小升初奥数专题：比例（专项训练）-2025-2026学年六年级下册数学苏教版

小升初奥数专题：比例-2025-2026学年数学六年级下册苏教版 一、选择题 1．把比例5∶3＝20∶12的内项3增加6，要使比例成立，外项12应该增加（        ）。 A．6 B．12 C．18 D．24 2．甲、乙是两个成反比例的量，当甲减少20%时，乙（    ）。 A．增加20% B．减少20% C．增加25% D．减少25% 3．小东和小辰分别将学校的正方形花坛画了下来，如图，如果小东是按1：a的比例尺画的，那么小辰按（　　）的比例尺画的。 A．1： B．1：3a C．1：3 D．1： 4．如下图所示，一个大长方形被两条线段分成四个小长方形。如果其中图形A、B、C的面积分别是2cm2、4cm2和5cm2那么阴影部分的面积为（    ）cm2。 A．1 B． C． D． 5．如图所示，一个铁锥完全浸没在水中．若铁锥一半露出水面，水面高度下降7厘米，若铁锥全部露出，水面高度共下降（　　）厘米。 A．14 B．10.5 C．8 D．无法计算 6．下面的说法中，正确的有（    ）句。   ①一个正方体的棱长扩大2倍，它的表面积扩大4倍，体积扩大8倍。 ②把4∶5的前项和后项同时增加5倍，比值不变。 ③甲数的相当于乙数的，乙数与甲数的比值是。 ④一根1米长的绳子，用去50%，还剩50%米。 ⑤A＝2×3×5，B＝2×3×7，A和B的最小公倍数是210。 ⑥时间一定，速度和路程成反比例关系。 A．2 B．3 C．4 D．5 7．小马从A地到B地自驾游，如果驾驶原来的燃油汽车所需油费为108元；驾驶新购买的纯电动汽车所需电费为27元。已知每行驶1千米，原来的燃油汽车所需的油费比新购买的纯电动汽车所需的电费多0.54元，从A地到B地的路程是（    ）千米。 A．100 B．150 C．180 D．200 8．一项工程，甲队单独做完的时间要比乙队单独做完的时间多20%。如果甲队先单独做5天，乙队再单独做10天，正好可以完成这项工程。实际工作时，乙队先单独做5天，甲队再单独做（    ）天，也可以完成这项工程。 A．10 B．11 C．12 D．13 二、填空题 9．在一个比例中，两个外项是4和3，组成比例的两个比的比值是8，这个比例是( )。 10．甲、乙两人身上带的钱数之比是7∶3，甲给乙5元后，变成13∶7。那么，甲、乙两人共有钱( )元。 11．在比例尺是1∶7000000的地图上，量得宁波到南京的距离是6厘米。中午11时30分，一辆动车从宁波开出，下午1时54分到达南京，这辆动车平均每小时行( )千米。 12．如果＝，那么 a∶b＝( )∶( )；如果 5x ＝ 8y，那么 x∶y ＝( )∶( )。 13．育才学校学生中男生占60%，教师中男教师占15%，全校师生男女人数比为9∶8，这个小学的师生人数比为（____∶____）。 14．在比例尺是1∶4000000的地图上，甲乙两地相距8厘米，实际距离是( )千米；如果画在比例尺是的地图上，是( )厘米。 15．“天河”新一代超级计算机系统运行后，除进行传统科学工程计算外，还能支持区块链、元宇宙等新的应用领域。把超级计算机的某个长方形芯片以50∶1的比例尺绘制在图纸上，长是60厘米，宽是40厘米。这个芯片的实际面积是( )平方厘米。 16．有两支蜡烛，当第一支燃烧掉80%，第二支燃烧掉50%之后，剩余长度相等，第一支蜡烛与第二支蜡烛的长度比是( )。 三、解答题 17．一列匀速行驶的火车通过一架长1000米的桥梁用了30秒，穿越长1920米的隧道用了50秒，这列火车每秒行多少米？车身长多少米？ 18．兄弟两人月收入的比为4∶3，月支出比为11∶6，月结余均为3600元，问每人每月收入多少元？ 19．在比例尺1∶100的图纸上量得一个无盖圆柱形水罐的底面直径是4厘米，高是2厘米。制作这样一个水罐至少需要多少平方米的铁皮？ 20．