精品解析：吉林省实验中学2025-2026学年高二下学期学程性考试（一）数学试题

吉林省实验中学2025-2026学年度下学期 高二年级学程性考试（一） 数 学 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自已的姓名、准考证号填写在答题卡上.并在规定位置粘贴考试用条形码. 3.请认真阅读答题卡上的注意事项，在答题卡上与题号相对应的答题区域内答题，写在试卷、草稿纸上或答题卡非题号对应答题区域的答案一律无效.不得在答题卡上做任何标记. 4.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 5.考试结束后，答题卡要交回，试卷由考生自行保存. 一、选择题（本题包括8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 物体运动方程为（位移单位：m，时间单位：s），若，则下列说法中正确的是（ ） A. 18m/s是物体从开始到3s这段时间内的平均速度 B. 18m/s是物体从3s到这段时间内的速度 C. 18m/s是物体在3s这一时刻的瞬时速度 D. 18m/s是物体从3s到这段时间内的平均速度 【答案】C 【解析】 【分析】由瞬时变化率的物理意义判断． 【详解】是物体在这一时刻的瞬时速度，是物体从到这段时间内的平均速度的极限值，即是是物体在这一时刻的瞬时速度. 故选：C 2. 函数在区间上的平均变化率等于时的瞬时变化率，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均变化率和瞬时变化率的计算公式求解可得. 【详解】函数在区间上的平均变化率为， 在时的瞬时变化率为， 所以． 故选：C 3. 若把英语单词“”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有（ ） A. 24种 B. 23种 C. 12种 D. 11种 【答案】B 【解析】 【详解】“”一共有个不同的字母， 这个字母全排列有种方法， 其中正确的有种，所以错误的有种. 4. 在“全面脱贫”行动中，某银行向某贫困地区的贫困户提供10万元以内的免息贷款，贫困户小李准备向银行贷款x万元全部用于农产品土特产的加工与销售，据测算每年利润y（单位：万元）与贷款x满足关系式，要使年利润最大，小李应向银行贷款（ ） A. 3万元 B. 4万元 C. 5万元 D. 6万元 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数对问题进行求解，从而得出正确答案. 【详解】依题意，且， ， 所以函数在，函数递增；在，函数递减. 所以当万元时，函数取得最大值. 故选：B 5. 已知函数，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求导可得函数单调性，根据单调性列式计算即可. 【详解】函数的定义域为， 因为恒成立，所以函数在上单调递增， 若，则， 即的取值范围为. 故选：A 6. 函数的图象如下，是函数的导函数，下列大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数图象及导函数几何意义得到，得到答案. 【详解】由图象可知在上单调递增，，    故，即． 故选：B． 7. 已知函数有两个零点，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数零点的定义，通过构造新函数，利用转化法把交点问题转化为直线与曲线的交点问题，结合导数的正负性与函数单调性的关系进行求解即可. 【详解】显然该函数的定义域为全体正实数， 由，设， ， 当时，，所以函数在上单调递增， 当时，，所以函数在上单调递减， 则有， 问题函数有两个零点，转化为直线与曲线有两个不同的交点，如下图所示： 由数形结合思想可知：当时，直线与曲线有两个不同的交点， 即函数有两个零点， 所以实数a的取值范围为. 8. 已知函数，，若，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】问题转化为：在上的最大值不大于在上的最大值，然后根据导数及二次函数的性质求最值即得. 【详解】由题意，在上的最大值不大于在上的最大值. 对：因为，所以， 由， 所以函数在上单调递增， 又，所以在上单调递增，所以在上的最大值为. 对：当时，，因为，故满足题意； 当时，因为的对称轴为，所以在上单调递增，所以在上的最大值为， 由.所以； 当时，在上单调递减，所以在上的最大值为， 由，结合得. 综上可知，实数的取值范围为. 二、选择题（本题包括3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. (多选)与相等的是（ ） A. B. 81 C. 10 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由排列的计算公式求解即可. 【详解】， . 故选：ACD. 10. 下列命题正确的是（ ） A. B. 已知函数在上可导，若，则 C. 已知函数，若，则 D. 设函数的导函数为，且，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据导数基本公式可判断A；根据导数定义可判断B；根据导数求导法则可判断CD. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，由导数定义知，B正确； 对于C，，则， 由，得，解得或(舍去)，C正确； 对于D，由，得， 故，D错误， 故选：BC 11. 已知函数，若直线是曲线的切线，则（ ） A. B. 是的极小值点 C. 直线不可能是曲线的切线 D. 恒成立 【答案】AC 【解析】 【详解】A：由，显然该切线的斜率为， 设切点为， 由， 所以有，即切点为， 代入函数解析式中，得，所以本选项说法正确； B：由上可知， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以是的极大值点，因此本选项说法不正确； C：由， 函数的定义域为全体正实数集， 设切点为，由， 所以该方程无正实数解，即直线不可能是曲线的切线，所以本选项说法正确； D：由上可知：是的极大值点， 且， 所以恒成立不成立，因此本选项说法不正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.) 12. 曲线在点处的切线方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由导数的几何意义即可求解切线斜率，从而求解切线方程. 【详解】由得， 所以， 所以在点处的切线方程为， 即 故答案为：. 13. 现有5名学生站成一排，若学生甲乙都不站两端，则不同站法共有_________ 【答案】36 【解析】 【分析】根据题意，先从中间的三个位置中，选出2个位置，安排甲乙，再把剩余的3个位置，进行全排列，即可求解. 【详解】先从中间的三个位置中，选出2个位置，安排甲乙，再把剩余的3个位置，进行全排列， 所以甲乙都不站两端的不同站法共有种. 故答案为：. 14. 已知函数满足：，且，则______. 【答案】 【解析】 【详解】由于，两边求导，得， 令，分别得，， 由，可得，所以. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15. 有四个数字， （1）可以组成多少个四位数？ （2）可以组成多少个无重复数字的四位偶数？ （3）若将由这四个数字组成的无重复数字的四位数从小到大排列，则第10个四位数是多少？（直接写出答案即可） 【答案】（1）192 （2）10 （3）2130 【解析】 【分析】（1）依次考虑千位、百位、十位、个位的数字，根据分步乘法计数原理可得答案； （2）分个位是0、2两种情况计算可得答案； （3）分千位数字是1、2两种情况计算可得答案. 【小问1详解】 依次考虑千位、百位、十位、个位的数字，根据分步乘法计数原理， 共有个； 【小问2详解】 当个位是0时，共有个无重复数字的四位偶数； 当个位是2时，千位是1或3，共有个无重复数字的四位偶数， 因此，共有个； 【小问3详解】 当千位数字是1时，由这四个数字组成的无重复数字的四位数共有个； 当千位数字是2百位数字是0时，由这四个数字组成的无重复数字的四位数共有个， 当千位数字是2百位数字是1时，由这四个数字组成的无重复数字的四位数共有个， 所以由这四个数字组成的无重复数字的四位数从小到大排列， 则第10个四位数是2130． 16. 现有一张长为40，宽为30的长方形铁皮ABCD，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求铁皮材料的利用率为（剪切与焊接不可避免），不考虑剪切与焊接处的损耗与增加，如图，在长方形ABCD的一个角剪下一块正方形铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面.设做成后的长方体铁皮盒的底面是边长为x的正方形，高为y，体积为V. （1）求无盖长方体铁皮盒的表面积（用x，y表示）； （2）写出y关于x的函数关系式，并写出x的范围； （3）要使得无盖长方体铁盒的容积最大、对应的x为多少？并求出V的最大值. 【答案】（1） （2） （3）当时，取最大值，且最大值为. 【解析】 【分析】（1）利用长方体表面积公式即可求得解果； （2）根据长方形的面积等于无盖长方体的表面积可得出关于的函数关系式， 结合实际意义可得出的取值范围； （3）求出关于的函数关系式，利用导数可求出的最大值及其对应的的值，即可得出结论. 【小问1详解】 设无盖长方体铁皮盒的表面积为，则 【小问2详解】 因为材料利用率为,所以，即； 因为长方形铁皮长为40，宽为30，故，综上，. 【小问3详解】 铁皮盒体积， 其中，，令，得，列表如下： + 0 单调递增 极大值 单调递减 所以，函数在区间上为增函数，在上为减函数， 则当时，取最大值，且最大值为 17. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）设函数，若函数在上为增函数，求实数的取值范围． 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）对函数进行求导，参数进行分类讨论，再利用函数的单调性与导数的关系即得；（2）由题可得函数在上为增函数，在上恒成立，再利用导数求函数的最值即可. 【小问1详解】 由题意得，， ①当时，，函数在上单调递增； ②当时，令，解得， ，解得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减； 综上，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减， 在上单调递增， 【小问2详解】 因为函数在上为增函数， 所以，在上恒成立． 即在上恒成立． 令，当时，， 所以，在上单调递增，． 所以，，解得， 所以，实数的取值范围为． 18. 已知函数，曲线在的切线为． （1）求a，b的值； （2）求证：函数在区间上单调递增； （3）求函数的零点个数，并说明理由． 【答案】（1）. （2）证明见解析 （3）零点个数为0，证明见解析. 【解析】 【分析】（1）直接求导得，根据即可得到答案； （2），转化为证明在上恒成立即可； （3）通过求导得到的最小值，利用隐零点法证明即可. 【小问1详解】 ，则有，解得，，则. 【小问2详解】 由（1）知，， 设，因为在上单调递增， 则，所以在上恒成立， 所以函数在区间上单调递增. 【小问3详解】 因为，令， 令，得，设， 由（2）知在上单调递增，且，， 故存在唯一零点使得， 即存在唯一零点满足，即得，则， 且当时，，此时单调递减， 当时，，此时单调递增， 所以 ， 当时，，， 则， 则函数的零点个数为0. 19. 已知函数 （1）当时，求函数在上的值域； （2）若对任意，都有，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，分析函数的单调性，可求函数的最大、最小值. （2）问题转化为，再分和讨论.当时，设，通过二次求导，求得在给定区间的值域，可得实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，，. 所以，. 由；由. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以. 又，. 所以当时，函数的值域为. 【小问2详解】 当时，. 当时，上式恒成立. 当时，. 设，. 则. 再设，. 则. 当时，即，所以在上单调递增. 又，所以当时，，即. 所以在上单调递增. 又，所以当时，，即， 所以. 所以时，. 所以，即实数的取值范围为. 附加题 20. 证明：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】利用不等式，可得，再利用放缩法结合裂项求和法可证明不等式的左边；利用不等式，可得，再利用放缩法结合裂项求和法可证明不等式的右边. 【详解】先证. 设，， 则，当时，，所以在上单调递增. 又，所以，. 即当时，. 所以（）. 所以. 再证. 设，， 则. 当时，单调递减，所以单调递增. 且，， 所以存在，当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增. 又，所以当时，. 即当时，. 所以，（）. 因为， 所以 . 所以成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林省实验中学2025-2026学年度下学期 高二年级学程性考试（一） 数 学 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自已的姓名、准考证号填写在答题卡上.并在规定位置粘贴考试用条形码. 3.请认真阅读答题卡上的注意事项，在答题卡上与题号相对应的答题区域内答题，写在试卷、草稿纸上或答题卡非题号对应答题区域的答案一律无效.不得在答题卡上做任何标记. 4.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 5.考试结束后，答题卡要交回，试卷由考生自行保存. 一、选择题（本题包括8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 物体运动方程为（位移单位：m，时间单位：s），若，则下列说法中正确的是（ ） A. 18m/s是物体从开始到3s这段时间内的平均速度 B. 18m/s是物体从3s到这段时间内的速度 C. 18m/s是物体在3s这一时刻的瞬时速度 D. 18m/s是物体从3s到这段时间内的平均速度 2. 函数在区间上的平均变化率等于时的瞬时变化率，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3. 若把英语单词“”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有（ ） A. 24种 B. 23种 C. 12种 D. 11种 4. 在“全面脱贫”行动中，某银行向某贫困地区的贫困户提供10万元以内的免息贷款，贫困户小李准备向银行贷款x万元全部用于农产品土特产的加工与销售，据测算每年利润y（单位：万元）与贷款x满足关系式，要使年利润最大，小李应向银行贷款（ ） A. 3万元 B. 4万元 C. 5万元 D. 6万元 5. 已知函数，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 函数的图象如下，是函数的导函数，下列大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数有两个零点，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，若，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题包括3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. (多选)与相等的是（ ） A. B. 81 C. 10 D. 10. 下列命题正确的是（ ） A. B. 已知函数在上可导，若，则 C. 已知函数，若，则 D. 设函数的导函数为，且，则 11. 已知函数，若直线是曲线的切线，则（ ） A. B. 是的极小值点 C. 直线不可能是曲线的切线 D. 恒成立 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.) 12. 曲线在点处的切线方程为__________． 13. 现有5名学生站成一排，若学生甲乙都不站两端，则不同站法共有_________ 14. 已知函数满足：，且，则______. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15. 有四个数字， （1）可以组成多少个四位数？ （2）可以组成多少个无重复数字的四位偶数？ （3）若将由这四个数字组成的无重复数字的四位数从小到大排列，则第10个四位数是多少？（直接写出答案即可） 16. 现有一张长为40，宽为30的长方形铁皮ABCD，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求铁皮材料的利用率为（剪切与焊接不可避免），不考虑剪切与焊接处的损耗与增加，如图，在长方形ABCD的一个角剪下一块正方形铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面.设做成后的长方体铁皮盒的底面是边长为x的正方形，高为y，体积为V. （1）求无盖长方体铁皮盒的表面积（用x，y表示）； （2）写出y关于x的函数关系式，并写出x的范围； （3）要使得无盖长方体铁盒的容积最大、对应的x为多少？并求出V的最大值. 17. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）设函数，若函数在上为增函数，求实数的取值范围． 18. 已知函数，曲线在的切线为． （1）求a，b的值； （2）求证：函数在区间上单调递增； （3）求函数的零点个数，并说明理由． 19. 已知函数 （1）当时，求函数在上的值域； （2）若对任意，都有，求实数的取值范围． 附加题 20. 证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $