11.1.2 余弦定理（2） 同步测试-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

11.1.2 余弦定理（2） 同步测试-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 一、单项选择题 1 在△ABC中，若cos A cos B－sin A sin B>0，则下列结论中正确的是(　　) A.a2＋b2>c2 B.a2＋b2<c2 C.a2＋c2＝b2 D.b2＋c2<a2 2 已知△ABC满足B＝60°，AB＝3，AC＝，则BC的长等于(　　) A.2 B.1 C.1或2 D.无解 3 (2025徐州期中)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知c＝a cos B，则△ABC的形状为(　　) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形 4 (2024天津期中)一个人骑自行车由A地出发向正东方向骑行了2 km到达B地，然后由B地向南偏东30°方向骑行了2 km到达C地，再从C地向北偏东30°方向骑行了8 km到达D地，则A，D两地的距离为(　　) A.2 km B.5 km C.2 km D.6 km 5 (2025湘潭期中)如图，在△ABC中，∠BAC＝，AB＝AD＝2BD＝2，则cos C的值为(　　) A. B. C. D. 6 (2025合肥月考)△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知＋＝，则角A的最大值为(　　) A. B. C. D. 二、多项选择题 7 (2025河南期中)已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列条件中能确定C为钝角的是(　　) A.·>0 B.a2＋b2>c2 C.A，B均为锐角，且sin A<cos B D.(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc 8 (2025长春慧泽高中月考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b＝10，C＝45°.若三角形有两解，则c的取值可以是(　　) A.7 B.8 C.9 D.10 三、填空题 9 (2025泉州月考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若＝－1，则A＝________． 10 (2025广东期中)两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离分别为5km，8km，灯塔A在观察站C的北偏东65°方向上，灯塔B在观察站C的南偏东55°方向上，则灯塔A与B的距离为________km. 11 (2025宜昌期中)记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b2＝ac，a>c，点D在边AC上，若AD＝2DC，BD＝b，则cos ∠ABC的值为________． 四、解答题 12 (2025辽源月考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2＝b2＋c2－bc. (1) 求角A的大小； (2) 若b＝2，c＝3，求a的值； (3) 若a2＝bc，判断△ABC的形状． 13 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2bc sin A＝(b2＋c2－a2). (1) 求角A的大小； (2) 若D为AC的中点，BD＝，AB＝2，求a的值． 参 考 答 案 1.B　因为cos A cos B－sin A sin B＝cos (A＋B)>0，所以cos C＝－cos (π－C)＝－cos (A＋B)<0.由余弦定理，得cos C＝<0，所以a2＋b2<c2. 2.C　因为B＝60°，AB＝3，AC＝，所以由余弦定理，得()2＝BC2＋32－2×3×BC，即BC2－3BC＋2＝0，解得BC＝1或BC＝2，经检验符合题意． 3.B　在△ABC中，由余弦定理，得c＝a cos B＝a·，则b2＋c2＝a2，故△ABC为直角三角形． 4.A　如图，由题意，得∠ABC＝120°，∠BCD＝60°，AB＝BC＝2，CD＝8，所以∠ACB＝30°，所以∠ACD＝∠ACB＋∠BCD＝90°.在△ABC中，由余弦定理，得AC2＝22＋22－2×2×2×cos 120°＝12，所以在Rt△ACD中，AD＝＝＝2，即A，D两地的距离为2 km. 5.A　在△ABD中，由余弦定理，得cos B＝＝＝，则B为锐角，且sin B＝＝，故cosC＝－cos (A＋B)＝sin sin B－cos cos B＝×－×＝. 6.A　由＋＝及余弦定理，得＋＝，整理得a2＝(2－)bc.由余弦定理，得cos A＝≥＝，当且仅当b＝c时取等号，所以cos A≥.又0<A<π，所以0<A≤，即角A的最大值为. 7.AC　对于A, 由·>0，得·＝ab cos C<0，故C为钝角，故A正确；对于B，由a2＋b2>c2，得cos C＝>0，所以C为锐角，故B错误；对于C，因为A，B均为锐角，且sin A＝cos (－A)<cos B，－A∈，B∈，所以－A>B，则A＋B<，故C＝π－(A＋B)>，所以C为钝角，故C正确；对于D，由(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，得(b＋c)2－a2＝3bc，即b2＋c2－a2＝bc，则cos A＝，故A＝，无法确定C的大小，故D错误．故选AC. 8.BC　因为b＝10，C＝45°，所以由余弦定理可得c2＝a2＋102－2×a×10×cos 45°，即a2－10a＋100－c2＝0.因为三角形有两解，所以方程a2－10a＋100－c2＝0有两个不相等的正根a1，a2，所以Δ＝(－10)2－4×1×(100－c2)＝4c2－200>0，a1＋a2＝10>0，a1a2＝100－c2>0，解得5<c<10，结合选项可知B，C正确．故选BC. 9.120°　由＝－1，得b2＋c2－a2＝－bc，则由余弦定理，得cos A＝＝＝－.又0°<A<180°，所以A＝120°. 10.7　如图，由题意，得∠ACB＝180°－65°－55°＝60°，且AC＝5km，BC＝8 km，由余弦定理，得AB2＝25＋64－2×5×8×＝49，即AB＝7km. 11.　如图，由题意可知＝2，则－＝2(－)，所以3＝＋2，则9||2＝(＋2)2＝||2＋4·＋4||2，即9b2＝c2＋4ca cos ∠ABC＋4a2＝9ac①.在△ABC中，由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos ∠ABC＝ac②.又因为a>c，联立①②，可得a＝c，代入②可得cos ∠ABC＝. 12.(1) 在△ABC中，由a2＝b2＋c2－bc及余弦定理，得cos A＝＝. 又0<A<π，所以A＝. (2) 由b＝2，c＝3及a2＝b2＋c2－bc， 得a2＝22＋32－2×3＝7， 所以a＝. (3) 由a2＝b2＋c2－bc及a2＝bc，得(b－c)2＝0，则b＝c， 又由(1)知A＝， 所以△ABC为正三角形． 13.(1) 因为2bc sin A＝(b2＋c2－a2)， 所以sin A＝×， 即sin A＝cos A，所以tan A＝. 因为A∈(0，π)，所以A＝. (2) 在△ABD中，由余弦定理，得BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD cos A， 即7＝4＋AD2－2AD， 解得AD＝3或AD＝－1(舍去). 又D为AC的中点，所以AC＝6. 在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos A， 即BC2＝4＋36－12＝28，所以a＝BC＝2. 学科网（北京）股份有限公司 $