甲、乙两车分别从A、B两地同时开出，相对而行，当甲车已行的路程与剩下的路程的比是1∶2时，乙车距离A地还有全程的；当乙车到达A地时，甲车又行了20千米。 （1）甲、乙两车的速度比是（    ）。 （2）A、B两地之间的路程是多少千米？ 21．甲、乙两车分别从A，B两地同时相对开出，经过2小时相遇。相遇后各自继续前进，又经过1.5小时，甲车到达B地，这时乙车距A地还有35千米。A、B两地路程是多少千米？ 22．如图1，一个底面积为100cm2，高为20cm的长方体水盒内有一个高相同的圆柱形水杯，以不变的水流速度先向水杯中注水，注满水杯后，继续注水，直到注满整个盒子。盒子内水面上升的高度h与注水时间t的关系如图2。 （1）求水杯的底面积。 （2）求注水速度（cm3/秒）。（计算时，容器的厚度与体积均忽略不计） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《小升初奥数专题：比例-2025-2026学年数学六年级下册苏教版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C A C C C B B 1．D 【分析】根据比例的基本性质，求出内项3增加6以后的内项积，用增加后的内项积÷外项5－外项12即可。 【详解】（3＋6）×20＝9×20＝180 180÷5＝36，36－12＝24 故答案为：D 【点睛】本题考查了比例的基本性质，比例的两内项积＝两外项积。 2．C 【分析】甲和乙是两个成反比例的量，那么它们的乘积一定，即符合xy＝k（一定），当甲减少20%时，可知乙一定是增加了，又（1－20%）x＝x，由于k一定，所以这里的y得变为y，进而确定乙是增加了25%； 【详解】1－20%＝，1÷＝ （5－4）÷4＝25% 故答案为：C 【点睛】此题考查正反比例意义的运用，解题时要明确成正比例的两个量是比值一定，成反比例的两个量是乘积一定。 3．A 【分析】2厘米是6厘米的，所以小东选择的比例尺是小辰的。 【详解】2÷6＝ ＝1： a 所以：小辰按1： a的比例尺画的。 故答案为：A 4．C 【解析】由于长方形A与长方形B等长，长方形B与长方形C等宽，设阴影所在的长方形的面积为x平方厘米，即可列比例求出这个长方形的面积，阴影部分占这个长方形面积的一半，由此即可求出阴影部分面积。 【详解】解：设阴影所在的长方形的面积为x平方厘米。 2：x＝4：5 4x＝10 x＝2.5 2.5÷2＝（平方厘米） 答：阴影部分面积是厘米。 故选：C。 【点睛】关键是求出阴影部分所在的长方形的面积。也可这样理解，长方形A与长方形B等长，长方形B与长方形C等宽，由于长方形A的面积是长方形B的一半，因此阴影部分所在的长方形的面积是长方形C的一半，从而求出阴影所在的长方形的面积，进而求出阴影部分面积。 5．C 【分析】因为容器的底面积不变，所以铁锥排开水的体积与高成正比例，由此只要求出浸入水中的铁锥的体积之比即可求出排开水的高度之比；因为铁锥露出水面一半时，浸在水中的圆锥的高与完全浸入水中时铁锥的高度之比是1∶2，则浸入水中的铁锥的体积与完全浸入水中时铁锥的体积之比是1∶8；所以浸在水中的体积与露在外部的体积之比是：1∶7，设铁锥完全露出水面时，水面又下降x厘米，由此即可得出比例式求出x的值，再加上7厘米即可解答。 【详解】根据圆锥的体积公式可得：把圆锥平行于底面，切成高度相等的两半时，得到的小圆锥的体积与原圆锥的体积之比是1∶8；所以铁锥一半露出水面时，浸在水中的体积与露在外部的体积之比是1∶7， 设铁锥完全露出水面时，水面又下降x厘米，根据题意可得： x∶7＝1∶7，    7x＝7，     x＝1， 7＋1＝8（厘米）， 答：水面共下降8厘米． 故答案为：C 6．C 【分析】①根据正方体表面积扩大的倍数是棱长扩大倍数的平方，体积扩大的倍数是棱长扩大倍数的立方。②比的前项和后项同时乘或除以同一个数（0除外），比值不变。③根据甲数×＝乙数×，可求出乙数与甲数的比值是多少。④百分数表示的是一个数占另一个数的百分之几，也叫百分率或百分比，百分数后面不能带单位。⑤根据求最小公倍数的方法，用两个数公有质因数和独有质因数的乘积进行解答。⑥路程÷速度＝时间（一定），路程和速度的比值一定，成正比例关系。 【详解】由分析可知： ①一个正方体的棱长扩大2倍，它的表面积扩大4倍，体积扩大8倍，正确。 ②把4∶5的前项和后项同时增加5倍，比值不变，正确。 ③根据甲数×＝乙数×，可求出乙数与甲数的比值：÷＝，正确。 ④百分数后面不能带单位，所以一根1米长的绳子，用去50%，还剩50%米，错误。 ⑤A＝2×3×5，B＝2×3×7，A和B的最小公倍数是：2×3×5×7＝210，正确。 ⑥路程÷速度＝时间（一定），路程和速度的比值一定，成正比例关系。所以时间一定，速度和路程成反比例关系不正确。 故答案为：C 【点睛】本题是道综合题，应对立体几何、比的应用、百分数的认识、正比例反比例等知识综合应用。 7．B 【分析】设新购买的电动汽车每行驶1千米所需的电费为x元，则原来的燃油汽车所需的油费为（x＋0.54）元，根据驾驶原来的燃油汽车所需油费108元，驾驶新购买的纯电动汽车所需电费为27元，所行的路程相等，由此即可列出方程，即：＝，转换成比例的形式，再根据比例的基本性质以及等式的性质解方程即可得出纯电动车每行驶1千米所需的电费，再用27除以纯电动车每千米行驶所需电费即可求出A到B的距离。 【详解】解：设新购买纯电动汽车每行驶1千米所需的电费为x元，则原来的燃油汽车所需的油费为（x＋0.54）元。 ＝ 108∶（x＋0.54）＝27∶x 27×（x＋0.54）＝108x 27x＋0.54×27＝108x 108x－27x＝14.58 81x＝14.58 x＝14.58÷81 x＝0.18 27÷0.18＝150（千米） 故答案为：B 【点睛】解答本题的关键利用所行驶的路程相等，找出路程相关的量，设出未知数，列出方程，解方程。 8．B 【分析】根据甲队单独做完的时间要比乙队单独做完的时间多20%，先确定甲乙两队工作时间比，根据比例的意义，求出乙队10天和5天做的工作甲队需要的天数，确定甲队单独做需要的天数，进而求出乙队做5天后剩下的工作甲队需要的天数即可。 【详解】甲队与乙队单独做完这项工程的时间比为，设乙队10天做的工作，甲队需要做天，则，，所以甲队单独做完这项工程需要（天）设乙队5天做的工作，甲队需要做天，则，，所以乙队做5天后剩下的工作，甲队需要做（天）。 故答案为：B 【点睛】关键是理解比和比例的意义，用比例解决问题时，左右两边的比统一即可。 9．4∶＝24∶3 【分析】根据题意可知，组成比例的两个比，前一个比不知后项，后一个比不知前项，就用比的前项除以比值，即可求出前一个比的后项，用比的后项乘比值，即可求出后一个比的前项，进而写出比例即可。 【详解】前一个比的后项：4÷8＝； 后一个比的前项：8×3＝24； 所以这个比例是4∶＝24∶3 【点睛】此题考查求比的前、后项的方法，用到的关系式有：比的后项＝比的前项÷比值，比的前项＝比的后项×比值；也考查了比例的意义。 10．100 【分析】设甲、乙两人共有钱x元，甲原来有x元，乙原来有x，根据甲的钱数减5∶乙的钱数加5＝13∶7，列出比例解答即可。 【详解】7＋3＝10，13＋7＝20 解：设甲、乙两人共有钱x元。 （x－5）∶（x＋5）＝13∶7 （x＋5）×13＝（x－5）×7 x＋65＝x－35 x－x＝65＋35 x＝100 【点睛】本题考查了列比例解决问题，根据比例的两内项积＝两外项积进行计算。 11．175 【分析】比例尺表示图上距离∶实际距离，根据比例尺可求出宁波到南京的实际距离。再根据速度＝路程÷时间，求出这辆动车平均每小时行多少千米。 【详解】比例尺为1∶7000000，即图上1厘米表示实际7000000厘米，所以宁波到南京的实际距离是：6×7000000＝42000000厘米＝420千米。 从11时30分到下午1时54分，这辆动车行驶了2小时24分，2小时24分＝2.4小时。 420÷2.4＝175（千米） 【点睛】本题是比例尺和行程问题的综合，通过比例尺求出实际距离，再运用行程问题的而基本公式求解，解题中要注意单位的换算。 12． 11 9 8 5 【分析】根据比例的基本性质，即两个内项之积等于两个外项之积，即可解答。 【详解】（1） 9a＝11b a∶b＝11∶9 （2）5x ＝8y x∶y＝8∶5 【点睛】此题主要考查学生对比例的基本性质的理解与灵活应用。 13． 8 43 【分析】根据题意，设全校教师有x人，其中男教师占15%，即男教师有15%x人，女教师有（1－15%）x人，学生有y人，其中男生占60%，即男生有60%y人，女生有（1－60%）y人，再根据全校师生男女人数之比，列出比例，再化简出x与y之比即可。 【详解】设全校教师有x人，学生有y人 则男教师有15%x人，女教师有（1－15%）x＝85%x人；男生有60%y人，女生有（1－60%）y＝40%y人 （15%x＋60%y）∶（85%x＋40%y）＝9∶8 8×（15%x＋60%y）＝9×（85%x＋40%y） 1.2x＋4.8y＝7.65x＋3.6y 4.8y－3.6y＝7.65x－1.2x 1.2y＝6.45x x∶y＝1.2∶6.45 x∶y＝8∶43 所以这个小学的师生人数比为8∶43。 【点睛】本题考查比例的应用，先通过设未知数来表示男、女教师和男、女生的人数，根据它们的比，再列出比例即可求解。 14． 320 6.4 【分析】根据比例尺的定义：图上距离÷实际距离＝比例尺，先由第一个比例尺求出实际距离，再用实际距离乘第二个比例尺求出新的图上距离。 【详解】求实际距离：8÷​＝8×4000000＝32000000（厘米） 32000000厘米＝320千米 求新图上距离：32000000×​＝6.4（厘米） 15．0.96 【分析】根据图上距离÷比例尺＝实际距离，求出实际的长和宽，再根据长方形的面积＝长×宽，进行计算即可。 【详解】 （平方厘米） 16．5∶2 【分析】设第一支蜡烛的长度为a，把第一支蜡烛的长度看作单位“1”，则剩余长度占（1－80%），用总长度乘（1－80%）表示出剩余长度为（1－80%）a； 设第二支蜡烛的长度为b，把第二支蜡烛的长度看作单位“1”，剩余长度占（1－50%），用总长度乘（1－50%）表示出剩余长度为（1－50%）b； 剩余长度相等，即（1－80%）a＝（1－50%）b，先化简，再根据比例的基本性质，两个内项的积等于两个外项的积，写出比例，确定a与b的比，再根据比的基本性质，将其化简为最简整数比。 【详解】设第一支蜡烛的长度为a，第二支蜡烛的长度为b。 （1－80%）a＝（1－50%）b 0.2a＝0.5b a∶b＝0.5∶0.2 0.5∶0.2＝（0.5×10）∶（0.2×10）＝5∶2 17．46米；380米 【分析】设车身长x米，根据路程÷时间＝速度（一定），列出正比例算式，求出x的值是车身长，（桥梁长＋车身长）÷通过时间＝火车速度，据此分析。 【详解】解：设车身长x米。 （1000＋x）∶30＝（1920＋x）∶50 30×（1920＋x）＝（1000＋x）×50 57600＋30x＝50000＋50x 20x÷20＝7600÷20 x＝380 （1000＋380）÷30 ＝1380÷30 ＝46（米） 答：这列火车每秒行46米，车身长380米。 【点睛】关键是确定比例关系，比值一定是正比例关系。 18．8000元；6000元 【分析】可以设兄弟两人月收入分别为4x元，3x元，由于月结余均3600元，由此即可知道兄弟两人分别花的钱数，即4x－3600；3x－3600，由于月支出的比为11∶6，由此即可根据比例的意义列出方程，即（4x－3600）∶（3x－3600）＝11∶6，再根据比例的基本性质和等式的性质解方程即可，之后再分别乘兄弟两人月收入的份数即可。 【详解】解：设兄弟两人月收入分别为4x元，3x元 （4x－3600）∶（3x－3600）＝11∶6 6×（4x－3600）＝11×（3x－3600） 24x－21600＝33x－39600 33x－24x＝39600－21600 9x＝18000 x＝18000÷9 x＝2000 2000×4＝8000（元） 2000×3＝6000（元） 答：兄弟两人每个月的收入分别是8000元、6000元。 【点睛】本题主要考查比例的应用，要找准等量关系是解答关键。 19．37.68平方米 【分析】已知在这个1∶100的图纸上，这个无盖的圆柱形水罐的底面直径是4厘米、高是2厘米；则可利用比例尺先求出圆柱形水罐的实际直径和高分别是多少；再求其表面积。 【详解】4÷＝4×100＝400（厘米）＝4（米） 2÷＝2×100＝200（厘米）＝2（米） S表＝S底＋S侧 ＝3.14×（4÷2）2＋3.14×4×2 ＝12.56＋25.12 ＝37.68（平方米） 答：制作这样一个水罐至少需要37.68平方米的铁皮。 【点睛】本题综合了比例尺的应用与圆柱体的表面积的计算两个知识点；比例尺前项为1，后项为100，相当于图上距离是实际长度的；在计算表面积时，注意这里是一个无盖的圆柱形，只需计算一个底面积即可。 20．（1）5∶11 （2）165千米 【分析】（1）甲、乙两车的速度比可以看作甲、乙两车已行的路程占全程的分率的比。 （2）可以先用解比例的方法求出对应全程的的路程，再用这个路程除以即可求出A、B两地之间的路程。 【详解】（1）当甲车已行的路程与剩下的路程的比是1∶2时，相当于走了全程的＝，乙车走了全程的1－＝，∶＝5∶11。 （2）解：设当甲车已行的路程与剩下的路程的比是1∶2时，乙车距离A地还有x千米。 5∶11＝20∶x x＝44 （千米） 答：A、B两地之间的路程是165千米。 【点睛】首先根据所给条件求出两车同样的时间内所行路程比是完成本题的关键。 21．140千米 【分析】根据题意可知，甲车行驶1.5小时的路程等于乙车行驶2小时的路程，甲车速度∶乙车速度＝（甲车1.5小时行驶的路程÷1.5小时）∶（乙车2小时行驶的路程÷2小时），化简后，甲车速度∶乙车速度＝2∶1.5，速度比就等于路程比，甲车行驶的路程是AB两地的距离，乙车行驶的距离是AB两地的距离－35千米，设AB两地的距离为x千米，乙车行驶的路程为x－35，列方程，解比例，即可解答。 【详解】根据分析可知：甲车速度∶乙车速度＝2∶1.5 解：设AB两地距离为x千米 x∶（x－35）＝2∶1.5 1.5x＝2×（x－35） 1.5x＝2x－70 2x－1.5x＝70 0.5x＝70 x＝70÷0.5 x＝140 答：A、B两地的路程是140千米。 【点睛】本题考查比的意义和比例的基本性质，关键是找出甲车和乙车速度的比值，速度比和路程比的关系，列方程，解比例。 22．（1）20平方厘米 （2）平方厘米/秒 【分析】（1）根据水面上升的高度h与注水时间t的图象关系可知：注满圆柱水杯用12秒，注满长方体水盒用60秒，水杯与水盒的高度相同，注水的速度相同，那么水杯的底面积与水盒的底面积的比等于注满水杯的时间与注满水盒的时间比，即：水杯底面积∶100＝12∶60，即可求出水杯的底面积； （2）根据长方体的体积，底面积×高，求出长方体的体积，注面长方体的体积需要时间是60秒，用长方体的体积÷60，就是每秒钟注水的速度，即可解答。 【详解】（1）根据分析可知：水杯底面积∶100＝12∶60 水杯底面积：100×＝20（平方厘米） 答：水杯底面积是20平方厘米。 （2）100×20÷60 ＝2000÷60 ＝（平方厘米/秒） 答：注水的速度是平方厘米/秒。 【点睛】本题考查比例的基本性质以及长方体体积公式的应用。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $