7.1.2全概率公式教学设计-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

7.1.2 全概率公式（第1课时） 教学设计 1、 教材分析 本节内容选自选择性必修三第七章《随机变量及其分布列》第7.1.2节《概率公式》第1课时. 学生已经学习了有关概率的一些基础知识，对一些简单的概率模型已经有所了解.刚刚带领学生学习了条件概率，利用乘法公式和加法公式推导全概率公式.全概率公式为求解一类概率问题提供了有力的工具，它是概率论中最重要的公式之一，且蕴含着深刻的数学思想.公式的理解重在具体的问题情境中进行运用，同时注意运用集合的观点理解公式. 2、 教学重难点 教学重点：全概率公式的推导与应用. 教学难点：将相关问题转化为对应概率模型，运用全概率公式求概率. 难点突破方法：问题驱动、媒体辅助、自主探究、合作交流. 3、 教学目标 1.结合实例以及古典概型公式，通过利用概率的加法公式和乘法公式推导全概率公式的过程，在推导、运用公式的过程中体会化繁为简、化难为易的转化思想. 2.通过运用全概率公式解决实际问题，进一步理解全概率公式的结构和含义，提升数学运算能力. 4、 学情分析 1.知识：学生已经学习了概率的基础知识，对一些简单的概率模型（如古典概型）已经有所了解，在本节课之前，学生学习了条件概率，概率的乘法、加法公式，为全概率公式的学习做好了铺垫. 2.技能：本节课之前，学生已经具备了一定的分析问题、解决问题的能力，逻辑思维能力也初步形成，能够用数学的眼光看待随机事件的概率，初步具备解决较复杂概率问题的能力. 3.素养：通过之前排列组合、二项式定理、条件概率的学习，学生已经可以从具体情境中建立简单的数学模型，抽象出基本的数学概念，可以推理出相应的公式并完成后续问题的运算. 5、 教学策略 1. 教法 （1）启发式教学：问题是数学学习的心脏，因此以问题串的方式引导学生思考，由学生对全概率公式加以概括和抽象，发展学生的数学抽象、逻辑推理素养，突出本节课重点. （2）探究式教学：教学借鉴条件概率公式的学习经验，引导学生借助树状图和韦恩圈理解全概率公式的直观意义，并探究应用全概率公式解决实际问题的步骤，提升学生的直观想象素养，并突破教学难点. （3）情景式教学：通过“三门问题”的游戏，激发学生的学习兴趣，提升学生的数学抽象素养，数学建模素养. 2.学法 （1）独立思考：在探究问题、例题及练习的解决过程中，学生对教师提出的问题进行独立深入地思考，让学生的思维得到真正地锻炼，提升学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算等素养. （2）自主探究：学生在推导全概率公式的过程中，在独立思考的基础上进行自主探究，提升学生的直观想象、数学建模的素养. （3）合作交流：在推导全概率公式以及解决情景问题的过程中，学生在自主探究遇到问题时进行分小组讨论，合作交流，增强学生的合作意识，提升学生的数学运算素养，突破难点. 6、 教学过程 （一）情景引入 视频引入：三门问题是一个著名的概率问题，出自美国的电视游戏节目“Let's Make a Deal”.问题的情景是：参赛者面前有三扇关闭的门，其中一扇后面有汽车，另外两扇后面都是山羊.参赛者选择了一扇门后，节目主持人会在剩下的两扇门中打开一扇后面是山羊的门，然后问参赛者是否要换另一扇门？ 问：换门是否能增加赢得汽车的概率？ 【设计意图】：通过经典的“三门问题”亦称为蒙提霍尔问题(Monty Hall problem)，引入新课，充分调动学生学习积极性，激发学生学习热情. （二）新知探究 问题1 从有a个红球和b个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回.显然，第1次摸到红球的概率为，那么第2次摸到红球的概率是多大？如何计算这个概率呢？ 追问1 你能直观感知第2次摸到红球的概率是多大吗？ 生：因为抽签具有公平性，所以第2次摸到红球的概率也应该是. 追问2 既然摸出的球不再放回，那么第2次摸球的结果受第1次摸球结果的影响，为什么第1、2次摸到红球的概率还会是相同的呢？ 下面我们给出严格的推导. 用表示事件“第次摸到红球”，表示事件“第次摸到蓝球”，．事件可按第1次可能的摸球结果（红球或蓝球）表示为两个互斥事件的并，即．利用概率的加法公式和乘法公式，得 ． 追问3 把问题1变为“从有a个红球、b个蓝球和c个黄球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回.显然，第1次摸到红球的概率为，那么第2次摸到红球的概率是多大？”你能类比上述过程进行计算吗？ 学生活动，分组探究. 【设计意图】：先由学生独立思考从2个颜色中随机不放回摸1球，求第2次摸到红球的概率，之后将条件变成从3个颜色中随机不放回摸1球，通过增加变式对教材内容适度改编，引入树状图以及韦恩图让学生更直观地理解全概率问题的解题思路，体现化难为易的转化思想，为全概率公式的引入做铺垫，突破难点. 问题2 上述解决问题的过程采用了怎样的方法？ 按照某种标准，将一个复杂事件表示为两个互斥事件的并，再由概率的加法公式和乘法公式，求得这个复杂事件的概率. 总结：如果B是由原因所引起，则B发生的概率是. （三）全概率公式 全概率公式定义：一般地，设是一组两两互斥的事件，，且则对任意的事件，有 我们称上面的公式为全概率公式．全概率公式是概率论中最基本的公式之一. 说一说： （1）全概率公式本质上是综合运用加法公式和乘法公式解决“多因一果”的概率问题. （2）全概率公式告诉我们，事件B发生的概率恰好是事件B在各种可能“原因”下发生的条件概率的加权平均. 【设计意图】：由以上两个具体实例，通过数学抽象得出一般性的数学结论，是培养学生数学抽象素养的重要途径，结合韦思图通过层层设问，深化学生对全概率公式的理解，让学生能够体会全概率公式的本质是“多因导果”. （四）知识运用 例1 三门问题是一个著名的概率问题，出自美国的电视游戏节目“Let's Make a Deal”.问题的情景是：参赛者面前有三扇关闭的门，其中一扇后面有汽车，另外两扇后面都是山羊.参赛者选择了一扇门后，节目主持人会在剩下的两扇门中打开一扇后面是山羊的门，然后问参赛者是否要换另一扇门？ 思考 能提炼出解题步骤吗？ 全概率公式求概率的步骤： 1.设事件：把事件（结果事件）看作某一过程的结果，把看作导致结果的若干个原因； 2.写概率：由已知，写出每一原因发生的概率（即），且每一原因对结果的影响程度（即）； 3.代公式：用全概率公式计算结果发生的概率（即）. 【设计意图】：回扣课前引例，由学生独立完成本道例题，并进行展示，深化学生对全概率公式的理解，让学生感受到全概率公式在解决实际问题中的广泛应用，同时，进一步强化应用全概率公式计算概率的方法与步骤. （五）课堂小结 1.全概率公式： 2.步骤：设事件；找划分；搜数据；求概率. 3.方法：树状图；韦恩图. 4.思想：由因导果；全面考虑；化繁为简；化难为易. 5.素养：数学抽象；逻辑推理；数学运算；数学建模. 【设计意图】：由学生梳理总结全概率公式的基本思想和解题步骤，有助于学生把握数学思想方法，提升他们的数学核心素养. （六）布置作业 1.基础：教材52页，练习1，2. 2.能力：教材53页8，10 3.探究：人工智能问题 chatGPT是由OpenAI开发的一款人工智能机器人程序，一经推出就火遍全球.chatGPT的开发主要采用RLHF（人类反馈强化学习）技术.在对chatGPT进行测试时，如果输入的问题没有语法错误chatGPT的回答被采纳的概率为90%，当出现语法错误时，chatGPT的回答被采纳的概率为50%.现已知输入的问题中出现语法错误的概率为5%. （1）求chatGPT的回答被采纳的概率， （2）现已知chatGPT的回答被采纳，求该问题的输入语法没有错误的概率. 【设计意图】：考虑到学生的差异，三个课后作业形成一定的梯度和难度，让每一位学生都能在自己的最近发展区得到提升，实现培优减负，双管齐下，同时，设置当下热点的人工智能探究作业，为贝叶斯公式的引出做了铺垫，发展学生的四基，以及发现和提出问题，分析和解决问题的能力. 7、 教学反思 收获：（1）数学学习的核心是学思维.因此，在教学中我合理设计教学活动让学生真正地成为学习的主体，经历由独立思考到自主探究再到合作交流的过程.（2）教学的预设和生成情况达成度较高，教学活动开始之前我充分了解学情，基于学情制定教学重难点，并结合相应的教学策略落实重点，突破难点. 不足：（1）虽然学生已经初步掌握应用全概率公式解决实际问题的方法与步骤，但个别同学的思路不是很清晰，求解也不是很熟练，需要课后加强巩固与练习.（2）教学评价方式较为单一，教学中应注重实施多元评价体系，使定性评价与定量评价相结合，过程性评价与终结性评价相结合，从学生的智力因素和非智力因素两方面进行全面评价. 学科网（北京）股份有限公司 $$