精品解析：吉林长春市实验中学2025-2026学年下学期第一学程考试高一数学试卷

长春市实验中学 2025-2026学年下学期第一学程考试 高一数学试卷 出题人：吕洋 审题人：杜新月 考试时间：120分钟 分值：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分. 1. 设复数，则的虚部为（ ） A. 4 B. -4 C. 4i D. -4i 2. 已知，且∥，则实数（ ） A. B. 1 C. D. 4 3. 在三角形中，，，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 4. 设，，且，则 A. B. 4 C. 5 D. 5. 在△ABC中，点D在线段BC上，且，E是线段AB的中点，则（ ） A. B. C. D. 6. 在中，内角的对边分别为，若，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形或等腰三角形 7. 已知向量，若在上的投影向量为，则（ ） A. B. C. D. 8. 在锐角中，内角的对边分别为，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分 9. 已知复数z满足，则（ ） A. 为纯虚数 B. 对应的点在第四象限 C. D. 和是方程的两个根 10. 下列说法中正确的是（ ）． A. 若．则有两组解 B. 已知非零向量，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 C. 若满足，则与的夹角为 D. 在中，若 11. 如图，已知正方形的边长为2，动点在以为直径的半圆弧上（正方形内部，含边界），则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最大值为2 C. 若，则的最大值为 D. 若为图中半圆内（含边界）的动点，则的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则________ 13. 已知向量，，若，则向量，的夹角的余弦值为______. 14. 已知不平行的两个向量 满足 . 若对任意的 ，都有 成立， 则 的最小值等于_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.（15题13分，16题、17题15分，18题、19题17分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知复数． （1）若复数为纯虚数，求实数的值； （2）若复数在复平面内对应点位于第二象限，求实数的取值范围． 16. 已知平行四边形的三个顶点A、B、C的坐标分别是、、. （1）求顶点D的坐标； （2）求平行四边形ABCD的面积. 17. 在中，角的对边分别为，若，，. （1）求边和角； （2）求的面积. 18. 在中，. （1）求的值； （2）若，求周长的最小值； （3）若是锐角三角形，且，求面积的取值范围. 19. 如图所示，在△中，，，，，. （1）用、表示； （2）若，，是否存在实数使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. （3）若是△内一点，且满足（），求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春市实验中学 2025-2026学年下学期第一学程考试 高一数学试卷 出题人：吕洋 审题人：杜新月 考试时间：120分钟 分值：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分. 1. 设复数，则的虚部为（ ） A. 4 B. -4 C. 4i D. -4i 【答案】B 【解析】 【分析】由复数虚部的概念即可得解. 【详解】由题意复数，则的虚部为-4. 故选：B. 2. 已知，且∥，则实数（ ） A. B. 1 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由两向量共线列方程求解即可 【详解】因为，且∥， 所以，得， 故选：C 3. 在三角形中，，，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理求得或，再结合三角形内角和及，即可求解． 【详解】由正弦定理得，，解得， 因为，所以或， 又因为，所以， 故选：A． 4. 设，，且，则 A. B. 4 C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，确定未知量取值，再求模长。 【详解】解得 故选C。 【点睛】平面向量数量积的基本应用，垂直数量积为零，模长公式。 5. 在△ABC中，点D在线段BC上，且，E是线段AB的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理及线性运算求解即可. 【详解】因为，所以， 则. 故选：A. 6. 在中，内角的对边分别为，若，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形或等腰三角形 【答案】D 【解析】 【分析】将已知结合二倍角公式，两角和的正弦公式，化简可得，从而可以判断三角形的形状. 【详解】，， ， 化简得，， ，即， 或， ，或，即或， 是直角三角形或等腰三角形. 故选：D. 7. 已知向量，若在上的投影向量为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量投影公式计算求解. 【详解】因为向量， 又因为在上的投影向量为，所以 则. 故选：A. 8. 在锐角中，内角的对边分别为，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理角化边，结合余弦定理可得；利用正弦定理边化角整理可求得，利用二倍角正切公式化简所求，可得关于的函数的形式，结合的范围可求得结果. 【详解】，由正弦定理得：，即， 由余弦定理知：，， ，即， 由正弦定理得：， ， 整理可得：， 为锐角三角形，，，， ，即， ， ， ，，，， ，，， 即的取值范围为. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分 9. 已知复数z满足，则（ ） A. 为纯虚数 B. 对应的点在第四象限 C. D. 和是方程的两个根 【答案】BC 【解析】 【分析】先化简，然后结合选项可得答案. 【详解】因为，所以， 对于A，显然不是纯虚数，A不正确； 对于B，，对应的点在第四象限，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，所以和不是方程的根, D不正确. 故选：BC 10. 下列说法中正确的是（ ）． A. 若．则有两组解 B. 已知非零向量，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 C. 若满足，则与的夹角为 D. 在中，若 【答案】ACD 【解析】 【分析】由正弦定理，求得，得到或，可判定A正确；根据与的夹角为锐角，得到且向量与不共线，求得的范围，可判定B错误；根据向量加法的几何意义，可得，结合向量的夹角公式，可判定C正确；根据，利用正弦定理得，可判定D正确. 【详解】对于A中，因为， 由正弦定理，可得，解得， 因为，所以或，此时三角形有两解，所以A正确； 对于B中，由向量，且与的夹角为锐角， 则且向量与方向不相同， 由，解得， 设，即，可得，解得， 所以向量与的夹角为锐角时，实数的取值范围是，所以B错误； 对于C中，由，有，则， 则且， 设与的夹角为，可得， 因为，所以，即与的夹角为，所以C正确； 对于D中，由，可得，由正弦定理得，所以D正确. 故选：ACD. 11. 如图，已知正方形的边长为2，动点在以为直径的半圆弧上（正方形内部，含边界），则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最大值为2 C. 若，则的最大值为 D. 若为图中半圆内（含边界）的动点，则的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，根据向量数量积的坐标表示、正弦函数的性质及辅助角公式即可判断选项ABC；取的中点，连接，求出的取值范围，再根据结合数量积的运算律求解即可判断选项D. 【详解】以为原点，以，所在直线为，轴建立平面直角坐标系， 则，，，. 选项A：，，所以，故A正确. 选项B：取中点，则. 设，则，所以，， 所以， 当即（或）时最大值为4，故B错误. 选项C：，，， 由得，则. 所以， 当，即时，取得最大值，为，故C正确. 选项D：取的中点，连接， 因为是边长为2的正方形，动点为图中半圆内（含边界）的动点， 所以当在点或点时，取得最大值，当在弧中点时，取得最小值1，即 又，， 所以，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则________ 【答案】 【解析】 【分析】 根据向量的线性运算法则计算可得. 【详解】∵， ∴， ∴， ∴. 故答案为：. 13. 已知向量，，若，则向量，的夹角的余弦值为______. 【答案】## 【解析】 【详解】因为向量，， 所以， 因为， 所以， 所以向量，的夹角的余弦值为. 14. 已知不平行的两个向量 满足 . 若对任意的 ，都有 成立， 则 的最小值等于_____. 【答案】2 【解析】 【分析】先由数量积的定义推得，再将问题转化为二次不等式恒成立的问题，从而得解. 【详解】依题意，设的夹角为，， 因为，所以，所以； 又因为对任意的 ，都有 成立，所以即即， 整理可得：，对任意的 恒成立，故， 整理可得：，又因为，解得，即，故 的最小值等于2. 故答案为：2 四、解答题：本题共5小题，共77分.（15题13分，16题、17题15分，18题、19题17分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知复数． （1）若复数为纯虚数，求实数的值； （2）若复数在复平面内对应点位于第二象限，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据纯虚数的定义即可求解， （2）根据复数的几何意义，结合第二象限点的特征即可求解. 【小问1详解】 因为复数为纯虚数，所以， 解的 解得，； 【小问2详解】 因为复数在复平面内对应的点在第二象限，所以 解之得 得． 所以实数的取值范围为． 16. 已知平行四边形的三个顶点A、B、C的坐标分别是、、. （1）求顶点D的坐标； （2）求平行四边形ABCD的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据中点坐标公式进行求解即可； （2）根据平面向量夹角公式、平面向量模的公式，结合同角的三角函数关系、三角形面积公式进行求解即可. 【小问1详解】 因为四边形是平行四边形， 所以对角线互相平分， 对角线的中点为，即， 设，显然也是对角线的中点， 所以有，因此顶点D的坐标为； 【小问2详解】 因为， 所以， 因此， 所以， 所以平行四边形ABCD的面积为. 17. 在中，角的对边分别为，若，，. （1）求边和角； （2）求的面积. 【答案】（1）或； （2）或. 【解析】 【分析】（1）直接用正弦定理解三角形可得； （2）由（1）解析中两种情况分别求面积可得. 【小问1详解】 因为中，，，，由正弦定理得， 又因为，所以或. 当时，， ， 由正弦定理； 当时，， ， 由正弦定理； 所以或. 【小问2详解】 由（1）知或. 当时，，所以三角形面积； 当时，，所以三角形面积； 所以或. 18. 在中，. （1）求的值； （2）若，求周长的最小值； （3）若是锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由射影定理直接可得所求角的余弦值，进而可得正弦值； （2）先由余弦定理及基本不等式可得，进而可得周长的最小值； （3）将三角形的面积表示成关于角的三角函数，用函数的性质可得面积的取值范围. 【小问1详解】 因为在三角形中，由射影定理代入， 得，即，因为，所以. 【小问2详解】 在三角形中，由（1）知， 由余弦定理得， 又因为，由基本不等式，当且仅当时等号成立， 所以，即，所以周长. 因此周长的最小值为. 【小问3详解】 因为是锐角三角形，由（1）知，且，得，， 所以，解得. 又由正弦定理得，所以， ， 因为，所以，因此. 所以面积. 19. 如图所示，在△中，，，，，. （1）用、表示； （2）若，，是否存在实数使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. （3）若是△内一点，且满足（），求的最小值. 【答案】（1） （2）存在， （3） 【解析】 【分析】（1）结合条件，根据向量的线性关系，即可求解； （2）利用基底表示向量和，再结合垂直关系的向量运算，即可求解； （3）首先由向量的线性运算关系推出点三点共线，，再结合基本不等式求最值，并化简，求最值. 【小问1详解】 ， 【小问2详解】 设， ， ， ，， 解得， ∴存在点，使得 【小问3详解】 ， ∴， ， ， ， ，，三点共线， ， 当且仅当时，即为中点时等号成立， 而， 所以的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $