专题03一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系期中复习讲义（知识梳理+6大高频考点+2大题型）2025-2026学年八年级数学下册浙教版

专题03 一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系 期中复习讲义 一、复习目标 1.理解并掌握根的判别式 Δ = b²−4ac，能熟练判断一元二次方程根的情况。 2.会根据根的情况求参数范围，牢记“二次项系数≠0”这一易错点。 3.掌握韦达定理（根与系数的关系）：，。 4.能利用韦达定理进行代数式求值、已知一根求另一根、求参数等题型。 5.掌握常见代数式变形公式，规范解题步骤，规避期中高频易错点。 二、知识梳理（必记） 1.根的判别式 对于一元二次方程： 判别式： ⇨ 方程有两个不相等的实数根 ⇨ 方程有两个相等的实数根 ⇨ 方程没有实数根 2.已知根的情况求参数（必考步骤） ①先保证：（一元二次方程前提） ②再根据根的情况列不等式： 有实数根 ⇒ 无实数根 ⇒ 有两个相等实数根 ⇒ 3.根与系数的关系（韦达定理） 若 是方程 的两根，则： 4.必考代数式变形公式（熟记） ① ② ③ ④ ⑤ 5.解题技巧总结 ①只判断根的情况 ⇒ 直接算 ②已知根情况求参 ⇒ 先 ，再 ③给一根求另一根/参数 ⇒ 用韦达定理最快 ④代数式求值 ⇒ 先变形，再整体代入 ⑤与几何、等腰三角形、直角三角形结合 ⇒ 先韦达，再用几何定理 三、典例精讲 考点1 根的判别式判断根的情况 例题1判断方程 的根的情况。 【答案】有两个不相等的实数根 【解析】确定系数： 计算判别式： 因为 ，所以方程有两个不相等的实数根。 变式 方程 根的情况是？ 【答案】有两个相等的实数根 【解析】，故有两个相等实根。 考点2 已知根的情况求参数 例题2若关于 的一元二次方程 有实数根，求 的取值范围。 【答案】 且 【解析】方程是一元二次方程，必须满足： 方程有实数根 ⇒ 计算： 解得： 综合： 且 变式 方程 有实数根，求 范围。 【答案】 【解析】若 ，方程为一元一次方程 ，有实根； 若 ，为一元二次方程， ⇒ 且 ； 综上：。 考点3 直接用韦达定理求两根和、积 例题3方程 的两根为 ，则 （） A.3 B.2 C.-2 D.-3 【答案】D 【解析】方程一般式：， 由韦达定理： 所以 ，选D。 考点4 已知一根，求另一根与参数 例题4若 是方程 的一个根，求另一根。 【答案】另一根为1 【解析】设另一根为 由韦达定理：两根之和 代入 ： 解得： 变式 是 的根，求 及另一根。 【答案】，另一根3 【解析】代入： ⇒ 两根和： ⇒ 考点5 利用韦达定理求代数式的值（高频） 例题5 是方程 的两根，求 的值。 【答案】2023 【解析】因为 是方程的根，所以代入得： ⇒ 由韦达定理： 原式变形： 代入： 变式 是 的根，求 。 【答案】31 【解析】 原式= 考点6 综合题：判别式 + 韦达定理 例题6已知方程 ，两根满足 ，且 ，求 。 【答案】 【解析】由韦达定理：， 代入 ： ⇒ ⇒ ， 代入积： 解得： 或 由 得 ，故 。 四、期中易错点警示（必看） 1.求参数一定先看 ，少写直接扣分。 2.有实数根是 ，不是 。 3.韦达定理必须先化成一般式，再定 。 4.代数式变形不要硬解根，用整体代入最快。 5.与三角形结合时，必须检验三边关系。 五、题型突破 题型一．根的判别式 1．（2025秋•台州期中）一元二次方程x2﹣x+1＝0的根的情况为（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【答案】C 【分析】依据题意，当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程无实数根，计算得出Δ＝﹣3＜0即可． 【解答】解：由题意，∵x2﹣x+1＝0， ∴a＝1，b＝﹣1，c＝1， ∴Δ＝b2﹣4ac＝1﹣4＝﹣3＜0， ∴原方程无实数根． 故选：C． 2．（2025春•慈溪市期中）若关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k≥﹣1且k≠0 B．k≥﹣1 C．k＞﹣1 D．k＞﹣1且k≠0 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且Δ＝22﹣4k×（﹣1）≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【解答】解：根据题意得k≠0且Δ＝22﹣4k×（﹣1）≥0， 解得k≥﹣1且k≠0． 故选：A． 3．（2025春•诸暨市期中）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有实数根，则k的取值范围为（　　） A．k B．k且k≠1 C．k≥0 D．k≥0且k≠1 【答案】B 【分析】根据根的判别式得出k﹣1≠0且Δ＝（﹣2k）2﹣4（k﹣1）（k﹣3）≥0，再求出k的范围即可． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有实数根， ∴k﹣1≠0且Δ＝（﹣2k）2﹣4（k﹣1）（k﹣3）≥0， 解得：k且k≠1， 故选：B． 4．（2025春•拱墅区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2+2x+|m﹣1|＝0有两个不相等的实数根，则下列选项中，m的值可以是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】先根据根的判别式得出关于m的不等式，再分类讨论即可． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+|m﹣1|＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝4﹣4|m﹣1|＞0，即1﹣|m﹣1|＞0， ∴|m﹣1|＜1， 当m﹣1≥0，即m≥1时，原不等式可化为m﹣1＜1，解得m＜2； 当m﹣1＜0，即m＜1时，原不等式可化为1﹣m＜1，解得m＞0， ∴0＜m＜2， ∴m的值可以等于1． 故选：A． 5．（2025春•余杭区校级期中）已知等腰△ABC的一条边为7，其余两边的边长恰好是方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0的两个根，则m的值是（　　） A．2 B．4 C．2或10 D．4或10 【答案】B 【分析】分7为等腰三角形的底或腰两种情形，讨论求解即可． 【解答】解：当7为底时，则等腰△ABC的腰长为x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0的两个相等的实数根， ∴Δ＝[﹣2（m+1）]2﹣4（m2+5）＝0， 解得m＝2， 此时一元二次方程为x2﹣6x+9＝0， 解得x1＝x2＝3， 因为3+3＜7， ∴3，3，7本能构成直角三角形； 当7为腰时，则方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0的一个根为7， ∴72﹣2（m+1）×7+m2+5＝0， 解得m1＝4，m2＝10， 当m＝10时，此时一元二次方程为x2﹣22x+105＝0， 解得x1＝7，x2＝15， 7+7＜15，不能构成三角形； 当m＝4时，此时一元二次方程为x2﹣10x+21＝0， 解得x1＝7，x2＝3， 3+7＞7，可以构成三角形， 由上可得，m的值为4． 故选：B． 6．（2025春•慈溪市校级期中）已知a、b、c是△ABC的三条边的长，那么方程的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实根 D．不确定 【答案】C 【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式Δ＝b2﹣4ac的值的符号，结合三角形三边关系即可作出判断． 【解答】解：在此方程中Δ＝（a+b）2﹣4c（a+b）2﹣c2， ∵a，b，c是△ABC三条边的长， ∴a＞0，b＞0，c＞0．c＜a+b，即（a+b）2＞c2， ∴Δ＝（a+b）2﹣c2＞0， 故方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 7．（2025春•义乌市校级期中）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（其中a•c≠0，且a+b+c＝0）有以下说法： ①方程必定有解； ②若方程的两个解相等，则a＝c； ③若x＝c是方程的解，则a＝1或c＝1． 其中正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】由a+b+c＝0可知x＝1是原方程的解，即①正确；由x＝c是方程的解可得ac2+bc+c＝0，再说明a≠0，c≠0，进而得到b＝﹣1﹣ac；再结合b＝﹣a﹣c可得﹣a﹣c＝﹣1﹣ac，然后移项并因式分解可得（c﹣1）（a﹣1）＝0，即可判定③． 【解答】解：①一元二次方程ax2+bx+c＝0， ∵a+b+c＝0， ∴x＝1是原方程的解，即方程至少有一个根， ∴该方程必有解，正确，符合题意； ②由一元二次方程的实数根与判别式的关系与判别式的关系可知：b2﹣4ac＝0， ∵a+b+c＝0， ∴b＝﹣a﹣c， ∵b2﹣4ac＝0， ∴（﹣a﹣c）2﹣4ac＝0，整理得：（a﹣c）2＝0，即a＝c，正确，符合题意； ③∵x＝c是方程的解， ∴ac2+bc+c＝0， ∵a•c≠0， ∴a≠0，c≠0， ∴ac+b+1＝0，即b＝﹣1﹣ac， ∵b＝﹣a﹣c， ∴﹣a﹣c＝﹣1﹣ac，即ac﹣a+1﹣c＝0， ∴a（c﹣1）﹣（c﹣1）＝0，即（c﹣1）（a﹣1）＝0， ∴a＝1或c＝1，正确，符合题意． 故选：D． 8．（2025春•浙江期中）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法： ①若a+c＝b，则b2﹣4ac≥0； ②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实数根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实数根； ③若x＝c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立； ④若x＝x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则； 其中正确的个数为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】利用a+c＝b得到b2﹣4ac＝（a﹣c）2≥0，从而可对①进行判断；根据根的判别式的意义由方程ax2+c＝0有两个不相等的实数根得到a≠0且Δ＝02﹣4ac＞0，则ac＜0，然后计算一元二次方程ax2+bx+c＝0的根的判别式得到Δ＞0，从而可对②进行判断；把x＝c代入方程ax2+bx+c＝0得ac+bc+c＝0，根据等式的性质可对③进行判断；根据一元二次方程解的定义得到c＝﹣（bx0），再利用代入法计算根的判别式的值，从而可对④进行判断． 【解答】解：∵a+c＝b， ∴b2﹣4ac＝（a+c）2﹣4ac＝（a﹣c）2≥0，所以①正确； ∵方程ax2+c＝0有两个不相等的实数根， ∴a≠0且Δ＝02﹣4ac＞0， ∴ac＜0， ∴对于一元二次方程ax2+bx+c＝0，Δ＝b2﹣4ac＞0， ∴此方程必有两个不相等的实数根，所以②正确； 把x＝c代入方程ax2+bx+c＝0得ac+bc+c＝0， 当c≠0时，a+b+1＝0，所以③错误； 把x＝x0代入一元二次方程ax2+bx+c＝0得bx0+c＝0， ∴Δ＝b2﹣4ac＝b2﹣4a（bx0）＝4a24abx0+b2＝（2ax0+b）2，所以④正确． 故选：B． 9．（2025春•义乌市期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的最大整数值是 　0　 ． 【答案】0． 【分析】利用判别式的意义得到Δ＝4（k﹣1）2﹣4（k2﹣1）＞0，然后解不等式取最大值即可． 【解答】解：根据题意得Δ＝4（k﹣1）2﹣4（k2﹣1）＞0， 解得k＜1． k的最大整数是0． 故答案为：0． 10．（2025春•永康市期中）等腰三角形的一边长为3，另两边的长是关于x的方程x2﹣5x+k＝0的两根，则k＝　6或　 ． 【答案】6或． 【分析】分3为腰长及3为底边长两种情况考虑，当3为腰长时，将x＝3代入原方程可求出k值，将k值代入原方程可求出方程的根，再利用三角形的三边关系验证后可得出k＝6符合题意；当3为底边长时，由根的判别式Δ＝0可求出k值，将k值代入原方程可求出方程的根，再利用三角形的三边关系验证后可得出k符合题意． 【解答】解：当3为腰长时，将x＝3代入原方程得32﹣5×3+k＝0， 解得：k＝6， ∴原方程为x2﹣5x+6＝0，即（x﹣2）（x﹣3）＝0， 解得：x1＝2，x2＝3， ∴等腰三角形的三条边长分别为2，3，3， ∵2+3＝5＞3， ∴2，3，3能组成三角形， ∴k＝6符合题意； 当3为底边长时，关于x的方程x2﹣5x+k＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝（﹣5）2﹣4×1×k＝0， 解得：k， ∴原方程为x2﹣5x0，即（x）2＝0， 解得：x1＝x2， ∴等腰三角形的三条边长分别为，，3， ∵5＞3， ∴，，3能组成三角形， ∴k符合题意． ∴k的值为6或． 故答案为：6或． 11．（2025春•诸暨市期中）在桥梁结构的力学分析中，工程师们用到一元二次方程px2+qx+r＝0（p≠0）来计算结构的受力情况．对于这个方程，有下列说法： ①若p﹣q+r＝0，则方程px2+qx+r＝0（p≠0）必有一个根为x＝﹣1； ②若方程px2+r＝0有两个不相等的实根，则方程px2+qx+r＝0（p≠0）必有两个不相等的实根； ③若x＝r是方程px2+qx+r＝0（p≠0）的一个根，则一定有pr+q+1＝0成立． 这些说法对于准确评估桥梁结构的稳定性至关重要，其中正确的是 　①②　 （填序号）． 【答案】①②． 【分析】①将x＝﹣1代入方程，即可判断①正确与否； ②对于方程px2+r＝0．根的判别式Δ1＝0﹣4pr＝﹣4pr＞0，进而可判断方程px2+qx+r＝0（p≠0），其根的判别式Δ2＝q2﹣4pr＞0，进而可判断有两个不相等的实根； ③将x＝r代入方程可得p×r2+q×r+r＝0，则可判断r＝0或pr+q+1＝0，不一定只有pr+q+1＝0成立，即可判断③正确与否． 【解答】解：将x＝﹣1代入方程px2+qx+r＝0（p≠0）， 得到p×（﹣1）2+q×（﹣1）+r， 即p﹣q+r， 若p﹣q+r＝0，这就说明x＝﹣1时，方程px2+qx+r＝0成立， ∴方程px2+qx+r＝0必有一个根为x＝﹣1， ∴说法①正确， 对于方程px2+r＝0．