精品解析：湖南省长沙市第一中学2025-2026学年高一下学期4月阶段检测数学试题

高一数学一 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意知集合，， 故. 2. 在复平面内，复数满足，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的除法运算法则，求得复数的代数形式，再利用虚部的定义可以求解. 【详解】因为， 所以， 所以复数的虚部为, 故选：C. 3. 如图在梯形中，，，设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题中，由向量的线性运算，直接求解，即可得出结果. 【详解】因为，， 所以， 又，， 所以. 故选：D. 【点睛】本题考查用基底表示向量，熟记平面向量基本定理即可，属于基础题型. 4. 已知，则的最小值是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由，得，则 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是4. 故选：A 5. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象上的所有的点（ ） A. 保持y不变，横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移1个单位长度 B. 保持y不变，横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移1个单位长度 C. 保持y不变，横坐标缩短为原来的一半，再向左平移1个单位长度 D. 保持y不变，横坐标缩短为原来的一半，再向右平移1个单位长度 【答案】A 【解析】 【详解】把函数的图象的所有的点保持不变，横坐标伸长为原来的2倍得到函数的图象，向左平移1个单位长度得到函数的图象. 6. 复数满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的几何意义求解即可. 【详解】复数满足，其对应的点是以原点为圆心，为半径的圆上的点， 复数几何意义是复数对应的点到点的距离， 所以的最大值为， 故选：D. 7. 在中，内角A，B，C所对的三条边分别为a，b，c，则的必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理边化角，然后利用三角恒等变换化简求解. 【详解】A选项，， 由,，故为充要条件； B选项，， 而，则或，为必要不充分条件； C选项，，由， 则，为充要条件； D选项，，由，得， 从而且，， ，为充要条件. 8. 已知，都是锐角，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角函数和差角公式化简求解，同时注意根据三角函数值确定角的范围 【详解】因为，都是锐角，所以，又，则， 注意到，故，， 所以. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若为钝角，则 【答案】AC 【解析】 【分析】利用向量的坐标运算计算即可. 【详解】对于A选项，当时，，故A选项正确； 对于B选项，当时，,解得，故B选项不正确； 对于C选项，若，则，所以，所以C选项正确； 对于D选项，依题意，，且，， 故，故D选项错误. 10. 函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. 函数图象的对称轴是 C. 函数的一个单调递减区间为 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】结合图象可得，根据周期公式计算可判断A；根据正弦型函数性质计算可判断BCD. 【详解】对于A，由图知，，， ，故A正确； 对于B，令，解得， 不是函数图象的对称轴，故B错误； 对于C，由，解得， 令，即为，故C正确； 对于D，的周期为，而， 则，故D正确. 11. 在锐角，内角，，的对边分别是，，，已知，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据正弦定理可判断A；根据弦切互化及三角恒等变换化简可判断B；结合B由基本不等式可得，根据两角和的正切公式化简计算可判断C；由C可得，根据正弦定理化简可判断D. 【详解】对于A选项，由正弦定理可得，但是不能得到，故A错误； 对于B选项，，故选项B正确； 对于C选项，由为锐角，故， 从而，故， 因为，所以， 因此，故C正确； 对于D选项，由C可知，则， 由正弦定理可得，得，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，求与向量方向相同的单位向量为__________. 【答案】 【解析】 【分析】依题意求得，进而可得与向量方向相同的单位向量. 【详解】由，得，所以，与向量方向相同的单位向量是. 故答案为： 13. 函数的零点为______. 【答案】 【解析】 【分析】通过换元，将问题转换成一元二次方程，进而可求解. 【详解】设，令，去分母，得， 整理得，即， ，，即， . 14. 已知，若对任意实数x均有，则满足条件的的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】当或时验证成立，再按分类，结合函数的奇偶性，借助正弦函数性质推理判断. 【详解】当或时，不等式恒成立； 令函数，其定义域为，， 当时，取，则，， 因此，与已知矛盾； 当时，由对任意实数x均有，取， 得，而，，两者矛盾， 所以满足条件的的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如右图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为nmile，在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为n mile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120°，求： (1)A处与D处的距离； (2)灯塔C与D处的距离． 【答案】（1）24；（2） 【解析】 【分析】（1）利用已知条件，利用正弦定理求得AD的长． （2）在△ADC中由余弦定理可求得CD，答案可得． 【详解】(1) 在△ABD中，由已知得∠ADB=60°，B=45° 由正弦定理得 (2) 在△ADC中，由余弦定理得CD2=AD2+AC2﹣2AD•ACcos30°，解得CD=． 所以A处与D处之间的距离为24nmile，灯塔C与D处之间的距离为nmile． 【点睛】点睛：解三角形应用题的一般步骤 (1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系． (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型． (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解． (4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等. 16. 如图，在平面斜坐标系中，，平面上任一点的斜坐标定义如下：若（其中，分别为与轴，轴同方向的单位向量），则点的斜坐标为.此时有，，试在该斜坐标系下探究以下问题： （1）若，求的值； （2）若，求的模长. 【答案】（1）16 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，，结合数量积的运算律分析求解即可； （2）根据题意可得，结合数量积的运算律解得，进而可求的模长. 【小问1详解】 由题可知：，， 因为，，则，， 所以. 【小问2详解】 因为，， 因为，则， 整理可得，解得， 即，则， 所以. 17. 已知函数为奇函数． （1）求实数的值； （2）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义求参数的值. （2）把问题转化成函数在上的值域是函数在上值域的子集，根据集合的包含关系求实数的取值范围. 【小问1详解】 由题意得，的定义域为，且为奇函数， 所以 所以恒成立，所以. 【小问2详解】 由（1）得，， 因为，所以， 所以当时，的值域． 又， 设，则， 当时，取最小值为，当时，取最大值为， 即在上的值域． 因为对任意的，总存在，使得成立， 所以，所以， 解得，即实数的取值范围是． 18. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求C的值. （2）设的外接圆半径为R，内切圆半径为r. （i）若，，求的周长； （ii）求的最大值. 【答案】（1） （2）（i）30（ii） 【解析】 【分析】（1）切化弦整理可得，结合分析判断可得，即可得结果； （2）（i）根据等面积法可得，即，再利用正、余弦定理可得，即可得周长；（ii）整理可得，利用正弦定理边角转化结合三角恒等变换可得，进而分析最值. 【小问1详解】 因为，即， 整理可得，即， 因为，则，， 则或或， 即或（舍去）或（舍去）， 且，解得. 【小问2详解】 （ⅰ）由题意可知：， 则，可得， 又因为，则， 由余弦定理可知， 整理可得， 可得，解得或（舍去）， 所以的周长； （ⅱ）由（ⅰ）可知： ，即， 则， 可得 ， 且，则，可得， 则，所以的最大值为. 19. 学校数学兴趣小组的同学在阅读三角学相关著作时，发现书中有以下三角恒等式： ， ， ， ． （1）证明：． （2）运用上面的公式解决下列问题： （i）已知，求的值； （ii）若，求的最大值． 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）结合两角和与差的余弦公式即可证明； （2）（i）结合（1）所证式子，再利用倍角公式即可求解；（ii）利用三角恒等变换将原式变为，再结合及将原式放缩为只含的式子，研究其最值并验证等号成立条件即可． 【小问1详解】 由于， 且， 将两式相加，得， 两边同时除以2，得． 【小问2详解】 （i）由（1）可知 ， 结合已知条件可得． （ii） 由于，， 所以，原式 ， 当且时取到最大值，最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学一 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数满足，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 如图在梯形中，，，设，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则的最小值是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 5. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象上的所有的点（ ） A. 保持y不变，横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移1个单位长度 B. 保持y不变，横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移1个单位长度 C. 保持y不变，横坐标缩短为原来的一半，再向左平移1个单位长度 D. 保持y不变，横坐标缩短为原来的一半，再向右平移1个单位长度 6. 复数满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，内角A，B，C所对的三条边分别为a，b，c，则的必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，都是锐角，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若为钝角，则 10. 函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. 函数图象的对称轴是 C. 函数的一个单调递减区间为 D. 若，则 11. 在锐角，内角，，的对边分别是，，，已知，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，求与向量方向相同的单位向量为__________. 13. 函数的零点为______. 14. 已知，若对任意实数x均有，则满足条件的的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如右图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为nmile，在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为n mile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120°，求： (1)A处与D处的距离； (2)灯塔C与D处的距离． 16. 如图，在平面斜坐标系中，，平面上任一点的斜坐标定义如下：若（其中，分别为与轴，轴同方向的单位向量），则点的斜坐标为.此时有，，试在该斜坐标系下探究以下问题： （1）若，求的值； （2）若，求的模长. 17. 已知函数为奇函数． （1）求实数的值； （2）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 18. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求C的值. （2）设的外接圆半径为R，内切圆半径为r. （i）若，，求的周长； （ii）求的最大值. 19. 学校数学兴趣小组的同学在阅读三角学相关著作时，发现书中有以下三角恒等式： ， ， ， ． （1）证明：． （2）运用上面的公式解决下列问题： （i）已知，求的值； （ii）若，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $