专题08 矩形【考点梳理+重点题型+分层强化】 2025-2026学年人教版八年级数学下册

专题08 矩形 （重难点题型专训） 【知识考点 矩形】 1.矩形的定义 （1）定义：有一个角是直角的平行四边形叫作矩形. 矩形是特殊的平行四边形． （2）矩形必须具备两个条件： ① 它是一个平行四边形； ② 它有一个角是直角，这两个条件缺一不可. （3）矩形一定是平行四边形，但是平行四边形不一定是矩形. （4）矩形的定义既可以作为矩形的性质运用，又可作为矩形的判定运用. （5）矩形的面积 = 长×宽，矩形的面积=被对角线分成的四个面积相等的小三角形（等腰三角形）面积之和. 2.矩形的性质 图示 性质 数学语言描述 边 对边平行 AB∥CD，AD∥BC 对边相等 角 四个角都是直角 对角线 对角线相等且互相平分 ， 对称性 轴对称图形，每组对边中点连线所在的直线就是它的对称轴，共有两条 中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点 利用矩形的性质可以推出：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 3.矩形的判定 （1）方法一：有一个角是直角的平行四边形是矩形（定义）； 几何语言：∵ 四边形ABCD是平行四边形，且∠A=90°(或∠B=90°或∠C=90°或∠D=90°)， ∴ 四边形ABCD是矩形. （2）方法二：对角线相等的平行四边形是矩形； 几何语言：∵ 四边形ABCD是平行四边形，且AC=BD， ∴ 四边形ABCD是矩形. （3）方法三：有三个角是直角的四边形是矩形； 几何语言：∵ ∠A=∠B=∠C=90°, ∴ 四边形ABCD是矩形. 思路总结：判定一个四边形是矩形要分两种情况：一是在平行四边形的基础上判定矩形，只要证出有一个角是直角或对角线相等即可；二是在四边形的基础上判定矩形，可以直接证出三个角是直角或先证出四边形是平行四边形，再进一步证明有一个角是直角或对角线相等. 【重难点常考题型概览】 【题型01】利用矩形的性质求角度 【题型02】利用矩形的性质求线段长 【题型03】利用矩形的性质求面积 【题型04】利用矩形的性质求坐标 【题型05】利用矩形的性质证明 【题型06】添加一条件使四边形是矩形 【题型07】证明四边形是矩形 【题型08】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 【题型09】根据矩形的性质与判定综合求值 【题型10】根据矩形的性质与判定求值证明 【题型11】矩形中的折叠问题 【题型12】矩形中的动点问题 【题型13】矩形中的存在性问题 【题型14】矩形中的最值问题 【特训01】拓展培优强化 【特训02】直通中考真题 【题型01】利用矩形的性质求角度 【例1】（2024-2025八年级下·山东临沂·期末）如图，四边形是矩形，对角线相交于点O，过点O作的垂线交于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查矩形的性质，等边对等角，根据矩形的性质，得到，等边对等角求出的度数，对顶角结合角的和差关系求出的度数即可． 【解答】解：∵四边形是矩形，对角线相交于点O， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选D． 【变式1-1】（2024-2025八年级下·河南南阳·期末）已知，如图，O是矩形对角线的交点，平分，则的度数为 ． 【答案】30° 【分析】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及角平分线的性质，解题的关键是利用矩形的性质和等边三角形的判定与性质来求解角度． 先根据矩形性质得出相关角和边的关系，再结合角平分线性质推出三角形的特殊性质，最后计算出的度数． 【解答】解：四边形是矩形，， ， 是等边三角形， ， 平分， ， ， ， ． 【变式1-2】（2024-2025八年级下·湖北鄂州·期末）如图，延长矩形的边至点，使，连接．若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，掌握其性质是解题的关键． 连接，交于点，根据矩形的性质易得到，，再利用得到，最后由等腰三角形的性质求解． 【解答】解：连接，交于点， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴，． ∵， ∴． 又∵， ∴，, ∴． ∵，， ∴， ． 故答案为：． 【变式1-3】（2025-2026八年级下·全国·周测）如图，在矩形ABCD中，点E在AD边上，且EC平分．若，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线与矩形的性质，利用角平分线的性质、正确地作出辅助线是解决本题的关键． 过点作交于点，先证明，求得，再证明为等腰直角三角形，求出，最终求得． 【解答】解：过点作交于点，如图． ∵四边形是矩形， ． 平分， ． 在和中， ， ，． 在中，， 为等腰直角三角形， ， ， ． 【题型02】利用矩形的性质求线段长 【例2】（2024-2025八年级下·广东江门·月考）如图，矩形的对角线相交于点O，的周长为9，，求的长． 【答案】． 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理．先求得，根据三角形的周长公式求得，再利用勾股定理即可求解． 【解答】解：∵四边形是矩形，且， ∴，， ∵的周长为9， ∴， ∴， ∴． 【变式2-1】（2024-2025八年级下·福建三明·期中）如图，在矩形中，对角线相交于点O．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识点，证得是等边三角形是解答本题的关键． 先根据矩形的性质先求出，再根据等边三角形的判定证得是等边三角形，进而求得，最后根据勾股定理解答即可． 【解答】解：， ， 四边形是矩形， ，，， 是等边三角形， ， ， 四边形是矩形， ， 由勾股定理． 故答案为：． 【变式2-2】（2024-2025八年级下·云南丽江·期末）如图，在矩形中，对角线相交于点，于点．若，则的长为 ． 【答案】8 【分析】根据矩形和线段垂直平分线的性质得到，则是等边三角形，然后求出，再由角直角三角形的性质求解即可． 【解答】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 【点评】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，角直角三角形的性质，求出是解题的关键． 【变式2-3】（2024-2025八年级下·浙江杭州·期中）如图，在矩形中，，，点E在对角线 上（不与点A，C重合），连接．若，则的长为 ． 【答案】11 【分析】连接交于O，作于点F，由矩形的性质和勾股定理，，利用三角形等面积运算求得，利用勾股定理求得，根据三角形的外角性质和等腰三角形的判定与性质性质求得，进而可求解． 【解答】解：如图所示，连接交于O，作于点F， ∵在矩形中，，，， ，则， ， 由得， ∴， ∵， ∴， ∴，又， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：11． 【点评】本题主要考查了矩形的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，构造直角三角形是解此题的关键． 【题型03】利用矩形的性质求面积 【例3】（2024-2025八年级下·江苏泰州·月考）如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交、于点、，连接、．若图中阴影部分的面积为8，则的值为（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，由矩形的性质可证明，根据三角形的面积公式即可求解． 【解答】解：作于，交于． 则有四边形，四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形， ，，，，， ∴， ， ∵， ∴，即， ∴． 故选：B． 【变式3-1】（2024-2025八年级下·陕西商洛·期末）如图，点为矩形的边上一点，连接、，对角线交于点，若与的面积均为4，则的面积为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题关键．根据矩形的性质可得，，则可得，由此即可得． 【解答】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵点为矩形的边上一点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵与的面积均为4， ∴， 故答案为：8． 【变式3-2】（2024-2025八年级下·北京海淀·月考）如图，过矩形对角线的交点O，且分别交、于E、F，那么阴影部分的面积是矩形的面积的 ．    【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质及全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过全等转化阴影部分面积，结合矩形对角线分面积的性质求解． 利用矩形对角线互相平分及对边平行可证，则，于是将阴影部分面积转化为的面积；矩形对角线分矩形为四个等积三角形，面积为矩形的，而阴影面积等于面积，故得结果． 【解答】解：∵四边形是矩形， ∴（对角线互相平分且相等），． ∴． ∴ ∴． ∴阴影部分面积 ∵矩形对角线互相平分，将矩形分为四个面积相等的三角形，则， ∴阴影面积是矩形面积的． 故答案为：． 【变式3-3】（2024-2025八年级下·福建福州·期末）如图，在矩形中，对角线，相交于点，过点的直线分别交，边于点，，若，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了矩形的性质，勾股定理以及全等三角形的判定和性质，首先根据题意得出矩形的面积，然后结合矩形的性质证明，得、的面积相等，从而将阴影部分的面积转化为的面积． 【解答】解：∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴ ∴， 在中， ∴ ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 又∵， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型04】利用矩形的性质求坐标 【例4】（2024-2025八年级下·山东济南·期末）如图，在直角坐标系中，矩形的对角线轴，若，，与的交点为E，则C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】不妨设，，利用中点坐标公式，建立等式，根据矩形的对角线相等，利用两点间距离公式建立新等式，解答即可． 本题考查了坐标的特点，中点坐标公式，两点间距离公式，矩形的性质，熟练掌握公式和性质是解题的关键． 【解答】解：由轴，，， 不妨设，， 由矩形， 故点E是与的中点，且， 故，或， 同一点的坐标是相同的， 故， 故， 故 故， 解得， 故， 故选：A． 【变式4-1】（2024-2025八年级下·新疆哈密·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，轴，已知点，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质和点的坐标，熟练掌握矩形的性质是解题关键． 先由矩形的性质得出线段的长，再结合点的坐标即可求解． 【解答】解：∵四边形是矩形， ， ， ， ∴点的坐标为， 故答案为：． 【变式4-2】（2022-2023八年级下·重庆江津·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，，点在轴上，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】由两点距离公式可求的长，由矩形的性质可求，即可求解． 【解答】解：连接， 点，， ， 四边形是矩形， ， 点的坐标为， 故答案为：． 【点评】本题考查了矩形的性质，坐标与图形的性质，掌握矩形的对角线相等是解题的关键． 【变式4-3】（2022-2023八年级下·安徽黄山·期末）如图，四边形是矩形，其中点和点分别在轴和轴上，连接，点的坐标为，的平分线与轴相交于点，则点的坐标为 ．    【答案】 【分析】利用勾股定理求出，作于点E，如图，根据角平分线的性质可得，证明，推出，得到，设，利用勾股定理构建方程求解即可． 【解答】解：∵四边形是矩形，点的坐标为， ∴， ∴， 作于点E，如图， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在直角三角形中，根据勾股定理可得：， 即，解得， ∴点的坐标为； 故答案为：．    【点评】本题考查了矩形的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，熟练掌握相关图形的性质定理、构建方程是解题的关键． 【题型05】利用矩形的性质证明 【例5】（2024-2025八年级下·江苏徐州·期中）如图，四边形是矩形，点在边上，平分且，，垂足为点，连接，． (1)求证：； (2)求证：垂直且平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由矩形的性质可得出，，得出，由等腰三角形的性质即可得出； （2）证明，由全等三角形的性质可得出，由线段垂直平分线的性质可得出结论． 【解答】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴D在的垂直平分线， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点F在的垂直平分线， ∴垂直且平分. 【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，矩形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 【变式5-1】（2023-2024八年级下·福建厦门·期末）如图，在矩形中，点E，F在上，若．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，由矩形的性质可得，据此利用证明，即可证明． 【解答】证明：∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【变式5-2】（2024-2025八年级下·山东烟台·期中）如图，矩形的对角线，相交于点，点，在上，且． (1)求证：； (2)若，求的长 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据矩形的性质得到，，得到，根据，得到，证明，即可得出结论； （2）过点A作，垂足为，四边形是矩形，由勾股定理得，进而得到，再根据三角形面积公式求出，由勾股定理得，进而得到，在求出 ，即可解答． 【解答】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：过点A作，垂足为， ∵四边形是矩形， ∴，， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∵ 即  ， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴，    ∵， ∴， ∴ ， ∴ ． 【点评】本题考查了矩形性质，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的运用，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 【变式5-3】（2025-2026八年级下·全国·课后作业）如图，点、点分别为矩形的边、延长线上的点，且，连接、、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，．求证：平分． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【分析】（1）根据平行四边形的判定，证明且即可； （2）由矩形的性质，利用勾股定理求出，进而得到，则，再结合平行四边形性质即可得到． 【解答】（1）证明：∵四边形是矩形， ，， ， ， 又， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是矩形， ， ， ，， ∴由勾股定理，得， ∵四边形为平行四边形， ，， ， ， ， ， ， 即平分． 【题型06】添加一条件使四边形是矩形 【例6】（2024-2025八年级下·湖北宜昌·期末）如图，的对角线，交于点，下列条件中，不能判定是矩形的条件是（   ） A． B． C． D．是等边三角形 【答案】B 【分析】此题主要考查了矩形的判定，关键是熟练掌握矩形的判定定理． 根据矩形的判定定理：有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形分别进行分析即可． 【解答】解：A、∵，∴，∴是矩形，故此选项不符合题意； B、∵，∴是菱形，不能判定是矩形，故此选项符合题意； C、∵，∴是矩形，故此选项不符合题意； D、∵是等边三角形，∴，∵，∴，，∴，∴是矩形，故此选项不符合题意； 故选：B． 【变式6-1】（2025-2026八年级下·全国·专题练习）如图，下列条件中，能够判定平行四边形为矩形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定，由矩形的判定定理分别对各个选项进行判断即可，掌握矩形的判定方法是解题的关键． 【解答】解：四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形，原选项符合题意； 故选：． 【变式6-2】（2024-2025八年级下·云南红河·期中）如图，在中，对角线，相交于点O，添加下列一个条件后，不能使成为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形和菱形的判定，熟练掌握矩形和菱形的判定是解题的关键；根据矩形和菱形的判定逐项判断即可． 【解答】解：、四边形是平行四边形，， 是矩形， 故本选项不符合题意； 、四边形是平行四边形，， 是矩形， 故本选项不符合题意； 、四边形是平行四边形，， 是菱形， 故本选项符合题意； 、， 是直角三角形， ， 四边形是平行四边形， 是矩形， 故本选项不符合题意； 故选：． 【变式6-3】（2025-2026八年级下·全国·周测）如图，在中，，是上的两点，，连接，，，．为使得四边形是矩形，可以添加的一个条件 是 （写出一种情况即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键． 由平行四边形的性质可知，，，再证，则四边形是平行四边形，添加，由矩形的判定可得出结论． 【解答】解：添加的一个条件是：． 理由如下：∵四边形是平行四边形， ，， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形，添加的条件符合要求． 故答案为：（答案不唯一）． 【题型07】证明四边形是矩形 【例7】（2024-2025八年级下·四川南充·期末）如图，点M在平行四边形的边上，，请从以下两个选项，①，②，选择一个作为已知条件，使得平行四边形为矩形． (1)你添加的条件是_________．（填序号）． (2)添加条件后，请证明平行四边形为矩形． 【答案】(1)① (2)证明见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质、矩形的判定，熟练掌握矩形的判定方法是解题关键． （1）根据等腰三角形的性质可得，再根据平行四边形的性质可得，根据平行线的性质可得，，则可得，即根据已知条件可推导出条件②，由此即可得添加的条件是①； （2）先根据等腰三角形的性质可得，再根据平行四边形的性质可得，根据平行线的性质可得，则可得，然后根据矩形的判定即可得证． 【解答】（1）解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴，即根据已知条件可推导出条件②， ∴添加的条件是①， 故答案为：①． （2）证明：添加条件①后， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 又∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形为矩形． 【变式7-1】（2024-2025八年级下·内蒙古乌海·月考）如图，点A是直线上一点，分别是和的平分线，于点B，于点D，求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，矩形的判定，掌握矩形的判定是解题的关键．由和互为邻补角，且分别是和的平分线，可得，再结合及即可得证． 【解答】证明：∵和互为邻补角， ∴； ∵分别是和的平分线， ∴， ∴， 即； ∵，， ∴， ∴四边形是矩形． 【变式7-2】（2025-2026八年级下·全国·课后作业）如图，在平行四边形中，，，延长至点，使．连接，交于点，连接，，．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查矩形的判定、平行四边形的性质及判定、等腰三角形的判定等，先证明四边形是平行四边形，利用，，求得，即可证明结论． 【解答】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，． ∵， ∴． ∴四边形是平行四边形． ∴，． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴四边形是矩形． 【变式7-3】（2024-2025八年级下·浙江杭州·期中）如图，在平行四边形中，平分，交于点E，平分，交于点F． (1)求证：． (2)若，求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了矩形的判定，平行四边形的性质与判定，三线合一定理，全等三角形的性质与判定，角平分线的定义等等，熟知矩形的判定定理，平行四边形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由平行四边形对边平行且相等可证明，，，再由角平分线的定义可证明，据此利用即可证明； （2）由全等三角形的性质得到，再证明，进而可证明四边形是平行四边形，再由三线合一定理证明，即可证明四边形是矩形． 【解答】（1）证明：四边形是平行四边形， ，，， ， ， 同理可得， ∵平分，平分， ，， ， ∴； （2）证明：∵， ∴， 四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，平分， ∴， ∴四边形是矩形． 【题型08】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 【例8】（2024-2025八年级下·广东汕头·期中）如图，在矩形中，点在边上，点F在边上，且，连接交对角线于点，，连接，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的运用，掌握矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 根据矩形的性质，勾股定理可得，可证，得到，则点是线段的中点，由直角三角形斜边中线等于斜边一半得到，设，则，在中，由勾股定理得到，则，根据题意可得是等腰三角形，，由勾股定理得到，由，即可求解． 【解答】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点是线段的中点， 如图所示，连接， ∴， 设，则， ∵， ∴， 在中，， ∴，即， 解得，， ∴，则， ∵， ∴是等腰三角形，， 在中，， ∴， 故答案为： ． 【变式8-1】（2024-2025八年级下·河北秦皇岛·期中）如图，一根木杆斜靠在竖直的墙上，，木杆的顶端沿墙面下滑至位置，此时，，分别是斜边，上的中线，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，根据直角三角形斜边中线的性质，，则有，，再通过角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【解答】解：∵，分别是斜边，上的中线， ∴，， ∴，， ∵， ∴． 故答案为： 【变式8-2】（2024-2025八年级下·福建福州·期中）如图，在中，于点D，，是的中线，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定．先证明可得到的长，再由勾股定理求出的长，进而由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到答案． 【解答】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的中线， ∴， 即的长为5． 故答案为：5． 【变式8-3】（2025-2026八年级上·上海浦东新·期末）如图，在四边形中，，对角线与相交于点O，M是边中点，N是边上一点，且． (1)求证：N是边的中点； (2)当，，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长是． 【分析】本题考查了直角三角形斜边上中线的性质，等腰三角形的性质，含30度角直角三角形的性质等知识． （1）连接．由直角三角形斜边上中线的性质可得，由等腰三角形的性质即可证明结果； （2）由及可得，再由得，在中由含30度角直角三角形的性质结合勾股定理即可求得的长． 【解答】（1）证明：如图，连接． ，点M、点N分别是边、的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴N是边的中点； （2）解：，， ， ， ， ， ，， ， 在中，， ∴， ∴， ∴， 答：的长是． 【题型09】根据矩形的性质与判定综合求值 【例9】（2024-2025八年级下·甘肃兰州·期末）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点O，且，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质． 证明平行四边形是矩形，得到，进而计算即可． 【解答】解：∵在平行四边形中，， ∴平行四边形是矩形， ∴ ∵， ∴． 【变式9-1】（2024-2025八年级下·全国·单元测试）如图所示，在四边形中，，点在边上，且，则的值为（  ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的判定和性质，勾股定理； 过A作于F，可得四边形是矩形，设，，在中，利用勾股定理列式，整体求出即可． 【解答】解：过A作于F， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 设，， ∴，， ∵在中，， ∴， 整理得：， ∴， 故选：C． 【变式9-2】（2024-2025八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知：如图，四边形ADCB中，，，，则B，D两点之间的距离为 ． 【答案】 【分析】过A作延长线于F，过B作延长线于E，于H，证明四边形是矩形得到，；再证明、是等腰直角三角形求得，，；证明，推出，，在中，利用勾股定理求解即可． 【解答】解：过A作延长线于F，过B作延长线于E，于H， 则， ∴四边形是矩形， ∴，； ∵， ∴、是等腰直角三角形， ∴，，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加辅助线构造全等三角形和直角三角形是解答的关键． 【变式9-3】（2024-2025八年级下·安徽蚌埠·阶段练习）如图，和是两个全等的共斜边的直角三角形，，是的中点，连接，． （1）线段和的数量关系为 ； （2）分别过点，作于点，于点，连接，若，，则四边形的面积是 ． 【答案】 12 【分析】本题主要查了直角三角形斜边的性质，勾股定理，矩形的判定和性质． （1）根据直角三角形斜边的性质，即可求解； （2）过点M作于点N，由（1）得：，可得到，再由勾股定理可得的长，再证明四边形是矩形，即可求解． 【解答】解∶（1）∵，是的中点， ∴， ∴． 故答案为： （2）如图，过点M作于点N， 由（1）得：， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵和是两个全等的共斜边的直角三角形，，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴四边形的面积是． 故答案为：12 【题型10】根据矩形的性质与判定求值证明 【例10】（2024-2025八年级下·辽宁抚顺·期末）如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质等知识；正确的识别图形是解题的关键． （1）由平行四边形性质得到且，即可得到，可得是平行四边形，根据矩形的判定即可得到结论； （2）由矩形的性质得到，，进而求得，，由勾股定理可求得和，由平行四边形性质得，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵在平行四边形中， ∴且， ∵， ∴， 即． ∴且， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴， ∴是矩形； （2）解：由（1）知：四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴在中，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 【变式10-1】（2024-2025八年级下·江西宜春·期中）如图，在平行四边形中，过点D作于点E，，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)80 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握平行四边形对边平行且相等，有一个角是直角的平行四边形是矩形． （1）根据平行四边形的性质得出，，则，通过证明四边形是平行四边形，结合，即可求证； （2）根据题意推出，则，根据勾股定理得出，最后根据矩形的面积公式，即可解答． 【解答】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． （2）解：∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴矩形的面积是：． 【变式10-2】（2024-2025八年级下·江苏淮安·月考）已知中，点E为上一点，且，的延长线交于点F，连． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，M是的中点，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据两直线平行内错角相等和对顶角相等可证，再根据等角对等边可证结论成立； （2）连接，根据等腰直角三角形的性质和平行线的性质可证是等腰直角三角形，根据等腰三角形三线合一定理可证，证，根据全等三角形对应边相等、对应角相等可证是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可知． 【解答】（1）证明：∵中，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． （2）解：如图所示，连接． ∵， ∴． 又 ， ∴． ∴，． ∵点M是的中点， ∴． ∴． ∴，． 在和中，， ∴． ∴． ∴． ∴是等腰直角三角形． ∴． 【点评】本题考查了四边形与三角形综合．熟练掌握平行四边形性质，矩形判定和性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形，是解题的关键． 【变式10-3】（2024-2025八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知：点、、、在同一直线上，，，．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接、、、和，交于点，若，，在不添加任何辅助线的条件下，请直接写出图2中是面积3倍的所有三角形． 【答案】(1)见解析 (2)，，， 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，与三角形的高有关的计算： （1）证明，得到，进而求出即可； （2）证明四边形为矩形，根据同底三角形的面积比等于底边比，进行判断即可． 【解答】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴； 综上：满足条件的三角形有，，，． 【题型11】矩形中的折叠问题 【例11】（2024-2025八年级下·江苏盐城·期中）小明同学手中有一张矩形纸片，，，他进行了如下操作： 第一步，如图① ，将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕，将纸片展平． 第二步，如图② ，再一次折叠纸片，把沿折叠得到，交折痕于点E，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、折叠的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质，由折叠可得垂直平分，四边形为矩形，得出，，由折叠的性质结合平行线的性质可得，从而得出，再由勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【解答】解：∵将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕， ∴点与点关于直线对称， ∴垂直平分， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵把沿折叠得到，交折痕于点E， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即线段的长为， 故选：C． 【变式11-1】（2024-2025八年级下·广东广州·期中）如图，把矩形放入平面直角坐标系中，使，分别落在轴、轴上，连接，将矩形沿折叠，使点落在点的位置，与轴相交于点，若，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质以及坐标与图形，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，再利用勾股定理列出等式进行求解即可．根据矩形的性质和折叠的性质证明，设，则，利用勾股定理可得进行求解即可． 【解答】解：∵四边形是矩形， ，， ∵将纸片矩形沿折叠，使点B落在点D的位置， , , ， ∵点B的坐标为， ，， 设，则， 在中，， 解得， ∴点E的坐标为， 故选：C． 【变式11-2】（2024-2025八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知矩形纸片，，，将矩形纸片折叠，使B，D两点重合，折痕与矩形的一边交于点，则A，P两点间的距离为 cm． 【答案】3或 【分析】本题主要考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理．设折痕为，当点在上和点在上时，两种情况讨论，作交于，由折叠的性质可得：，，，，由勾股定理分别求即可得到答案． 【解答】解：如图，设折痕为，当点在上时，作交于， 四边形是矩形， ， 四边形是矩形， ，， 由折叠的性质可得：，，，， 设，则， 在中，， 即， 解得：， ∴； 当点在上时， 同理 ， 设，则， 在中，， 即， 解得：， ， ， 综上，A，P两点间的距离为或． 故答案为：3或． 【变式11-3】（2024-2025八年级下·河南商丘·期中）综合与实践 折纸是一种艺术，其中也包含了高超的技术，数学折纸活动有益于开发智力，拓展思维，在折纸活动中体会数学知识的内涵，理解数学知识的应用，可以让我们感悟到严谨的数学之美，还可以研究图形的运动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧． 定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形．这样的矩形称为完美矩形． (1)操作发现： 如图①，将纸片按所示折叠成完美矩形，若的面积为12，，则此完美矩形的边长_____，面积为_____． (2)类比探究： 如图②，将平行四边形纸片按所示折叠成完美矩形，若平行四边形的面积为，，求完美矩形的周长． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据折叠的性质和三角形的面积公式分别求出矩形的长和宽，即可得到矩形的周长； （2）根据折叠的性质和三角形的面积公式分别求出矩形的长和宽，即可得到矩形的周长； 【解答】（1）解：由折叠可知，，，， ∴，点是中点， 过点作于点，交于点，如图①所示： ∵， ， ∴由折叠可知：， ∴， ∴完美矩形的面积为：； （2）解：由折叠可得：，，，， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的周长． 【点评】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，折叠的性质，矩形的性质等知识点，熟悉利用折叠的性质是解题的关键． 【题型12】矩形中的动点问题 【例12】（2024-2025八年级下·河南开封·期末）已知如图，在四边形中，，，，．动点P从点A出发，以的速度向点D运动；动点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动． (1)从运动开始，运动几秒时，四边形是平行四边形； (2)从运动开始，运动几秒时，四边形是矩形． 【答案】(1)从运动开始，运动6秒时，四边形是平行四边形 (2)从运动开始，运动6.5秒时，四边形是矩形 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，解题的关键是掌握并灵活运用平行四边形的性质． （1）设经过，，根据平行四边形的性质进行解答即可得； （2）当时，四边形是矩形．建立方程求解即可． 【解答】（1）解：设运动秒，由已知得，， ， ，当时，四边形是平行四边形． ，解得， 答：从运动开始，运动6秒时，四边形是平行四边形． （2）解： ，，当时，四边形是矩形． ， 解得． 即从运动开始，运动6.5秒时，四边形是矩形． 【变式12-1】（2024-2025八年级下·江西赣州·期中）如图，在矩形中，，点E是边上一动点，点F是上一动点，且，点G是边上一动点，连接，当是等腰直角三角形时，的长是 ． 【答案】或2或 【分析】此题考查的是等腰直角三角形的性质、矩形的性质和全等三角形的判定及性质． 设，则，根据等腰三角形腰的情况分类讨论，分别画出对应的图形，利用矩形的性质和全等三角形的判定及性质分别列出方程即可求出结论． 【解答】解：设，则， ①若中，，时，如下图所示 ∵四边形为矩形， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 解得： 即； ②若中，，时，如下图所示，过点G作于M 则，， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ 解得： 即； ③若中，，时，如下图所示，过点F作于H 易知：，，， ∴， ∴ ∴ ∴， ∵ ∴ 解得： 即； 综上：的长为或2或 故答案为：或2或． 【变式12-2】（2024-2025八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，动点以每秒2个单位长度的速度从点出发沿方向运动，点同时以每秒2个单位长度的速度从点出发沿方向运动，若，则经过 秒时，四边形是矩形． 【答案】或 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定，熟练掌握矩形的判定是解题关键．设经过秒时，四边形是矩形，先根据平行四边形的性质可得，，再分两种情况：①和②，证出四边形是平行四边形，根据矩形的判定可得要使平行四边形是矩形，则需，即，由此即可得． 【解答】解：设经过秒时，四边形是矩形， 由题意得：， ∵， ∴点从点运动到点所需时间为秒；当点相遇时，， 解得，此时，点在点相遇， ∵四边形是平行四边形，， ∴． ①如图1，在点相遇前，即， ∴，即， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 要使平行四边形是矩形，则需，即， ∴， 解得，符合题设； ②如图2，在点相遇后，即， ∴，即， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 要使平行四边形是矩形，则需，即， ∴， 解得，符合题设； 综上，经过或秒时，四边形是矩形， 故答案为：或． 【变式12-3】（2024-2025八年级上·山东青岛·期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点C，B，D的坐标分别是，，．点M从点A出发，沿方向在线段上匀速运动，速度为每秒1个单位长度；同时，点N从点C出发，沿方向在x轴上匀速运动，速度为每秒2个单位长度．设运动时间为． (1)请直接写出A点的坐标； (2)当时，求t的值； (3)若以点A，D，M，N为顶点的四边形的面积是10，求点M的坐标． 【答案】(1) (2)2 (3)或 【分析】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，坐标与图形，四边形的面积，解题的关键是理解题意，学会利用分类讨论的思想解决问题． （1）直接根据点B和D的坐标可得结论； （2）先得，，证明四边形是平行四边形，则，列方程可解答； （3）分两种情况：①当时，②当时，根据梯形的面积公式列方程可解答． 【解答】（1）解：∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， 当时，四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴； （3）解：分两种情况： ①当时，点N在边上，四边形是梯形， ∵， ∴点A，D，M，N为顶点的四边形的面积， ∴， ∴， ∴； ②当时，点N在的延长线上， ∴点A，D，M，N为顶点的四边形的面积， ∴， ∴， ∴， 综上，点M的坐标为或． 【题型13】矩形中的存在性问题 【例13】（2024-2025八年级上·贵州遵义·期中）如图，在四边形中，，，且，，，若动点P从A点出发，以每秒的速度沿线段向点D运动；动点Q从C点出发以每秒的速度沿向B点运动，当Q点到达B点时，动点同时停止运动，设点同时出发，并运动了t秒，回答下列问题： (1) cm； (2)当 秒时，四边形成为矩形． (3)当t为多少时，？ (4)是否存在t，使得是等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)18 (2)6 (3)4 (4)存在t，使得△是等腰三角形，此时t的值为秒或6秒或秒． 【分析】（1）作于E，则四边形为矩形．在中，已知的长，根据勾股定理可以计算的长度，根据即可求出的长度； （2）当时，四边形为矩形，根据列出关于t的方程，解方程即可； （3）当时，四边形是平行四边形可建立方程求解即可得出结论； （4）因为三边中，每两条边都有相等的可能，所以应考虑三种情况．结合路程=速度×时间求得其中的有关的边，运用等腰三角形的性质和解直角三角形的知识求解． 【解答】（1）如图，过D点作于E， ∵，， ∴ ， ∴四边形为矩形， ∴，， 在中， ∵，，， ∴， ∴； （2）根据题意得：，，则， ， ∵， ∴当时，四边形为矩形， 即，解得秒， 故当秒时，四边形为矩形； （3）根据题意得：，，则， ， 时，如图， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴秒； （4）是等腰三角形时，分三种情况讨论： ①当时，即， ∴； ②当时，， 即， ∴； ③如图，当时，则 ， ， 在 中， ， 即 ， 解得： ． 故存在t，使得是等腰三角形，此时t的值为秒或6秒或秒． 【点评】此题是四边形综合题，主要考查了直角梯形的性质、矩形的判定、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 【变式13-1】（2024-2025八年级下·浙江绍兴·期中）如图，在四边形中，，，，，．动点M从点B出发沿边以每秒1个单位的速度向终点C运动；同时动点N从点D出发，以每秒2个单位的速度沿射线运动，当点M到达终点时，点N也随之停止运动，设点M运动的时间为． (1)请求出的长； (2)是否存在t的值，使得四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (3)连接，，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出此时t的值． 【答案】(1) (2)存在， (3)， 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先过点作，证明四边形是矩形，得，运用度所对的直角边是斜边的一半，得，即可作答． （2）依题意，得，结合平行四边形的性质得，代入数值计算，即可作答． （3）先整理，结合是以为腰的等腰三角形，进行分类讨论，运用勾股定理列式计算，以及根据判别式的意义进行作答即可． 【解答】（1）解：过点作，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴ ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴ （2）解：存在，理由如下： 如图，连接， ∵动点M从点B出发沿边以每秒1个单位的速度向终点C运动；同时动点N从点D出发，以每秒2个单位的速度沿射线运动， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 解得； （3）解：连接，如图所示： 由（1）得， 由（2）得， 则， ∴， ∵是以为腰的等腰三角形， ∴当时，则， ∴， 则， 整理得， ， ∴当时，过点作， 同理证明四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵ 则， ∴， 整理得 ， 此时方程无解， 综上：满足题意的值为或． 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【变式13-2】（2024-2025八年级下·贵州·月考）如图，在矩形中，E是上的点，点F在对角线上，． (1)如图①，若点F为中点，连接，写一个与相等的角______； (2)如图②，若点E为中点，连接，若．判断线段与线段的关系，并说明理由； (3)若，是否存在点F，使得最小，若存在，画出点F的位置，并求其最小值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)（或） (2)且；理由见解析 (3)存在；画图见解析；最小值为3 【分析】（1）根据矩形的性质，得出，根据平行线的性质得出；根据直角三角形的性质得出，根据等腰三角形的性质得出； （2）根据平行线的性质得出，根据直角三角形的性质得出，，根据勾股定理得出，，根据，得出； （3）作点B关于的对称点，过点作于点E，交于点F，交于点G，根据轴对称可知，，，得出，根据两点之间线段最短，且垂线段最短，得出此时最小，即最小，再求出最小值即可． 【解答】（1）解：∵四边形为矩形， ∴，， ∴； ∵在中，点F为中点， ∴， ∴； ∴与相等的角为或； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∵点E为中点， ∴， ∴， ∴． （3）解：作点B关于的对称点，过点作于点E，交于点F，交于点G，如图所示： 根据轴对称可知：，，， ∴， ∵两点之间线段最短，且垂线段最短， ∴此时最小，即最小， ∵， ∴， ∵矩形中， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为3． 【点评】本题主要考查了矩形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，垂线段最短，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 【变式13-3】（2024-2025八年级下·辽宁抚顺·期末）综合与实践-操作探究 【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们探索以矩形为背景的折叠变化中的数学结论． 【操作探究】在矩形中，，，E是射线上一个动点，连接并延长交直线于点F，将沿直线折叠得到，延长交直线于点H． (1)如图1，当点E在线段上时，求证：； (2)如图2，当点E运动到点C位置时（此时点C，E，F重合），与交于点P，求的长； (3)在点E的运动过程中，是否存在的情况？若存在，直接写出的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)存在，或． 【分析】(1)由矩形的性质可得,由折叠的性质可得,进而可得,由等角对等边得. （2）结合矩形的性质和折叠的性质可得，根据证明，则可得．设，则，，在中，根据勾股定理列方程求出x的值即可得解． （3）分两种情况：①当E点在线段上时，由平行线的性质可得，由折叠的性质可得，进而可得，．设，则可得，，．在中，根据勾股定理列方程求得x的值为．②当E点在线段的延长线上时，同①可得，，．在中，根据勾股定理列方程求得x的值为． 【解答】（1）证明：∵矩形中，，F点在的延长线上． ∴， ∵将沿直线折叠得到， ∴， ∴， 即， ∴． （2）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵将沿直线折叠得到， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴． 设，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴． （3）解：①如图，当E点在线段上时， ∵， ∴， ∵将沿直线折叠得到， ∴， ∴， ∴． 设， ∵，， ∴，， ∴， 在中， ， ∴， 解得， ∴． ②如图，当E点在线段的延长线上时， ∵， ∴， ∵将沿直线折叠得到， ∴， ∴， ∴， 设， ∵，， ∴，， ∴， 在中， ，     ∴， 解得， ∴． 综上，点E的运动过程中，存在的情况， 的长度为或． 【点评】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定和性质以及勾股定理．熟练掌握以上知识，注意分类讨论是解题的关键． 【题型14】矩形中的最值问题 【例14】（2024-2025八年级上·江西宜春·期中）如图，在中，，，是的中点，直线l经过点且可绕点转动，，，垂足分别为，，则的最大值为（   ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，作于，交的延长线于，则四边形是矩形，得到，证明，得出，推出，则，从而得出当直线时，的值最大，为，即可得解． 【解答】解：如图，作于，交的延长线于， ， 则， ∴四边形是矩形， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴当直线时，的值最大，为，即， 故选：D． 【变式14-1】（2023-2024八年级下·吉林·期末）如图，在中，，，，点为斜边上一动点，过点作于点，于点，连接，则线段的最小值为(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理、矩形的判定与性质、垂线段最短等知识点，熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键．先根据勾股定理可得，连接，根据矩形的判定与性质可得，再根据垂线段最短可得当时，取得最小值，然后利用三角形的面积公式求解即可得． 【解答】解：，，， ， 如图，连接， ， 四边形是矩形， ， 由垂线段最短可知，当时，取得最小值， 此时， ， 即线段的最小值为， 故选：A． 【变式14-2】（2024-2025八年级下·湖北十堰·月考）如图，在矩形中，，，点P是对角线上一个动点（点P与点A，C不重合），过点P分别作于点E，交于点F，连接，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查矩形的判定与性质、平行线的性质、垂线段最短及勾股定理，得到的最小值为的长是解答的关键．如图，过点D作于，连接，，证明四边形是矩形得到，要使最小，只需最小，当时，最小，最小值为的长，利用三角形的等面积法求得即可求解． 【解答】解：如图，过点D作于，连接，， ∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 要使最小，只需最小，当时，最小，最小值为的长， ∵， ∴， 故的最小值为， 故答案为：． 【变式14-3】（2024-2025八年级下·陕西安康·期末）如图，在矩形中，，过对角线的中点作的垂线交于点，交于点，且，是上的动点，连接，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接，由四边形为矩形，则，，故有，然后证明，则，从而得垂直平分，得到，要使有最小值，则需三点共线，最后通过勾股定理即可求解． 【解答】解：如图，连接， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴要使有最小值，则需三点共线， 如图， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点评】本题考查了垂直平分线性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，平行线的性质，两点之间线段最短等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 【特训01】拓展培优强化 1．（2023-2024八年级下·河南新乡·月考）如图，在平面直角坐标系中，矩形的四个顶点坐标均已标出，那么的值为（   ） A． B． C．3 D．1 【答案】D 【分析】本题考查代数式求值，涉及矩形性质、中点坐标公式等知识，熟练掌握矩形性质及中点坐标公式是解决问题的关键．由矩形的对角线交于一点，且对角线相互平分，从而由中点坐标公式求出对角线交点的坐标，列方程求解即可得到的值，代入代数式求解即可得到答案． 【解答】解：如图所示： 由中点坐标公式可知中点的坐标为，即； 中点的坐标为，即； ， 解得， ， 故选：D． 2.（2024-2025八年级下·江苏淮安·期中）如图，在矩形中，，，E是边上一点，连接，沿翻折，得到，连接．当长度最小时，的面积是（   ） A． B． C． D．20 【答案】B 【分析】连接，如图，根据折叠的性质得到，，当点、、三点共线时，最小，此时的最小值，根据勾股定理得到，得到长度的最小值，设，则，根据勾股定理得到根据三角形的面积公式得到的面积是． 【解答】解：连接，如图， 沿翻折至， ， ，， ， 当点、、三点共线时，最小，此时的最小值， 四边形是矩形， ， ，， ， 长度的最小值， 设，则， ， ， ， ， 解得，， 的面积是， 故选：B． 【点评】本题考查翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，线段的最值问题．本题的综合性强，属于常见的中考压轴题．熟练掌握折叠的性质，勾股定理，是解题的关键． 3．（2024-2025八年级下·江苏扬州·月考）如图，点O是矩形的对称中心，点E、F分别是边、上的点，且，已知矩形的面积是20，那么图中阴影部分的面积为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是证明与全等转化阴影面积． 先由角边角的判定方法证明与全等，由全等的性质可知，，即可转化阴影部分面积为，再结合矩形的面积即可求解． 【解答】解：过点O作交于点H，如图， ∵点O是矩形的对称中心， ∴， 即为等腰三角形， ∴， ∵在矩形中， ， ∴， ∵， 在与中， ， ∴≌， ∴， ∴， ∵矩形的面积是20， ∴， ∴． 故答案为：5 ． 4．（2024-2025八年级下·吉林白山·期末）如图，在四边形中，，，，，．点P从点A出发，以秒的速度向点B运动；同时点Q从点C出发，以秒的速度向点D运动．规定其中一个动点到达终点时另一个动点也随之停止运动．设点Q运动的时间为t秒． (1)直接写出边的长为________cm； (2)当四边形是矩形时，求t的值； (3)在点Q运动过程中，当是等腰三角形时，求t的值； (4)在点P，Q运动过程中，当时，直接写出t的值． 【答案】(1)； (2)； (3)的值为或3或； (4)的值为4或6． 【分析】（1）过点B作于点H，证明四边形是矩形，求得，，再根据勾股定理求解即可； （2）根据列方程求解即可； （3）分，，三种情况讨论，分别列方程求解即可； （4）分和两种情况讨论，分别列方程求解即可． 【解答】（1）解：过点B作于点H， ，， ， 四边形是矩形， ，， ， 在中，． 故答案为：． （2）解：，，， 当四边形是矩形时，， ， 解得； （3）解：当时， ， ， ， ； 当时，； 当时，，， 在中，， ， 解得； 综上所述，当是等腰三角形时，t的值为3或或； （4）当时，如图， 四边形是平行四边形 此时， 由可列方程 解得； 当时，如图， 过点P作于点G， ， ， ， 四边形是矩形， ，，， 若，则， ， ， ， 解得； 综上所述，当时，t的值为4或6． 【点评】本题考查了矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，注意分情况讨论等腰三角形的三种情形是解题的关键． 5.（2024-2025八年级下·河南安阳·期末）如图1，在矩形中，，点在边上，且，动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度运动．作，交边或边于点，连接．当点与点重合时，点停止运动．设点的运动时间为秒． (1)当点和点重合时，求线段的长________； (2)如图2，当点在边上时，猜想的形状，并说明理由； (3)作点关于直线的对称点，当点运动到上，且点恰好也落在边上时，直接写出此时的值． 【答案】(1) (2)等腰直角三角形，见解析 (3) 【分析】（1）连接，求出，由勾股定理可得 ； （2）过点作 于点，推导出四边形是矩形推导出，证得，得到，进而得到是等腰直角三角形； （3）当点在上时，当，重合时符合题意， 由建立方程，解方程，即可求解． 【解答】（1）解：连接，如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， 当点和点重合时， ∴，， 在中，， 故答案为：； （2）解：是等腰直角三角形，理由如下： 如图，过点作于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； （3）解：当点在上时， ∵点关于直线的对称点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴当，重合时，当点恰好落在边上，如图， ∴，， 在中，， ∴， 解得． 【点评】本题主要考查了矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的定义，勾股定理，轴对称的性质等知识，分类讨论，分别画出图形，数形结合是解题的关键． 6．（2023-2024八年级下·湖南娄底·期末）“数形结合”是一种重要的数学思想，有着广泛的应用．例：求的最小值． 解题思路：如图，作线段，分别构造直角边为1，和，2的两个直角三角形，当点，，在一条直线上时，转化为两点之间线段最短，在中，由勾股定理，得，即，所以求得的最小值为5． 根据以上解题思路，解决以下问题： (1)求的最小值． (2)求（，，为正数，）的最小值． (3)如图，在矩形花园中，米，米，计划要铺设，两条小路，点在上．要使最小，设米．求最小值是多少？ 【答案】(1) (2) (3)米 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，求最短距离，掌握数形结合的思想，是解题的关键． （1）类比题干给出的方法，进行求解即可； （2）类比题干给出的方法，进行求解即可； （3）利用矩形的性质可得，再直接利用结论求解即可； 【解答】（1）解：如图：作线段，分别构造直角边为2，x和，3的两个直角三角形， ∴，， 当点A，D，E在一条直线上时，转化为两点之间线段最短，在中， 由勾股定理，得， 即， ∴的最小值为13． （2）解：如图，同法（1）可得：    ∴的最小值为：； （3）解：∵矩形， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理，得：， ∴ 由（2）中结论可得：的最小值为：米； 7．（2024-2025八年级下·江苏泰州·月考）如图，在矩形纸片中，E为边上的动点，F为边上的动点，连接． (1)若 ①如图①，点E与点D重合，点F与点B重合，将矩形纸片沿折叠，点A落在点G处，设与相交于H，求的长； ②如图②，将矩形纸片沿折叠，使点B与点D重合，求折痕的长； (2)如图③，点E为的中点，点F与点B重合，将矩形纸片沿折叠，点A落在点G处，且点G在矩形内部，延长交于点H，若，求的值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①由折叠性质和矩形的性质可得，设，根据即可求解； ②连接，过点E作，由折叠性质和矩形的性质可得，，设，根据勾股定理即可求解； （2）连接，设，，则，，由折叠性质和勾股定理可得，即可求解． 【解答】（1）解①：∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴； 设， ∵， ∴， ∵， 即， 解得：， ∴； ②如图，连接，过点E作， 由折叠可得：，， ∵， ∴， ∴， 由折叠可得：， ∴， 由①同理可求：， 设，则， ∵，解得：， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：连接 ∵，点E为的中点， 设，，则，，， ∴； 由折叠性质可得：，，， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴在矩形中，， ∴． 【点评】本题是矩形的折叠问题，考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，正确作辅助线是关键． 8．（2024-2025八年级下·山东济南·期末）（1）类比探究 将矩形绕点按顺时针方向旋转得到矩形，记旋转角为，连接，，两直线交于点P． ①如图1，当时，交于H，则线段与线段的数量关系为_____，线段与线段的数量关系为_____； ②如图2，当时，则①中线段与线段的数量关系是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由． （2）学以致用 如图3，在中，，，，将绕点B按顺时针方向旋转得到，记旋转角为，连接，，两直线交于点P，取中点M，中点N，连接，，在旋转过程中，当四边形的面积最大时，直接写出的值． 【答案】（1）①；；②依然成立，证明见解答； （2）或． 【分析】（1）①根据题意判定和为等腰直角三角形，然后通过证明即可得出结论； ②通过辅助线推出，然后根据证明结论； （2）根据（1）的结论得出点P为的中点，然后判定为菱形，当其为正方形时面积最大，然后判定当旋转角或时均符合题意，然后构造即可求解． 【解答】解：（1）①根据旋转的性质可知： ， ∴和为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴（）， ∴， 故答案为：；； ②如图，过点F作交于点Q， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理①可证：（）， ∴， 故依然成立； （2）根据（1）可知，点P为中点， ， ∴、为的中位线， ， ∵， ∴四边形是边长为的菱形， 设四边形底边上的高为h． 由于，故当时，四边形面积取最大值， 此时，四边形为正方形，分为旋转角或两种情况，如图： ①当时，作，H为垂足， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ②当时，四边形为正方形，作，为垂足， 同理可得四边形为矩形， ∴，， ∴ ∴， 故的值为或． 【点评】本题考查了矩形的性质，图形的旋转，全等三角形的判定和性质，勾股定理，中位线定理等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键． 【特训02】直通中考真题 1．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，在矩形中，，动点P从点A开始沿边以的速度向点B运动，动点H从点B开始沿边以的速度向点A运动，动点Q从点C开始沿边以的速度向点D运动．点P，点H和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另两点也随之停止运动．设动点的运动时间为，当时，t的值为（   ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，等腰三角形的性质．由题意得，，，求得，根据等腰三角形的性质得到，再利用，列式计算即可求解． 【解答】解：作于点，如图， ∵矩形， ∴四边形是矩形， ∴， 由题意得，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得， 故选：D． 2.（2025·河北·中考真题）如图，将矩形沿对角线折叠，点落在处，交于点．将沿折叠，点落在内的处，下列结论一定正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的折叠问题，三角形内角和定理以及三角形的外角的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键；结果矩形的性质的可得，，则，进而根据折叠的性质得出，，即可求解． 【解答】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∵折叠 ∴ ∴ ∵，即 ∴，故A不正确 ∵ ∴，故B不正确 ∵折叠， ∴ ∵，故C不正确，D选项正确 故选：D． 3．（2024·江苏南通·中考真题）如图，直线，矩形的顶点A在直线b上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形的性质，平行线的判定和性质，过点作，得到，推出，进行求解即可． 【解答】解：∵矩形， ∴， 过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选C． 4．（2023·甘肃兰州·中考真题）如图，在矩形中，点E为延长线上一点，F为的中点，以B为圆心，长为半径的圆弧过与的交点G，连接．若，，则（   ）    A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【答案】C 【分析】利用直角三角形斜边中线的性质求得，在中，利用勾股定理即可求解. 【解答】解：∵矩形中， ∴， ∵F为的中点，， ∴， 在中，， 故选：C. 【点评】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，掌握“直角三角形斜边中线的长等于斜边的一半”是解题的关键. 5.（2025·四川·中考真题）如图，在矩形中，对角线相交于点O，则的长为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记性质并判断是等边三角形是解题的关键． 根据矩形的对角线互相平分且相等，可知，然后由可得为等边三角形，然后可求得，进而即可求解 【解答】∵四边形为矩形， ∴，且， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴ 故答案为： 6．（2024·山东济南·中考真题）如图，在矩形纸片中，，为边的中点，点在边上，连接，将沿翻折，点的对应点为，连接．若，则______． 【答案】/ 【分析】如图：连接，延长交的延长线于H，根据折叠的性质及矩形的性质，证明，进而得到为直角三角形，设，则，证明为等腰三角形，求出，进而完成解答． 【解答】解：如图：连接，延长交的延长线于H， ∵矩形中，为边的中点，， ∴，， ∵将沿翻折，点的对应点为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴为直角三角形， 设，则， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定、勾股定理、折叠的性质等知识点，灵活运用相关性质定理是解题的关键． 7．（2024·山东威海·中考真题）将一张矩形纸片（四边形）按如图所示的方式对折，使点C落在上的点处，折痕为，点D落在点处，交于点E．若，，，则________． 【答案】 【分析】本题考查矩形的折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理，先根据勾股定理求出，然后证明，得到，，即可得到，，然后在中，利用解题即可． 【解答】解：在中，， 由折叠可得，， 又∵是矩形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， 设，则， 在中，，即， 解得：， 故答案为． 8．（2023·湖南湘西·中考真题）如图，在矩形中，点E在边上，点F是AE的中点，，则的长为__________．    【答案】 【分析】利用矩形的性质和勾股定理求出，进而求出，然后在中利用勾股定理求出，最后利用直角三角形斜边中线的性质即可求解． 【解答】解：在矩形中，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵点F是AE的中点， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题 9．（2023·陕西·中考真题）如图，在矩形中，，．点在边上，且，、分别是边、上的动点，且，是线段上的动点，连接，．若．则线段的长为___．    【答案】 【分析】由题意知是等腰直角三角形，作点关于的对称点，则在直线上，连接，，．即，，，所以此时、、三点共线且，点在的中点处，，可求出． 【解答】解：， 是等腰直角三角形， 作点关于的对称点，则在直线上，连接，如图：   ． ，即， 此时、、三点共线且，点在的中点处， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查矩形的性质和等腰直角三角形的性质，作出适当的辅助线是解题关键． 10.（2025·江苏淮安·中考真题）已知：如图，矩形． (1)尺规作图：在边上找一点E，将矩形沿折叠，使点C落在边上；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作图形中，若，，求的长． 【答案】(1)图见解析 (2) 【分析】本题考查矩形与折叠，尺规作图—作角平分线和线段，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）以为圆心，为半径画弧，交于点，作的角平分线，交于点，即为所求； （2）折叠的性质，得到，在中，勾股定理求出的长，进而求出的长，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【解答】（1）解：如图，即为所求； （2）∵四边形是矩形， ∴， ∵由折叠可得， 在中，由勾股定理，得：， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：， ∴． 11.（2025·江苏无锡·中考真题）如图，在矩形中，点在延长线上，点在延长线上，且，连接、． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质： （1） 结合矩形的性质，根据“边角边”证明； （2）根据全等三角形的对应边相等得，结合，可得． 【解答】（1）证明：四边形是矩形， ，， ， 在和中， ， ； （2）证明： ， ， 又 ， ， ． 12．（2024·贵州·中考真题）如图，四边形的对角线与相交于点O，，，有下列条件： ①，②．    (1)请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形是矩形； (2)在（1）的条件下，若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查矩形的判定，勾股定理，掌握矩形的判定定理是解题的关键． （1）先根据条件利用两组对边平行或一组对边平行且相等证明是平行四边形，然后根据矩形的定义得到结论即可； （2）利用勾股定理得到长，然后利用矩形的面积公式计算即可． 【解答】（1）选择①， 证明：∵，， ∴是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形； 选择②， 证明：∵，， ∴是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形； （2）解：∵， ∴， ∴矩形的面积为． 13.（2024·湖北恩施·中考真题）如图，在矩形中，点是的中点，将矩形沿所在的直线折叠，的对应点分别为，，连接交于点．      (1)若，求的度数； (2)连接EF，试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)的度数为 (2)矩形，理由见详解 【分析】（1）根据点是的中点，沿所在的直线折叠，可得是等腰三角形，根据三角形的外角的性质即可求解； （2）如图所示，连接，点是上的一点，根据矩形和折叠的性质可得四边形是平行四边形，如图所示，连接，，过点作于点，可证四边形是平行四边形，再根据折叠的性质得，由此即可求证． 【解答】（1）解：∵四边形是矩形，点是的中点， ∴， ∵沿所在的直线折叠，的对应点分别为，， ∴， ∴，则是等腰三角形， ∴， ∵，即， ∴， ∴的度数为． （2）解：如图所示，连接，点是上的一点，    ∵四边形是矩形， ∴，，即， ∵沿所在的直线折叠，的对应点分别为，， ∴，，是的角平分线， 由（1）可知，， ∴， ∴，且， ∴四边形是平行四边形，则，， 如图所示，连接，，过点作于点，      ∵点是的中点，， ∴点是线段的中点，则， ∴在中， ， ∴， ∴，， ∵沿所在的直线折叠，的对应点分别为，， ∴，，， 在中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形． 【点评】本题主要考查矩形的性质，矩形的判定，折叠的性质，全等三角形的判定和性质的综合，掌握矩形折叠的性质，全等三角形的判定和性质，图形结合分析是解题的关键． 14．（2023·湖南岳阳·中考真题）如图，点在的边上，，请从以下三个选项中①；②；③，选择一个合适的选项作为已知条件，使为矩形．    (1)你添加的条件是_________（填序号）； (2)添加条件后，请证明为矩形． 【答案】(1)答案不唯一，①或② (2)见解析 【分析】（1）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形进行选取； （2）通过证明可得，然后结合平行线的性质求得，从而得出为矩形． 【解答】（1）解：①或② （2）添加条件①，为矩形，理由如下： 在中，， 在和中 ， ∴ ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴为矩形； 添加条件②，为矩形，理由如下： 在中，， 在和中 ， ∴ ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴为矩形 【点评】本题考查矩形的判定，全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质和矩形的判定方法（有一个角是直角的平行四边形是矩形）是解题关键． 15．（2023·广西·中考真题）【探究与证明】 折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘． 【动手操作】如图1，将矩形纸片对折，使与重合，展平纸片，得到折痕；折叠纸片，使点B落在上，并使折痕经过点A，得到折痕，点B，E的对应点分别为，，展平纸片，连接，，．    请完成： (1)观察图1中，和，试猜想这三个角的大小关系； (2)证明（1）中的猜想； 【类比操作】如图2，N为矩形纸片的边上的一点，连接，在上取一点P，折叠纸片，使B，P两点重合，展平纸片，得到折痕；折叠纸片，使点B，P分别落在，上，得到折痕l，点B，P的对应点分别为，，展平纸片，连接，．    请完成： (3)证明是的一条三等分线． 【答案】(1) (2)见详解 (3)见详解 【分析】（1）根据题意可进行求解； （2）由折叠的性质可知，，然后可得，则有是等边三角形，进而问题可求证； （3）连接，根据等腰三角形性质证明，根据平行线的性质证明，证明，得出，即可证明． 【解答】（1）解：由题意可知； （2）证明：由折叠的性质可得：，，，， ∴，， ∴是等边三角形， ∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴； （3）证明：连接，如图所示： 由折叠的性质可知：，，， ∵折痕，， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的一条三等分线． 【点评】本题主要考查折叠的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质与判定及矩形的性质，三角形全等的判定和性质，作出辅助线，熟练掌握折叠的性质，证明，是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 矩形 （重难点题型专训） 【知识考点 矩形】 1.矩形的定义 （1）定义：有一个角是直角的平行四边形叫作矩形. 矩形是特殊的平行四边形． （2）矩形必须具备两个条件： ① 它是一个平行四边形； ② 它有一个角是直角，这两个条件缺一不可. （3）矩形一定是平行四边形，但是平行四边形不一定是矩形. （4）矩形的定义既可以作为矩形的性质运用，又可作为矩形的判定运用. （5）矩形的面积 = 长×宽，矩形的面积=被对角线分成的四个面积相等的小三角形（等腰三角形）面积之和. 2.矩形的性质 图示 性质 数学语言描述 边 对边平行 AB∥CD，AD∥BC 对边相等 角 四个角都是直角 对角线 对角线相等且互相平分 ， 对称性 轴对称图形，每组对边中点连线所在的直线就是它的对称轴，共有两条 中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点 利用矩形的性质可以推出：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 3.矩形的判定 （1）方法一：有一个角是直角的平行四边形是矩形（定义）； 几何语言：∵ 四边形ABCD是平行四边形，且∠A=90°(或∠B=90°或∠C=90°或∠D=90°)， ∴ 四边形ABCD是矩形. （2）方法二：对角线相等的平行四边形是矩形； 几何语言：∵ 四边形ABCD是平行四边形，且AC=BD， ∴ 四边形ABCD是矩形. （3）方法三：有三个角是直角的四边形是矩形； 几何语言：∵ ∠A=∠B=∠C=90°, ∴ 四边形ABCD是矩形. 思路总结：判定一个四边形是矩形要分两种情况：一是在平行四边形的基础上判定矩形，只要证出有一个角是直角或对角线相等即可；二是在四边形的基础上判定矩形，可以直接证出三个角是直角或先证出四边形是平行四边形，再进一步证明有一个角是直角或对角线相等. 【重难点常考题型概览】 【题型01】利用矩形的性质求角度 【题型02】利用矩形的性质求线段长 【题型03】利用矩形的性质求面积 【题型04】利用矩形的性质求坐标 【题型05】利用矩形的性质证明 【题型06】添加一条件使四边形是矩形 【题型07】证明四边形是矩形 【题型08】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 【题型09】根据矩形的性质与判定综合求值 【题型10】根据矩形的性质与判定求值证明 【题型11】矩形中的折叠问题 【题型12】矩形中的动点问题 【题型13】矩形中的存在性问题 【题型14】矩形中的最值问题 【特训01】拓展培优强化 【特训02】直通中考真题 【题型01】利用矩形的性质求角度 【例1】（2024-2025八年级下·山东临沂·期末）如图，四边形是矩形，对角线相交于点O，过点O作的垂线交于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2024-2025八年级下·河南南阳·期末）已知，如图，O是矩形对角线的交点，平分，则的度数为 ． 【变式1-2】（2024-2025八年级下·湖北鄂州·期末）如图，延长矩形的边至点，使，连接．若，则的度数是 ． 【变式1-3】（2025-2026八年级下·全国·周测）如图，在矩形ABCD中，点E在AD边上，且EC平分．若，，求的度数． 【题型02】利用矩形的性质求线段长 【例2】（2024-2025八年级下·广东江门·月考）如图，矩形的对角线相交于点O，的周长为9，，求的长． 【变式2-1】（2024-2025八年级下·福建三明·期中）如图，在矩形中，对角线相交于点O．若，则的长为 ． 【变式2-2】（2024-2025八年级下·云南丽江·期末）如图，在矩形中，对角线相交于点，于点．若，则的长为 ． 【变式2-3】（2024-2025八年级下·浙江杭州·期中）如图，在矩形中，，，点E在对角线 上（不与点A，C重合），连接．若，则的长为 ． 【题型03】利用矩形的性质求面积 【例3】（2024-2025八年级下·江苏泰州·月考）如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交、于点、，连接、．若图中阴影部分的面积为8，则的值为（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 【变式3-1】（2024-2025八年级下·陕西商洛·期末）如图，点为矩形的边上一点，连接、，对角线交于点，若与的面积均为4，则的面积为 ． 【变式3-2】（2024-2025八年级下·北京海淀·月考）如图，过矩形对角线的交点O，且分别交、于E、F，那么阴影部分的面积是矩形的面积的 ．    【变式3-3】（2024-2025八年级下·福建福州·期末）如图，在矩形中，对角线，相交于点，过点的直线分别交，边于点，，若，则图中阴影部分的面积为 ． 【题型04】利用矩形的性质求坐标 【例4】（2024-2025八年级下·山东济南·期末）如图，在直角坐标系中，矩形的对角线轴，若，，与的交点为E，则C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2024-2025八年级下·新疆哈密·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，轴，已知点，则点的坐标是 ． 【变式4-2】（2022-2023八年级下·重庆江津·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，，点在轴上，则点的坐标为 ． 【变式4-3】（2022-2023八年级下·安徽黄山·期末）如图，四边形是矩形，其中点和点分别在轴和轴上，连接，点的坐标为，的平分线与轴相交于点，则点的坐标为 ．    【题型05】利用矩形的性质证明 【例5】（2024-2025八年级下·江苏徐州·期中）如图，四边形是矩形，点在边上，平分且，，垂足为点，连接，． (1)求证：； (2)求证：垂直且平分． 【变式5-1】（2023-2024八年级下·福建厦门·期末）如图，在矩形中，点E，F在上，若．求证：． 【变式5-2】（2024-2025八年级下·山东烟台·期中）如图，矩形的对角线，相交于点，点，在上，且． (1)求证：； (2)若，求的长 【变式5-3】（2025-2026八年级下·全国·课后作业）如图，点、点分别为矩形的边、延长线上的点，且，连接、、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，．求证：平分． 【题型06】添加一条件使四边形是矩形 【例6】（2024-2025八年级下·湖北宜昌·期末）如图，的对角线，交于点，下列条件中，不能判定是矩形的条件是（   ） A． B． C． D．是等边三角形 【变式6-1】（2025-2026八年级下·全国·专题练习）如图，下列条件中，能够判定平行四边形为矩形的是（ ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2024-2025八年级下·云南红河·期中）如图，在中，对角线，相交于点O，添加下列一个条件后，不能使成为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2025-2026八年级下·全国·周测）如图，在中，，是上的两点，，连接，，，．为使得四边形是矩形，可以添加的一个条件 是 （写出一种情况即可）． 【题型07】证明四边形是矩形 【例7】（2024-2025八年级下·四川南充·期末）如图，点M在平行四边形的边上，，请从以下两个选项，①，②，选择一个作为已知条件，使得平行四边形为矩形． (1)你添加的条件是_________．（填序号）． (2)添加条件后，请证明平行四边形为矩形． 【变式7-1】（2024-2025八年级下·内蒙古乌海·月考）如图，点A是直线上一点，分别是和的平分线，于点B，于点D，求证：四边形是矩形． 【变式7-2】（2025-2026八年级下·全国·课后作业）如图，在平行四边形中，，，延长至点，使．连接，交于点，连接，，．求证：四边形是矩形． 【变式7-3】（2024-2025八年级下·浙江杭州·期中）如图，在平行四边形中，平分，交于点E，平分，交于点F． (1)求证：． (2)若，求证：四边形是矩形． 【题型08】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 【例8】（2024-2025八年级下·广东汕头·期中）如图，在矩形中，点在边上，点F在边上，且，连接交对角线于点，，连接，若，则的长为 ． 【变式8-1】（2024-2025八年级下·河北秦皇岛·期中）如图，一根木杆斜靠在竖直的墙上，，木杆的顶端沿墙面下滑至位置，此时，，分别是斜边，上的中线，则的度数为 ． 【变式8-2】（2024-2025八年级下·福建福州·期中）如图，在中，于点D，，是的中线，若，，则的长为 ． 【变式8-3】（2025-2026八年级上·上海浦东新·期末）如图，在四边形中，，对角线与相交于点O，M是边中点，N是边上一点，且． (1)求证：N是边的中点； (2)当，，时，求的长． 【题型09】根据矩形的性质与判定综合求值 【例9】（2024-2025八年级下·甘肃兰州·期末）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点O，且，，求的度数． 【变式9-1】（2024-2025八年级下·全国·单元测试）如图所示，在四边形中，，点在边上，且，则的值为（  ） A．1 B．2 C．4 D．8 【变式9-2】（2024-2025八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知：如图，四边形ADCB中，，，，则B，D两点之间的距离为 ． 【变式9-3】（2024-2025八年级下·安徽蚌埠·阶段练习）如图，和是两个全等的共斜边的直角三角形，，是的中点，连接，． （1）线段和的数量关系为 ； （2）分别过点，作于点，于点，连接，若，，则四边形的面积是 ． 【题型10】根据矩形的性质与判定求值证明 【例10】（2024-2025八年级下·辽宁抚顺·期末）如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，，求的长度． 【变式10-1】（2024-2025八年级下·江西宜春·期中）如图，在平行四边形中，过点D作于点E，，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，，，求四边形的面积． 【变式10-2】（2024-2025八年级下·江苏淮安·月考）已知中，点E为上一点，且，的延长线交于点F，连． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，M是的中点，求的度数． 【变式10-3】（2024-2025八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知：点、、、在同一直线上，，，．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接、、、和，交于点，若，，在不添加任何辅助线的条件下，请直接写出图2中是面积3倍的所有三角形． 【题型11】矩形中的折叠问题 【例11】（2024-2025八年级下·江苏盐城·期中）小明同学手中有一张矩形纸片，，，他进行了如下操作： 第一步，如图① ，将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕，将纸片展平． 第二步，如图② ，再一次折叠纸片，把沿折叠得到，交折痕于点E，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【变式11-1】（2024-2025八年级下·广东广州·期中）如图，把矩形放入平面直角坐标系中，使，分别落在轴、轴上，连接，将矩形沿折叠，使点落在点的位置，与轴相交于点，若，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式11-2】（2024-2025八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知矩形纸片，，，将矩形纸片折叠，使B，D两点重合，折痕与矩形的一边交于点，则A，P两点间的距离为 cm． 【变式11-3】（2024-2025八年级下·河南商丘·期中）综合与实践 折纸是一种艺术，其中也包含了高超的技术，数学折纸活动有益于开发智力，拓展思维，在折纸活动中体会数学知识的内涵，理解数学知识的应用，可以让我们感悟到严谨的数学之美，还可以研究图形的运动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧． 定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形．这样的矩形称为完美矩形． (1)操作发现： 如图①，将纸片按所示折叠成完美矩形，若的面积为12，，则此完美矩形的边长_____，面积为_____． (2)类比探究： 如图②，将平行四边形纸片按所示折叠成完美矩形，若平行四边形的面积为，，求完美矩形的周长． 【题型12】矩形中的动点问题 【例12】（2024-2025八年级下·河南开封·期末）已知如图，在四边形中，，，，．动点P从点A出发，以的速度向点D运动；动点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动． (1)从运动开始，运动几秒时，四边形是平行四边形； (2)从运动开始，运动几秒时，四边形是矩形． 【变式12-1】（2024-2025八年级下·江西赣州·期中）如图，在矩形中，，点E是边上一动点，点F是上一动点，且，点G是边上一动点，连接，当是等腰直角三角形时，的长是 ． 【变式12-2】（2024-2025八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，动点以每秒2个单位长度的速度从点出发沿方向运动，点同时以每秒2个单位长度的速度从点出发沿方向运动，若，则经过 秒时，四边形是矩形． 【变式12-3】（2024-2025八年级上·山东青岛·期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点C，B，D的坐标分别是，，．点M从点A出发，沿方向在线段上匀速运动，速度为每秒1个单位长度；同时，点N从点C出发，沿方向在x轴上匀速运动，速度为每秒2个单位长度．设运动时间为． (1)请直接写出A点的坐标； (2)当时，求t的值； (3)若以点A，D，M，N为顶点的四边形的面积是10，求点M的坐标． 【题型13】矩形中的存在性问题 【例13】（2024-2025八年级上·贵州遵义·期中）如图，在四边形中，，，且，，，若动点P从A点出发，以每秒的速度沿线段向点D运动；动点Q从C点出发以每秒的速度沿向B点运动，当Q点到达B点时，动点同时停止运动，设点同时出发，并运动了t秒，回答下列问题： (1) cm； (2)当 秒时，四边形成为矩形． (3)当t为多少时，？ (4)是否存在t，使得是等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，说明理由． 【变式13-1】（2024-2025八年级下·浙江绍兴·期中）如图，在四边形中，，，，，．动点M从点B出发沿边以每秒1个单位的速度向终点C运动；同时动点N从点D出发，以每秒2个单位的速度沿射线运动，当点M到达终点时，点N也随之停止运动，设点M运动的时间为． (1)请求出的长； (2)是否存在t的值，使得四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (3)连接，，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出此时t的值． 【变式13-2】（2024-2025八年级下·贵州·月考）如图，在矩形中，E是上的点，点F在对角线上，． (1)如图①，若点F为中点，连接，写一个与相等的角______； (2)如图②，若点E为中点，连接，若．判断线段与线段的关系，并说明理由； (3)若，是否存在点F，使得最小，若存在，画出点F的位置，并求其最小值，若不存在，说明理由． 【变式13-3】（2024-2025八年级下·辽宁抚顺·期末）综合与实践-操作探究 【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们探索以矩形为背景的折叠变化中的数学结论． 【操作探究】在矩形中，，，E是射线上一个动点，连接并延长交直线于点F，将沿直线折叠得到，延长交直线于点H． (1)如图1，当点E在线段上时，求证：； (2)如图2，当点E运动到点C位置时（此时点C，E，F重合），与交于点P，求的长； (3)在点E的运动过程中，是否存在的情况？若存在，直接写出的长度；若不存在，请说明理由． 【题型14】矩形中的最值问题 【例14】（2024-2025八年级上·江西宜春·期中）如图，在中，，，是的中点，直线l经过点且可绕点转动，，，垂足分别为，，则的最大值为（   ） A．4 B． C． D． 【变式14-1】（2023-2024八年级下·吉林·期末）如图，在中，，，，点为斜边上一动点，过点作于点，于点，连接，则线段的最小值为(   ) A． B． C． D． 【变式14-2】（2024-2025八年级下·湖北十堰·月考）如图，在矩形中，，，点P是对角线上一个动点（点P与点A，C不重合），过点P分别作于点E，交于点F，连接，则的最小值为 ． 【变式14-3】（2024-2025八年级下·陕西安康·期末）如图，在矩形中，，过对角线的中点作的垂线交于点，交于点，且，是上的动点，连接，，则的最小值为 ． 【特训01】拓展培优强化 1．（2023-2024八年级下·河南新乡·月考）如图，在平面直角坐标系中，矩形的四个顶点坐标均已标出，那么的值为（   ） A． B． C．3 D．1 2.（2024-2025八年级下·江苏淮安·期中）如图，在矩形中，，，E是边上一点，连接，沿翻折，得到，连接．当长度最小时，的面积是（   ） A． B． C． D．20 3．（2024-2025八年级下·江苏扬州·月考）如图，点O是矩形的对称中心，点E、F分别是边、上的点，且，已知矩形的面积是20，那么图中阴影部分的面积为 ． 4．（2024-2025八年级下·吉林白山·期末）如图，在四边形中，，，，，．点P从点A出发，以秒的速度向点B运动；同时点Q从点C出发，以秒的速度向点D运动．规定其中一个动点到达终点时另一个动点也随之停止运动．设点Q运动的时间为t秒． (1)直接写出边的长为________cm； (2)当四边形是矩形时，求t的值； (3)在点Q运动过程中，当是等腰三角形时，求t的值； (4)在点P，Q运动过程中，当时，直接写出t的值． 5.（2024-2025八年级下·河南安阳·期末）如图1，在矩形中，，点在边上，且，动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度运动．作，交边或边于点，连接．当点与点重合时，点停止运动．设点的运动时间为秒． (1)当点和点重合时，求线段的长________； (2)如图2，当点在边上时，猜想的形状，并说明理由； (3)作点关于直线的对称点，当点运动到上，且点恰好也落在边上时，直接写出此时的值． 6．（2023-2024八年级下·湖南娄底·期末）“数形结合”是一种重要的数学思想，有着广泛的应用．例：求的最小值． 解题思路：如图，作线段，分别构造直角边为1，和，2的两个直角三角形，当点，，在一条直线上时，转化为两点之间线段最短，在中，由勾股定理，得，即，所以求得的最小值为5． 根据以上解题思路，解决以下问题： (1)求的最小值． (2)求（，，为正数，）的最小值． (3)如图，在矩形花园中，米，米，计划要铺设，两条小路，点在上．要使最小，设米．求最小值是多少？ 7．（2024-2025八年级下·江苏泰州·月考）如图，在矩形纸片中，E为边上的动点，F为边上的动点，连接． (1)若 ①如图①，点E与点D重合，点F与点B重合，将矩形纸片沿折叠，点A落在点G处，设与相交于H，求的长； ②如图②，将矩形纸片沿折叠，使点B与点D重合，求折痕的长； (2)如图③，点E为的中点，点F与点B重合，将矩形纸片沿折叠，点A落在点G处，且点G在矩形内部，延长交于点H，若，求的值． 8．（2024-2025八年级下·山东济南·期末）（1）类比探究 将矩形绕点按顺时针方向旋转得到矩形，记旋转角为，连接，，两直线交于点P． ①如图1，当时，交于H，则线段与线段的数量关系为_____，线段与线段的数量关系为_____； ②如图2，当时，则①中线段与线段的数量关系是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由． （2）学以致用 如图3，在中，，，，将绕点B按顺时针方向旋转得到，记旋转角为，连接，，两直线交于点P，取中点M，中点N，连接，，在旋转过程中，当四边形的面积最大时，直接写出的值． 【特训02】直通中考真题 1．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，在矩形中，，动点P从点A开始沿边以的速度向点B运动，动点H从点B开始沿边以的速度向点A运动，动点Q从点C开始沿边以的速度向点D运动．点P，点H和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另两点也随之停止运动．设动点的运动时间为，当时，t的值为（   ） A． B．4 C． D． 2.（2025·河北·中考真题）如图，将矩形沿对角线折叠，点落在处，交于点．将沿折叠，点落在内的处，下列结论一定正确的是（  ） A． B． C． D． 3．（2024·江苏南通·中考真题）如图，直线，矩形的顶点A在直线b上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（2023·甘肃兰州·中考真题）如图，在矩形中，点E为延长线上一点，F为的中点，以B为圆心，长为半径的圆弧过与的交点G，连接．若，，则（   ）    A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 5.（2025·四川·中考真题）如图，在矩形中，对角线相交于点O，则的长为 ． 6．（2024·山东济南·中考真题）如图，在矩形纸片中，，为边的中点，点在边上，连接，将沿翻折，点的对应点为，连接．若，则______． 7．（2024·山东威海·中考真题）将一张矩形纸片（四边形）按如图所示的方式对折，使点C落在上的点处，折痕为，点D落在点处，交于点E．若，，，则________． 8．（2023·湖南湘西·中考真题）如图，在矩形中，点E在边上，点F是AE的中点，，则的长为__________．    9．（2023·陕西·中考真题）如图，在矩形中，，．点在边上，且，、分别是边、上的动点，且，是线段上的动点，连接，．若．则线段的长为___．    10.（2025·江苏淮安·中考真题）已知：如图，矩形． (1)尺规作图：在边上找一点E，将矩形沿折叠，使点C落在边上；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作图形中，若，，求的长． 11.（2025·江苏无锡·中考真题）如图，在矩形中，点在延长线上，点在延长线上，且，连接、． 求证： (1)； (2)． 12．（2024·贵州·中考真题）如图，四边形的对角线与相交于点O，，，有下列条件： ①，②．    (1)请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形是矩形； (2)在（1）的条件下，若，，求四边形的面积． 13.（2024·湖北恩施·中考真题）如图，在矩形中，点是的中点，将矩形沿所在的直线折叠，的对应点分别为，，连接交于点．      (1)若，求的度数； (2)连接EF，试判断四边形的形状，并说明理由． 14．（2023·湖南岳阳·中考真题）如图，点在的边上，，请从以下三个选项中①；②；③，选择一个合适的选项作为已知条件，使为矩形．    (1)你添加的条件是_________（填序号）； (2)添加条件后，请证明为矩形． 15．（2023·广西·中考真题）【探究与证明】 折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘． 【动手操作】如图1，将矩形纸片对折，使与重合，展平纸片，得到折痕；折叠纸片，使点B落在上，并使折痕经过点A，得到折痕，点B，E的对应点分别为，，展平纸片，连接，，．    请完成： (1)观察图1中，和，试猜想这三个角的大小关系； (2)证明（1）中的猜想； 【类比操作】如图2，N为矩形纸片的边上的一点，连接，在上取一点P，折叠纸片，使B，P两点重合，展平纸片，得到折痕；折叠纸片，使点B，P分别落在，上，得到折痕l，点B，P的对应点分别为，，展平纸片，连接，．    请完成： (3)证明是的一条三等分线． 学科网（北京）股份有限公司 $