其判别式Δ1＝0﹣4pr＝﹣4pr， ∵该方程有两个不相等的实数根， ∴Δ1＝﹣4pr＞0， 对于方程px2+qx+r＝0（p≠0），其判别式Δ2＝q2﹣4pr， 由于q2≥0，且﹣4pr＞0， ∴q2﹣4pr＞0， ∴px2+qx+r＝0（p≠0）必有两个不相等的实根， ∴故说法②正确， 若x＝r是方程px2+qx+r＝0（p≠0）的一个根，将x＝r代入方程可得p×r2+q×r+r＝0，提取公因式r（pr+q+1）＝0， 则r＝0或pr+q+1＝0，不一定只有pr+q+1＝0成立，故说法③错误． 故答案为：①②． 12．（2025春•嵊州市期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+2m﹣2＝0（m为常数）． （1）若方程的一个根为1，求m的值及方程的另一个根； （2）求证：不论m为何值时，方程总有两个实数根． 【分析】（1）把x＝1代入方程可求得m的值，再解方程可求得另一根； （2）由方程根的情况可得到关于m的不等式，即可证明． 【解答】解：（1）把x＝1代入方程可得1﹣（m+1）+2m﹣2＝0， 解得m＝2， 当m＝2时，原方程为x2﹣3x+2＝0， ∴（x﹣1）（x﹣2）＝0， 解得x1＝1，x2＝2， 即方程的另一根为2； （2）∵a＝1，b＝﹣（m+1），c＝2m﹣2， ∴Δ＝[﹣（m+1）]2﹣4×1×（2m﹣2） ＝m2﹣6m+9 ＝（m﹣3）2≥0， ∴不论m为何值时，方程总有两个实数根． 13．（2025春•杭州校级期中）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m+2＝0． （1）若方程有实数根，求m的取值范围； （2）在等腰△ABC中，一腰长为3，其中两边长为方程的两个根，求m的值． 【分析】（1）由方程无实数根得Δ＝b2﹣4ac＜0，可得关于m的不等式，解之可得m的范围； （2）由Δ≥0，求出m的取值范围，分两种情况：①当3是腰时，3是方程的一个根，把x＝3代入方程可求得m；②两腰都是方程的根时，即方程有两个相等根，由Δ＝0可求出m，两种情况都根据三角形的三边关系检验． 【解答】解：（1）Δ＝b2﹣4ac＝4m2﹣4（m﹣1）（m+2）＝﹣4m+8， ∵方程有实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac≥0且m﹣1≠0， ∴﹣4m+8≥0且m≠1， 解得m≤2且m≠1； （2）根据题意得Δ＝﹣4m+8≥0且m≠1， 解得m≤2且m≠1， 当△＞0时，方程的一根是3，把x＝3代入方程得9（m﹣1）﹣6m+m+2＝0， 解得m， 此时方程的另一根为， ∵33， ∴三角形存在； ∴m， 当Δ＝﹣4m+8＝0， ∴m＝2， ∴方程为x2﹣4x+4＝0． 解得x＝2， ∵一腰长为3， ∴m＝2不合题意， ∴m， 14．（2025春•兰溪市校级期中）已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2mx+m+3＝0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）当m取满足条件的最大整数时，求方程的根． 【分析】（1）由Δ＞0得到关于m的不等式，解之得到哦m的范围，根据一元二次方程的定义求得答案； （2）由（1）知m＝5，还原方程，利用因式分解法求解可得． 【解答】解：（1）由题意知，Δ＝（2m）2﹣4（m﹣2）（m+3）＞0， 解得：m＜6， 又m﹣2≠0，即m≠2， 则m＜6且m≠2； （2）由（1）知m＝5， 则方程为3x2+10x+8＝0， 即（x+2）（3x+4）＝0， 解得x＝﹣2或x． 15．（2025春•拱墅区校级期中）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长． （1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 【分析】（1）把x＝﹣1代入方程得a+c﹣2b+a﹣c＝0，整理得a＝b，从而可判断三角形的形状； （2）根据判别式的意义得Δ＝（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，即b2+c2＝a2，然后根据勾股定理可判断三角形的形状； （3）利用等边三角形的性质得a＝b＝c，方程化为x2+x＝0，然后利用因式分解法解方程． 【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形； 理由：把x＝﹣1代入方程得a+c﹣2b+a﹣c＝0，则a＝b，所以△ABC为等腰三角形； （2）△ABC为直角三角形； 理由：根据题意得Δ＝（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，即b2+c2＝a2，所以△ABC为直角三角形； （3）∵△ABC为等边三角形， ∴a＝b＝c， ∴方程化为x2+x＝0，解得x1＝0，x2＝﹣1． 题型二．根与系数的关系 16．（2025春•萧山区期中）若x＝0是方程x2﹣x+m＝0的一个根，则此方程的另一个根是（　　） A．﹣2 B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】方法一：利用待定系数法求出a的值，解方程即可解决问题． 方法二：利用根与系数的关系即可解决问题． 【解答】方法一： 解：∵x＝0是方程x2﹣x+m＝0的一个根， ∴m＝0， ∴x2﹣x＝0， ∴x＝0或1， ∴方程的另一个根为1， 故选：C． 方法二： 解：设另一个根为p， 则0+p＝1， ∴p＝1， ∴方程的另一个根为1， 故选：C． 17．（2025春•西湖区校级期中）设x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0的两个根，则（　　） A．4 B．﹣5 C．26 D．24 【答案】C 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系进行计算即可． 【解答】解：由题知， 因为x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0的两个根， 所以x1+x2＝4，x1x2＝﹣5， 则42﹣2×（﹣5）＝26． 故选：C． 18．（2025春•永康市期中）已知m，n是方程x2+2x﹣5＝0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n＝（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】利用根与系数的关系及一元二次方程的解的定义得出m+n＝﹣2，m•n＝﹣5，m2＝5﹣2m，再将m2﹣mn+3m+n变形为两根之积或两根之和的形式，然后代入数值计算即可． 【解答】解：∵m、n是方程x2+2x﹣5＝0的两个实数根， ∴mn＝﹣5，m+n＝﹣2，m2+2m﹣5＝0， ∴m2＝5﹣2m， ∴m2﹣mn+3m+n ＝（5﹣2m）﹣（﹣5）+3m+n ＝10+m+n ＝10﹣2 ＝8． 故选：C． 19．（2025春•西湖区校级期中）关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣m＝0有两个实数根α，β，且α2+β2＝12，那么m的值为（　　） A．﹣1 B．﹣4 C．﹣4或1 D．﹣1或4 【答案】A 【分析】根据方程的根的判别式，得出m的取值范围，然后根据根与系数的关系可得α+β＝﹣2（m﹣1），α•β＝m2﹣m， 结合α2+β2＝12即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：∵关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣m＝0有两个实数根， ∴Δ＝[2（m﹣1）]2﹣4×1×（m2﹣m）＝﹣4m+4≥0， 解得：m≤1． ∵关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣m＝0有两个实数根α，β， ∴α+β＝﹣2（m﹣1），α•β＝m2﹣m， ∴α2+β2＝（α+β）2﹣2α•β＝[﹣2（m﹣1）]2﹣2（m2﹣m）＝12，即m2﹣3m﹣4＝0， 解得：m＝﹣1或m＝4（舍去）． 故选：A． 20．（2025春•钱塘区期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有（　　）个． ①方程x2﹣x﹣2＝0是倍根方程； ②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，则4m2+5mn+n2＝0； ③若p、q满足pq＝2，则关于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程； ④若方程ax2+bx+c＝0是倍根方程，则必有2b2＝9ac． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】①求出方程的解，再判断是否为倍根方程， ②根据倍根方程和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m、n之间的关系，而m、n之间的关系正好适合， ③当p，q满足pq＝2，则px2+3x+q＝（px+1）（x+q）＝0，求出两个根，再根据pq＝2代入可得两个根之间的关系，进而判断是否为倍根方程， ④用求根公式求出两个根，当x1＝2x2，或2x1＝x2时，进一步化简，得出关系式，进行判断即可． 【解答】解：①解方程x2﹣x﹣2＝0得，x1＝2，x2＝﹣1，得，x1≠2x2， ∴方程x2﹣x﹣2＝0不是倍根方程； 故①不正确； ②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，x1＝2， 因此x2＝1或x2＝4， 当x2＝1时，m+n＝0， 当x2＝4时，4m+n＝0， ∴4m2+5mn+n2＝（m+n）（4m+n）＝0， 故②正确； ③∵pq＝2，则px2+3x+q＝（px+1）（x+q）＝0， ∴，x2＝﹣q， ∴， 因此是倍根方程， 故③正确； ④方程ax2+bx+c＝0的根为：，， 若x1＝2x2，则， 即， ∴， ∴， ∴， ∴9（b2﹣4ac）＝b2， ∴2b2＝9ac． 若2x1＝x2时，则， 则， ∴， ∴， ∴， ∴b2＝9（b2﹣4ac）， ∴2b2＝9ac． 故④正确， ∴正确的有：②③④共3个． 故选：C． 21．（2025春•滨江区期中）请写出一个以﹣3和4为根的一元二次方程：x2﹣x﹣12＝0　 ． 【答案】x2﹣x﹣12＝0 【分析】根据根与系数的关系即可求出答案． 【解答】解：设x2+mx+n＝0的两根分别是﹣3和4， ∴﹣m＝﹣3+4，n＝﹣3×4＝﹣12， ∴m＝﹣1，n＝﹣12， ∴方程为x2﹣x﹣12＝0 故答案为：x2﹣x﹣12＝0 22．（2025春•瑞安市校级期中）若x＝1为方程x2﹣3mx+5＝0的一个根，则该方程的另一个根为x＝　5　 ． 【答案】5． 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 【解答】解：令方程的另一个根为a，则1×a＝5， 即a＝5， 所以方程的另一个根为5． 故答案为：5． 23．（2025春•慈溪市校级期中）已知m、n是一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的两个根，则的值为　　 ． 【答案】． 【分析】利用根与系数的关系得m+n＝1，mn＝﹣3，然后把所给代数式通分后代入求解即可． 【解答】解：由根与系数的关系得， m+n＝1，mn＝﹣3， ∴． 故答案为：． 24．（2025春•西湖区校级期中）若α，β是方程x2+2x﹣2025＝0的两个实数根，则代数式2α2+6α+2β+5的值为 　4051　 ． 【答案】4051． 【分析】根据α，β是方程x2+2x﹣2025＝0的两个实数根，得出α2+2α﹣2025＝0，α+β＝﹣2，据此求解即可． 【解答】解：根据题意得：α2+2α﹣2025＝0， ∴α2+2α＝2025， ∴2α2+6α+2β+5＝2α2+4α+2α+2β+5＝2（α2+2α）+2（α+β）+5， ∵α，β是方程x2+2x﹣2025＝0的两个实数根， ∴α+β＝﹣2， ∴2α2+6α+2β+5＝2×2025+2×（﹣2）+5＝4051， 故答案为：4051． 25．（2025春•萧山区期中）关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有实数根α、β，且α2+β2＝17，则m的值是 　﹣4　 ． 【答案】﹣4． 【分析】由根与系数的关系可得出α+β＝3，αβ＝m，将其代入α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ中可得出9﹣2m＝17，解得m＝﹣4． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个实数根， ∴Δ＝9﹣4m≥0， ∴m， ∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有实数根α、β， ∴α+β＝3，αβ＝m， ∵α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝17， ∴9﹣2m＝17， ∴m＝﹣4， 故答案为﹣4． 26．（2025春•杭州期中）已知关于x的一元二次方程x2+（a+3）x+a+1＝0若方程的两个实数根为x1，x2，且（x1﹣2）（x2﹣2）＝2，则实数a的值为　﹣3　 ． 【答案】﹣3． 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为关于x的一元二次方程x2+（a+3）x+a+1＝0若方程的两个实数根为x1，x2， 所以x1+x2＝﹣a﹣3，x1x2＝a+1． 又因为（x1﹣2）（x2﹣2）＝2， 所以x1x2﹣2（x1+x2）+4＝2， 即a+1﹣2（﹣a﹣3）+4＝2， 解得a＝﹣3． 故答案为：﹣3． 27．（2025春•西湖区校级期中）已知关于x的一元二次方程ax2+（3a﹣2）x+2（a﹣2）＝0（a＞0），设方程的两个实数根x1，x2，其中x1＞x2，则x2＝ 　﹣2　 ，若，b为常数，则b的值为 　16　 ． 【答案】﹣2；16． 【分析】解方程得出，x＝﹣2，根据a＞0，得出，根据x1＞x2，得出，x2＝﹣2；根据，得出，根据非负数的性质得出，求出b的值即可． 【解答】解：ax2+（3a﹣2）x+2（a﹣2）＝0， 方程可变为：（ax+a﹣2）（x+2）＝0， ∴ax+a﹣2＝0或x+2＝0， 解得：，x＝﹣2， ∵a＞0， ∴， ∵x1＞x2， ∴，x2＝﹣2； ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：﹣2；16． 28．（2025春•余杭区校级期中）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0的两实数根． （1）求m的取值范围． （2）若（x1﹣1）（x2﹣1）＝39，求m的值． 【分析】（1）根据x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0的两实数根，可知Δ＝[﹣2（m+1）]2﹣4×1×（m2+5）≥0，然后求解即可； （2）根据（x1﹣1）（x2﹣1）＝39、根与系数的关系和（1）中m的取值范围，可以计算出m的值． 【解答】解：（1）∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0的两实数根， ∴Δ＝[﹣2（m+1）]2﹣4×1×（m2+5）≥0， 解得m≥2， 即m的取值范围为m≥2； （2）∵（x1﹣1）（x2﹣1）＝39， ∴x1x2﹣x1﹣x2+1＝39， ∴x1x2﹣（x1+x2）＝38， ∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0的两实数根， ∴x1x2＝m2+5，x1+x2＝2（m+1）， ∴（m2+5）﹣2（m+1）＝38， 解得m＝7或m＝﹣5， 由（1）可知，m≥2， ∴m的值为7． 29．（2025春•杭州期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（k+1）x+k2﹣3＝0． （1）若该方程有一个根是﹣1，求k的值． （2）若该方程有两个实数根，求k的取值范围． （3）若该方程的两个实数根x1，x2满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝11，求k的值． 【分析】（1）把x＝﹣1代入关于x的一元二次方程得1+2（k+1）+k2﹣3＝0，然后解关于k的一元二次方程即可； （2）根据根的判别式的意义得到Δ＝4（k+1）2﹣4（k2﹣3）≥0，然后解不等式即可； （3）先根据根与系数的关系得x1+x2＝2（k+1），x1x2＝k2﹣3，再利用（x1﹣1）（x2﹣1）＝11得到k2﹣3﹣2（k+1）+1＝11，解得k1＝5，k2＝﹣3，然后利用k≥﹣2确定k的值． 【解答】解：（1）把x＝﹣1代入方程x2﹣2（k+1）x+k2﹣3＝0得1+2（k+1）+k2﹣3＝0， 整理得k2+2k＝0， 解得k1＝0，k2＝﹣2， 即k的值为0或﹣2； （2）根据题意得Δ＝4（k+1）2﹣4（k2﹣3）≥0， 解得k≥﹣2， 即k的取值范围为k≥﹣2； （3）根据根与系数的关系得x1+x2＝2（k+1），x1x2＝k2﹣3， ∵（x1﹣1）（x2﹣1）＝11， ∴x1x2﹣（x1+x2）+1＝11， ∴k2﹣3﹣2（k+1）+1＝11， 整理得k2﹣2k﹣15＝0， 解得k1＝5，k2＝﹣3， ∵k≥﹣2， ∴k的值为5． 30．（2025春•浙江期中）关于x的一元二次方程x2﹣5x+k＝0有实数根． （1）求k的取值范围． （2）如果k是符合条件的最大整数，且关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0与方程x2﹣5x+k＝0有一个相同的根，求此时m的值． （3）若方程x2﹣5x+k＝0的两个实数根为x1，x2，满足x1＝4x2，求此时k的值． 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式即可解决问题． （2）根据（1）中的计算结果，求出k的值，据此进行计算即可． （3）利用一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和，再结合x1＝4x2求出方程的解，最后代入计算求出k的值即可． 【解答】解：（1）因为关于x的一元二次方程x2﹣5x+k＝0有实数根， 所以Δ＝（﹣5）2﹣4k≥0， 解得k． （2）由（1）知， k的最大整数值为6． 解方程x2﹣5x+6＝0得， x1＝2，x2＝3． 将x＝2代入（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0得， 4（m﹣1）+2+m﹣3＝0， 解得m＝1． 因为m﹣1≠0， 所以m≠1， 故此情况舍去． 将x＝3代入（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0得， 9（m﹣1）+3+m﹣3＝0， 解得m， 综上所述，m的值为． （3）因为方程x2﹣5x+k＝0的两个实数根为x1，x2， 所以x1+x2＝5． 因为x1＝4x2， 所以4x2+x2＝5， 解得x2＝1． 将x＝1代入x2﹣5x+k＝0得， 1﹣5+k＝0， 解得k＝4， 所以k的值为4． 31．（2025春•义乌市校级期中）已知关于x的方程x2﹣2ax﹣a+2b＝0，其中a，b为实数． （1）当a＝3，b＝﹣2时，求方程两根的平方和． （2）当a＜0时，若方程有一个根为2a，判断a与b的大小关系并说明理由． （3）若对于任何实数a，此方程都有实数根，求b的取值范围． 【分析】（1）先把a＝3，b＝﹣2代入x2﹣2ax﹣a+2b＝0，得出x2﹣6x﹣7＝0，解方程得出x1＝7，x2＝﹣1，然后求出结果即可； （2）把x＝2a方入方程x2﹣2ax﹣a+2b＝0得出，求出，即可得出答案； （3）根据根的判别式得出Δ＝（2a）2﹣4（﹣a+2b）＝4a2+4a﹣8b≥0，整理得出，根据对于任何实数a，此方程都有实数根，得出对于任何实数a，恒成立，即可得出答案． 【解答】解：（1）当a＝3，b＝﹣2时，方程为x2﹣6x﹣7＝0， 解得：x1＝7，x2＝﹣1， ∴， 即两根的平方和为50． （2）把x＝2a方入方程x2﹣2ax﹣a+2b＝0得： 4a2﹣4a2﹣a+2b＝0， 整理得：， ∴， ∴， 即a＜b； （3）由题可知Δ＝（2a）2﹣4（﹣a+2b）＝4a2+4a﹣8b≥0， 整理得：， ∵对于任何实数a，此方程都有实数根， ∴对于任何实数a，恒成立， ∴． 32．（2025春•温州期中）定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a，b，c均为常数，a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”． （1）下列方程中，属于“邻根方程”的是　③　 （填序号）． ①x2﹣1＝0； ②x2﹣6x+9＝0； ③x2+3x+2＝0． （2）若（x+2）（x﹣n）＝0是“邻根方程”，求n的值． （3）若一元二次方程x2+bx+c＝0（b，c均为常数）为“邻根方程”，请写出b，c满足的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）分别求得①②③中两个方程的根，再根据“邻根方程”的定义判断即可； （2）先求出方程的两个根，再根据“邻根方程”的定义列出关于m的方程求解即可； （3）设方程x2+bx+c＝0的两个根x1，x2，根据“邻根方程”的定义得到|x1﹣x2|＝1，利用根与系数关系可得到b、c的数量关系． 【解答】解：（1）①解方程x2﹣1＝0得x1＝1，x2＝﹣1， ∵x1﹣x2＝1﹣（﹣1）＝2， ∴方程x2﹣1＝0不是“邻根方程”； ②解方程x2﹣6x+9＝0得x1＝x2＝3， ∵x1﹣x2＝3﹣3＝0， ∴方程x2﹣6x+9＝0不是“邻根方程”； ③解方程x2+3x+2＝0得x1＝﹣1，x2＝﹣2， ∵x1﹣x2＝﹣1﹣（﹣2）＝1， ∴方程x2+3x+2＝0是“邻根方程”． 故答案为：③． （2）解方程（x+2）（x﹣n）＝0得：x1＝﹣2，x2＝n， ∵该方程是“邻根方程”， ∴n﹣（﹣2）＝1或﹣2﹣n＝1， 解得n＝﹣1或﹣3． （3）设方程x2+bx+c＝0的两个根x1，x2，则|x1﹣x2|＝1，x1+x2＝﹣b，x1x2＝c，b2﹣4c＞0， 由|x1﹣x2|＝1得（x1﹣x2）2＝1， ∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝1，即（﹣b）2﹣4c＝1， ∴b2﹣4c＝1． 33．（2025春•宁海县期中）已知关于x的方程． （1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根； （2）若x＝1是这个方程的一个根，求k的值和它的另一个根； （3）若等腰△ABC的一边长a＝4，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长是多少？ 【分析】（1）计算方程的根的判别式，若Δ＝b2﹣4ac≥0，则证明方程总有实数根； （2）把x＝1代入方程，得到关于k的方程，解方程求得k＝1，由k＝1得到关于x的方程为x2﹣3x+2＝0，解得另一根为2； （3）分两种情况，求得b，c的值后，再求出△ABC的周长． 【解答】解：（1）Δ＝（2k+1）2﹣4×1×4（k）＝4（k）2≥0，此时方程有两个实数根． 综上所述，无论k取何值，此方程总有实数根． （2）若x＝1是这个方程的一个根，则1﹣（2k+1）+4（k）＝0， 解得k＝1， ∴关于x的方程x2﹣3x+2＝0， 解方程得x1＝1，x2＝2， ∴方程的另一根是2； （3）当a＝4为底边，则b，c为腰长，则b＝c，则Δ＝0． ∴4（k）2＝0，解得：k． 此时原方程化为x2﹣4x+4＝0 ∴x1＝x2＝2，即b＝c＝2． 此时△ABC三边为4，2，2，构不成三角形， 当a＝4为腰，则b＝4为腰长，c为底，则16﹣4（2k+1）+4（k）＝0， 求得k， ∴关于x的方程为x2﹣6x+8＝0． 解得x＝2或4， ∴c＝2， ∴周长为4+4+2＝10． 故这个等腰三角形的周长是10． 34．（2025春•杭州期中）已知方程x2+bx+a＝0①，和方程ax2+bx+1＝0②（a≠0）． （1）若方程①的根为x1＝2，x2＝3，求方程②的根； （2）当方程①有一根为x＝r时，求证x是方程②的根； （3）若a2b+b＝0，方程①的根是m与n，方程②的根是s和t，求的值． 【分析】（1）根据根与系数的关系即可求得a、b的值，即可得到方程②，然后利用因式分解法解方程②即可； （2）根据方程根的定义得到r2+br+a＝0，两边同除r2得1＝0，即可证得x是方程②的根； （3）根据题意b＝0，根据根与系数的关系得到m+n＝0，s+t＝0，从而得到m＝﹣n，s＝﹣t，即可得到ms＝nt，进而求得1． 【解答】解：（1）∵方程x2+bx+a＝0的根为x1＝2，x2＝3， ∴﹣b＝2+3＝5，a＝2×3＝6， ∴方程②为6x2﹣5x+1＝0， （3x﹣1）（2x﹣1）＝0， ∴方程②的根为x1，x2； （2）∵方程①有一根为x＝r， ∴r2+br+a＝0， 两边同除r2得1＝0， ∴是方程ax2+bx+1＝0的根， ∴x是方程②的根； （3）∵a2b+b＝0， ∴b＝0， ∵方程①的根是m与n，方程②的根是s和t， ∴m+n＝0，mn＝a，s+t＝0，st， ∴amn，m＝﹣n，s＝﹣t， ∴ms＝nt， ∴1． 35．（2025春•拱墅区校级期中）定义：已知x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，若x1＜x2＜0，且4，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程x2+13x+30＝0的两根为x1＝﹣10，x2＝﹣3，因为﹣10＜﹣3＜0，，所以一元二次方程x2+13x+30＝0为“限根方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： （1）判断一元二次方程x2+9x+14＝0是否为“限根方程”，并说明理由； （2）若关于x的一元二次方程2x2+（k+7）x+k2+3＝0是“限根方程”，且两根x1、x2满足x1+x2+x1x2＝﹣1，求k的值； （3）若关于x的一元二次方程x2+（1﹣m）x﹣m＝0是“限根方程”，求m的取值范围． 【分析】（1）解得方程后即可利用“限根方程”的定义进行判断； （2）由根与系数的关系，得x1+x2，x1x2，根据x1+x2+x1x2＝﹣1，可得k＝2或﹣1，再分两种情况讨论即可求解； （3）解此方程得：x＝﹣1或m，分两种情况：①当﹣1＜m＜0时，②当m＜﹣1时，进行讨论即可求出m的取值范围． 【解答】解：（1）此方程为“限根方程”，理由如下： （x+2）（x+7）＝0， 解得x1＝﹣7，x2＝﹣2， ∵， ∴此方程为“限根方程”； （2）由根与系数的关系，得x1+x2，x1x2， ∵x1+x2+x1x2＝﹣1， ∴1， ∴k＝2或﹣1； ①当k＝2时，x1，x2＝﹣1， ∴4， ∴k＝2符合题意； ②当k＝﹣1时，x1＝﹣2，x2＝﹣1， ∴2， ∴k＝﹣1（不合题意，舍去）． ∴k的值为2； （3）解此方程得：x＝﹣1或m， ∵此方程为“限根方程”， ∴Δ＞0，且m＜0，即（1﹣m）2+4m＞0， ∴（m+1）2＞0， ∴m＜0且m≠﹣1； ①当﹣1＜m＜0时，x1＝﹣1，x2＝m， ∵4， ∴， ∴； ②当m＜﹣1时，x1＝m，x2＝﹣1， ∵4， ∴， ∴﹣4＜m＜﹣3． 综上所述，m的取值范围为或﹣4＜m＜﹣3． 36．（2025春•余姚市期中）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），如果方程有两个实数根为x1，x2，那么，；一元二次方程的这种根与系数的关系，最早是由法国数学家韦达（1540﹣1603）发现的，因此，我们把这个关系称为韦达定理，灵活运用这个定理有时可以使解题更为简单．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：（1）材料理解：已知一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．小明给出了一部分解题思路： 解：∵一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两个实数根分别为m，n， ∴m+n＝　3　 ， ∴mn＝　﹣2　 ， ∴m2n+mn2＝…，请填空并将过程补充完整； （2）类比应用：一元二次方程﹣x2+mx+1＝0的一个根为x＝2，则m＝　　 ，另一个根为x＝　　 ； （3）思维拓展：关于x的一元二次方程：x2+（2m+1）x+m2﹣2＝0有两个实数根，且这两个实数根的平方和是21，求m的值． 【分析】（1）利用根与系数的关系可得m+n＝3，mn＝﹣2，再把m2n+mn2分解因式，再代入求值即可； （2）利用根与系数的关系可得2+x＝m，2x＝﹣1，从而可得答案； （3）利用根与系数的关系可得，结合，可得[﹣（2m+1）]2﹣2（m2﹣2）＝21，再解方程，结合△≥0，从而可得答案． 【解答】解：（1）∵一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两个实数根分别为m，n， ∴m+n＝3， ∴mn＝﹣2， ∴m2n+mn2＝mn（m+n）＝3×（﹣2）＝﹣6． 故答案为：3，﹣2； （2）∵一元二次方程﹣x2+mx+1＝0的一个根为x＝2， ∴2+x＝m，2x＝﹣1， 解得：，； 故答案为：，； （3）设关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2＝0有两个实数根为x1，x2， ∴， ∵这两个实数根的平方和是21， ∴， ∴[﹣（2m+1）]2﹣2（m2﹣2）＝21， 解得：m1＝﹣4，m2＝2， ∵Δ＝（2m+1）2﹣4（m2﹣2）＝4m+9≥0， ∴， ∴m＝﹣4不符合题意，则m＝2． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系 期中复习讲义 一、复习目标 1.理解并掌握根的判别式 Δ = b²−4ac，能熟练判断一元二次方程根的情况。 2.会根据根的情况求参数范围，牢记“二次项系数≠0”这一易错点。 3.掌握韦达定理（根与系数的关系）：，。 4.能利用韦达定理进行代数式求值、已知一根求另一根、求参数等题型。 5.掌握常见代数式变形公式，规范解题步骤，规避期中高频易错点。 二、知识梳理（必记） 1.根的判别式 对于一元二次方程： 判别式： ⇨ 方程有两个不相等的实数根 ⇨ 方程有两个相等的实数根 ⇨ 方程没有实数根 2.已知根的情况求参数（必考步骤） ①先保证：（一元二次方程前提） ②再根据根的情况列不等式： 有实数根 ⇒ 无实数根 ⇒ 有两个相等实数根 ⇒ 3.根与系数的关系（韦达定理） 若 是方程 的两根，则： 4.必考代数式变形公式（熟记） ① ② ③ ④ ⑤ 5.解题技巧总结 ①只判断根的情况 ⇒ 直接算 ②已知根情况求参 ⇒ 先 ，再 ③给一根求另一根/参数 ⇒ 用韦达定理最快 ④代数式求值 ⇒ 先变形，再整体代入 ⑤与几何、等腰三角形、直角三角形结合 ⇒ 先韦达，再用几何定理 三、典例精讲 考点1 根的判别式判断根的情况 例题1判断方程 的根的情况。 变式 方程 根的情况是？ 考点2 已知根的情况求参数 例题2若关于 的一元二次方程 有实数根，求 的取值范围。 变式 方程 有实数根，求 范围。 考点3 直接用韦达定理求两根和、积 例题3方程 的两根为 ，则 （） A.3 B.2 C.-2 D.-3 考点4 已知一根，求另一根与参数 例题4若 是方程 的一个根，求另一根。 变式 是 的根，求 及另一根。 考点5 利用韦达定理求代数式的值（高频） 例题5 是方程 的两根，求 的值。 变式 是 的根，求 。 考点6 综合题：判别式 + 韦达定理 例题6已知方程 ，两根满足 ，且 ，求 。 四、期中易错点警示（必看） 1.求参数一定先看 ，少写直接扣分。 2.有实数根是 ，不是 。 3.韦达定理必须先化成一般式，再定 。 4.代数式变形不要硬解根，用整体代入最快。 5.与三角形结合时，必须检验三边关系。 五、题型突破 题型一．根的判别式 1．（2025秋•台州期中）一元二次方程x2﹣x+1＝0的根的情况为（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 2．（2025春•慈溪市期中）若关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k≥﹣1且k≠0 B．k≥﹣1 C．k＞﹣1 D．k＞﹣1且k≠0 3．（2025春•诸暨市期中）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有实数根，则k的取值范围为（　　） A．k B．k且k≠1 C．k≥0 D．k≥0且k≠1 4．（2025春•拱墅区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2+2x+|m﹣1|＝0有两个不相等的实数根，则下列选项中，m的值可以是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2025春•余杭区校级期中）已知等腰△ABC的一条边为7，其余两边的边长恰好是方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0的两个根，则m的值是（　　） A．2 B．4 C．2或10 D．4或10 6．（2025春•慈溪市校级期中）已知a、b、c是△ABC的三条边的长，那么方程的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实根 D．不确定 7．（2025春•义乌市校级期中）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（其中a•c≠0，且a+b+c＝0）有以下说法： ①方程必定有解； ②若方程的两个解相等，则a＝c； ③若x＝c是方程的解，则a＝1或c＝1． 其中正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 8．（2025春•浙江期中）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法： ①若a+c＝b，则b2﹣4ac≥0； ②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实数根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实数根； ③若x＝c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立； ④若x＝x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则； 其中正确的个数为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 9．（2025春•义乌市期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的最大整数值是 　 　 ． 10．（2025春•永康市期中）等腰三角形的一边长为3，另两边的长是关于x的方程x2﹣5x+k＝0的两根，则k＝　 　 ． 11．（2025春•诸暨市期中）在桥梁结构的力学分析中，工程师们用到一元二次方程px2+qx+r＝0（p≠0）来计算结构的受力情况．对于这个方程，有下列说法： ①若p﹣q+r＝0，则方程px2+qx+r＝0（p≠0）必有一个根为x＝﹣1； ②若方程px2+r＝0有两个不相等的实根，则方程px2+qx+r＝0（p≠0）必有两个不相等的实根； ③若x＝r是方程px2+qx+r＝0（p≠0）的一个根，则一定有pr+q+1＝0成立． 这些说法对于准确评估桥梁结构的稳定性至关重要，其中正确的是 　 　 （填序号）． 12．（2025春•嵊州市期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+2m﹣2＝0（m为常数）． （1）若方程的一个根为1，求m的值及方程的另一个根； （2）求证：不论m为何值时，方程总有两个实数根． 13．（2025春•杭州校级期中）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m+2＝0． （1）若方程有实数根，求m的取值范围； （2）在等腰△ABC中，一腰长为3，其中两边长为方程的两个根，求m的值． 14．（2025春•兰溪市校级期中）已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2mx+m+3＝0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）当m取满足条件的最大整数时，求方程的根． 15．（2025春•拱墅区校级期中）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长． （1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 题型二．根与系数的关系 16．（2025春•萧山区期中）若x＝0是方程x2﹣x+m＝0的一个根，则此方程的另一个根是（　　） A．﹣2 B．0 C．1 D．2 17．（2025春•西湖区校级期中）设x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0的两个根，则（　　） A．4 B．﹣5 C．26 D．24 18．（2025春•永康市期中）已知m，n是方程x2+2x﹣5＝0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n＝（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 19．（2025春•西湖区校级期中）关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣m＝0有两个实数根α，β，且α2+β2＝12，那么m的值为（　　） A．﹣1 B．﹣4 C．﹣4或1 D．﹣1或4 20．（2025春•钱塘区期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有（　　）个． ①方程x2﹣x﹣2＝0是倍根方程； ②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，则4m2+5mn+n2＝0； ③若p、q满足pq＝2，则关于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程； ④若方程ax2+bx+c＝0是倍根方程，则必有2b2＝9ac． A．1 B．2 C．3 D．4 21．（2025春•滨江区期中）请写出一个以﹣3和4为根的一元二次方程：　 　 ． 22．（2025春•瑞安市校级期中）若x＝1为方程x2﹣3mx+5＝0的一个根，则该方程的另一个根为x＝　 　 ． 23．（2025春•慈溪市校级期中）已知m、n是一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的两个根，则的值为　 　 ． 24．（2025春•西湖区校级期中）若α，β是方程x2+2x﹣2025＝0的两个实数根，则代数式2α2+6α+2β+5的值为 　 　 ． 25．（2025春•萧山区期中）关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有实数根α、β，且α2+β2＝17，则m的值是 　 　 ． 26．（2025春•杭州期中）已知关于x的一元二次方程x2+（a+3）x+a+1＝0若方程的两个实数根为x1，x2，且（x1﹣2）（x2﹣2）＝2，则实数a的值为　 　 ． 27．（2025春•西湖区校级期中）已知关于x的一元二次方程ax2+（3a﹣2）x+2（a﹣2）＝0（a＞0），设方程的两个实数根x1，x2，其中x1＞x2，则x2＝ 　 　 ，若，b为常数，则b的值为 　 　 ． 28．（2025春•余杭区校级期中）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0的两实数根． （1）求m的取值范围． （2）若（x1﹣1）（x2﹣1）＝39，求m的值． 29．（2025春•杭州期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（k+1）x+k2﹣3＝0． （1）若该方程有一个根是﹣1，求k的值． （2）若该方程有两个实数根，求k的取值范围． （3）若该方程的两个实数根x1，x2满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝11，求k的值． 30．（2025春•浙江期中）关于x的一元二次方程x2﹣5x+k＝0有实数根． （1）求k的取值范围． （2）如果k是符合条件的最大整数，且关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0与方程x2﹣5x+k＝0有一个相同的根，求此时m的值． （3）若方程x2﹣5x+k＝0的两个实数根为x1，x2，满足x1＝4x2，求此时k的值． 31．（2025春•义乌市校级期中）已知关于x的方程x2﹣2ax﹣a+2b＝0，其中a，b为实数． （1）当a＝3，b＝﹣2时，求方程两根的平方和． （2）当a＜0时，若方程有一个根为2a，判断a与b的大小关系并说明理由． （3）若对于任何实数a，此方程都有实数根，求b的取值范围． 32．（2025春•温州期中）定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a，b，c均为常数，a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”． （1）下列方程中，属于“邻根方程”的是　 　 （填序号）． ①x2﹣1＝0； ②x2﹣6x+9＝0； ③x2+3x+2＝0． （2）若（x+2）（x﹣n）＝0是“邻根方程”，求n的值． （3）若一元二次方程x2+bx+c＝0（b，c均为常数）为“邻根方程”，请写出b，c满足的数量关系，并说明理由． 33．（2025春•宁海县期中）已知关于x的方程． （1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根； （2）若x＝1是这个方程的一个根，求k的值和它的另一个根； （3）若等腰△ABC的一边长a＝4，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长是多少？ 34．（2025春•杭州期中）已知方程x2+bx+a＝0①，和方程ax2+bx+1＝0②（a≠0）． （1）若方程①的根为x1＝2，x2＝3，求方程②的根； （2）当方程①有一根为x＝r时，求证x是方程②的根； （3）若a2b+b＝0，方程①的根是m与n，方程②的根是s和t，求的值． 35．（2025春•拱墅区校级期中）定义：已知x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，若x1＜x2＜0，且4，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程x2+13x+30＝0的两根为x1＝﹣10，x2＝﹣3，因为﹣10＜﹣3＜0，，所以一元二次方程x2+13x+30＝0为“限根方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： （1）判断一元二次方程x2+9x+14＝0是否为“限根方程”，并说明理由； （2）若关于x的一元二次方程2x2+（k+7）x+k2+3＝0是“限根方程”，且两根x1、x2满足x1+x2+x1x2＝﹣1，求k的值； （3）若关于x的一元二次方程x2+（1﹣m）x﹣m＝0是“限根方程”，求m的取值范围． 36．（2025春•余姚市期中）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），如果方程有两个实数根为x1，x2，那么，；一元二次方程的这种根与系数的关系，最早是由法国数学家韦达（1540﹣1603）发现的，因此，我们把这个关系称为韦达定理，灵活运用这个定理有时可以使解题更为简单．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：（1）材料理解：已知一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．小明给出了一部分解题思路： 解：∵一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两个实数根分别为m，n， ∴m+n＝　 　 ， ∴mn＝　 　 ， ∴m2n+mn2＝…，请填空并将过程补充完整； （2）类比应用：一元二次方程﹣x2+mx+1＝0的一个根为x＝2，则m＝　 　 ，另一个根为x＝　 　 ； （3）思维拓展：关于x的一元二次方程：x2+（2m+1）x+m2﹣2＝0有两个实数根，且这两个实数根的平方和是21，求m的值． 学科网（北京）股份有限公司 $