精品解析：河南省南阳市第一中学校2025-2026学年高一下学期第二次检测数学试题

高一数学春期第二次教学检测 一、单选题（每题5分，共40分） 1. （ ） A. B. C. 0 D. 【答案】C 【解析】 【详解】， ， . 2. 已知的三边长分别为1，4，，则最大的内角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】判断得到为最大角，利用余弦定理表示出，把三边长代入求出的值，即可确定出的度数． 【详解】设1，4，所对角分别为A,B,C,由三角形中大边对大角，则最大角为C， 则，,则该三角形最大内角为． 故选：B． 3. 已知向量和满足，，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合向量的运算法则，求得，结合向量的投影向量的计算方法，即可求解. 【详解】由向量和满足，，， 可得，解得， 所以向量在向量上的投影向量. 故选：A. 4. 已知函数（）在上单调递减，在上单调递增，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得到在时取最小值，求出，再结合求出值，得到解析式，代入求解即可. 【详解】因为函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时，函数取得最小值， 则，，解得，， 又，，所以，所以， 所以，故. 5. 若函数与函数图象的对称中心完全一致，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】易得函数与的周期相等，从而可求出，再根据余弦函数和正切函数的对称性分别求出两个函数的对称中心，进而可得出答案. 【详解】因为函数的相邻对称中心的距离都是半个周期， 且函数与函数图象的对称中心完全一致， 所以函数与的周期相等， 则函数的周期，即，所以， 则， 令，故， 令，则， 故，解得， 因为，所以． 故选：D． 6. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平面向量基本定理、向量数量积的定义及运算律求解即可. 【详解】因为，所以， 所以. 所以. 又在中，， 所以. 所以. 7. 已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立直角坐标系，根据向量的坐标运算即可结合二次式的性质求解. 【详解】以中点为坐标原点，以为正方向为轴，建立如图所示的直角坐标系， 设，则 故 ,当时取到等号， 故选：B 8. 已知平面向量，，，且已知向量与所成的角为，且对任意实数恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先用平方去掉条件中的绝对值号，通过解不等式求出，再用向量的三角不等式求最小值. 【详解】平方去绝对值号，由，则， 根据向量与的条件可得， 化简可得， 令，由于函数开口向上，所以需要满足，所以. 观察所求式子内部，两者相减可将约掉，所以可用向量的三角不等式求解， 即， 又， 则的最小值为 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 设平面向量，，均为非零向量，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则与共线 C. 若，则 D. 已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 【答案】BC 【解析】 【分析】对于,A，举反例即可；对于B，由数量积的定义判断即可；对于C，两边平方化简即可；对于D，与的夹角为锐角，则，且与不共线 【详解】当，在方向上的投影相同时，显然不一定成立，A错误； 若，则向量夹角或，与同向或反向，共线，B正确； 若，两边平方得，，即，C正确； 若因为，，所以， 因为与的夹角为锐角，则，且，所以D不正确. 故选：BC 10. 函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. 函数图象上的所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数的图象 D. 函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于轴对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用周期求出，利用“五点法”求出，进而求出,再利用诱导公式，可判断A；计算的值看是否取得最值，即可判断B；利用伸缩变换的规则即可判断C；利用平移变换的规则求出解析式，再用奇偶函数的定义判断D即可. 【详解】由题意得，，是“五点”中的“第三点”，故， 所以，故A正确； ，故B错误； 图象上的所有点的横坐标缩短为原来的变为，故C正确； ，，故D正确. 故选：ACD 11. 如图，已知直线，点是之间的一个定点，点到的距离分别为1和2．点是直线上一个动点，过点作，交直线于点，则（ ） A. B. 面积的最小值是 C. D. 不存在最小值 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意建立直角坐标系，根据及，即可找到，，三点的坐标关系，分别写出，，即可判断A；取中点为，连接，根据，可得，，三点共线，且为靠近的三等分点，即可找到面积与面积之间比例关系，结合基本不等式即可判断B；求出，再根据基本不等式可判断C；写出进行化简，根据的范围即可得到的最值情况判断D. 【详解】设中点为，连接，以为原点，，方向分别为，轴建立如图所示直角坐标系， 则，，设，，，，，，且， 所以，，因为，所以， 即，故，即， 所以，，， 因为，所以，即， 因为，故，所以A正确； 因为，所以，即， 所以，，三点共线，且为靠近的三等分点， 所以 ， 当且仅当，即时取等，所以B错误； 因为， 所以， 当且仅当，即时取等，故，所以C正确； 因为，； 所以， 因为且，所以， 记，由函数和在上递增， 可知在上单调递增，没有最值，即没有最小值，所以D正确. 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 在中，已知，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】在中，，. 又， 由正弦定理，得 . 13. 函数的部分图象如图所示.已知直线与的图象交于，，三点且，是图象的一个最大值点，.则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据点坐标推出函数表达式，再根据题意从到经过了的一个完整周期，其中，设，，带入即可得. 【详解】由图可知是“五点作图”的第一个最大值点， 所以且.. 显然，从到经过了的一个完整周期，其中. 则，， ，代入得. ... 故答案为：. 14. 已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点G是的重心，且，则cos∠ACB的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，设，，则根据向量的线性运算可求出坐标，从而可得，再利用向量的数量积公式，结合三角函数的取值范围从而得出结论. 【详解】以A为原点，AB所在的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系， 设AB的中点为D，则D，G，C共线且， 设，，则， 故， 故，故， 所以，故， 而，， 故， 而，故，故， 所以，． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （1）； （2）设，是不共线的两个向量.若与共线，求实数k的值； （3）若角的终边在直线上，求的值. 【答案】（1） （2）或；（3）. 【解析】 【详解】（1）原式. （2）与共线，故，使得， 又，不共线，所以，解得. （3）， 因为角的终边在直线上，可在角的终边上取点（）， 则，所以原式. 16. 已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且. （1）求角C及边c的值； （2）求的最大值. 【答案】（1）， （2）4 【解析】 【小问1详解】 由， 根据余弦定理，得， 因为，则. 由，得， 根据正弦定理，得，则. 【小问2详解】 由（1）知，， 则，即， 当且仅当时等号成立， 则的最大值为4. 17. 已知函数． （1）补全下列表格，用“五点法”画出在区间的大致图象； 0 x 0 0 （2）将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，求的单调递增区间和对称中心的坐标． 【答案】（1）表格见解析，函数图象见解析 （2）的单调递增区间为，对称中心的坐标为 【解析】 【分析】（1）填写表格，再利用五点法进行作图即可； （2）根据三角函数图象平移变换求出的解析式，利用正弦函数单调性和对称性进行求解即可． 【小问1详解】 0 x 0 1 0 0 【小问2详解】 易知 令，解得， 所以的单调递增区间为 令，解得， 所以对称中心的坐标为 18. 已知函数，其中. （1）若两个相邻对称轴之间的距离为，求的值； （2）若，函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在（且）上恰好有8个零点，求的最小值； （3）已知函数，在第（2）问条件下，若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦函数相邻对称轴间距为半个周期，求出的最小正周期，再代入周期公式求解. （2）先通过平移变换得到的解析式，利用零点条件结合确定，再求出的所有零点，结合恰有8个零点的条件，找到区间的最小长度. （3）分别求出和在上的值域，根据“任意存在使得”等价于的值域包含于的值域，列不等式组求解的取值范围. 【小问1详解】 因为两个相邻对称轴之间的距离为， 所以的最小正周期为， 所以，得. 【小问2详解】 由题意可得， 因为是的一个零点， 所以， 所以， 所以，，或，， 得，或，， 因为，所以， 所以. 所以的最小正周期为. 令，则， 所以，或，， 得，或，. 因为函数在（且）上恰好有8个零点， 要使最小，需找到跨度最小的连续个零点. 的零点为，或，. 通过比较不同起始零点的连续个零点区间的长度， 区间的长度为， 区间的长度为， 所以的最小值为. 【小问3详解】 由（2）知， 设在上的值域为A，在上的值域为B， 因为对任意，存在，使得成立， 所以. 当时，，所以， 所以，所以. 当时，，所以， 所以，，所以， 因为，所以，解得， 所以实数的取值范围为. 19. 在中，为的中点，在边上，交于；且，设，. （1）试用，表示； （2）已知，，. ①若，求的余弦值； ②已知在上，且，若，求的范围. 【答案】（1）； （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）由，三点共线结合平面向量基本定理可得答案. （2）①及已知条件，利用数量积的运算律及向量的夹角公式求解.②设，结合及数量积的运算律得，再列出不等式求出的范围即可. 【小问1详解】 由共线，得，则， 整理得， 由共线，得，则， 整理得，而不共线， 由平面向量基本定理，得，解得， 所以. 【小问2详解】 ①（1）得，， 由，得， 则， ， ， 所以. ②由（1）知，则， 由共线，设. 由，得，而，， 则，整理得， 即，显然，则， 由，得，则，解得， 所以的范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学春期第二次教学检测 一、单选题（每题5分，共40分） 1. （ ） A. B. C. 0 D. 2. 已知的三边长分别为1，4，，则最大的内角为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量和满足，，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数（）在上单调递减，在上单调递增，则（ ） A. 1 B. C. D. 5. 若函数与函数图象的对称中心完全一致，则（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知平面向量，，，且已知向量与所成的角为，且对任意实数恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 设平面向量，，均为非零向量，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则与共线 C. 若，则 D. 已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 10. 函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. 函数图象上的所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数的图象 D. 函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于轴对称 11. 如图，已知直线，点是之间的一个定点，点到的距离分别为1和2．点是直线上一个动点，过点作，交直线于点，则（ ） A. B. 面积的最小值是 C. D. 不存在最小值 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 在中，已知，则__________. 13. 函数的部分图象如图所示.已知直线与的图象交于，，三点且，是图象的一个最大值点，.则__________. 14. 已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点G是的重心，且，则cos∠ACB的取值范围为______． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （1）； （2）设，是不共线的两个向量.若与共线，求实数k的值； （3）若角的终边在直线上，求的值. 16. 已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且. （1）求角C及边c的值； （2）求的最大值. 17. 已知函数． （1）补全下列表格，用“五点法”画出在区间的大致图象； 0 x 0 0 （2）将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，求的单调递增区间和对称中心的坐标． 18. 已知函数，其中. （1）若两个相邻对称轴之间的距离为，求的值； （2）若，函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在（且）上恰好有8个零点，求的最小值； （3）已知函数，在第（2）问条件下，若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围. 19. 在中，为的中点，在边上，交于；且，设，. （1）试用，表示； （2）已知，，. ①若，求的余弦值； ②已知在上，且，若，求的范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $