平抛运动 重难点周末培优-2026-2027学年高一下学期物理人教版必修第二册

该高中物理讲义通过知识框架系统梳理平抛运动知识体系，涵盖运动规律、斜面圆弧相关问题、临界极值、斜抛运动、综合分析及实验六大考点，并用对比表格呈现斜面平抛中速度与位移方向的解题策略，清晰展现重难点内在联系。 讲义亮点在于典型例题情境丰富，如无人机投包裹、排水管水流平抛等，结合科学思维中的模型建构与科学推理，培养学生解决实际问题能力。实验部分强调数据处理与注意事项，分层例题满足不同学生需求，助力教师实施精准化复习教学。

平抛运动重难点周末培优教案 考点一：平抛运动规律 考点二：斜面和圆弧面相关的平抛运动 考点三：平抛运动的临界极值问题 考点四：斜抛运动 考点五：平抛运动综合分析 考点六：平抛运动实验 考点一：平抛运动规律 1．定义：初速度沿水平方向抛出，物体只在重力作用下的运动． 2．性质：加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线． 3．解题思路：水平方向与竖直方向分开处理 (1)水平方向：匀速直线运动；(2)竖直方向：自由落体运动． 4．基本规律 5．平抛运动物体的速度变化量（注意：任意相等时间非速率变化量相同） 因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度变化量Δv＝gΔt是相同的，方向恒为竖直向下，如图所示． 6．两个推论 (1)做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点． (2)做平抛运动的物体在任意时刻任意位置处，有tan θ＝2tan α . 典型例题 1．无人机在距离水平地面高度处，以速度水平匀速飞行并释放一包裹，不计空气阻力，重力加速度为。 (1)求包裹释放点到落地点的水平距离； (2)求包裹落地时的速度大小； (3)以释放点为坐标原点，初速度方向为轴方向，竖直向下为轴方向，建立平面直角坐标系，写出该包裹运动的轨迹方程。 2．如图所示，水平放置的排水管满口排水，管口的横截面积为S，管口离水池水面的高度为h，水在水池中的落点与管口的水平距离为d。假定水在空中做平抛运动，已知重力加速度为g，h远大于管口内径。求： （1）水从管口到水面的运动时间t； （2）水从管口排出时的速度大小； （3）管口单位时间内流出水的体积Q。 3．如图，在摩托车越野赛途中的水平路段前方有一个坑，该坑沿摩托车前进方向的水平宽度为3h，其左边缘a点比右边缘b点高0.5h.若摩托车经过a点时的动能为E1(注：动能公式E＝mv2)，它会落到坑内c点．c与a的水平距离和高度差均为h；若经过a点时的动能为E2，该摩托车恰能越过坑到达b点.等于(　　) A．20 B．18 C．9.0 D．3.0 考点二：斜面和圆弧面相关的平抛运动 已知条件 情景示例 解题策略 已知速度方向 从斜面外平抛，垂直落在斜面上，如图所示，已知速度的方向垂直于斜面 分解速度tan θ＝＝ 从圆弧形轨道外平抛，恰好无碰撞地进入圆弧形轨道，如图所示，已知速度方向沿该点圆弧的切线方向 分解速度tan θ＝＝ 　已知位移方向 从斜面上平抛又落到斜面上，如图所示，已知位移的方向沿斜面向下 分解位移tan θ＝＝＝ 在斜面外平抛，落在斜面上位移最小，如图所示，已知位移方向垂直斜面 分解位移tan θ＝＝＝ 利用位移关系 从圆心处水平抛出，落到半径为R的圆弧上，如图所示，已知位移大小等于半径R 从与圆心等高的圆弧上水平抛出，落到半径为R的圆弧上，如图所示，已知水平位移x与R的差的平方与竖直位移的平方之和等于半径的平方 典型例题 1．如图所示，斜面倾角为θ，位于斜面底端A正上方的小球以初速度v0正对斜面顶点B水平抛出，小球到达斜面经过的时间为t，重力加速度为g，则下列说法中正确的是（ ） A．若小球能击中斜面中点，则 B．若小球垂直击中斜面，则 C．若小球以最小位移到达斜面，则 D．无论小球怎样到达斜面，运动时间均为 2．如图所示，1、2两个小球以相同的速度v0水平抛出．球1从左侧斜面抛出，经过时间t1落回斜面上，球2从某处抛出，经过时间t2恰能垂直撞在右侧的斜面上．已知左、右两侧斜面的倾角分别为α＝30°、β＝60°，则(　　) A．t1∶t2＝1∶2 B．t1∶t2＝1∶3 C．t1∶t2＝2∶1 D．t1∶t2＝3∶1 3．如图所示，小球以v0正对倾角为θ的斜面水平抛出，若小球到达斜面的位移最小，则飞行时间t为(重力加速度为g)(　　) A．t＝v0tan θ B．t＝ C．t＝ D．t＝ 4．如图所示，AB为一半径为R的圆弧，圆心位置为O，一小球从与圆心等高的任意点沿半径方向水平抛出，恰好垂直落在AB面上的Q点，且速度与水平方向夹角为53°，则小球抛出后的水平距离为（　　） A.0.6R B.0.8R C.R D.1.2R 5．如图，两小球M、N从同一高度同时分别以v1和v2的初速度水平抛出，经过时间t都落在了倾角θ＝37°的斜面上的A点，其中小球N垂直打到斜面上，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则（　　） A.初速度v1、v2大小之比为9∶8 B.初速度 v1、v2大小之比为8∶9 C.若v1、v2都变为原来的2倍，则两球在空中相遇，从抛出到相遇经过的时间为 D.若v1、v2都变为原来的2倍，则两球在空中相遇，从抛出到相遇经过的时间为 考点三：平抛运动的临界极值问题 平抛运动中临界问题的两种常见情形 （1）物体的最大位移、最小位移、最大初速度、最小初速度； （2）物体的速度方向恰好达到某一方向。 典型例题 1．在跨越河流表演中，一人骑车以v0＝25 m/s的速度水平冲出平台，恰好跨越宽度为d＝25 m的河流落在河对岸平台上，不计空气阻力，重力加速度取g＝10 m/s2，则两平台的高度差h为（　　） A.0.5 m B.5 m C.10 m D.20 m 2． 如图所示，小明取山泉水时发现水平细水管到水平地面的距离为水桶高的两倍，在地面上平移水桶，水恰好从桶口中心无阻挡地落到桶底边沿A。已知桶高为h，直径为D，则水离开出水口的速度大小为（　　） A． B． C． D． 3．如图所示，窗子上、下沿间的高度H＝1.6 m，墙的厚度d＝0.4 m，某人在离墙壁距离L＝1.4 m、距窗子上沿h＝0.2 m处的P点，将可视为质点的小物件以速度v水平抛出，小物件直接穿过窗口并落在水平地面上，取g＝10 m/s2，不计空气阻力，则v的取值范围是（　　） A.v＞7 m/s B.v＜2.3 m/s C.3 m/s≤v≤7 m/s D.2.3 m/s≤v≤3 m/s 4．如图所示，水平面上放置一个直径d＝1 m，高h＝1 m的无盖薄油桶，沿油桶底面直径距左桶壁s＝2 m处的正上方有一点P，P点的高度H＝3 m，从P点沿直径方向水平抛出一小球，不考虑小球的反弹，下列说法正确的是（取g＝10 m/s2）（　　） A.小球的速度范围为 m/s＜v＜ m/s时，小球击中油桶的内壁 B.小球的速度范围为 m/s＜v＜ m/s时，小球击中油桶的下底 C.小球的速度范围为 m/s＜v＜ m/s时，小球击中油桶外壁 D.若P点的高度变为1.8 m，则小球无论初速度多大，均不能直接落在桶底（桶边沿除外） 考点四：斜抛运动 以斜抛运动的抛出点为坐标原点O，水平向右为x轴的正方向，竖直向上为y轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系xOy. 初速度可以分解为v0x＝v0cos θ，v0y＝v0sin θ. 在水平方向，物体的位移和速度分别为 x＝v0xt＝(v0cos θ)t vx＝v0x＝v0cos θ 在竖直方向，物体的位移和速度分别为 y＝v0yt－gt2＝(v0sin θ)t－gt2 vy＝v0y－gt＝v0sin θ－gt 重要结论：给定大小的初速度v0，沿θ＝45°方向斜向上抛出时，射程最大 典型例题 1．(多选)2022年北京冬奥会在北京和张家口举行，北京成为了历史上第一个既举办过夏季奥运会又举办过冬季奥运会的城市．图示为某滑雪运动员训练的场景，运动员以速度v1＝10 m/s沿倾角α＝37°、高H＝15 m的斜面甲飞出，并能无碰撞地落在倾角β＝60°的斜面乙上，顺利完成飞越．把运动员视为质点，忽略空气阻力，重力加速度取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.以下说法正确的是(　　) A．运动员落至斜面乙时的速率为16 m/s B．斜面乙的高度为7.2 m C．运动员在空中飞行时离地面的最大高度为20 m D．两斜面间的水平距离约为11.1 m 2.如图所示，A、B两篮球从相同高度同时抛出后直接落入篮筐，落入篮筐时的速度方向相同，下列判断正确的是(　　) A．A比B先落入篮筐 B．A、B运动的最大高度相同 C．A在最高点的速度比B在最高点的速度小 D．A、B上升到某一相同高度时的速度方向相同 考点五：平抛运动综合分析 1．一光滑宽阔的斜面，倾角为θ，高为h，重力加速度为g。现有一小球在A处贴着斜面以水平速度v0射出，最后从B处离开斜面，下列说法中正确的是 A．小球的运动轨迹为抛物线 B．小球的加速度为gtanθ C．小球到达B点的时间为 D．小球到达B点的水平位移 2．如图所示，一小球从平台上水平抛出，恰好落在平台前一倾角为α=53°的斜面顶端，并刚好沿斜面下滑，已知平台到斜面顶端的高度为h=0.8 m，求小球水平抛出的初速度v0和斜面与平台边缘的水平距离x各为多少？（取sin 53°=0.8，cos 53°=0.6，g=10 m/s2） 3．一物体从倾角为37°的斜坡顶端A点做平抛运动，经3 s后落到斜坡上的B点，（sin 37°=0.60，cos 37°=0.80，g取10 m/s2）。求： （1）A到B的竖直高度； （2）物体离开A点时的速度大小； （3）物体离开A点后，经过多少时间离斜坡最远。 4.跳台滑雪是一种勇敢者的滑雪运动，运动员在滑雪道上获得一定速度后从跳台飞出，在空中飞行一段距离后落地。如图所示，运动员从跳台A处沿水平方向以v0＝20 m/s的速度飞出，落在斜坡上的B处，斜坡与水平方向的夹角θ为37°，不计空气阻力（sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，取g＝10 m/s2），求： （1）运动员在空中飞行的时间； （2）运动员落在B处时的速度大小； （3）运动员在空中离坡面的最大距离。 5．如图所示，在水平地面上固定一倾角θ=37°、表面光滑的斜面，物体A以的初速度沿斜面上滑，同时在物体A的正上方，物体B以某一初速度水平抛出。如果当A上滑到最高点时恰好被B物体击中（A、B均可看作质点，sin37°=0.6，cos37°=0.8，g取10 m/s2）。求： （1）物体A上滑到最高点所用的时间t； （2）物体B抛出时的初速度； （3）物体A、B间初始位置的高度差h。 6.将一小球水平抛出，使用频闪仪和照相机对运动的小球进行拍摄，频闪仪每隔0.05 s发出一次闪光．某次拍摄时，小球在抛出瞬间频闪仪恰好闪光，拍摄的照片编辑后如图所示．图中的第一个小球为抛出瞬间的影像，每相邻两个球之间被删去了3个影像，所标出的两个线段的长度s1和s2之比为3∶7.重力加速度大小取g＝10 m/s2，忽略空气阻力．求在抛出瞬间小球速度的大小． 考点六：平抛运动实验 1．数据处理 情景1：若原点O为抛出点，利用公式x＝v0t和y＝gt2，即可求出多个初速度v0＝x，最后求出初速度的平均值，这就是做平抛运动的物体的初速度． 情景2：若原点O不是抛出点， ①在轨迹曲线上取三点A、B、C，使xAB＝xBC＝x，如图所示．A到B与B到C的时间相等，设为T. ②用刻度尺分别测出yA、yB、yC，则有yAB＝yB－yA，yBC＝yC－yB. ③yBC－yAB＝gT2，且v0T＝x，由以上两式得v0＝x. 2．注意事项 (1)固定斜槽时，要保证斜槽末端的切线水平，以保证小球的初速度水平，否则小球的运动就不是平抛运动了． (2)小球每次从槽中的同一位置由静止释放，这样可以确保每次小球抛出时的速度相等． (3)坐标原点(小球做平抛运动的起点)不是槽口的端点，应是小球在槽口时，球的球心在背板上的水平投影点． 典型例题 1．三个同学根据不同的实验条件,进行了探究平抛运动规律的实验. (1)A同学采用如图甲所示的装置.用小锤击打弹性金属片,金属片把A球沿水平方向弹出,同时B球被松开自由下落,观察到两球同时落地,改变小锤打击的力度,即改变A球被弹出时的速度,两球仍然同时落地,这说明　　　　　　　　　　　　　　　　　.  (2)B同学采用如图乙所示的装置.两个相同的弧形轨道M、N分别用于发射小铁球P、Q,其中N的末端可看作与光滑的水平板相切(水平板足够长),两轨道上端分别装有电磁铁C、D;调节电磁铁C、D的高度使AC=BD,从而保证小铁球P、Q在轨道出口处的水平初速度v0相等.现将小铁球P、Q分别吸在电磁铁C、D上,然后切断电源,使两小球能以相同的初速度v0同时分别从轨道M、N的末端射出.实验可观察到的现象是　　　　　　　.仅仅改变弧形轨道M的高度,重复上述实验,仍能观察到相同的现象.  (3)C同学采用频闪拍照的方法拍摄到如图丙所示的小球做平抛运动的照片,图中每个小方格的边长为L=2.5 cm,则由图可求得该小球做平抛运动的初速度大小为　　　　m/s.(保留两位有效数字,g取10 m/s2)  2．某实验小组采用如图甲所示的实验装置，做“探究平抛运动的特点”实验。 （1）在实验过程中，下列操作正确的是 。 A．斜槽末端必须调节为水平状态 B．在描绘同一条轨迹时，需要将小球多次从轨道上不同位置由静止释放并描点 C．每次释放小球时，水平挡板的位置必须从上到下（或从下到上）等间距调节 D．实验时需要让小球在运动过程中和纸面接触，以便坐标纸上直接留下运动轨迹 （2）图乙为一小球做平抛运动时用闪光照相的方法获得的相片的一部分，图中背景小方格的边长为5cm，取，则小球离开斜槽末端的初速度大小 m/s，小球的抛出点到点的水平距离为 ▲ cm。（计算结果均保留两位有效数字） 3．某同学利用如图甲、乙所示的装置研究“平抛运动的特点”。 （1）如图甲所示，用小锤打击弹性金属片，球B将水平飞出，同时球A被松开，两球同时落到地面，说明球B在竖直方向做 运动。 （2）如图乙所示，将两个完全相同的斜滑道固定在同一竖直面内，最下端水平。把两个质量相等的小钢球从斜面的同一高度由静止同时释放，球乙所在滑道与光滑水平板连接，观察到球1落到水平木板上击中球2，说明球1水平方向做 运动。 （3）该同学用图丙所示的装置继续做平抛运动实验，如图丁所示，A、B、C为小球运动轨迹的三个点，则由图中的数据可求得：（g取10 m/s2） ①小球从B运动到C的时间为 s； ②小球运动到B点时的速度大小为 m/s。 ③小球出发点坐标 。 学科网（北京）股份有限公司 $ 平抛运动重难点周末培优教案 考点一：平抛运动规律 考点二：斜面和圆弧面相关的平抛运动 考点三：平抛运动的临界极值问题 考点四：斜抛运动 考点五：平抛运动综合分析 考点六：平抛运动实验 考点一：平抛运动规律 1．定义：初速度沿水平方向抛出，物体只在重力作用下的运动． 2．性质：加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线． 3．解题思路：水平方向与竖直方向分开处理 (1)水平方向：匀速直线运动；(2)竖直方向：自由落体运动． 4．基本规律 5．平抛运动物体的速度变化量（注意：任意相等时间非速率变化量相同） 因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度变化量Δv＝gΔt是相同的，方向恒为竖直向下，如图所示． 6．两个推论 (1)做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点． (2)做平抛运动的物体在任意时刻任意位置处，有tan θ＝2tan α . 典型例题 1．无人机在距离水平地面高度处，以速度水平匀速飞行并释放一包裹，不计空气阻力，重力加速度为。 (1)求包裹释放点到落地点的水平距离； (2)求包裹落地时的速度大小； (3)以释放点为坐标原点，初速度方向为轴方向，竖直向下为轴方向，建立平面直角坐标系，写出该包裹运动的轨迹方程。 答案：(1)；(2)；(3) 解析：(1)包裹脱离无人机后做平抛运动，在竖直方向做自由落体运动，则 解得 水平方向上做匀速直线运动，所以水平距离为 (2)落地竖直方向速度为落地时速度为 (3)包裹做平抛运动，分解位移； 两式消去时间得包裹的轨迹方程为 2．如图所示，水平放置的排水管满口排水，管口的横截面积为S，管口离水池水面的高度为h，水在水池中的落点与管口的水平距离为d。假定水在空中做平抛运动，已知重力加速度为g，h远大于管口内径。求： （1）水从管口到水面的运动时间t； （2）水从管口排出时的速度大小； （3）管口单位时间内流出水的体积Q。 答案：（1）；（2）；（3） 解析：（1）水在空中做平抛运动，由平抛运动规律得，竖直方向 解得水从管口到水面的运动时间 （2）由平抛运动规律得，水平方向 解得水从管口排出时的速度大小 （3）管口单位时间内流出水的体积 3．如图，在摩托车越野赛途中的水平路段前方有一个坑，该坑沿摩托车前进方向的水平宽度为3h，其左边缘a点比右边缘b点高0.5h.若摩托车经过a点时的动能为E1(注：动能公式E＝mv2)，它会落到坑内c点．c与a的水平距离和高度差均为h；若经过a点时的动能为E2，该摩托车恰能越过坑到达b点.等于(　　) A．20 B．18 C．9.0 D．3.0 答案：B 解析：摩托车从a点做平抛运动到c点，水平方向：h＝v1t1，竖直方向：h＝gt12，可解得v1＝，动能E1＝mv12＝；摩托车从a点做平抛运动到b点，水平方向：3h＝v2t2，竖直方向：0.5h＝gt22，解得v2＝3，动能E2＝mv22＝mgh，故＝18，B正确． 考点二：斜面和圆弧面相关的平抛运动 已知条件 情景示例 解题策略 已知速度方向 从斜面外平抛，垂直落在斜面上，如图所示，已知速度的方向垂直于斜面 分解速度tan θ＝＝ 从圆弧形轨道外平抛，恰好无碰撞地进入圆弧形轨道，如图所示，已知速度方向沿该点圆弧的切线方向 分解速度tan θ＝＝ 　已知位移方向 从斜面上平抛又落到斜面上，如图所示，已知位移的方向沿斜面向下 分解位移tan θ＝＝＝ 在斜面外平抛，落在斜面上位移最小，如图所示，已知位移方向垂直斜面 分解位移tan θ＝＝＝ 利用位移关系 从圆心处水平抛出，落到半径为R的圆弧上，如图所示，已知位移大小等于半径R 从与圆心等高的圆弧上水平抛出，落到半径为R的圆弧上，如图所示，已知水平位移x与R的差的平方与竖直位移的平方之和等于半径的平方 典型例题 1．如图所示，斜面倾角为θ，位于斜面底端A正上方的小球以初速度v0正对斜面顶点B水平抛出，小球到达斜面经过的时间为t，重力加速度为g，则下列说法中正确的是（ ） A．若小球能击中斜面中点，则 B．若小球垂直击中斜面，则 C．若小球以最小位移到达斜面，则 D．无论小球怎样到达斜面，运动时间均为 答案：BC 解析：A、设斜面的长度为L，若小球能击中斜面中点，如图1所示：由平抛运动知识得：，，解得：，故A错；B、若小球垂直击中斜面时速度与竖直方向的夹角为，则，得，故B对；C、当小球落在斜面上的D点时，位移最小（如图2所示），设运动的时间为t，则由平抛运动知：，计算得出，故C对；D错。 图1 图2 2．如图所示，1、2两个小球以相同的速度v0水平抛出．球1从左侧斜面抛出，经过时间t1落回斜面上，球2从某处抛出，经过时间t2恰能垂直撞在右侧的斜面上．已知左、右两侧斜面的倾角分别为α＝30°、β＝60°，则(　　) A．t1∶t2＝1∶2 B．t1∶t2＝1∶3 C．t1∶t2＝2∶1 D．t1∶t2＝3∶1 答案：C 解析：由题意可得，对球1，有tan α＝＝，对球2，有tan β＝，又tan α·tan β＝1，联立解得t1∶t2＝2∶1，A、B、D错误，C正确． 3．如图所示，小球以v0正对倾角为θ的斜面水平抛出，若小球到达斜面的位移最小，则飞行时间t为(重力加速度为g)(　　) A．t＝v0tan θ B．t＝ C．t＝ D．t＝ 答案：D 解析：如图所示，要使小球到达斜面的位移最小，则要求落点与抛出点的连线与斜面垂直，所以有tan θ＝，而x＝v0t，y＝gt2，联立解得t＝，故选D. 4．如图所示，AB为一半径为R的圆弧，圆心位置为O，一小球从与圆心等高的任意点沿半径方向水平抛出，恰好垂直落在AB面上的Q点，且速度与水平方向夹角为53°，则小球抛出后的水平距离为（　　） A.0.6R B.0.8R C.R D.1.2R 答案：D 解析：如图所示，小球恰好垂直落在AB面上的Q点，则作速度的反向延长线，交于O点，由平抛运动的推论可知，速度反向延长线交水平位移的中点，故满足tan 53°＝，结合圆的几何关系可得＋y2＝R2，联立解得x＝1.2R，D正确。 5．如图，两小球M、N从同一高度同时分别以v1和v2的初速度水平抛出，经过时间t都落在了倾角θ＝37°的斜面上的A点，其中小球N垂直打到斜面上，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则（　　） A.初速度v1、v2大小之比为9∶8 B.初速度 v1、v2大小之比为8∶9 C.若v1、v2都变为原来的2倍，则两球在空中相遇，从抛出到相遇经过的时间为 D.若v1、v2都变为原来的2倍，则两球在空中相遇，从抛出到相遇经过的时间为 答案：BC 解析：两球抛出后都做平抛运动，两球从同一高度抛出落到同一点，在竖直方向做自由落体运动，由于竖直位移h相等，它们的运动时间均为t＝，对小球M，有tan 37°＝＝＝，解得v1＝gt，小球N垂直打在斜面上，则有v2＝vytan 37°＝gttan 37°＝gt，所以＝＝，故A错误，B正确；两小球同时抛出，竖直方向上做自由落体运动，相等时间内下降的高度相同，则两球始终在同一水平面上，当飞行时间为t时，M、N两球初始时的水平距离为x＝v1t＋v2t，若两球的抛出速度都变为原来的2倍，则两球在空中相遇，有x＝2v1t'＋2v2t'，联立得t'＝，即两球从抛出到相遇经过的时间为，故C正确，D错误。 考点三：平抛运动的临界极值问题 平抛运动中临界问题的两种常见情形 （1）物体的最大位移、最小位移、最大初速度、最小初速度； （2）物体的速度方向恰好达到某一方向。 典型例题 1．在跨越河流表演中，一人骑车以v0＝25 m/s的速度水平冲出平台，恰好跨越宽度为d＝25 m的河流落在河对岸平台上，不计空气阻力，重力加速度取g＝10 m/s2，则两平台的高度差h为（　　） A.0.5 m B.5 m C.10 m D.20 m 答案：B 解析：平抛运动h＝5 m，B正确。 2． 如图所示，小明取山泉水时发现水平细水管到水平地面的距离为水桶高的两倍，在地面上平移水桶，水恰好从桶口中心无阻挡地落到桶底边沿A。已知桶高为h，直径为D，则水离开出水口的速度大小为（　　） A． B． C． D． 答案：C 解析：设出水孔到水桶中心距离为x，则 落到桶底A点时 解得 故选C。 3．如图所示，窗子上、下沿间的高度H＝1.6 m，墙的厚度d＝0.4 m，某人在离墙壁距离L＝1.4 m、距窗子上沿h＝0.2 m处的P点，将可视为质点的小物件以速度v水平抛出，小物件直接穿过窗口并落在水平地面上，取g＝10 m/s2，不计空气阻力，则v的取值范围是（　　） A.v＞7 m/s B.v＜2.3 m/s C.3 m/s≤v≤7 m/s D.2.3 m/s≤v≤3 m/s 答案：C 解析：若小物件恰好穿过窗口上沿，则有h＝g，L＝v1t1，解得v1＝7 m/s，若小物件恰好穿过窗口下沿，则有h＋H＝g，L＋d＝v2t2，解得v2＝3 m/s，所以3 m/s≤v≤7 m/s，故选C。 4．如图所示，水平面上放置一个直径d＝1 m，高h＝1 m的无盖薄油桶，沿油桶底面直径距左桶壁s＝2 m处的正上方有一点P，P点的高度H＝3 m，从P点沿直径方向水平抛出一小球，不考虑小球的反弹，下列说法正确的是（取g＝10 m/s2）（　　） A.小球的速度范围为 m/s＜v＜ m/s时，小球击中油桶的内壁 B.小球的速度范围为 m/s＜v＜ m/s时，小球击中油桶的下底 C.小球的速度范围为 m/s＜v＜ m/s时，小球击中油桶外壁 D.若P点的高度变为1.8 m，则小球无论初速度多大，均不能直接落在桶底（桶边沿除外） 答案：ACD 解析：当小球落在A点时，根据平抛运动的规律有，H＝gt2，s＝v1t，联立解得v1＝s＝ m/s，同理可知，当小球落在D点时，v2＝s＝ m/s，当小球落在B点时，v3＝（s＋d）＝ m/s，当小球落在C点时，v4＝（s＋d）＝ m/s，所以选项A、C正确，B错误；若P点的高度变为H0，轨迹同时过D点和B点，则此时初速度v'＝s＝（s＋d）·，解得H0＝1.8 m，在此高度上，小球无论初速度多大，都不能直接落在桶底（桶边沿除外），选项D正确。 考点四：斜抛运动 以斜抛运动的抛出点为坐标原点O，水平向右为x轴的正方向，竖直向上为y轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系xOy. 初速度可以分解为v0x＝v0cos θ，v0y＝v0sin θ. 在水平方向，物体的位移和速度分别为 x＝v0xt＝(v0cos θ)t vx＝v0x＝v0cos θ 在竖直方向，物体的位移和速度分别为 y＝v0yt－gt2＝(v0sin θ)t－gt2 vy＝v0y－gt＝v0sin θ－gt 重要结论：给定大小的初速度v0，沿θ＝45°方向斜向上抛出时，射程最大． 典型例题 1．(多选)2022年北京冬奥会在北京和张家口举行，北京成为了历史上第一个既举办过夏季奥运会又举办过冬季奥运会的城市．图示为某滑雪运动员训练的场景，运动员以速度v1＝10 m/s沿倾角α＝37°、高H＝15 m的斜面甲飞出，并能无碰撞地落在倾角β＝60°的斜面乙上，顺利完成飞越．把运动员视为质点，忽略空气阻力，重力加速度取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.以下说法正确的是(　　) A．运动员落至斜面乙时的速率为16 m/s B．斜面乙的高度为7.2 m C．运动员在空中飞行时离地面的最大高度为20 m D．两斜面间的水平距离约为11.1 m 答案：AB 解析：运动员在水平方向做匀速直线运动，水平方向速度大小为vx＝v1cos α＝8 m/s，落到斜面乙时，设速度大小为v2，则满足vx＝v2cos β，解得v2＝16 m/s，故A正确；设斜面乙高度为h，从斜面甲到斜面乙过程中，由机械能守恒定律得mg(H－h)＝mv22－mv12，解得h＝7.2 m，故B正确；从斜面甲飞出时，运动员在竖直方向的速度大小为vy＝v1sin α＝6 m/s，则运动员在空中飞行时离地面的最大高度为Hmax＝H＋＝16.8 m，故C错误；运动员到达斜面乙的竖直方向速度大小为vy′＝v2sin β＝8 m/s，则在空中运动的时间t＝ s，则水平距离为x＝vxt≈15.9 m，故D错误． 2.如图所示，A、B两篮球从相同高度同时抛出后直接落入篮筐，落入篮筐时的速度方向相同，下列判断正确的是(　　) A．A比B先落入篮筐 B．A、B运动的最大高度相同 C．A在最高点的速度比B在最高点的速度小 D．A、B上升到某一相同高度时的速度方向相同 答案：D 解析：若研究两个过程的逆过程，可看成是从篮筐沿同方向斜向上的斜抛运动，落到同一高度上的两点，则A上升的高度较大，高度决定时间，可知A运动时间较长，即B先落入篮筐中，A、B错误；因为两球抛射角相同，A的射程较远，则A球的水平速度较大，即A在最高点的速度比B在最高点的速度大，C错误；由斜抛运动的对称性可知，当A、B上升到某一相同高度时的速度方向相同，D正确． 考点五：平抛运动综合分析 1．一光滑宽阔的斜面，倾角为θ，高为h，重力加速度为g。现有一小球在A处贴着斜面以水平速度v0射出，最后从B处离开斜面，下列说法中正确的是 A．小球的运动轨迹为抛物线 B．小球的加速度为gtanθ C．小球到达B点的时间为 D．小球到达B点的水平位移 答案：ACD 解析：A、小球受重力和支持力两个力作用，合力沿斜面向下，与初速度垂直，做类平抛运动，轨迹为抛物线，故A正确；B、根据牛顿第二定律知，小球的加速度，故B错误；C、小球在沿斜面方向上的位移为hsinθ，根据，解得，故C正确；D、在水平方向上做匀速直线运动，，故D正确；故选ACD。 2．如图所示，一小球从平台上水平抛出，恰好落在平台前一倾角为α=53°的斜面顶端，并刚好沿斜面下滑，已知平台到斜面顶端的高度为h=0.8 m，求小球水平抛出的初速度v0和斜面与平台边缘的水平距离x各为多少？（取sin 53°=0.8，cos 53°=0.6，g=10 m/s2） 答案：0．3 m/s 1.2 m 解析：小球从平台到斜面顶端的过程中做平抛运动，由平抛运动规律有：x=v0t，，vy=gt，由题图可知：，代入数据解得：v0=3 m/s，x=1.2 m。 3．一物体从倾角为37°的斜坡顶端A点做平抛运动，经3 s后落到斜坡上的B点，（sin 37°=0.60，cos 37°=0.80，g取10 m/s2）。求： （1）A到B的竖直高度； （2）物体离开A点时的速度大小； （3）物体离开A点后，经过多少时间离斜坡最远。 答案：（1）45 m （2）20 m/s （3）1.5 s 解析：（1）根据平抛运动竖直方向为自由落体运动，则：，得： （2）根据几何关系，水平分位移为：， 水平方向根据匀速运动：则： 代入数据可以得到： （3）物体离开斜坡最远时速度方向与斜坡平行：即， 代入数据可以得： 4.跳台滑雪是一种勇敢者的滑雪运动，运动员在滑雪道上获得一定速度后从跳台飞出，在空中飞行一段距离后落地。如图所示，运动员从跳台A处沿水平方向以v0＝20 m/s的速度飞出，落在斜坡上的B处，斜坡与水平方向的夹角θ为37°，不计空气阻力（sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，取g＝10 m/s2），求： （1）运动员在空中飞行的时间； （2）运动员落在B处时的速度大小； （3）运动员在空中离坡面的最大距离。 答案：（1）3s；（2）10 m/s（3）d＝9 m 解析：运动员做平抛运动，设在空中飞行的时间为t，则有x＝v0t，y＝gt2，由题图可知tan θ＝ 联立解得t＝tan θ＝3 s。 （2）运动员落在B处时有vx＝v0，vy＝gt 所以vB＝＝10 m/s。 （3）取沿斜坡向下方向（x方向）与垂直于斜坡向上方向（y方向）分析运动员的运动，则在垂直于斜坡方向上，vy'＝v0sin θ＝12 m/s ay＝－gcos θ＝－8 m/s2 当vy'＝0时，运动员在空中离坡面的距离最大，则有d＝＝9 m。 5．如图所示，在水平地面上固定一倾角θ=37°、表面光滑的斜面，物体A以的初速度沿斜面上滑，同时在物体A的正上方，物体B以某一初速度水平抛出。如果当A上滑到最高点时恰好被B物体击中（A、B均可看作质点，sin37°=0.6，cos37°=0.8，g取10 m/s2）。求： （1）物体A上滑到最高点所用的时间t； （2）物体B抛出时的初速度； （3）物体A、B间初始位置的高度差h。 答案：（1）1 s （2）2.4 m/s （3）6.8 m 解析：（1）物体A上滑过程中，有mgsin θ=ma，得a=6 m/s2 设经过t时间相撞，由运动学公式 ，代入数据得t=1 s （2）平抛物体B的水平位移=2.4 m 平抛速度=2.4 m/s （3）A、B间的高度差。 6.将一小球水平抛出，使用频闪仪和照相机对运动的小球进行拍摄，频闪仪每隔0.05 s发出一次闪光．某次拍摄时，小球在抛出瞬间频闪仪恰好闪光，拍摄的照片编辑后如图所示．图中的第一个小球为抛出瞬间的影像，每相邻两个球之间被删去了3个影像，所标出的两个线段的长度s1和s2之比为3∶7.重力加速度大小取g＝10 m/s2，忽略空气阻力．求在抛出瞬间小球速度的大小． 答案： m/s 解析：频闪仪每隔0.05 s发出一次闪光，每相邻两个球之间被删去3个影像，故相邻两球的时间间隔为t＝4T＝4×0.05 s＝0.2 s．设抛出瞬间小球的速度为v0，每相邻两球间的水平方向上位移为x，竖直方向上的位移分别为y1、y2，根据平抛运动位移公式有x＝v0t，y1＝gt2＝×10×0.22 m＝0.2 m，y2＝g(2t)2－gt2＝×10×(0.42－0.22) m＝0.6 m，令y1＝y，则有y2＝3y1＝3y 已标注的线段s1、s2分别为s1＝ s2＝＝ 则有∶＝3∶7 整理得x＝y，故在抛出瞬间小球的速度大小为v0＝＝ m/s. 考点六：平抛运动实验 1．数据处理 情景1：若原点O为抛出点，利用公式x＝v0t和y＝gt2，即可求出多个初速度v0＝x，最后求出初速度的平均值，这就是做平抛运动的物体的初速度． 情景2：若原点O不是抛出点， ①在轨迹曲线上取三点A、B、C，使xAB＝xBC＝x，如图所示．A到B与B到C的时间相等，设为T. ②用刻度尺分别测出yA、yB、yC，则有yAB＝yB－yA，yBC＝yC－yB. ③yBC－yAB＝gT2，且v0T＝x，由以上两式得v0＝x. 2．注意事项 (1)固定斜槽时，要保证斜槽末端的切线水平，以保证小球的初速度水平，否则小球的运动就不是平抛运动了． (2)小球每次从槽中的同一位置由静止释放，这样可以确保每次小球抛出时的速度相等． (3)坐标原点(小球做平抛运动的起点)不是槽口的端点，应是小球在槽口时，球的球心在背板上的水平投影点． 典型例题 1．三个同学根据不同的实验条件,进行了探究平抛运动规律的实验. (1)A同学采用如图甲所示的装置.用小锤击打弹性金属片,金属片把A球沿水平方向弹出,同时B球被松开自由下落,观察到两球同时落地,改变小锤打击的力度,即改变A球被弹出时的速度,两球仍然同时落地,这说明　　　　　　　　　　　　　　　　　.  (2)B同学采用如图乙所示的装置.两个相同的弧形轨道M、N分别用于发射小铁球P、Q,其中N的末端可看作与光滑的水平板相切(水平板足够长),两轨道上端分别装有电磁铁C、D;调节电磁铁C、D的高度使AC=BD,从而保证小铁球P、Q在轨道出口处的水平初速度v0相等.现将小铁球P、Q分别吸在电磁铁C、D上,然后切断电源,使两小球能以相同的初速度v0同时分别从轨道M、N的末端射出.实验可观察到的现象是　　　　　　　.仅仅改变弧形轨道M的高度,重复上述实验,仍能观察到相同的现象.  (3)C同学采用频闪拍照的方法拍摄到如图丙所示的小球做平抛运动的照片,图中每个小方格的边长为L=2.5 cm,则由图可求得该小球做平抛运动的初速度大小为　　　　m/s.(保留两位有效数字,g取10 m/s2)  答案：(1)平抛运动在竖直方向上为自由落体运动　(2)P球击中Q球　(3)1.0 解析：(1)在打击金属片时,两小球同时分别做平抛运动与自由落体运动,结果同时落地,说明平抛运动在竖直方向为自由落体运动. (2)两球在水平方向的运动是相同的,则在相同的时间内水平位移相同,则实验可观察到的现象是P球击中Q球. (3)平抛运动可分解为竖直方向上的自由落体运动与水平方向上的匀速直线运动,在竖直方向上,由Δh=gt2可得t= s=0.05 s,水平方向上,由x=v0t得v0= m/s=1.0 m/s. 2．某实验小组采用如图甲所示的实验装置，做“探究平抛运动的特点”实验。 （1）在实验过程中，下列操作正确的是 。 A．斜槽末端必须调节为水平状态 B．在描绘同一条轨迹时，需要将小球多次从轨道上不同位置由静止释放并描点 C．每次释放小球时，水平挡板的位置必须从上到下（或从下到上）等间距调节 D．实验时需要让小球在运动过程中和纸面接触，以便坐标纸上直接留下运动轨迹 （2）图乙为一小球做平抛运动时用闪光照相的方法获得的相片的一部分，图中背景小方格的边长为5cm，取，则小球离开斜槽末端的初速度大小 m/s，小球的抛出点到点的水平距离为 ▲ cm。（计算结果均保留两位有效数字） 答案：（1）A （2）1.5 15 解析：（1）为了保证小球抛出的速度处于水平方向，斜槽末端必须调节为水平状态，故A正确；在描绘同一条轨迹时，为了保证每次小球抛出的速度相同，需要将小球多次从轨道同一位置由静止释放并描点，故B错误；每次释放小球时，水平挡板的位置不需要从上到下（或从下到上）等间距调节，故C错误；为了使小球运动过程与纸面间没有摩擦力作用，实验时不能让小球在运动过程中和纸面接触，故D错误。 （2）竖直方向由，可得，则小球离开斜槽末端的初速度大小，小球经过点的竖直分速度大小为，小球经过点的竖直分速度大小为，小球从抛出点到点所用时间为，则小球的抛出点到点的水平距离为。 3．某同学利用如图甲、乙所示的装置研究“平抛运动的特点”。 （1）如图甲所示，用小锤打击弹性金属片，球B将水平飞出，同时球A被松开，两球同时落到地面，说明球B在竖直方向做 运动。 （2）如图乙所示，将两个完全相同的斜滑道固定在同一竖直面内，最下端水平。把两个质量相等的小钢球从斜面的同一高度由静止同时释放，球乙所在滑道与光滑水平板连接，观察到球1落到水平木板上击中球2，说明球1水平方向做 运动。 （3）该同学用图丙所示的装置继续做平抛运动实验，如图丁所示，A、B、C为小球运动轨迹的三个点，则由图中的数据可求得：（g取10 m/s2） ①小球从B运动到C的时间为 s； ②小球运动到B点时的速度大小为 m/s。 ③小球出发点坐标 。 答案：（1）自由落体 （2）匀速直线 （3）0.2s 5m/s （-60cm，-20cm） 解析：题图甲该实验中两球同时落地，说明竖直方向的运动相同，即说明球B在竖直方向做自由落体运动。 题图乙该实验中球1落到光滑水平木板上击中球2，说明两球在水平方向的运动完全相同，说明球1水平方向做匀速直线运动。 解析：①竖直方向，根据Δy＝gT 2 解得T＝＝＝0.2 s。 ②小球做平抛运动的初速度为 v0＝＝＝3.0 m/s B点的竖直方向的速度为 vBy＝＝＝4.0 m/s，vBy＝gt，得t=0.4s 则小球运动到B点的速度为 vB＝＝5.0 m/s。 ③X=v0t=1.2m=120cm y=1/2gT 2＝0.8m=80cm 出发点坐标为（-60cm，-20cm） 学科网（北京）股份有限公司 $