第26章二次函数达标卷2025-2026学年华东师大版数学九年级下册

第26章 二次函数 达标卷 一、单选题 1．下列各式中，y是x的二次函数的是（　　） A．y＝3x B．y＝ax2+bx+c C．y＝（x﹣1）2 D．y＝2 2．二次函数的最小值为（    ） A． B． C．0 D．2 3．如图，已知二次函数的图像与轴交于点、，且，与轴交于正半轴．下列结论错误的是（    ）． A． B．当时，随增大而增大 C．当时，随增大而减小 D． 4．将抛物线y=（x﹣1）2+3向左平移1个单位，得到的抛物线与y轴的交点坐标是（ ） A．（0，2） B．（0，3） C．（0，4） D．（0，7） 5．二次函数的图象如图，且则（  ） A． B． C． D．以上都不是 6．若抛物线y＝ax2－6x经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为(　　) A． B． C． D． 7．二次函数的图象大致是（  ） A． B． C． D． 8．二次函数 y＝ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，A（﹣ 1，3）是抛物线的顶点，则以下结论中正确的是（    ） A．a＜0，b＞0，c＞0 B．2a+b＝0 C．当 x＜0 时，y 随 x 的增大而减小 D．ax2+bx+c﹣3≤0 二、填空题 9．已知二次函数（）． （1）函数的对称轴为________． （2）当时，对于每一个x的值，始终成立，则a的取值范围是________． 10．一个函数的图象关于轴成轴对称图形时，我们称该函数为“偶函数”．若二次函数是“偶函数”，该函数的图象与轴交于点和点，顶点为，则的面积是__________． 11．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝3时，函数取得最大值，为4，当x＝0时，y＝－14，则此函数关系式是________________． 12．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的两个交点的坐标是(5，0)，(－2，0)，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解是______________． 13．已知二次函数y＝(x－2a)2＋(a－1)(a为常数)，当a取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．如图分别是当a＝－1，a＝0，a＝1，a＝2时二次函数的图象．它们的顶点在一条直线上，这条直线的解析式是____________________． 三、解答题 14．抛物线y＝﹣x2+（m﹣1）x+m与y轴交点坐标是（0，3）． （1）求出m的值； （2）求抛物线与x轴的交点； （3）当x取什么值时，y＜0？ 15．已知二次函数的图象经过点和且对称轴为． (1)求这个二次函数的解析式； (2)抛物线上是否存在点C，使的面积等于2？若存在，求出C点的坐标；若不存在，请说明理由． 16．已知抛物线（为常数，）经过点，顶点为． (1)当时，求该抛物线的顶点坐标； (2)当时，点，若，求的值； (3)当时，点，过点作直线平行于轴，是轴上的动点，是直线上的动点，且取的中点记为．当为何值时，的最小值为，并求此时点的坐标． 17．某公司试销一种成本单价为50元/件的新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价，又不高于80元/件，经试销调查，发现销售量y（件）与销售单价x（元/件）可近似看作一次函数y＝kx+b的关系（如图所示） （I）根据图象，求一次函数y＝kx+b的解析式，并写出自变量x的取值范围； （Ⅱ）该公司要想每天获得最大的利润，应把销售单价定为多少？最大利润值为多少？ 18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，连接．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，P是线段上方抛物线上的一个动点，过点P作交于点D，F为y轴上一动点，当线段的长度取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； (3)在平面内，将抛物线沿射线方向平移，当平移后的新抛物线经过点时停止平移，此时得到新抛物线，在平移后的新抛物线上确定一点M，使得，请直接写出所有符合条件的点M的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】根据二次函数的定义y＝ax2+bx+c（a）即可判断. 【详解】A. y＝3x为一次函数，故错误；     B. y＝ax2+bx+c，a可能为0，故错误； C. y＝（x﹣1）2 =x2-2x+1，是二次函数，故正确；    D. y＝2为常数函数，故错误， 选C. 【点睛】此题主要考查二次函数的定义. 2．A 【分析】本题考查二次函数的图象性质，二次函数开口向上，最小值在顶点处，通过顶点公式求顶点坐标，再代入求值． 【详解】解：∵ 二次函数，， ∴二次函数开口向上，最小值在顶点处，最小值为， 故选：A． 3．C 【分析】根据待定系数法、方程根与系数的关系等知识和数形结合能力仔细分析即可解． 【详解】解：①由与轴的交点坐标为得： ，即，故A正确； ②由图象开口向下知， 由与轴的另一个交点坐标为，0 ，且， 则该抛物线的对称轴为且， 当时，随增大而增大，故B正确； ③对称轴大于且小于0， 当时，随的增减性不能确定，故C错误； ④则该抛物线的对称轴，即， 由，两边都乘以得：， ，对称轴， ， ．故D正确； 故选：C． 【点睛】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与轴的交点，二次函数与系数的关系等知识点的理解和掌握，能根据图象确定与系数有关的式子的符号是解题的关键． 4．B 【分析】先根据顶点式确定抛物线y=（x-1）2+3的顶点坐标为（1，3），再利用点的平移得到平移后抛物线的顶点坐标为（0，3），于是得到移后抛物线解析式为y=x2+3，然后求平移后的抛物线与y轴的交点坐标． 【详解】解：抛物线y=（x-1）2+3的顶点坐标为（1，3）， 把点（1，3）向左平移1个单位得到点的坐标为（0，3）， 所以平移后抛物线解析式为y=x2+3， 所以得到的抛物线与y轴的交点坐标为（0，3）． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 5．A 【分析】根据题意可知，本题考查二次函数图像与系数的关系，根据图像与坐标轴的交点，运用两边相等求出交点坐标，代入坐标进行求解． 【详解】∵ ∴点A、C的坐标为(-c，0)，(0，c) ∴把点A的坐标代入得 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故选A 【点睛】本题考查二次函数图像与系数关系，解题关键是根据图像得出系数取值范围，再代入点的坐标进行解决． 6．B 【分析】把点(2，0)代入抛物线y＝ax2－6x，得解析式y＝ax2－6x，再求出顶点坐标，则可求出顶点到坐标原点的距离. 【详解】把点(2，0)代入抛物线y＝ax2－6x，得a=3，y＝3x2－6x=3（x-1）²-3，得顶点坐标为（1，-3），则顶点到坐标原点的距离为=，故选B. 【点睛】此题主要考查二次函数的顶点坐标. 7．C 【分析】分别根据抛物线的开口方向、对称轴的位置及抛物线与y轴的交点位置逐一判断可得． 【详解】在y=（x+1）2-2中由a=1＞0知抛物线的开口向上，故A错误； 其对称轴为直线x=-1，在y轴的左侧，故B错误； 由y=（x+1）2-2=x2+2x-1知抛物线与y轴的交点为（0，-1），在y轴的负半轴，故D错误； 故选C． 8．D 【分析】利用抛物线的对称轴为直线 x＝﹣＝﹣1，则 b＝2a＜0，则可对 A、 B 进行判断；利用二次函数的性质可对 C 进行判断；利用二次函数的最值问题可对 D 进行判断． 【详解】A.抛物线开口向下，则 a＜0，抛物线的对称轴为直线 x＝﹣＝﹣1，则 b＝2a＜0，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方，则 c＞0，所以 A 选项错误； B.抛物线的对称轴为直线 x＝﹣＝﹣1，则 2a﹣b＝0，所以 B 选项错误； C.当 x＞﹣1 时，y 随 x 的增大而减小，所以 C 选项错误； D.二次函数的最大值为﹣3，则 y≤3，即 ax2+bx+c﹣3≤0，所以 D 选项正确． 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式：利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解． 9． 直线 且 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）直接利用二次函数对称轴公式求解。 （2）构造，得到新二次函数，根据开口方向分和两种情况讨论，利用函数在区间上的单调性及最大值条件求解． 【详解】解：（1）二次函数中，对称轴为直线． 故答案为：直线． （2）设， 当时，始终成立，等价于恒成立， 当时，． 分两种情况： 当时，二次函数开口向上， 时，， 若在范围内恒成立，则需满足在时，， 即， 解得， ； 当时，二次函数开口向下，对称轴为直线， 当时，z随x的增大而减小， 时，， 在范围内恒成立， 综上可知，a的取值范围是且． 故答案为：直线； 且． 10． 【分析】本题主要考查了二次函数综合，根据题意可得二次函数关于y轴对称，则对称轴为y轴，根据对称轴计算公式可推出函数解析式，进而可求出点A，点B和点P的坐标，再根据列式求解即可． 【详解】解：∵二次函数是“偶函数”， ∴二次函数关于y轴对称， ∴二次函数的对称轴为y轴， ∴， ∴， ∴二次函数的解析式为， ∴顶点P的坐标为， 在中，当时，， ∴（不妨设点A在点B左边）， ∴， 故答案为：． 11．y＝－2(x－3)2＋4 【分析】已知函数当x=3时，函数的最大值为4，则二次函数图象的顶点坐标是（3，4）， 利用顶点式求求抛物线的解析式，设解析式是：y=a（x-3）2+4，再把x=0，y=-14代入解析式求a，即可． 【详解】解：根据二次函数图象顶点坐标是（3，4）， 设解析式y=a（x-3）2+4， 把x=0，y=-14代入，得：9a+4=-14，解得a=-2， 所以函数关系式y=-2（x-3）2+4． 【点睛】本题主要考查利用待定系数法求二次函数解析式，如果已知三点坐标可以利用一般式求解；若已知对称轴或顶点坐标利用顶点式．灵活选择适当的形式成为解答本题的关键． 12．x1=5，x2=-2 【分析】根据抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点得横坐标就是方程ax2+bx+c=0的根来解决此题． 【详解】∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的根， ∴ax2+bx+c=0（a≠0）的解是x1=5，x2=-2． 故答案为：x1=5，x2=-2 13．y=x-1 【分析】已知抛物线的顶点式，写出顶点坐标，用x、y代表顶点的横坐标、纵坐标，消去a得出x、y的关系式． 【详解】解：由已知得抛物线顶点坐标为（2a，a-1）， 设x=2a①，y=a-1②， ①-②×2，消去a得，x-2y=2， 即y=x-1． 故答案为：y=x-1． 【点睛】本题考查了根据顶点式求顶点坐标的方法，消元的思想． 14．（1）m的值为3；（2）（﹣1，0），（3，0）；（3）当x＜﹣1或x＞3时，y＜0． 【分析】（1）把（0，3）代入y=-x2+（m-1）x+m可求出m的值； （2）由（1）得抛物线解析式为y=-x2+2x+3，然后解方程-x2+2x+3=0得抛物线与x轴的交点坐标； （3）利用函数图象，写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：（1）把（0，3）代入y＝﹣x2+（m﹣1）x+m得m＝3， 即m的值为3； （2）抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3， 当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3， 所以抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0）； （3）∵当x=1时，y=4， ∴图象的顶点坐标为：（1，4）， 如图所示： ， 故当x＜﹣1或x＞3时，y＜0． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的性质． 15．(1) (2)存在，C点坐标为或 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数面积问题，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）设抛物线解析式为，把、和对称轴代入解析式组成方程组求解即可； （2）根据抛物线解析式设，根据三角形面积公式列方程求解即可． 【详解】（1）解：设这个二次函数的解析式为， 把、和对称轴代入解析式得， ，解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵点C在抛物线上， ∴设， ∵的面积等于2， ∴， 解得， 当时，， 当时，， ∴C点坐标为或． 16．(1) (2) (3)当时，的最小值为，此时点的坐标为，点的坐标为 【分析】（1）根据抛物线，为常数，经过点，可得：，由，可得抛物线的表达式为，故抛物线的顶点坐标为； （2）由得：，如图1，过点作轴于点，运用勾股定理可得：，，建立方程求解即可得出答案； （3）当满足条件的点落在上时，最小，此时，．过点作轴于点，利用勾股定理求出，再运用待定系数法求得直线的解析式为，进而求解． 【详解】（1）抛物线，为常数，经过点， ， 当时，抛物线的表达式为， 故抛物线的顶点坐标为； （2）当时， 抛物线，为常数，经过点， ， ， 抛物线顶点，对称轴为直线， 由得：， 如图1，过点作轴于点， 在中，，， ， 在中，，， ， ， 解得：； （3）当时，由题意的中点， 如图2，作点关于直线的对称点， 当满足条件的点落在线段上时，最小， 此时，． 过点作轴于点， 在中，，， ， 又， ， 解得：，（舍去）， 当时，， 点的坐标为，点的坐标为， 设直线的解析式为， 则， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， 解得：， ，， 当时，的最小值为，此时点的坐标为，点的坐标为． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 17．（1）y=﹣x+100（50≤x≤80）；（2）销售单价定为75元/件，最大利润为625元． 【分析】（1）根据题意，利用待定系数法求一次函数的解析式即可；（2）设每天获得的利润为W元，构建利润W与销售单价x的二次函数模型，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：（1）由函数的图象得：， 解得：， ∴所以y=﹣x+100（50≤x≤80）； （2）设每天获得的利润为W元， 由（1）得：W=（x﹣50）y=（x﹣50）（﹣x+100）=﹣x2+150x﹣5000=﹣（x﹣75）2+625， ∵﹣1＜0， ∴当x=75时，W最大=625即该公司要想第天获得最大利润，应把销售单价为75元/件，最大利润为625元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意，正确的构建二次函数模型是解决问题的关键． 18．(1) (2)； (3)或 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）先确定直线的解析式为：．，则， 则， 利用配方法得到，结合根据抛物线性质解答即可． （3）根据题意，确定这是一个向左平移t个单位长度，再向上平移t个单位长度的平移变换，设平移后抛物线的解析式为，，确定解析式，取的中点K，连接，交抛物线于点M，此时； 过点作，交抛物线于点，此时． 本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，二次函数的平移，构造二次函数求线段的最值，直角三角形的性质，两点间距离公式，三角函数的应用，熟练掌握抛物线的最值是解题的关键． 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于点，， 解得 抛物线的解析式为. （2）解：由抛物线的解析式为， 得， ∴， ∴， 过点P作轴，交于点H，垂足为M，    则， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 设，则， 则， 故， ∴ ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∴当，最大，且最大值为， ∴； 作点B关于y轴的对称点G，此时， 连接交y轴于点N，此时的值最小， 故当点F与点N重合时，取得最小值， 且最小值为，此时．    （3）解：根据题意，得， 由抛物线沿射线方向平移，且， 故该平移变换是一个向左平移t个单位长度，再向上平移t个单位长度的平移变换， 故平移后抛物线的解析式为，， 由平移后的新抛物线经过点时停止平移， ∴把点代入得：， 整理，得 解得， 故平移后抛物线的解析式为即，    取的中点K，连接，交抛物线于点M， 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得， ∴，符合题意， ∵，， ∴， 设直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， ∴直线的解析式为， 根据题意，得， 解得或（舍去）， ∴， 此时； 过点作，交抛物线于点， ∴，符合题意， 设直线的解析式为 ∵，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为：． ∵ ∴直线的解析式为：． 根据题意，得， 解得或（舍去）， ∴， 此时； 综上所述，符合题意的点M的坐标为或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $