应用题专题 2026年北师大版中考数学复习

应用题专题——2026年北师大版中考数学复习 高频考点 1、 将分式方程、二元一次方程组、一元一次不等式、一次函数、反比例函数等相互结合，解决相关问题； 2、 解决应用题时，首先搞清楚根据题目条件，弄清楚考查的是什么模型，是方程组，还是分式方程，还是一次函数，还是一元一次不等式； 3、 分式方程和方程组的区别是：分式方程应用题中一般都有三个量S、a、b，且三个量存在S=ab类似的数量关系，一般给了总量 S，比较a和b之间的关系，用除法，所以用分式方程，而方程组一般是相乘关系且给出了两条等量关系，列两个方程从而构成方程组。 4、 在用一元一次不等式解决最值问题时，一定要注意自变量的取值范围。只要自变量有取值范围，根据增减性，函数就可取最值。 经典考题 进价 售价 类/个 80 100 类/个 100 150 1. 2025年初，国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房创历史新高．某生产商推出了哪吒手办（类）和敖丙手办（类）盲盒，已知生产商每天生产类手办比生产类手办多200个，若单独生产12000个类手办所需时间和单独生产8000个类手办所用时间相同． （1）求生产商每天单独生产两类手办的个数； （2）两种手办某商家的购进价和售价如表： 根据网上预约的情况，该商家计划用不超过17000元的资金购进两种手办共200个，若这200个手办全部售完，请你设计购进方案，使商家获利最大，并求最大利润； （3） 商家为寻求合适的销售价格，对进价为100元的类手办，进行了4天的试销，试销情况如下表： 第一天 第二天 第三天 第四天 日销售单件利润（元） 20 30 40 50 日销售量（个） 300 200 150 120 根据试销情况，请你猜测并求与之间的函数关系式，若该手办每天的销售量不高于600个，求该手办的最低销售单价． 2. 文美书店准备购进甲、乙两种图书共1200本进行销售．已知甲、乙两种图书的进价分别为每本20元、14元，不同方案甲、乙两种图书的购进数量和售完后总收入的对应关系如下表所示： 方案一 方案二 购进数量（本） 甲种图书 600 400 乙种图书 600 800 售完后总收入（元） 28800 27200 （1）甲、乙两种图书的售价分别为每本多少元？ （2）书店决定用不多于20000元来购进这1200本图书，为了让利读者，实际销售甲种图书售价每本降低3元，乙种图书售价每本降低2元，问书店应如何进货才能获得最大利润？（购进的两种图书全部销售完．） 3. 某果品超市经销一种水果，已知该水果的进价为每千克15元，通过一段时间的销售情况发现，该种水果每周的销售总额相同，且每周的销售量y（千克）与每千克售价x（元）的关系如表所示  每千克售价x（元） 25 30 40 每周销售量y（千克） 240 200 150 （1）写出每周销售量y（千克）与每千克售价x（元）的函数关系式；  （2）由于销售淡季即将来临，超市要完成每周销售量不低于300千克的任务，则该种水果每千克售价最多定为多少元？ （3）在（2）的基础上，超市销售该种水果能否到达每周获利1200元？说明理由． 4. 某文具店店主到批发中心选购甲、乙两种品牌的文具盒，预计购进乙品牌文具盒的数量（个）与甲品牌文具盒的数量（个）之间的函数关系如图所示： （1）求与之间的函数关系式； （2）该店主用3000元选购了甲品牌的文具盘，又用同样的钱选购了乙品牌的文具盘．已知甲品牌文具盒的单价是乙品牌单价的1.5倍，求所选购的甲、乙文具盒的数量． 5. 李师傅将容量为60升的货车油箱加满后，从工厂出发运送一批物资到某地，行驶过程中，货车离目的地的路程（千米）与行驶时间（小时）的关系如图所示（中途休息、加油的时间不计）．当油箱中剩余油量为10升时，货车会自动显示加油提醒．设货车平均耗油量为0.1升/千米，请根据图象解答下列问题： （1）求关于的函数解析式； （2）当货车显示加油提醒后，问行驶时间在怎样的范围内货车应进站加油？ 6. 为美化校园，某校需补栽甲、乙两种花苗，经咨询，每株甲种花苗比每株乙种花苗的零售价多5元．已知用零售价购买相同数量的甲、乙两种花苗，需分别花费100元、50元． （1）求甲、乙两种花苗的零售价 （2）该校预计购买这两种花苗共1000株，且甲种花苗的数量不少于乙种花苗数量的，商家提供了甲、乙两种花苗的批发价分别为8元/株、2元/株，与零售价相比较，通过批发价购买这两种花苗可节约资金W元．设通过批发价购买a株甲种花苗，求W与a之间的函数关系式，并求节约资金总额的最大值． 7. 每年的月日是“国际消费者权益日”，许多商家都会利用这个契机进行打折促销活动．甲卖家的商品成本为元，在标价元的基础上打折销售． （1）现甲卖家欲继续降价吸引买主，问最多降价多少元，才能使利润率不低于？ （2）据媒体爆料，有一些卖家先提高商品价格后再降价促销，存在欺诈行为．乙卖家也销售商品，成本、标价与甲卖家一致，以前每周可售出件，为扩大销量，尽快减少库存，他决定打折促销．但他先将标价提高，再大幅降价元，使得商品在月日那一天卖出的数量就比原来一周卖出的数量增加了，这样一天的利润达到了元，求． 8. 近年来光伏建筑一体化广受关注．某社区拟修建A，B两种光伏车棚．已知修建2个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元，修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元． （1）求修建每个A种，B种光伏车棚分别需投资多少万元？ （2）若修建A，B两种光伏车棚共20个，要求修建的A种光伏车棚的数量不少于修建的B种光伏车棚数量的2倍，问修建多少个A种光伏车棚时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？ 9. 已知A，B两地相距480千米，小明驾车从A地出发，匀速驶往B地参加活动． （1）设小明行驶的时间为x小时，行驶速度为y千米/小时，写出y关于x的函数表达式； （2）若从A地到B地全程速度限定为不超过120千米/小时，小明早上8：00出发，则他到达B地最早的时刻是_____ （3）活动结束后，小明按原路返回．返回的速度比他出发的速度每小时快10千米，返回到A地所需时间是他从A地到B地所需时间的倍，求小明返回到A地所需时间． 10. 2025年4月27日，第20届中国电影华表奖在山东青岛市举行颁奖典礼．某文创店准备采购一批华表奖主题纪念品用于推广：已知“经典套装A型”的进价比“豪华套装B型”的进价低80元．如果文创店同样用6000元购进A型套装的数量是B型套装的数量的2倍． （1）求A型套装和B型套装进价分别是多少元？ （2）文创店计划购买A型套装和B型套装共400件，且A型套装的数量不少于B型套装数量的3倍，将A型套装和B型套装分别按进价提高销售，如何购买这两种型号套装才能使全部售出后总利润最大？ 11. 某商场计划在年前用40000元购进一批新款衬衫进行销售，由于进货厂商促销，实际以8折的价格购进这次衬衫，结果比原计划多购进80件． （1）该商场实际购进每件衬衫多少元？ （2）该商场打算在进阶的基础上，每件衬衫加价50%进行销售．由于接近年底，可能会出现滞销，因此会有20%的衬衫需要打5折降价出售，该商场要想获得不低于20000元的利润，应至少再购进衬衫多少件？ 12．崂山茶是青岛的特产之一，某崂山茶企业为了扩大生产规模，计划投入一笔资金购进甲，乙两种设备，已知购进2件甲设备和1件乙设备共需3.5万元，购进1件甲设备和3件乙设备共需3万元． （1）求购进1件甲设备和1件乙设备分别需要多少万元． （2）如果扩大规模后，在一个季度内，每件甲设备能为企业增加0.5万元利润，每件乙设备能为企业增加0.2万元利润．该企业计划购进甲、乙两种设备共10件，且投入资金不超过12万元，求应该如何采购甲、乙两种设备，才能使企业这个季度的利润最大？ 13．A，B两地相距19.2km，甲、乙两人相向而行，两人的运动速度保持不变．甲从A地向B地出发，当甲运动一段距离后，乙从B地开始向A地出发，甲、乙两人同时运动时他们之间的距离y（km）与乙运动时间t（h）满足一次函数关系，其图象如图所示． （1）根据图象求y与t的函数关系式，并求出两人的速度和； （2）已知甲由A地运动到B地所用时间是乙由B地运动到A地所用时间的倍．求甲由A地运动到B地所用时间是多少小时？ 14．春季是呼吸道传染病高发季节，除了通过飞沫传播，也会经手接触传播，正确洗手是预防呼吸传到传染病最有效的措施之一．某商场用600元购进甲品牌洗手液后，供不应求，又用2100元购进第二批这种洗手液，所购数量是第一批数量的3倍，进价贵了1元． （1）求该商场购进的第二批甲品牌洗手液的进价； （2）该商场计划新进一批甲品牌和乙品牌洗手液共420瓶，且乙品牌的进货数量不超过甲品牌数量的2倍．甲品牌的进价与第二批价格相同，乙品牌的进价为9元，甲、乙品牌的售价分别为12元和15元，应该如何组织进货才能使这批洗手液所获利润最大？最大利润是多少？ 15. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限，两点，与坐标轴交于A、B两点，连接，（O是坐标原点）． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）当时，直接写出的取值范围； （3）将直线向下平移多少个单位长度，直线与反比例函数图象只有一个交点？ 应用题专题——2026年北师大版中考数学复习解析 经典考题 进价 售价 类/个 80 100 类/个 100 150 1. 2025年初，国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房创历史新高．某生产商推出了哪吒手办（类）和敖丙手办（类）盲盒，已知生产商每天生产类手办比生产类手办多200个，若单独生产12000个类手办所需时间和单独生产8000个类手办所用时间相同． （1）求生产商每天单独生产两类手办的个数； （2）两种手办某商家的购进价和售价如表： 根据网上预约的情况，该商家计划用不超过17000元的资金购进两种手办共200个，若这200个手办全部售完，请你设计购进方案，使商家获利最大，并求最大利润； （3）商家为寻求合适的销售价格，对进价为100元的类手办，进行了4天的试销，试销情况如下表： 第一天 第二天 第三天 第四天 日销售单件利润（元） 20 30 40 50 日销售量（个） 300 200 150 120 根据试销情况，请你猜测并求与之间的函数关系式，若该手办每天的销售量不高于600个，求该手办的最低销售单价． 【答案】（1）生产商每天生产类手办600个，类手办400个 （2）当购进150个种手办，50个种手办时，商家获利最大，最大利润是5500元 （3）110元 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，一次函数的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程，不等式，函数解析式是解题的关键． （1）设生产商每天生产类手办个，则每天生产类手办个，根据时间相同列出方程求解即可； （2）设购进个种手办，则购进个种手办，根据不超过17000元的资金列出不等式求解，设这200个手办全部售完获得的总利润为元，列出一次函数并分析一次函数自变量的取值即可得出结果； （3）根据表格信息列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设生产商每天生产类手办个，则每天生产类手办个， 由题意得：， 解得， 经检验，是原方程的根，并符合题意， 所以，生产商每天生产类手办600个，类手办400个； 【小问2详解】 解：设购进个种手办，则购进个种手办， 根据题意得：， 解得：． 设这200个手办全部售完获得的总利润为元， 则，即， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，取得最大值，最大值为， 此时（个）． 所以，当购进150个种手办，50个种手办时，商家获利最大，最大利润是5500元； 【小问3详解】 解：由表中数据得：， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴利润至少为10元 ∴单价至少为元． 2. 文美书店准备购进甲、乙两种图书共1200本进行销售．已知甲、乙两种图书的进价分别为每本20元、14元，不同方案甲、乙两种图书的购进数量和售完后总收入的对应关系如下表所示： 方案一 方案二 购进数量（本） 甲种图书 600 400 乙种图书 600 800 售完后总收入（元） 28800 27200 （1）甲、乙两种图书的售价分别为每本多少元？ （2）书店决定用不多于20000元来购进这1200本图书，为了让利读者，实际销售甲种图书售价每本降低3元，乙种图书售价每本降低2元，问书店应如何进货才能获得最大利润？（购进的两种图书全部销售完．） 【答案】（1）甲种图书售价每本28元，乙种图书售价每本20元； （2）甲种图书进货533本，乙种图书进货667本时利润最大 【解析】 【分析】对于（1），先设甲种图书售价每本元，乙种图书售价为每本元，再根据售完后得总收入相等列出方程组，求出解即可； 对于（2），设甲种图书进货本，总利润元，根据总利润=甲种图书得利润+乙种图书得利润列出一次函数，然后根据总金额不多于20000元列出不等式，求出的范围，最后根据一次函数的性质得出答案即可． 【小问1详解】 设甲种图书售价每本元，乙种图书售价为每本元．由题意得： ， 解得， 答：甲种图书售价每本28元，乙种图书售价每本20元； 【小问2详解】 设甲种图书进货本，总利润元，则： ， ∵，解得：， ∵随的增大而增大， ∴当最大时最大， ∴当本时，最大， 此时，乙种图书进货本数（本）， 答：甲种图书进货533本，乙种图书进货667本时利润最大． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一次函数的性质和应用，确定取值范围是解（2）题的关键． 3. 某果品超市经销一种水果，已知该水果的进价为每千克15元，通过一段时间的销售情况发现，该种水果每周的销售总额相同，且每周的销售量y（千克）与每千克售价x（元）的关系如表所示  每千克售价x（元） 25 30 40 每周销售量y（千克） 240 200 150 （1）写出每周销售量y（千克）与每千克售价x（元）的函数关系式；  （2）由于销售淡季即将来临，超市要完成每周销售量不低于300千克的任务，则该种水果每千克售价最多定为多少元？ （3）在（2）的基础上，超市销售该种水果能否到达每周获利1200元？说明理由． 【答案】(1) y=；(2) x=20，即该种水果每千克售价最多定为20元；(3) 超市销售该种水果能到达每周获利1200元，理由见解析 【解析】 分析】(1)直接利用反比例函数解析式求法得出答案； (2)直接利用y=300代入求出答案； (3)利用w=1200进而得出答案． 【详解】（1）由表格中数据可得：y=， 把（30，200）代入得： y=； （2）当y=300时，300=， 解得：x=20，即该种水果每千克售价最多定为20元； （3）由题意可得：w=y（x-15）=（x-15）=1200， 解得：x= 经检验：x=是原方程的根， 答：超市销售该种水果能到达每周获利1200元． 【点睛】此题考查反比例函数的应用，解题关键在于根据题意列出方程 4. 某文具店店主到批发中心选购甲、乙两种品牌的文具盒，预计购进乙品牌文具盒的数量（个）与甲品牌文具盒的数量（个）之间的函数关系如图所示： （1）求与之间的函数关系式； （2）该店主用3000元选购了甲品牌的文具盘，又用同样的钱选购了乙品牌的文具盘．已知甲品牌文具盒的单价是乙品牌单价的1.5倍，求所选购的甲、乙文具盒的数量． 【答案】（1）y＝−x＋300；（2）选购的甲、乙文具盒分别为120个、180个． 【解析】 【分析】（1）设y＝kx＋b，然后利用待定系数法求一次函数解析式解答； （2）由单价等于总钱数除以数量，根据两种品牌的文具盒的单价的倍数关系，列出方程求解即可． 【详解】解：（1）设y＝kx＋b， ∵函数图象经过点（50，250），（200，100）， ∴，解得：， ∴y＝−x＋300； （2）由题意得：， 解得：x=120， 经检验，x=120是方程的解，且符合题意， y＝−120＋300＝180， 答：选购的甲、乙文具盒分别为120个、180个． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，分式方程的应用，确定出等量关系是解题的关键． 5. 李师傅将容量为60升的货车油箱加满后，从工厂出发运送一批物资到某地，行驶过程中，货车离目的地的路程（千米）与行驶时间（小时）的关系如图所示（中途休息、加油的时间不计）．当油箱中剩余油量为10升时，货车会自动显示加油提醒．设货车平均耗油量为0.1升/千米，请根据图象解答下列问题： （1）求关于的函数解析式； （2）当货车显示加油提醒后，问行驶时间在怎样的范围内货车应进站加油？ 【答案】（1）s＝﹣80t＋880（0≤t≤11） （2）＜t＜ 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式即可； （2）当油箱中剩余油量为10升时和当油箱中剩余油量为0升时，求出t的取值即可． 【小问1详解】 设s＝kt＋b（k≠0）， 将（0，880）和（4，560）代入s＝kt＋b得， ， 解得：， ∴s＝﹣80t＋880（0≤t≤11）， 答：s关于t的函数解析式：s＝﹣80t＋880（0≤t≤11）； 【小问2详解】 ①当邮箱中剩余油量为10升时， s＝880﹣（60﹣10）÷0.1＝380（千米）， ∴380＝﹣80t＋880， 解得：（小时）， ②当邮箱中剩余油量为0升时， s＝880﹣60÷0.1＝280（千米）， ∴280＝﹣80t＋880， 解得：（小时）， ∵k＝﹣80＜0， ∴s随t的增大而减小， ∴t的取值范围是＜t＜. 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 6. 为美化校园，某校需补栽甲、乙两种花苗，经咨询，每株甲种花苗比每株乙种花苗的零售价多5元．已知用零售价购买相同数量的甲、乙两种花苗，需分别花费100元、50元． （1）求甲、乙两种花苗的零售价 （2）该校预计购买这两种花苗共1000株，且甲种花苗的数量不少于乙种花苗数量的，商家提供了甲、乙两种花苗的批发价分别为8元/株、2元/株，与零售价相比较，通过批发价购买这两种花苗可节约资金W元．设通过批发价购买a株甲种花苗，求W与a之间的函数关系式，并求节约资金总额的最大值． 【答案】（1）甲种花苗的零售价为10元，乙种花苗的零售价为5元； （2），节约资金总额最大值2750元 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数关系式． （1）设甲种花苗的零售价为元，根据用零售价购买相同数量的甲、乙两种花苗，需分别花费100元、50元得：，解方程并检验可得甲种花苗的零售价为10元，乙种花苗的零售价为5元； （2）根据甲种花苗的数量不少于乙种花苗数量的，得，故；而，由一次函数性质可得答案． 【小问1详解】 解：设甲种花苗的零售价为元，则乙种花苗的零售价为元， 根据题意得：， 解得， 经检验，是原方程的解，符合题意； ， 甲种花苗的零售价为10元，乙种花苗的零售价为5元； 【小问2详解】 解：甲种花苗的数量不少于乙种花苗数量的， ， 解得； 根据题意得， ， 随的增大而减小， 当时，取最大值，最大值为（元， 与之间的函数关系式为，节约资金总额的最大值是2750元． 7. 每年的月日是“国际消费者权益日”，许多商家都会利用这个契机进行打折促销活动．甲卖家的商品成本为元，在标价元的基础上打折销售． （1）现甲卖家欲继续降价吸引买主，问最多降价多少元，才能使利润率不低于？ （2）据媒体爆料，有一些卖家先提高商品价格后再降价促销，存在欺诈行为．乙卖家也销售商品，成本、标价与甲卖家一致，以前每周可售出件，为扩大销量，尽快减少库存，他决定打折促销．但他先将标价提高，再大幅降价元，使得商品在月日那一天卖出的数量就比原来一周卖出的数量增加了，这样一天的利润达到了元，求． 【答案】（1）最多降价元，才能使利润率不低于 （2） 【解析】 【分析】（1）设降价x元，根据“利润率不低于10%”列出不等式求解即可； （2）设m%=a，根据“A商品在3月15日那一天卖出的数量就比原来一周卖出的数量增加了%，这样一天的利润达到了20000元”列出方程求得a后即可求得m的值． 【小问1详解】 解：设降价x元，列不等式为： （800×0.9﹣x）≥500（1+10%） 解得：x≤170． 答：问最多降价170元，才能使利润率不低于10%． 【小问2详解】 解：设m%=a，则m=100a， 根据题意得：[800（1+3a）﹣2600a﹣500]•50（1+a）=20000 整理得：24a2﹣26a+5=0 解得：a1=，a2=（舍去）， ∴m%=， ∴m=． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用及一元一次不等式的应用，解题的关键是从题目中整理出等量关系和不等关系，难度不大． 8. 近年来光伏建筑一体化广受关注．某社区拟修建A，B两种光伏车棚．已知修建2个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元，修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元． （1）求修建每个A种，B种光伏车棚分别需投资多少万元？ （2）若修建A，B两种光伏车棚共20个，要求修建的A种光伏车棚的数量不少于修建的B种光伏车棚数量的2倍，问修建多少个A种光伏车棚时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？ 【答案】（1）修建一个种光伏车棚需投资3万元，修建一个种光伏车棚需投资2万元 （2）修建种光伏车棚14个时，投资总额最少，最少投资总额为54万元 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，不等式的应用，一次函数的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式． （1）设修建一个种光伏车棚需投资万元，修建一个种光伏车棚需投资万元，根据修建2个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元，修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元列出方程组，解方程组即可； （2）设修建种光伏车棚个，则修建种光伏车棚个，修建种和种光伏车棚共投资万元，先根据修建的A种光伏车棚的数量不少于修建的B种光伏车棚数量的2倍，列出不等式，求出m的范围，然后W关于m的关系式，根据一次函数的性质求出结果即可． 【小问1详解】 解：设修建一个种光伏车棚需投资万元，修建一个种光伏车棚需投资万元，根据题意，得， 解得 答：修建一个种光伏车棚需投资3万元，修建一个种光伏车棚需投资2万元． 【小问2详解】 解：设修建种光伏车棚个，则修建种光伏车棚个，修建种和种光伏车棚共投资万元，根据题意，得， 解得， ， ， 随的增大而增大， 当时，取得最小值，此时（万元）， 答：修建种光伏车棚14个时，投资总额最少，最少投资总额为54万元． 9. 已知A，B两地相距480千米，小明驾车从A地出发，匀速驶往B地参加活动． （1）设小明行驶的时间为x小时，行驶速度为y千米/小时，写出y关于x的函数表达式； （2）若从A地到B地全程速度限定为不超过120千米/小时，小明早上8：00出发，则他到达B地最早的时刻是_____ （3）活动结束后，小明按原路返回．返回的速度比他出发的速度每小时快10千米，返回到A地所需时间是他从A地到B地所需时间的倍，求小明返回到A地所需时间． 【答案】（1） （2）12：00 （3）8小时 【解析】 【分析】（1）根据速度=路程÷时间列出函数关系式即可； （2）根据题意可知，据此根据（1）所求求出即可得到答案． （3）设小明返回A地的时间为a小时，则小明从A地到B地的时间为小时，然后根据返回的速度比他出发的速度每小时快10千米列出方程求解即可； 【小问1详解】 解：由题意得：； 【小问2详解】 解：∵从A地到B地全程速度限定为不超过120千米/小时， ∴， ∴， ∴， ∴小明从A地到B地最少需要4小时， ∴小明早上8：00出发，则他到达B地最早的时刻是8+4=12点， 故答案为：12：00 【小问3详解】 解：设小明返回A地的时间为a小时，则小明从A地到B地的时间为小时， 由题意得： ， 解得， 经检验是原方程的解， ∴小明返回A地的时间为8小时． 【点睛】本题主要考查了列函数关系式，一元一次不等式的实际应用，分式方程的实际应用，正确理解题意列出对应的式子是解题的关键． 10. 2025年4月27日，第20届中国电影华表奖在山东青岛市举行颁奖典礼．某文创店准备采购一批华表奖主题纪念品用于推广：已知“经典套装A型”的进价比“豪华套装B型”的进价低80元．如果文创店同样用6000元购进A型套装的数量是B型套装的数量的2倍． （1）求A型套装和B型套装进价分别是多少元？ （2）文创店计划购买A型套装和B型套装共400件，且A型套装的数量不少于B型套装数量的3倍，将A型套装和B型套装分别按进价提高销售，如何购买这两种型号套装才能使全部售出后总利润最大？ 【答案】（1）A型套装的进价是80元，B型套装的进价是160元 （2）购买A型300件，B型100件，总利润最大 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，理解题意正确列出方程和不等式是解题的关键． （1）设A型套装的进价是元，则B型套装的进价是元，根据题意列出分式方程，解出的值即可解答； （2）设购买A型套装件，B型套装件，根据题意得到，解得，设总利润为元，列式可得，再利用一次函数的性质即可解答． 【小问1详解】 解：设A型套装的进价是元，则B型套装的进价是元， 由题意得，， 解得：， 经检验，是方程的解且符合题意， 则， 答：A型套装的进价是80元，B型套装的进价是160元 【小问2详解】 解：设购买A型套装件，B型套装件， 由题意得，， 解得：， 设总利润为元， 则 ， ， 随a增大而减小， 当时，W取最大值，此时400－300＝100（件）， 答：购买A型300件，B型100件，总利润最大． 11. 某商场计划在年前用40000元购进一批新款衬衫进行销售，由于进货厂商促销，实际以8折的价格购进这次衬衫，结果比原计划多购进80件． （1）该商场实际购进每件衬衫多少元？ （2）该商场打算在进阶的基础上，每件衬衫加价50%进行销售．由于接近年底，可能会出现滞销，因此会有20%的衬衫需要打5折降价出售，该商场要想获得不低于20000元的利润，应至少再购进衬衫多少件？ 【答案】（1）该商场实际购进每件衬衫100元 （2）应至少再购进衬衫172件，商场获得不低于20000元的利润 【解析】 【分析】（1）设该商场原计划多购进每件衬衫x元, 根据等量关系实际以8折的价格购进这次衬衫，结果比原计划多购进80件，列方程，解方程即可； （2）解：设再购进y件衬衫，根据不等关系每件衬衫加价50%进行销售，会有20%的衬衫需要打5折降价出售，该商场要想获得不低于20000元的利润，列不等式100×50%×（400+ y）×80%+[100（1+50%）×0.5-100]×（400+ y）×20%≥20000，解不等式即可． 【小问1详解】 解：设该商场原计划多购进每件衬衫x元， 根据题意， 解得x=125， 经检验x=125是原方程的根，并符合实际， ∴125×0.8=100元， 答该商场实际购进每件衬衫100元； 【小问2详解】 解：设再购进y件衬衫， 根据题意100×50%×（400+ y）×80%+[100（1+50%）×0.5-100]×（400+ y）×20%≥20000， 整理得40（400+y）-5(400+y)≥20000， 解得y≥， ∵y为整数， ∴应至少再购进衬衫172件，商场获得不低于20000元的利润． 【点睛】本题考查列分式方程解应用题，列不等式解应用题，掌握列分式方程和列不等式解应用题方法与步骤，抓住等量关系与不等关系列方程与不等式是解题关键． 12．崂山茶是青岛的特产之一，某崂山茶企业为了扩大生产规模，计划投入一笔资金购进甲，乙两种设备，已知购进2件甲设备和1件乙设备共需3.5万元，购进1件甲设备和3件乙设备共需3万元． （1）求购进1件甲设备和1件乙设备分别需要多少万元． （2）如果扩大规模后，在一个季度内，每件甲设备能为企业增加0.5万元利润，每件乙设备能为企业增加0.2万元利润．该企业计划购进甲、乙两种设备共10件，且投入资金不超过12万元，求应该如何采购甲、乙两种设备，才能使企业这个季度的利润最大？ 【分析】（1）根据实际应用题解题步骤“设、列、解、答”按题意求解即可． （2）结合第（1）中所求单价，根据题意列出相应的不等式与函数，根据一次函数性质求出最大值时的采购情况即可． 【解答】解：（1）设购进1件甲设备x万元，1件乙设备y万元， 根据题意得：， 解得：， 答：购进1件甲设备需要1.5万元，1件乙设备需要0.5万元． （2）设购进甲设备m件，则购进乙设备（10﹣m）件， 则1.5m+0.5（10﹣m）≤12，解得m≤7， 设利润为w万元， 则w＝0.5m+0.2（10﹣m）＝0.3m+2， 这是一个一次函数，且0.3＞0，w值随着m的增大而增大， ∴当m＝7时，w有最大值，为w＝0.3×7+2＝4.1万元， 答：购进甲设备7件，购进乙设备3件，才能使企业这个季度的利润最大． 13．A，B两地相距19.2km，甲、乙两人相向而行，两人的运动速度保持不变．甲从A地向B地出发，当甲运动一段距离后，乙从B地开始向A地出发，甲、乙两人同时运动时他们之间的距离y（km）与乙运动时间t（h）满足一次函数关系，其图象如图所示． （1）根据图象求y与t的函数关系式，并求出两人的速度和； （2）已知甲由A地运动到B地所用时间是乙由B地运动到A地所用时间的倍．求甲由A地运动到B地所用时间是多少小时？ 【分析】（1）设图象中y与t的关系式为：y＝kt+b，将（0，16），（2，0）代入解析式即可求解；利用路程除以时间等于速度可得出两人速度和； （2）设甲由A地运动到B地所用时间是t h，则乙由B地运动到A地所用时间是t h，根据速度和可列出分式方程，求解即可． 【解答】解：（1）设图象中y与t的关系式为：y＝kt+b，将（0，16），（2，0）代入， ∴，解得； ∴图象中y与t的关系式为：y＝﹣8t+16． 两人速度和为：16÷2＝8（km/h）； ∴图象中y与t的关系式为：y＝﹣8t+16．两人速度和8km/h； （2）设甲由A地运动到B地所用时间是t h，则乙由B地运动到A地所用时间是t h， ∴+＝8， 解得t＝5.28． 经检验，t＝5.28是原分式方程的解，且符合实际意义． ∴甲由A地运动到B地所用时间是5.28h． 14．春季是呼吸道传染病高发季节，除了通过飞沫传播，也会经手接触传播，正确洗手是预防呼吸传到传染病最有效的措施之一．某商场用600元购进甲品牌洗手液后，供不应求，又用2100元购进第二批这种洗手液，所购数量是第一批数量的3倍，进价贵了1元． （1）求该商场购进的第二批甲品牌洗手液的进价； （2）该商场计划新进一批甲品牌和乙品牌洗手液共420瓶，且乙品牌的进货数量不超过甲品牌数量的2倍．甲品牌的进价与第二批价格相同，乙品牌的进价为9元，甲、乙品牌的售价分别为12元和15元，应该如何组织进货才能使这批洗手液所获利润最大？最大利润是多少？ 【分析】（1）设商场购进第一批洗手液的单价为x元，由题意：某商场用600元购进一批洗手液后，商场用2100元购进第二批这种洗手液，所购数量是第一批数量的3倍，但单价贵了1元．列出分式方程，解方程即可； （2）先求出y的取值范围，再根据利润与进价，售价的关系列出关系式，即可求出答案． 【解答】解：（1）设商场购进第一批洗手液的单价为x元， 由题意得：3×＝， 解得：x＝6， 经检验，x＝6是原方程的解，且符合题意， x+1＝6+1＝7（元）， 答：该商场购进的第二批甲品牌洗手液的进价为7元； （2）设甲品牌洗手液y瓶，这批洗手液所获利润为w元，则乙品牌的进货数量为（420﹣y）瓶， 由题意得，420﹣y≤2y， ∴y≥140， ∵y是正整数， ∴y的最小值是140， 根据题意得：w＝（12﹣7）y+（15﹣9）（420﹣y）＝﹣y+2520， ∵﹣1＜0， ∴y随x的增大而减小， ∴当y＝140元时，w的最大值为﹣140+2520＝2380（元）， 答：进甲品牌洗手液140瓶，乙品牌的数量为280瓶，这批洗手液所获利润最大，最大利润是2380元． 15. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限，两点，与坐标轴交于A、B两点，连接，（O是坐标原点）． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）当时，直接写出的取值范围； （3）将直线向下平移多少个单位长度，直线与反比例函数图象只有一个交点？ 【答案】（1）， （2）或 （3）1或9 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据待定系数法求解即可； （2）结合图象找出反比例函数图象高于直线部分对应的x的范围即可； （3）设出平移后直线的解析式结合一元二次方程的根的判别式解答即可； 【小问1详解】 ∵反比例函数过点，， ∴，解得：，， 反比例函数解析式为：，点， ∵一次函数解析式过点，， ∴， 解得：． ∴一次函数解析式为：； 【小问2详解】 根据图象，不等式的解集为：或； 【小问3详解】 设直线向下平移n个单位长度时，直线与反比例函数图象只有一个交点， 则平移后的解析式为， 联立两个函数得：， 整理得：， ∴（5-n）2 —4×1×4=0 ∴，或， ∴直线向下平移1个单位长度或向下平移9个单位长度时，直线与反比例函数图象只有一个交点． 学科网（北京）股份有限公司 $