条件概率及其应用讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

条件概率及其应用讲义 条件概率及其应用讲义 考点目录 计算条件概率 条件概率性质的应用 考点一 计算条件概率 【知识点解析】 一、解题原理 以条件概率定义为核心，若事件发生的概率，则；本质是将样本空间缩小为“事件发生的所有结果”，计算与同时发生的概率占发生概率的比值；也可直接在缩小后的样本空间中用古典概型直接计算。 二、 解题思路（两种方法，按需选择） 方法1：定义法（通用，核心：算和） 1. 定事件：明确条件事件和所求事件，确认； 2. 算概率：分别计算事件发生的概率、与同时发生的联合概率（可用古典概型、排列组合、乘法公式等）； 3. 套公式：代入计算，化简得结果。 方法2：缩样本空间法（适用于古典概型，更简洁） 1. 缩空间：将原样本空间缩小为条件事件发生的所有基本事件构成的新样本空间； 1. 数个数：在新样本空间中，数出事件发生的基本事件数和的总基本事件数； 1. 直接算：（无需计算原空间概率，直接数个数比）。 关键：古典概型（等可能事件）优先用缩空间法，非等可能事件用定义法。 【例题分析】 例1．（2026·河南许昌·模拟预测）某次测试共设置两道必答题，考生至少答对其中一道题即可通过测试.已知考生甲答对每一题的概率均为，在甲通过测试的条件下，其只答对一道题的概率为（   ） A． B． C． D． 例2．（2026·辽宁丹东·一模）一个口袋里装有大小、形状完全相同的8个红球和2个白球，从中不放回地任取两个球．已知取到了一个红球，则取到的另一个是白球的概率为（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二下·江苏南通·月考）设为给定的大于2的整数．有个外表上没有区别的袋子，第个袋中有个红球，个白球．将这些袋子混合后，任选一个袋子，并且从中连续取出三个球（每个取出不放回）．求第三次取出的为白球的概率为_______． 例4．（25-26高三下·四川雅安·月考）质监部门对某种建筑构件的抗压能力进行检测，对此建筑构件实施两次打击，若没有受损，则认为该构件通过质检．若第一次打击后该构件没有受损的概率为0.85，当第一次没有受损时第二次实施打击也没有受损的概率为0.80，则该构件通过质检的概率为 _________ ． 例5．（25-26高二上·河南驻马店·期末）某校组织趣味知识竞赛，共有3道题目，甲、乙同时依次作答，3道试题作答完毕后比赛结束.规定：对同一道题目，若两人同时答对或答错，每人得0分；若一人答对另一人答错，答对的得10分，答错的得-10分，比赛结束累加得分为正数者获胜，两人分别独立答题互不影响，每人每次的答题结果也互不影响.设甲、乙两名选手正确回答每道题的概率分别为，. (1)甲、乙同时回答1道题时，分别求乙得10分、0分和分的概率； (2)求比赛结束后乙获胜的概率； (3)求在乙获胜的条件下，乙恰好得10分的概率. 【变式训练】 变式1．（25-26高三下·河北衡水·期中）口袋内有大小、质地相同的红球2个，黄球、蓝球各1个．依次不放回地从中摸取2个球（每次取1个球）、记“第一次摸到红球”为事件，“第二次摸到黄球”为事件，则（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高二下·福建泉州·月考）抛掷两枚质地均匀的骰子，记事件为“两个点数不相同”，为“至少出现一个6点”，则（   ） A． B． C． D． 变式3．（2026·天津河北·一模）三批同种规格的产品，第一批占，次品率为；第二批占，次品率为；第三批占，次品率为．将三批产品混合，从混合产品中任取一件，这件产品是次品的概率为______；如果取到的产品是次品，则它是取自第一批产品的概率为______． 变式4．（2026·天津东丽·一模）已知某外卖骑手每次在规定时间内将餐品送达的概率为，该骑手某次工作中共配送3单，若三次配送结果互不影响，记三次配送中准时送达的次数为，则的数学期望_________，若已知该骑手没有全部准时送达，则他恰好准时送达两次的概率为_________． 变式5．（24-25高二上·江西上饶·期末）甲、乙两位同学进行乒乓球比赛，经过大数据分析，每局比赛甲获胜的概率约为，乙获胜的概率约为． (1)若比赛为三局两胜制： （i）设比赛结束时比赛场次为，求的分布列与数学期望； （ii）求乙最终获胜的概率； (2)若比赛为五局三胜制，已知甲最终获胜了，求在此条件下进行了5局比赛的概率． 考点二 条件概率性质的应用 【知识点解析】 一、解题原理 结合条件概率的基本性质和概率的通用性质（互斥、对立、加法公式），推导复杂条件概率的关系与值，核心性质为： 1. 范围性：，（为必然事件），（为不可能事件）； 2. 对立性：（为的对立事件）； 3. 互斥加法：若、互斥，则； 4. 乘法公式推导：由定义变形得。 本质是用性质简化复杂条件概率计算，或建立事件间的概率关联。 二、解题思路（三步法：判性质→化事件→算概率） 1. 判适用性质：分析题干事件关系（互斥、对立、同时发生等），匹配条件概率的对应性质（如遇对立事件用对立性，遇互斥事件用加法）； 2. 化复杂事件：将所求复杂条件概率（如、），用性质转化为简单条件概率的和、差、积（如，互斥则）； 3. 分步算概率：先计算转化后的简单条件概率（用定义法/缩空间法），再按性质运算得结果；若涉及乘法公式，可反向求联合概率。 关键：优先用对立性简化“非/不发生”类条件概率，用互斥加法简化“或”类条件概率。 【例题分析】 例1．（24-25高二下·河北沧州·期末·多选）已知，分别为随机事件A，B的对立事件，若，，，则下列选项正确的是（    ）． A． B． C． D． 例2．（24-25高二下·四川广安·月考·多选）设A，B是一次随机试验中的两个事件，若，，，则不正确的是（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26高三上·湖北武汉·月考·多选）设A，B是一个随机试验中的两个事件，，，则（   ） A．事件A，B相互独立 B．若，则 C． D．若，则必有 【变式训练】 变式1．（24-25高二下·新疆省直辖县级单位·月考·多选）已知，为两个随机事件，且，，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B． C．若和是两个互斥事件，则 D．当时， 变式2．（24-25高二下·吉林通化·期末·多选）已知分别为随机事件的对立事件，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则独立 C．若独立，则 D． 变式3．（2025·广东广州·模拟预测·多选）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 2 学科网（北京）股份有限公司 $条件概率及其应用讲义 条件概率及其应用讲义 考点目录 计算条件概率 条件概率性质的应用 考点一 计算条件概率 【知识点解析】 一、解题原理 以条件概率定义为核心，若事件发生的概率，则；本质是将样本空间缩小为“事件发生的所有结果”，计算与同时发生的概率占发生概率的比值；也可直接在缩小后的样本空间中用古典概型直接计算。 二、 解题思路（两种方法，按需选择） 方法1：定义法（通用，核心：算和） 1. 定事件：明确条件事件和所求事件，确认； 2. 算概率：分别计算事件发生的概率、与同时发生的联合概率（可用古典概型、排列组合、乘法公式等）； 3. 套公式：代入计算，化简得结果。 方法2：缩样本空间法（适用于古典概型，更简洁） 1. 缩空间：将原样本空间缩小为条件事件发生的所有基本事件构成的新样本空间； 1. 数个数：在新样本空间中，数出事件发生的基本事件数和的总基本事件数； 1. 直接算：（无需计算原空间概率，直接数个数比）。 关键：古典概型（等可能事件）优先用缩空间法，非等可能事件用定义法。 【例题分析】 例1．（2026·河南许昌·模拟预测）某次测试共设置两道必答题，考生至少答对其中一道题即可通过测试.已知考生甲答对每一题的概率均为，在甲通过测试的条件下，其只答对一道题的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用互斥事件的概率加法公式和条件概率公式计算即可. 【详解】设考生甲答对第一道题和答对第二道题分别为事件，只答对一道题为事件，甲通过测试为事件， 则 ， ， 则在甲通过测试的条件下，其只答对一道题的概率为. 例2．（2026·辽宁丹东·一模）一个口袋里装有大小、形状完全相同的8个红球和2个白球，从中不放回地任取两个球．已知取到了一个红球，则取到的另一个是白球的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】方法1：采用缩小样本空间的思路 从大小形状完全相同的个红球和个白球中不放回地任取两个球其中一个是红球， 取法种数为（或）， 其中取到了一个红球一个是白球的取法种数为，因此所求概率为． 方法2：条件概率公式 设事件为“至少取到一个红球”，事件为“取到一红一白”， 则，， 因此所求概率为． 例3．（25-26高二下·江苏南通·月考）设为给定的大于2的整数．有个外表上没有区别的袋子，第个袋中有个红球，个白球．将这些袋子混合后，任选一个袋子，并且从中连续取出三个球（每个取出不放回）．求第三次取出的为白球的概率为_______． 【答案】 【分析】先求出第三次取出的是白球的种数，再求出在第个袋子中第三次取出的是白球的概率，选到第个袋子的概率为，由此能求出第三次取出的是白球的概率． 【详解】设选出的是第个袋，连续三次取球的方法数为， 第三次取出的是白球的三次取球颜色有如下四种情形： （白，白，白），取法数为， （白，红，白），取法数为， （红，白，白），取法数为， （红，红，白），取法数为， 从而第三次取出的是白球的种数为： ， 则在第个袋子中第三次取出的是白球的概率， 而选到第个袋子的概率为，故所求概率为： ． 例4．（25-26高三下·四川雅安·月考）质监部门对某种建筑构件的抗压能力进行检测，对此建筑构件实施两次打击，若没有受损，则认为该构件通过质检．若第一次打击后该构件没有受损的概率为0.85，当第一次没有受损时第二次实施打击也没有受损的概率为0.80，则该构件通过质检的概率为 _________ ． 【答案】0.68 【分析】结合题意，设出事件，根据条件概率的计算公式，直接求解即可. 【详解】设事件表示对此建筑构件第一次打击后没有受损，事件表示对此建筑构件第二次打击后没有受损， 则表示对此建筑构件实施两次打击且没有受损， 由题可知：，，故. 故答案为：. 例5．（25-26高二上·河南驻马店·期末）某校组织趣味知识竞赛，共有3道题目，甲、乙同时依次作答，3道试题作答完毕后比赛结束.规定：对同一道题目，若两人同时答对或答错，每人得0分；若一人答对另一人答错，答对的得10分，答错的得-10分，比赛结束累加得分为正数者获胜，两人分别独立答题互不影响，每人每次的答题结果也互不影响.设甲、乙两名选手正确回答每道题的概率分别为，. (1)甲、乙同时回答1道题时，分别求乙得10分、0分和分的概率； (2)求比赛结束后乙获胜的概率； (3)求在乙获胜的条件下，乙恰好得10分的概率. 【答案】(1); ; ; (2) (3) 【分析】（1）按乙得分的三种场景，分别用独立事件乘法、互斥事件加法计算概率； （2）先分类乙获胜的得分情况，再用组合数和独立事件乘法，分别计算每类得分的概率，最后将三类得分的概率相加，得到乙获胜的总概率； （3）先算乙恰好得10分的概率，再用条件概率公式计算即可. 【详解】（1）记回答1道题时，乙的得分为， 则， ， ， 即乙得 10 分、0 分、分的概率分别为，， . （2）根据条件，比赛结束后乙获胜时，乙的总得分可能为30分，20分，10分，对应的事件分别记为，，，乙获胜记为事件，则 因此. （3）由条件得： 【变式训练】 变式1．（25-26高三下·河北衡水·期中）口袋内有大小、质地相同的红球2个，黄球、蓝球各1个．依次不放回地从中摸取2个球（每次取1个球）、记“第一次摸到红球”为事件，“第二次摸到黄球”为事件，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】记“第一次摸到红球”为事件，“第二次摸到黄球”为事件， “第一次摸到蓝球”为事件，“第一次摸到黄球”为事件， 则， 所以. 变式2．（25-26高二下·福建泉州·月考）抛掷两枚质地均匀的骰子，记事件为“两个点数不相同”，为“至少出现一个6点”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，分别求得事件和的概率，结合条件概率的计算公式，即可求解. 【详解】抛掷两枚质地均匀的骰子，共有种情形， 其中事件“至少出现一个6点”的情况数为种，可得， 又由事件“两个点数不相同”，可得，所以， 由条件概率的公式，可得. 变式3．（2026·天津河北·一模）三批同种规格的产品，第一批占，次品率为；第二批占，次品率为；第三批占，次品率为．将三批产品混合，从混合产品中任取一件，这件产品是次品的概率为______；如果取到的产品是次品，则它是取自第一批产品的概率为______． 【答案】 【详解】用表示“取到第批产品”，用表示“取到次品” 则，， 则 ； . 变式4．（2026·天津东丽·一模）已知某外卖骑手每次在规定时间内将餐品送达的概率为，该骑手某次工作中共配送3单，若三次配送结果互不影响，记三次配送中准时送达的次数为，则的数学期望_________，若已知该骑手没有全部准时送达，则他恰好准时送达两次的概率为_________． 【答案】 【分析】由二项分布求第一空；由条件概率公式求第二空. 【详解】由题意可得， 所以； 记事件为“该骑手没有全部准时送达”，事件为“恰好准时送达两次”， 则, 所以. 变式5．（24-25高二上·江西上饶·期末）甲、乙两位同学进行乒乓球比赛，经过大数据分析，每局比赛甲获胜的概率约为，乙获胜的概率约为． (1)若比赛为三局两胜制： （i）设比赛结束时比赛场次为，求的分布列与数学期望； （ii）求乙最终获胜的概率； (2)若比赛为五局三胜制，已知甲最终获胜了，求在此条件下进行了5局比赛的概率． 【答案】(1)（i）分布列见解析，；（ii） (2) 【分析】（1）可取2,3，按独立事件概率求解，写出分布列，可求数学期望；分乙两局或三局获胜求解； （2）分别求出“甲最终获胜”和“甲经历5局获胜”的概率，再按条件概率求解即可． 【详解】（1）（i）所有可能的取值为2，3 ，， 所以的分布列为： 2 3 . （ii）乙最终获胜的概率. （2）设事件“甲最终获胜”，事件“共进行了5场比赛”． 则， ， 故． 考点二 条件概率性质的应用 【知识点解析】 一、解题原理 结合条件概率的基本性质和概率的通用性质（互斥、对立、加法公式），推导复杂条件概率的关系与值，核心性质为： 1. 范围性：，（为必然事件），（为不可能事件）； 2. 对立性：（为的对立事件）； 3. 互斥加法：若、互斥，则； 4. 乘法公式推导：由定义变形得。 本质是用性质简化复杂条件概率计算，或建立事件间的概率关联。 二、解题思路（三步法：判性质→化事件→算概率） 1. 判适用性质：分析题干事件关系（互斥、对立、同时发生等），匹配条件概率的对应性质（如遇对立事件用对立性，遇互斥事件用加法）； 2. 化复杂事件：将所求复杂条件概率（如、），用性质转化为简单条件概率的和、差、积（如，互斥则）； 3. 分步算概率：先计算转化后的简单条件概率（用定义法/缩空间法），再按性质运算得结果；若涉及乘法公式，可反向求联合概率。 关键：优先用对立性简化“非/不发生”类条件概率，用互斥加法简化“或”类条件概率。 【例题分析】 例1．（24-25高二下·河北沧州·期末·多选）已知，分别为随机事件A，B的对立事件，若，，，则下列选项正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，利用条件概率公式求解判断AC；利用概率的基本性质及概率加法公式求解判断BD. 【详解】对于A，由，，得，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确． 故选：ACD. 例2．（24-25高二下·四川广安·月考·多选）设A，B是一次随机试验中的两个事件，若，，，则不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】对于A，根据并事件的概率计算公式求解；对于B，由即可求解，再由对立事件的概率计算公式即可求；对于C，由A，B可判断C；对于D，由条件概率及其性质可求. 【详解】对于A，， 解得，故A错误； 对于B，，解得， ，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，，故D错误. 故选：AD． 例3．（25-26高三上·湖北武汉·月考·多选）设A，B是一个随机试验中的两个事件，，，则（   ） A．事件A，B相互独立 B．若，则 C． D．若，则必有 【答案】BCD 【分析】根据条件概率的计算公式以及并事件的概率公式，可得方程组，进而可得，则，所以，根据相互独立满足的公式即可判断A，结合基本不等式即可求解C,根据条件概率即可求解D. 【详解】由可得, 又, , 则, 不妨设，则， 所以，化简得， 设，则，所以， 对于A，要使A，B相互独立，则需要， 即，即，不恒成立，故A错误， 对于B，由，得，， 故，B正确， 对于C, , 当且仅当时取到等号，而,故，C正确， 对于D,由，得,又, 所以，化简可得, 由于，则,将其代入上式得 ,化简得①， 结合②, 联立①②可得,故， 解得，则，故，故D正确. 故选：BCD 【变式训练】 变式1．（24-25高二下·新疆省直辖县级单位·月考·多选）已知，为两个随机事件，且，，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B． C．若和是两个互斥事件，则 D．当时， 【答案】AD 【分析】对于A：根据条件概率分析判断；对于B：根据条件概率分析判断；对于C：根据条件概率结合互斥事件分析判断；对于D：根据条件概率公式分析判断. 【详解】对于选项A：因为， 所以，故A正确． 对于选项B：，故B错误． 对于选项C：若B和C是两个互斥事件， 则， 且， 因为与不一定相等， 则不一定相等，故C错误； 对于选项D：因为，所以． ，故D正确． 故选：AD. 变式2．（24-25高二下·吉林通化·期末·多选）已知分别为随机事件的对立事件，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则独立 C．若独立，则 D． 【答案】ABD 【分析】根据概率的性质即可判断A；根据相互独立事件的定义即可判断B；根据条件概率公式即可判断C；根据条件概率的性质即可判断D. 【详解】A选项，根据随机事件的概率的知识可知，A选项正确； B选项，根据独立事件的知识可知，，则相互独立，B选项正确； C选项，若独立，则，C选项错误； D选项，表示在事件发生的情况下事件发生的概率， 表示在事件发生的情况下事件发生的概率， 所以，所以D选项正确． 故选：ABD． 变式3．（2025·广东广州·模拟预测·多选）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】利用和事件的概率公式和条件概率公式求解即可. 【详解】因为，，所以，. 因为与为互斥事件，所以， 所以 ， 所以， 故，故A正确； ，故B正确； ，故C错误； ，， 所以，故D错误. 故选:AB. 2 学科网（北京）股份有限公司 $