第26章二次函数测试卷2025-2026学年华东师大版数学九年级下册

第26章 二次函数 测试卷 一、单选题 1．抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 2．如图是二次函数和一次函数的图象，当时，x的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 3．在平面直角坐标系中，若抛物线平移后经过原点O，则平移的方式可能是（　　） A．向上平移3个单位长度 B．向下平移3个单位长度 C．向左平移3个单位长度 D．向右平移3个单位长度 4．将二次函数配成的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 5．若是二次函数，则的值为（    ） A． B．4 C． D． 6．某商场购进一批文创商品，进价为每件20元．当售价为每件28元时，每周可卖出160件；售价每降低1元，每周销量增加20件，设每件售价为x元，每周利润为y元，y与x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 7．如图，已知二次函数的图像与轴交于点、，且，与轴交于正半轴．下列结论错误的是（    ）． A． B．当时，随增大而增大 C．当时，随增大而减小 D． 8．已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论中： ①；②；③；④点在抛物线上时，关于x的方程的两根为，，则．其中正确结论的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 9．某广场有一喷水池，水从地面喷出，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中运行路线是抛物线（单位：米）的一部分，则水喷出的最远水平距离是______米． 10．二次函数的图象如图所示，则的面积为________． 11．一个函数的图象关于轴成轴对称图形时，我们称该函数为“偶函数”．若二次函数是“偶函数”，该函数的图象与轴交于点和点，顶点为，则的面积是__________． 12．坐标平面上有两个二次函数的图象，其顶点M、N皆在x轴上，且有一水平线与两图象相交于A、B、C、D四点，各点位置如图所示，，，，则的长度是_____． 13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点（点在轴负半轴，点在轴正半轴），交轴于点，且，则此抛物线对应的解析式是__________． 14．如图，一段抛物线：，记为，它与轴交于点，；将绕点旋转得，交轴于点；将绕点旋转得，交轴于点；…如此进行下去，直至得．求的顶点坐标________． 三、解答题 15．抛物线 如图所示，回答下列问题 (1)方程的解是___________； (2)关于的不等式的解集是___________； (3)当时，y的取值范围是___________； (4)若关于的方程的两个实数根异号，则t的取值范围是___________． 16．已知二次函数的，的部分对应值如下表所示： 求这个二次函数的表达式． 17．如图1,在长方形中，，，点从点开始沿边向点以1厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以2厘米/秒的速度移动，如果、分别从同时出发，请问： (1)经过几秒时，的面积等于8平方厘米？ (2)经过几秒时，五边形的面积最小?最小值是多少？ 18．为弘扬地方文化，让更多游客了解济南，我市某文旅公司推出多款文创产品，已知某款文创产品的成本价为元，当售价为元时，每天可以售出件；经调查发现，售价每降价元，每天可多售出件． (1)为让利于游客，该款文创产品应该降价多少元，这个文旅公司每天的利润为元； (2)设该文旅公司每天售卖该款文创产品的利润为w元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 19．红灯笼象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．某超市在春节前以35元/对的进价购进一批红灯笼，经市场调查发现，红灯笼每对的售价为50元时，每天可售出98对，售价每上涨1元，则每天少售出2对．已知物价部门规定其售价不得高于每对65元，若设每对红灯笼的售价上涨x元，该超市一天售卖红灯笼获得的利润为y元． (1)当每对红灯笼的售价上涨x元（x为正整数）时，平均每天可售出_______对； (2)①求y与x之间的函数解析式； ②当每对红灯笼的售价为多少元时，一天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第26章 二次函数 测试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B D A A A C B 1．A 【分析】根据二次函数的顶点式可直接得出答案． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 故选：A． 【点睛】此题考查了二次函数的顶点式，二次函数的顶点坐标为，对称轴为． 2．B 【分析】本题考查了二次函数与不等式．根据图象可以直接回答即可． 【详解】解：观察图象得：当时，二次函数的图象位于一次函数的图象的下方， ∴当时，的取值范围是， 故选：B． 3．D 【分析】本题考查二次函数图象的平移，掌握相关知识是解决问题的关键．根据平移规律“左加右减，上加下减”解答． 【详解】解：由抛物线向右平移3个单位，得到抛物线解析式为：，此时抛物线经过原点． 故选：D． 4．A 【分析】本题考查将一般式转化为顶点式，通过配方法将二次函数的一般式转换为顶点式即可. 【详解】解：， ； 故选A. 5．A 【分析】本题考查二次函数的定义，二次函数的一般形式为()，根据定义列出关于的方程与不等式，进而求解的值． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴，且． 由，得，解得或． 又∵，即， ∴． 故选：A． 6．A 【分析】本题考查根据实际问题列二次函数关系式，根据每周的利润=每件商品的利润×销售量，列出函数关系式即可． 【详解】解：由题意得：． 故选：A． 7．C 【分析】根据待定系数法、方程根与系数的关系等知识和数形结合能力仔细分析即可解． 【详解】解：①由与轴的交点坐标为得： ，即，故A正确； ②由图象开口向下知， 由与轴的另一个交点坐标为，0 ，且， 则该抛物线的对称轴为且， 当时，随增大而增大，故B正确； ③对称轴大于且小于0， 当时，随的增减性不能确定，故C错误； ④则该抛物线的对称轴，即， 由，两边都乘以得：， ，对称轴， ， ．故D正确； 故选：C． 【点睛】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与轴的交点，二次函数与系数的关系等知识点的理解和掌握，能根据图象确定与系数有关的式子的符号是解题的关键． 8．B 【分析】本题考查二次函数的图象与系数之间的关系，二次函数与一元二次方程，根据图象和对称轴判断①②，特殊点判断③，对称轴，以及二次函数图象与一元二次方程的关系，判断④即可． 【详解】解：∵抛物线与轴交于负半轴， ∴；故①正确； ∵对称轴为直线， ∴；故②正确； 由图象可知，当时，；故③错误； ∵点在抛物线上，对称轴为直线， ∴点在抛物线上， ∴方程的两根为抛物线与直线的两个交点的横坐标， ∵， ∴， ∴；故④错误； 故选B． 9．4 【分析】本题主要考查了二次函数的应用．水喷出的最远水平距离即为抛物线与x轴交点的横坐标差的绝对值，据此解答即可． 【详解】解：令， 解得：或， 所以抛物线与x轴交于点和， ∴水喷出的最远水平距离是米． 故答案为4． 10．1 【分析】本题考查求二次函数图象与坐标轴的交点．分别令，，求出点A，B的坐标，从而得到，的长，根据三角形的面积即可求解． 【详解】解：对于二次函数， 令，则，解得， ∴， ∴． 令，则， ∴， ∴， ∴． 故答案为：1． 11． 【分析】本题主要考查了二次函数综合，根据题意可得二次函数关于y轴对称，则对称轴为y轴，根据对称轴计算公式可推出函数解析式，进而可求出点A，点B和点P的坐标，再根据列式求解即可． 【详解】解：∵二次函数是“偶函数”， ∴二次函数关于y轴对称， ∴二次函数的对称轴为y轴， ∴， ∴， ∴二次函数的解析式为， ∴顶点P的坐标为， 在中，当时，， ∴（不妨设点A在点B左边）， ∴， 故答案为：． 12．9 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，线段长度的相关计算，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由，，的长度以及根据二次函数的对称性可以知道，和，和，和横坐标的差，从而推出和的横坐标之差，得到的长度． 【详解】解：由、、、四点在同一水平线，可以知道四点纵坐标相同， ，，， ， ，， 又， ． 故答案为：9． 13． 【分析】本题考查用根与系数的关系求二次函数解析式，先求出，根据得，，即，，再由根与系数的关系即可解答． 【详解】解：设，， 当时，则，， ∵， ∴，， ∴，，即，， ∴解得， 解得， ∴． 故答案为． 14． 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数与轴的交点，规律型：点的坐标，二次函数图象与几何变换，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．根据题目中的函数解析式可以得到的顶点坐标和的坐标，利用旋转转化为中点坐标的方法，分别可以得到、、的顶点坐标，从而可以得到抛物线顶点坐标的变化特点，从而可以得到的顶点坐标． 【详解】解：一段抛物线：记为，它与轴交于点，；将绕点旋转得， 的顶点坐标为， 令， 解得：， ∴， ∴， 由旋转可知：，即， ∴， 根据二次函数的对称性可知：图象的对称轴为直线， ∴， 同理可得：的顶点坐标为，的顶点坐标为，……， 的顶点的横坐标为，当为奇数时，的顶点的纵坐标为， 的顶点坐标是，即， 故答案为． 15．(1) (2) (3) (4) 【分析】考查抛物线的对称性、二次方程的解与抛物线交点的关系、二次不等式的解集、二次函数的取值范围、根的符号与系数的关系．抓住抛物线的对称轴、顶点、特殊点（如）的特征是关键．易忽略抛物线的对称性；误判不等式的解集方向；计算端点y值时出错． （1）根据抛物线过及对称轴，找对称点得解； （2）由开口方向和交点，确定对应的x区间； （3）结合顶点（最小值）和时的y值（最大值）确定范围； （4）利用根异号时常数项小于0，结合抛物线最小值确定t的范围． 【详解】（1）解：抛物线过点，且对称轴为，由对称性知另一交点为，故解为，． 故答案为：，． （2）解：抛物线开口向上，对应两点与之间的区域，故解集为． 故答案为：． （3）解：抛物线顶点为； 由对称性得，与对称，y值大于，∴当时，， ∵结合开口向上，时，由时得，顶点，，解得，故时．故取值范围为． 故答案为：． （4）解：方程即，根异号则常数项，且抛物线顶点，故，结合有实根需，最终范围为． 故答案为：． 16． 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，能够通过表格找到对称点是解题的关键． 根据表格观察出来和为对称点，再通过表格确认顶点坐标，用顶点坐标求二次函数的表达式即可． 【详解】解：∵由表可知和为对称点， ∴对称轴为直线， ∵由表可知，，对应的是， ∴该函数的顶点为，且， ∴这个二次函数的表达式为． 17．(1)2或4 (2) 【分析】本题考查二次函数的应用，根据已知条件列出解析式是解题的关键． （1）设运动时间为秒，则,，根据三角形的面积公式列出方程，解方程即可； （2）由（1）知，，该函数图象开口向下，有最大值，根据顶点坐标公式求出顶点坐标，五边形的面积最小值等于矩形面积减去的面积的最大值，据此计算求解即可． 【详解】（1）解：设运动时间为秒，则, 则， 即， 解得或 答：经过2秒或4秒时，的面积等于8平方厘米； （2）解：设运动时间为秒，则, 则， 当时，有最大值，最大值为， 则五边形的面积最小值为：， 答：经过3秒时,五边形的面积最小，最小值是． 18．(1)元 (2)售价为元时，每天的利润最大，最大利润是元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，正确理解题意、列出方程与函数关系式是解题的关键； （1）设该款文创产品降价元，根据每件的利润销售数量销售利润，即可列出方程，解方程即可得解； （2）设该款文创产品降价元，根据每件的利润销售数量销售利润，即可列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设该款文创产品降价元， 根据题意可得：， 整理可得：， 解得：，， 因为要让利于游客，在保证利润目标实现的情况下，降价幅度越大，对游客越有利，所以取，舍去， 故保证每天利润为元的前提下，为最大程度让利于游客，该款文创产品应该降价元． （2）解：设该款文创产品降价元， 则， ． ∵， ∴当时，取最大值为元，此时销售价为元， 故售价为元时，每天的利润最大，最大利润是元． 19．(1) (2)①（，x为正整数）；②当售价为65元时，一天获得的利润最大，最大利润为2040元 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，二次函数的实际应用及二次函数的最值问题． （1）原售价50元时，每天售出98对，每上涨1元，少售出2对，当上涨x元时，少售的对数为，从而利用原销售量−少售的对数，即可得出结果； （2）①利用利润公式：总利润=每队利润×销售量，得到利润表达式，展开并整理成二次函数形式，由于售价不超过65元，即，又x为上涨金额，从而得出x的取值范围； ②根据二次函数的性质，求出的二次函数开口向下，顶点为最高点，从而求出顶点的横坐标，由于，超出取值范围，需在取值范围内找最大值，故x取15，从而代入解析式求得其最大值． 【详解】（1）解：∵售价50元时每天售出98对，每上涨1元少卖2对， ∴上涨x元时，少售出对， ∴每天销售量为对， 故答案为：． （2）解：①∵进价为35元/对， 当售价上涨x元时，则每对的售价为元， ∴每对的利润为（元）， ∴， ∵售价不得高于每对65元，即，解得， 又∵， ∴，x为正整数， 即y与x之间的函数解析式为（，x为正整数）； ②在二次函数中，， ∴二次函数开口向下， ∴顶点横坐标为：， ∵， ∴x的最大值为15， ∴售价为：（元）， 当时，， 即当售价为65元时，一天获得的利润最大，最大利润为2040元． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $