精品解析：广东佛山市金桂实验高级中学2025-2026学年高一下学期第一次检测数学试卷

2025-2026 学年高（一）下学期第一次检测试卷 数 学 试 题 一、单项选择题：本大题8小题，每小题5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 的值为（    ） A. B. C. D. 2. 化简后等于（    ） A. 0 B. C. D. 3. 要得到函数的图象，需要把函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 4. 已知平面向量，满足，，与的夹角为，则（    ） A. 18 B. C. D. 5. 已知向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，角，，的对边分别为，，，，，，则（ ） A. B. 或 C. D. 或 7. 已知，，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 直线是图象的一条对称轴 C. 图象的对称中心为 D. 将的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象 二、多项选择题：本大题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各式的值为1的是（   ） A. B. C. D. 10. 下列各组向量中，不能作为基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 11. 已知的内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则为锐角三角形 C. 若面积为，则，则 D. 若则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知，，则______. 13. 若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足，且，则的值为___________. 14. 已知是边长为1的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是___________． 四、解答题：本小题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，满足，向量的夹角为． （1）求的值； （2）求向量与的夹角的余弦值． 16. 在中， （1）求角A的大小； （2）若，求证：为直角三角形. 17. 已知向量. （1）若，求的值； （2）若，求实数的值； （3）若与的夹角是钝角，求实数的取值范围. 18. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足. （1）求角的值： （2）当时，求的面积. 19. 已知函数． （1）求函数的周期、单调增区间、对称中心； （2）当时，求函数的值域； （3）当时，方程有3个不同的实数根，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026 学年高（一）下学期第一次检测试卷 数 学 试 题 一、单项选择题：本大题8小题，每小题5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 的值为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用诱导公式及两角差的正弦公式计算即可. 【详解】 . 2. 化简后等于（    ） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】. 3. 要得到函数的图象，需要把函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用函数的图象变换规律，可得结论． 【详解】要得到函数的图象， 要得到函数的图象， 需要把函数的图象向左平移个单位长度； 故选：C 4. 已知平面向量，满足，，与的夹角为，则（    ） A. 18 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】. 5. 已知向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据投影向量的定义及向量的数量积、模长的坐标运算求投影向量. 【详解】向量在向量上的投影向量为. 故选：D 6. 在中，角，，的对边分别为，，，，，，则（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理求得角后可得角． 【详解】由正弦定理得，又，则，又是三角形内角，所以或． 时，，时，． 故选：B． 7. 已知，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知求得，，结合求值即可. 【详解】由题设，，又，， 所以，， 又. 故选：D 8. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 直线是图象的一条对称轴 C. 图象的对称中心为 D. 将的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象 【答案】C 【解析】 【分析】利用图象求得的解析式，再结合三角函数的对称轴，对称中心，以及图象变换与解析式的关系，对选项进行逐一分析和判断即可. 【详解】由图可知，的最大值为，又，故； 又，故，又，故， 则； 根据，可得， 则， 又，故当时，满足题意，则； 对A：，故A错误； 对B：令，解得， 令，解得，故B错误； 对C：令，解得，故图象的对称中心为，C正确； 对D：将的图象向左平移个单位长度后， 则得到图象对应的函数为，故D错误； 故选：C. 二、多项选择题：本大题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各式的值为1的是（   ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据两角和与差的三角函数公式、诱导公式、二倍角余弦公式求解判断即可. 【详解】A：，A错误. B：，B正确. C： ，C正确. D：，D错误. 10. 下列各组向量中，不能作为基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据平面向量基底的定义来判断向量组能否作为基底. 【详解】对于A选项,已知，，因为零向量与任意向量共线，所以与共线，不能作为基底. 对于B选项，对于，，计算，根据两向量共线的充要条件可知与共线，不能作为基底. 对于C选项,已知，，计算，所以与共线，不能作为基底. 对于D选项，对于，，计算，所以与不共线，可以作为基底. 故选：ABC. 11. 已知的内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则为锐角三角形 C. 若面积为，则，则 D. 若则 【答案】ACD 【解析】 【分析】由正弦定理边角转化可判断A，D；根据数量积的定义确定角的大小即可判断B；根据三角形面积公式结合余弦定理化简已知等式即可得角的大小即可判断C. 【详解】对于A，因为，由正弦定理得，所以，故A正确； 对于B，，则， 因为，所以，即角为锐角，但不一定为锐角三角形，故B不正确； 对于C，若面积为，因为，则， 所以，则，由于，则，故C正确； 对于D，若，由正弦定理得， 则，因为，则，所以，故，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】代入两角差的正切公式计算即可. 【详解】. 13. 若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足，且，则的值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦定理可得答案. 【详解】由，得， 由余弦定理得，则，所以. 故答案为：. 14. 已知是边长为1的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】建立直角坐标系，结合向量数量积求解即可. 【详解】以线段的中点为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，， 设点，则，，， 所以， 则， 当且仅当，时，取最小值． 四、解答题：本小题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，满足，向量的夹角为． （1）求的值； （2）求向量与的夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由题意可得，， 则； 【小问2详解】 由已知，， ， 则向量与的夹角的余弦值为. 16. 在中， （1）求角A的大小； （2）若，求证：为直角三角形. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由三角恒等变换公式代入计算，即可得到结果； （2）由余弦定理代入计算，即可得到关系，再由勾股定理，即可判断. 【小问1详解】 在中，， 可得，即有， ，. 【小问2详解】 证明：由（1）知，又， 由余弦定理得， ，即， 为直角三角形． 17. 已知向量. （1）若，求的值； （2）若，求实数的值； （3）若与的夹角是钝角，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3）且 【解析】 【分析】（1）根据向量平行的坐标运算列式求解的值，从而得模长； （2）根据向量的坐标的线性运算得的坐标，再根据向量垂直的坐标运算求解实数的值； （3）根据向量夹角与数量积的关系求解即可. 【小问1详解】 因为向量，且， 所以，解得， 所以. 【小问2详解】 因为，且， 所以，解得. 【小问3详解】 因为与的夹角是钝角， 则且与不共线， 即且， 所以且. 18. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足. （1）求角的值： （2）当时，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到，进而得到，求得，即可求解； （2）由余弦定理得到，代入已知条件，求得，结合面积公式，即可求解. 【小问1详解】 解：因为， 由正弦定理可得 ， 即， 即, 又因为， 所以， 因为，可得，所以， 又由，所以. 【小问2详解】 解：根据（1）知，可得， 由余弦定理可知， 因为，可得，解得， 所以三角形面积为 19. 已知函数． （1）求函数的周期、单调增区间、对称中心； （2）当时，求函数的值域； （3）当时，方程有3个不同的实数根，求实数的取值范围． 【答案】（1）周期；单调增区间为，；对称中心， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先综合使用三角恒等变换公式对三角函数化简，再求正弦函数的周期、单调增区间、对称中心. （2）先确定条件下正弦函数的定义域，再确定值域. （3）化简方程，求出3个实数根和4个实数根的临界点，结合开区间确定取值范围. 【小问1详解】 先化简函数： . 所以函数的周期. 由，， 所以单调增区间为，. 由横坐标为，，纵坐标为， 所以对称中心为，. 【小问2详解】 由，得，，所以. 【小问3详解】 ，解得， 所以当有3个实数根时，依次为，，； 当有4个实数根，此时为临界点， 由条件可知临界点为开区间，为满足条件，可知. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $