第5章 复数 章末整合提升 体系构建 素养提升(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

该高中数学单元复习讲义围绕复数知识，按数学抽象、数学运算、直观想象三大核心素养模块构建体系，通过例题串联概念、运算、几何意义等要点，清晰呈现知识内在联系与重难点分布。 讲义亮点是分层练习设计，结合2024新高考Ⅰ卷复数运算题等真题及复数范围内解方程等综合题，培养数学运算和直观想象素养。基础题巩固概念，综合题提升能力，助力学生自主复习，教师可实施精准分层教学。

一、数学抽象 　　数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数学的产生、发展、应用的过程中.在本章中，主要体现在复数的基本概念中. 培优一｜复数的概念 【例1】　（1）设i是虚数单位，若复数a＋（a∈R）是纯虚数，则a＝（　　） A.4　　　　　　　　　B.3 C.2 D.1 （2）i是虚数单位，复数z＝a＋i（a∈R）满足z2＋z＝1－3i，则｜z｜＝（　　） A.或 B.2或5 C. D.5 （3）若复数z＝1＋i（i为虚数单位），是z的共轭复数，则z2＋的虚部为（　　） A.0 B.－1 C.1 D.－2 尝试解答 二、数学运算 　　数学运算在本章中主要体现在复数代数形式的四则运算、复数范围内解方程及三角形式的乘、除运算中.通过复数的四则运算进一步培养学生的数学运算核心素养. 培优二｜复数的四则运算 【例2】　（1）（2024·新高考Ⅰ卷2题）若＝1＋i，则z＝（　　） A.－1－i B.－1＋i C.1－i D.1＋i （2）（2024·全国甲卷1题）若z＝5＋i，则i（＋z）＝（　　） A.10i B.2i C.10 D.2 （3）（2023·新高考Ⅰ卷2题）已知z＝，则z－＝（　　） A.－i B.i C.0 D.1 尝试解答 培优三｜复数范围内解方程 【例3】　已知关于x的方程x2－（tan θ＋i）x－（2＋i）＝0. （1）若方程有实数根，求锐角θ和实数根； （2）证明：对任意θ≠kπ＋（k∈Z），方程无纯虚数根. 尝试解答 培优四｜复数三角形式的乘、除运算 【例4】　计算：（1）2×3（ cos ＋isin ）； （2）8（cos 85°＋isin 85°）÷[（cos 25°＋isin 25°）]. 尝试解答 三、直观想象 　　在本章中直观想象主要体现在复数的几何意义与复数乘、除法的几何意义等问题中. 培优五｜复数的几何意义 【例5】　（1）（2024·新高考Ⅱ卷1题）已知z＝－1－i，则｜z｜＝（　　） A.0 B.1 C. D.2 （2）（2023·新高考Ⅱ卷1题）在复平面内，（1＋3i）·（3－i）对应的点位于（　　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 尝试解答 【例6】　在复平面内的长方形ABCD的四个顶点中，点A，B，C对应的复数分别是2＋3i，3＋2i，－2－3i，求点D对应的复数. 尝试解答 培优六｜复数中的证明问题 【例7】　设z∈C，且｜z｜＝1，但z≠±1，求证：是纯虚数. 尝试解答 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 5.ZxXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 章末整合提升 【例1】(1)C(2)C(3)A 解析：（1).a十 6+2i (6+2i)(-1-i) 7=4计1-》=a十2=0-2-41是纯虚数，a-2三 2 即a=2.故选C. (2)2+2=（a+i)+a+i=g-1+a+(2a+1Di=1-3i,:g1ta1,解得a=-2.2 2a+1=-3, =-2+i,故|z|=(-2)2+12=5.故选C. (3).z=1+i,∴.2=1-i,∴.z2+z2=（1+i)2+（1-i)2=2i+(-2i)=0.故选A. 【例2】(1)C(2)A(3)A 解折：0)法日为，产，片2=1+，=1+所以=1+片1-i改选C 法二由2211+i,得2=2-1）(1+i),即i=1+i21中-1-i (2)因为z=5+i,所以z=5一i,所以i(z+z)=10i,故选A. 》题，绿：品可分5以分质送：方方 故选A. 【例3】解：（1)原方程可化为x2-xtan0-2一(x+1)i=0,设方程的实数根为xo, x-Xotan0-2=0, 则 即=一1， x0+1=0, tan=1. 又日是锐角，故0=4 π (2)证明：假设方程有纯虚数根，可设为bi,b≠0，b∈R, 则-b2-(tan0+i)bi-(2+i)=0, -b2-ibtan 0+6-2-i=0, 可得-+b-2=0,解得b=1±71， 21 与假设矛盾，所以方程无纯虚数根 【例4】解：（1)原式 4m号+tml+到 1/2 独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 =6c0 7π+isin7亚 612 12 6-2+6+2, 4 =32-396+32+36 2 (2)原式=42[cos(85°-25°)+isin(85°-25°)]=42(cos60°+isin60°)=4 2}+要242+ 【例5】(1)C(2)A解析：(1)若z=-1-i,则|z1=(-1)2+(1)2=2.故选 C. (2).(1+3i)(3一i)=3一i+9i一32=6+8i,∴.(1+3i)(3-i)在复平面内对应的点的坐标 为(6,8)，即(1十3i)(3一i)在复平面内对应的点在第一象限.故选A. 【例6】解：由题意得0A=(2,3),OB=(3,2),O0=(-2,-3). 设OD=(x,y),则AD=(x-2,y-3),BC=(-5,-5). 由必客，市=成。所二子，长0对定的复装有421 【例7】证明：法一设z=a十bi(a,b∈R), 由1z=1得+6=1，：1=《a1)+b1_【a-1)十bi1a+1)-b1三 ”z+1(a+1)+bi(a+1)2+b2 (a2+b2-1)+2bi= 2b (a+1)2+b2 （a+1)2+b2 由|z|=1且z≠±1，得b≠0，a≠±1， 为纯座数 法二|z|=1,.z2=1. -+器+得 +1,02是能定烫 2/2 独家授权侵权必究