阶“明月数列”． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由定义知4阶“明月数列”至少有个4阶“明月项”，且最后3项显然均不是4阶“明月项”， 因此4阶“明月数列”至少有27项， 由（2）的结论，至少有27项的有限数列不存在连续5项都是4阶“明月项”， 同时易知至少有5个非4阶“明月项”才能将24个4阶“明月项”分成无连续5项相邻的几个部分， 且这5个非4阶“明月项”后面都存在4阶“明月项”， 因此4阶“明月数列”至少有项， 综上，4阶“明月数列”至少有32项， 下面证明32项的情况不成立． 若存在32项的4阶“明月数列”，则只能有5个非4阶“明月项”， 将24个4阶“明月项”分割成6个部分，其中每个部分都不能超过4项，那必定都只能恰为4项， 于是数列的第1、2、3、4、6、7、8、9、11、12、13、14、16、17、18、19、21、22、 23、24、26、27、28、29项必定是4阶“明月项”，且其中只存在4种不同的取值． 同（2）的讨论， 我们有，不妨设它们等于1； ，不妨设它们等于2； ，，不妨设它们等于3； ，，，不妨设等于4． 注意到与都是4阶“明月项”， 若，则只能， 于是，，，与，，，是同一排列，矛盾， 故只能，． 同（2）继续讨论，有，（否则不是4阶“明月项”）， ，，，； 在前，排列1，2，3，4与排列1，2，4，3均已正序存在， 因此，，，必定是此前已正序存在的排列，不是4阶“明月项”，矛盾． 因此不存在32项的4阶“明月数列”． 另一方面，可验证1，2，3，4，1，2，3，1，4，2，3，1，2，4，3，1，2，1，3，4，2，1，3， 2，4，1，3，2，1，4，3，2，1是33项的4阶“明月数列”， 因此4阶“明月数列”的项数最小值为33． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $