精品解析：内蒙古自治区锡林郭勒盟锡林郭勒盟三县联考2025-2026学年八年级下学期4月阶段检测

2025-2026学年度锡林郭勒盟三县联考 八年级数学第一次月考试卷 考试范围：第十九章、第二十章；考试时间：100分钟；考试分数：100分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（共24分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列几组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. ，2， B. 3，4，5 C. ，2， D. 2，3，4 3. 估算的值应在（ ） A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 4. 如图，已知四边形中，，，，则点到的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，，，点B是线段上一动点，以为底边作等腰三角形，则的最小值是（ ） A. 3 B. C. D. 2 6. 如图，是数轴的原点，是数轴上的点，垂直于数轴，垂足为，且，连接，以点为圆心，为半径作圆与数轴交于，两点，则点所表示的数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，中，，，在外，且．若要求的面积，则需要添加的条件是（ ） A. 的长度 B. 的长度 C. 的长度 D. 的长度 8. 如图，平面直角坐标系中，，，将沿折叠，点O的对应点为点C，将沿x轴正方向平移得到，当经过点B时，点F的坐标为（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题（共12分） 9. 数学兴趣小组为测量学校A与河对岸的科技馆B 之间的距离，在A的同岸选取点C，测 得米，， 如图，据此可求得A，B之间的距离为 ______ 米． 10. 如图，是由四个全等的直角三角形拼成的赵爽弦图，得到正方形与正方形，连结并延长，交于点．若，为中点，则的长为_____；的长为_____． 11. 如图，，，，，，则的长为_____． 12. 如图，在四边形中，对角线，且，连接，若的长为 ___________． 三、解答题（共64分） 13. 如图，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的图形，其中点，，的对称点分别为，，，并写出点，，的坐标； （2）点在轴上，当时，点的坐标为________． 14. 如图，点在线段上，，，，平分． （1）证明：； （2）若，，求的面积． 15. 如图是人们喜爱的秋千，已知秋千静止的时候，踏板离地高为，将它往前推进到（即的长为，且），此时踏板离地的高为．求秋千绳索的长度． 16. 运算能力计算： （1）； （2）． 17. 问题提出 （1）如图1，点A，B分别在直线l的两侧，分别过点A，B作直线l的垂线，垂足分别为M，N，，P是直线l上一点，求的最小值． 问题探究 （2）如图2，点A，B分别在直线l的同一侧，分别过点A，B作直线l的垂线，垂足分别为M，N，，P是直线l上一点，求的最小值． 问题解决 （3）如图3，某市进行河滩治理，将原来一条废弃的小河通过规划后建成一条集旅游、休闲、餐饮于一体的景点．如图，是两条互相垂直的旅游大道，A，B是位于河中的两座休闲小岛，且岛A与的距离为20m，与的距离为30m，岛B与的距离为40m，与的距离为20m．现计划在旅游大道处选一点P，修建桥梁，通往A，B两岛，并修建桥梁，将A，B两岛连起来，计算所修建的所有桥梁的最短长度．（结果保留根号） 18. 如图，点在线段的垂直平分线上，为垂足，以为边作等边三角形，（逆时针排列）连接，直线交于点． （1）点在线段上方，连接： ①如图1，若为等边三角形，直接写出的值及的度数； ②如图2，若为等腰直角三角形，求证：． （2）如图3，连接，移动点，当最小时，，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度锡林郭勒盟三县联考 八年级数学第一次月考试卷 考试范围：第十九章、第二十章；考试时间：100分钟；考试分数：100分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（共24分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义逐项判断即可． 【详解】因为，所以A不符合题意； 因为，所以B不符合题意； 因为，所以C不符合题意； 因为是最简二次根式，所以D符合题意． 故选：D． 2. 下列几组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. ，2， B. 3，4，5 C. ，2， D. 2，3，4 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，理解并掌握勾股定理的逆定理是解题关键．勾股定理的逆定理：若一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形．在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断． 【详解】解：A.，故可以作为直角三角形的三边长，不符合题意； B. ，故可以作为直角三角形的三边长，不符合题意； C. ，故可以作为直角三角形的三边长，不符合题意； D. ，故不可以作为直角三角形的三边长，符合题意． 故选：D． 3. 估算的值应在（ ） A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 【答案】C 【解析】 【分析】先根据二次根式的混合运算进行计算，然后在估算计算的结果即可． 【详解】解： ； ∵， 即， ∴， ∴， 故的值应在到之间． 故选：C． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小，二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 4. 如图，已知四边形中，，，，则点到的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，垂直平分线的判定及性质，连接交于，作交于，可知垂直平分，由勾股定理可得，则，，再结合，即可求解，熟练掌握垂直平分线的判定及性质是解决问题的关键． 【详解】解：连接交于，作交于， ∵，， ∴垂直平分，则， ∵， ∴，则， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 5. 如图，，，，点B是线段上一动点，以为底边作等腰三角形，则的最小值是（ ） A. 3 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查线段垂直平分线的判定、等腰三角形的判定与性质、垂线段最短、勾股定理，连接，可证明，，当时，最小，利用等腰三角形的判定和勾股定理求解即可．得到点P的运动路线是解答的关键． 【详解】解：连接， 由题意，，， ∴垂直平分，即， ∵， ∴， ∴点P在与成的射线上， 故当时，最小，如图，则， ∴， 由勾股定理得， ∴，则， 即的最小值是， 故选：C． 6. 如图，是数轴的原点，是数轴上的点，垂直于数轴，垂足为，且，连接，以点为圆心，为半径作圆与数轴交于，两点，则点所表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用勾股定理求出长度，根据圆的基本性质即可求出的长度，从而求出点所表示的数． 【详解】解：，， 在中，， ， 在原点左侧， 表示的数是． 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理和圆的定义，解题的关键在于熟练掌握相关方法和性质定理，以及点的坐标的特性． 7. 如图，中，，，在外，且．若要求的面积，则需要添加的条件是（ ） A. 的长度 B. 的长度 C. 的长度 D. 的长度 【答案】C 【解析】 【分析】过点B作于点E，过点C作，交的延长线于点F，设，，则，由勾股定理得，，证明是等腰直角三角形得，由勾股定理得，再证明和全等得，，，由此得，根据得，由此得，据此若要求的面积，则需要添加的条件的长度即可． 【详解】解：过点B作于点E，过点C作，交的延长线于点F，如图所示： ∴， 设，， ∴， 在中，由勾股定理得：， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 在中，， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴若要求的面积，则需要添加的条件的长度即可． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积，理解等腰直角三角形，熟练掌握全等三角形的判定与性质，三角形的面积是解决问题的关键． 8. 如图，平面直角坐标系中，，，将沿折叠，点O的对应点为点C，将沿x轴正方向平移得到，当经过点B时，点F的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，过C点作于点M，根据平移有：，根据翻转可知：，即证明，则有，即，在中，，即可求出，即，根据对称有：，即有，可得，根据， ，可得，即，则有，根据平移可知：点C向右平移得到点F，即可求解． 【详解】连接，过C点作于点M，如图， 根据平移有：， ∴， 根据翻转，可知：，，， ∴， ∴， ∴，即， ∵，， ∴，， ∴，，，， ∵在中，， ∴， ∴，即， 根据对称，点O的对应点为点C，有：， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴在中，， 在中，， ∴， ∴解得：，即， ∴， ∵， ∴根据平移可知：点C向右平移得到点F， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的翻转与平移，勾股定理，图形与坐标等知识，掌握翻转与平移的性质是解答本题的关键． 第II卷（非选择题） 二、填空题（共12分） 9. 数学兴趣小组为测量学校A与河对岸的科技馆B 之间的距离，在A的同岸选取点C，测 得米，， 如图，据此可求得A，B之间的距离为 ______ 米． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，等腰直角三角形的性质与判定，先证明是等腰直角三角形，米，则由勾股定理可得米． 【详解】解；∵， ∴是等腰直角三角形， ∴米， ∴米， 故答案为：． 10. 如图，是由四个全等的直角三角形拼成的赵爽弦图，得到正方形与正方形，连结并延长，交于点．若，为中点，则的长为_____；的长为_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，勾股定理的应用，先证明，由全等三角形的性质得到，，进而证明，根据勾股定理得，建立方程解方程，即可求解． 【详解】解：为中点， ， 又，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：，． 11. 如图，，，，，，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、勾股定理，根据全等三角形对应边相等，可得，利用勾股定理求出，根据线段之间的关系即可求出的长． 【详解】解：， ，， 在中，， ． 故答案为：． 12. 如图，在四边形中，对角线，且，连接，若的长为 ___________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 作，使，连接．由，推出，由，可得，再利用勾股定理即可解决问题． 【详解】解：如图中，作，使，连接． 由知： ， 即， 在与中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴,又 ∴， ∵， ∴． 故答案为2． 三、解答题（共64分） 13. 如图，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的图形，其中点，，的对称点分别为，，，并写出点，，的坐标； （2）点在轴上，当时，点的坐标为________． 【答案】（1）图见解析，，， （2）点的坐标为或 【解析】 【分析】本题考查了作图—轴对称变换，勾股定理，写出平面直角坐标系中点的坐标，熟练掌握轴对称的性质是解此题的关键． （1）根据关于轴对称的特征作出，再写出点，，的坐标即可； （2）由题意可得，设点，则，，由并结合勾股定理计算即可得解． 【小问1详解】 解：如图，即为所作， ， 由图可得：，，； 【小问2详解】 解：由题意可得：， 设点，则，， ∵， ∴， ∴， 解得：或， ∴点的坐标为或． 14. 如图，点在线段上，，，，平分． （1）证明：； （2）若，，求的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2）的面积是60 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是找出需要的条件，其中用到的数学思想是数形结合的思想． （1）根据，可以得到，然后根据即可证明结论成立； （2）根据（1）中的结果和等腰三角形的性质，可以得到的长，由平分，推导出，在中，求得，再根据三角形的面积计算公式即可计算出的面积． 【小问1详解】 证明：， ， 在和中， ， ； 【小问2详解】 解：由（1）知， ， 又平分， ，， ， ， 在中， ， ， 即的面积是60． 15. 如图是人们喜爱的秋千，已知秋千静止的时候，踏板离地高为，将它往前推进到（即的长为，且），此时踏板离地的高为．求秋千绳索的长度． 【答案】秋千绳索的长度为米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的运用，由题意易得，设，在中，由勾股定理建立方程，即可作答．理解题意，利用勾股定理建立方程是解决问题的关键． 【详解】解：∵踏板A离地高为，为， ∴， ∵的长为， 设，， ∴在中，，即 解得， 故秋千绳索的长度为米． 16. 运算能力计算： （1）； （2）． 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算， 对于（1），先化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可； 对于（2），先化简成最简二次根式，同时去括号，再合并同类二次根式． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 问题提出 （1）如图1，点A，B分别在直线l的两侧，分别过点A，B作直线l的垂线，垂足分别为M，N，，P是直线l上一点，求的最小值． 问题探究 （2）如图2，点A，B分别在直线l的同一侧，分别过点A，B作直线l的垂线，垂足分别为M，N，，P是直线l上一点，求的最小值． 问题解决 （3）如图3，某市进行河滩治理，将原来一条废弃的小河通过规划后建成一条集旅游、休闲、餐饮于一体的景点．如图，是两条互相垂直的旅游大道，A，B是位于河中的两座休闲小岛，且岛A与的距离为20m，与的距离为30m，岛B与的距离为40m，与的距离为20m．现计划在旅游大道处选一点P，修建桥梁，通往A，B两岛，并修建桥梁，将A，B两岛连起来，计算所修建的所有桥梁的最短长度．（结果保留根号） 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）过A作垂线，交延长线于C，连接，根据两点之间线段最短，得到三点共线时，的值最小为的长，勾股定理进行求解即可； （2）作A关于的对称点，过作垂线，交延长线于C，得到，进而得到当，P，B共线时，最小为的长，再利用勾股定理求解即可； （3）根据为定值，得到的最小值在最小时取得，取A关于的对称点C，连接交于G，连接，过B作交延长线于D，交于E，过A作于F，得到，即：的最小值为，分别求出的长，即可得出结果． 【详解】解：（1）过A作垂线，交延长线于C，如图： 由图可知，， ∴A，P，B共线时，最小， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是长方形， ∴， ∴， ∴， 即最小值是； （2）作A关于的对称点，过作垂线，交延长线于C，如图： 由对称的性质可知，，， ∴， ∴当，P，B共线时，最小， 同（1）可知，四边形为长方形， ∴，， ∴， ∴， 即的最小值是； （3）∵长度一定， ∴的最小值在最小时取得， 取A关于的对称点C，连接交于G，连接，过B作交延长线于D，交于E，过A作于F，如图：则：，即：的最小值为， ∴ 由对称的性质可知，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为长方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴最小为． 【点睛】本题考查两点之间线段最短，成轴对称的性质，勾股定理．解题的关键是掌握两点之间线段最短，利用轴对称的性质，构造直角三角形． 18. 如图，点在线段的垂直平分线上，为垂足，以为边作等边三角形，（逆时针排列）连接，直线交于点． （1）点在线段上方，连接： ①如图1，若为等边三角形，直接写出的值及的度数； ②如图2，若为等腰直角三角形，求证：． （2）如图3，连接，移动点，当最小时，，求线段的长． 【答案】（1）①，；②证明见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）①由等边三角形性质，结合垂直平分线的判定得到，再由等腰三角形三线合一性质得到平分，即可得到的度数；再由含直角三角形性质及勾股定理求出求解即可得到答案； ②由垂直平分线性质得到，进而得到，再由等腰直角三角形性质，求出，作于，如图所示，得到，，数形结合表示出即可得证； （2）由线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质易得，从而确定在点运动过程中，动点在直线上运动，则由垂线段最短可知，当时，有最小值，作于，连接，如图所示，先判断为等边三角形，进而得到，在中，由含直角三角形性质及勾股定理列方程求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：①均为等边三角形， ，， 是线段的垂直平分线， 即， 由等腰三角形三线合一性质可得平分， ； 如图所示： ，， 由等腰三角形三线合一性质得到， 在中，设，则， 由勾股定理可得， ， 是线段的垂直平分线， ， 在中，，则， 解得， 则， ； ②如图所示： 是的垂直平分线， 点关于对称， ， ，， 则， 在等边中，再由，可得， ， ， 在和中，， ， ，且是的一个外角， ， 为等腰直角三角形， ， ， ． 作于，如图所示： ，， ， 即； 【小问2详解】 解：连接，如图所示： 由垂直平分线的性质得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又四边形的内角和为， ∴， ， ∴， 在等腰中，由三角形内角和定理可得， 即在点运动过程中，动点在直线上运动，且， 由垂线段最短可知，当时，有最小值， 此时，过点作于，连接，如图所示： ， 在中，点为中点，即是斜边上的中线，则， 即是等边三角形， ， 又，， ， ， 于，， ， ∴， 在中，，， 设，则，由勾股定理得， 解得， ． 【点睛】本题考查几何综合，综合性强，难度较大，涉及等边三角形判定与性质、垂直平分线的判定与性质、等腰三角形性质、含直角三角形性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟记三角形相关判定与性质是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $