精品解析：2026年山东省济南市济南高新技术产业开发区一模数学试题

2026年高新区学考模拟测试数学试题 注意： 1．满分为150分．考试时间为120分钟． 2．本试题共6页，分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷共2页，满分为40分；第Ⅱ卷共4页，满分为110分． 3．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的考点、姓名、准考证号、座号填写在答题卡上和试卷规定的位置上． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器． 第I卷（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. ﹣5的绝对值是（ ） A. 5 B. 1 C. 0 D. ﹣5 2. 榫卯是我国传统建筑及家具的基本构件．燕尾榫是“万榫之母”，为了防止受拉力时脱开，榫头成梯台形，形似燕尾，如图是燕尾榫正面的带头部分，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 豆包大模型于2024年5月15日正式发布，上线后迅速引起全球关注．据第三方（）最新监测，2026年3月，月活跃用户稳定在310000000户．数据310000000用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 4. 围棋是中华民族发明的博弈活动．下列用棋子摆放的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共10个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.3左右，则袋子中红球的个数最有可能的是（ ） A. 10 B. 0.3 C. 3 D. 7 7. 关于的方程的解与方程的解相同，则的值是（　　）. A. 1 B. 4 C. -1 D. -4 8. 将一次函数的图象向下平移2个单位长度，若平移后的一次函数图象经过点，则b的值为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 9. 如图，在中，．某同学按如下步骤进行尺规作图： ①以点为圆心，长为半径作弧，交于点； ②分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于，两点； ③连接并延长，交于点，连接． 若，，则四边形的面积为（ ） A. 8 B. C. 12 D. 10. 如图，抛物线（为常数）交轴于点，与轴的一个交点在和之间，顶点为． ①抛物线与直线有交点；②若点、点、点在该函数图象上，则；③将该抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位，所得抛物线解析式为；④点关于直线的对称点为，点、分别在轴和轴上，当时，四边形周长的最小值为． 其中正确的判断有（ ）个． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题：（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．） 11. 计算的结果是_______ ． 12. 如图，在中，，平分，若，则__________． 13. 为响应“双减”政策，某校开设社团活动，现有书法、篮球、美术3个社团，小明和小亮各随机选择一个社团，则两人选择同一个社团的概率为________． 14. 如图，经过点A的一束光线照射到平面镜（x轴）上的点B处，反射后的光线交y轴于点，若反射光线的函数关系式为，则入射光线的函数关系式为__________． 15. 如图，在矩形中，，点E是边上一点，连接，将沿直线折叠得到，连接交于点，连接，则线段的最小值为 ___________________ ． 三、解答题：（本大题共10个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算：． 17. 解不等式组：，并写出它的所有整数解． 18. 如图，在菱形中，于点E，于点F．求证：． 19. 为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为5米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为4.4米，当太阳光线与地面的夹角为时． （1）求遮阳棚边缘点A到墙体的距离； （2）求阴影的长． （结果精确到米．参考数据：，，） 20. 如图，是的内接三角形，，，点D在的延长线上，交于点E，交于点F，，连接． （1）求证：是的切线； （2）求的长． 21. 某种饮品由浓缩咖啡、牛奶和糖浆三种成分调制而成，不同的配比会带来不同的口味．为了解不同配比对口味的影响，某咖啡店进行了“糖浆加入量对口味影响”的试验：保持浓缩咖啡30毫升和牛奶150毫升不变，分三个方案改变糖浆的加入量（方案A：10毫升；方案B：30毫升；方案C：50毫升），并从300位品尝嘉宾中随机抽取10位嘉宾对每种方案的甜度和整体口感评分（以1至10的整数评分，分值越高对应甜度越高或整体口感越好）． 数据处理 根据收集到的数据，绘制了下列统计图表． 数据应用 （1）在表1中，________，________． 请根据整体口感评分，说明三个方案中哪个方案最受欢迎． （2）结合图1，估计300位嘉宾在三个方案中最喜爱方案C的人数． （3）补全图2，并简单分析糖浆的加入量对饮品口味的影响． （4）调查显示，嘉宾对饮品的甜度和整体口感的关注度占比为，现按照这个占比计算三种方案的综合得分，得分大于分的方案即可推出，请结合数据分析，推断该店将会推出哪种方案． 22. 根据以下素材，探究完成任务． 背景 2026年3月14日是第七个国际数学日，为增强同学们学习数学的兴趣，张老师的班级将开展数学知识抢答赛活动，他提前在线上平台购买了玩偶与徽章等文创品作为奖品． 素材一 线上平台无促销活动时，若买10个玩偶和20个徽章共需390元；若买15个玩偶和15个徽章共需405元． 素材二 2026年线上平台促销活动信息如下： 方式一：购买48元会员卡后所有商品打8折； 方式二：非会员所有商品打9折． 解决问题： （1）线上平台在无促销活动时，求玩偶和徽章的销售单价各是多少元？ （2）张老师计划在促销期间购买玩偶和徽章共35个，其中购买玩偶m个（）， 若按方式一购买，共需 元； 若按方式二购买，共需 元．（均用含m的代数式表示） （3）请你帮张老师算一算，在任务二的条件下，购买玩偶的数量在什么范围内时，选择方式一更划算？ 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象的一个交点为，与x轴的交点为． （1）求k的值； （2）直线与反比例函数的图象在第三象限交于点C，点D在反比例函数的图象上，若，求直线的函数表达式； （3）P为x轴上一点，直线交反比例函数的图象于点E（异于A），连接，若的面积为2，求点E的坐标． 24. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，，D是直线上方抛物线上一动点，作交于点E，垂足为点F，连接． （1）求抛物线的表达式； （2）设点D的横坐标为， ①用含有的代数式表示线段的长度； ②是否存在点D，使是等腰三角形?若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由； （3）连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． 25. 【基础巩固】 （1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB． 【尝试应用】 （2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长． 【拓展提高】 （3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC＝2EF，∠EDF＝∠BAD，AE＝2，DF＝5，求菱形ABCD的边长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高新区学考模拟测试数学试题 注意： 1．满分为150分．考试时间为120分钟． 2．本试题共6页，分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷共2页，满分为40分；第Ⅱ卷共4页，满分为110分． 3．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的考点、姓名、准考证号、座号填写在答题卡上和试卷规定的位置上． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器． 第I卷（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. ﹣5的绝对值是（ ） A. 5 B. 1 C. 0 D. ﹣5 【答案】A 【解析】 【详解】分析：根据绝对值的定义进行回答即可. 详解：根据绝对值的定义，可知的绝对值为5. 故选A. 点睛：考查绝对值的定义，熟练掌握绝对值的定义是解题的关键. 2. 榫卯是我国传统建筑及家具的基本构件．燕尾榫是“万榫之母”，为了防止受拉力时脱开，榫头成梯台形，形似燕尾，如图是燕尾榫正面的带头部分，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三视图，根据主视图是从前往后看，得到的图形，进行判断即可． 【详解】解：由图可知：几何体的主视图为： 故选A． 3. 豆包大模型于2024年5月15日正式发布，上线后迅速引起全球关注．据第三方（）最新监测，2026年3月，月活跃用户稳定在310000000户．数据310000000用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，据此判断即可． 【详解】解：． 4. 围棋是中华民族发明的博弈活动．下列用棋子摆放的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，本选项不符合题意； B、是中心对称图形，但不是轴对称图形，本选项不符合题意； C、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，本选项不符合题意； D、既是轴对称图形又是中心对称图形，本选项符合题意； 故选：D． 5. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法运算，幂的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据合并同类项，同底数幂的乘除法运算，幂的乘方运算法则一一判断即可． 【详解】解：A、，计算正确，符合题意； B、，原选项错误，不符合题意； C、与不是同类项，不能合并，原选项错误，不符合题意； D、，原选项错误，不符合题意； 故选：A． 6. 在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共10个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.3左右，则袋子中红球的个数最有可能的是（ ） A. 10 B. 0.3 C. 3 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】在大量重复试验中，频率会稳定在概率附近，用总球数乘稳定的频率即可得到红球个数的估计值． 【详解】解：∵多次试验后摸出红球的频率稳定在0.3左右， ∴可估计摸出红球的概率为0.3， ∵袋子中共有10个球， ∴红球个数约为 （个）， 因此袋子中红球的个数最有可能是3个． 7. 关于的方程的解与方程的解相同，则的值是（　　）. A. 1 B. 4 C. -1 D. -4 【答案】A 【解析】 【分析】利用一元一次方程的解法解出方程2x+2=0，根据同解方程的定义将解得的x的值代入解答． 【详解】解方程2x+2=0， 得x=−1， 由题意得，−2+5a=3， 解得，a=1， 故选A. 【点睛】本题考查同解方程，解决本题的关键是理解方程解的定义，注意细心运算. 8. 将一次函数的图象向下平移2个单位长度，若平移后的一次函数图象经过点，则b的值为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】先根据平移规律得到平移后的函数解析式，再代入已知点的坐标即可求出b的值． 【详解】解：将一次函数的图象向下平移2个单位长度，平移后的解析式为， ∵平移后的一次函数图象经过点． ∴， 解得：． 9. 如图，在中，．某同学按如下步骤进行尺规作图： ①以点为圆心，长为半径作弧，交于点； ②分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于，两点； ③连接并延长，交于点，连接． 若，，则四边形的面积为（ ） A. 8 B. C. 12 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质以及尺规作图，解题的关键是求出四边形的底和高，进而计算其面积． 先根据作图步骤得出相关线段和角的关系，再求出四边形的底和高，最后计算其面积即可． 【详解】如图：连接， 由作图步骤①可知， 又， 所以是等边三角形． 由作图步骤②③可知是的垂直平分线， ∴点B在上， ． ， ， 过作于， 在等边三角形中，， 四边形是平行四边形， ，则也是四边形的高， ， ． 四边形的面积为． 故选：D． 10. 如图，抛物线（为常数）交轴于点，与轴的一个交点在和之间，顶点为． ①抛物线与直线有交点；②若点、点、点在该函数图象上，则；③将该抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位，所得抛物线解析式为；④点关于直线的对称点为，点、分别在轴和轴上，当时，四边形周长的最小值为． 其中正确的判断有（ ）个． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质、函数图象的平移、最短路径问题，利用轴对称转化线段，将四边形的周长转化为“两点之间线段最短”的模型求解． ①通过联立方程，利用判别式判断是否有解；②结合抛物线的开口方向和对称轴，分析点到对称轴的距离与函数值的关系；③掌握“左加右减、上加下减”的平移规律；④利用轴对称转化线段，结合“两点之间线段最短”求解． 【详解】解：①已知抛物线（为常数）交轴于点，与轴的一个交点在和之间，顶点为， 抛物线与直线有交点， ， ， ， ∴抛物线与直线有交点，故①判断正确； ②的对称轴为直线，， 抛物线上的点离对称轴越远，的值越小， ，，， ， ， 故②判断错误； ③由抛物线， 该抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位， 平移后的解析式为， 故③判断正确； ④时，抛物线的解析式为， ，，， 作点关于轴的对称点，作点关于轴的对称点，连接，与轴、轴分别交于、点，如图， 则，根据两点之间线段最短，知最短，而的长度为， ∴此时，四边形周长为且长度最小：， 故④结论不正确； 综上所述，正确的结论是①③． 故选：． 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题：（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．） 11. 计算的结果是_______ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据乘方的定义进行计算即可． 【详解】解：． 12. 如图，在中，，平分，若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，根据角平分线，求出的度数，根据三角形的内角和定理求出的度数，再根据三角形的内角和定理求出的度数即可． 【详解】解∶ ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 13. 为响应“双减”政策，某校开设社团活动，现有书法、篮球、美术3个社团，小明和小亮各随机选择一个社团，则两人选择同一个社团的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了列表法或画树状图法求概率，正确列表或画树状图，找到所有等可能的情况是解题关键． 由列表可得总共有9种等可能的结果，两人选择同一社团有3种情况即可求解． 【详解】解：设3个社团分别为A（书法）、B（篮球）、C（美术），小亮和小明各随机选择一个社团，列表如下： A B C A （A，A） （A，B） （A，C） B （B，A） （B，B） （B，C） C （C，A） （C，B） （C，C） 由表可知，所有可能的结果共有9种，且每种结果出现的可能性相等，其中两人选择同一个社团的结果有3种（都选书法、都选篮球、都选美术）， ∴概率为． 故答案为：． 14. 如图，经过点A的一束光线照射到平面镜（x轴）上的点B处，反射后的光线交y轴于点，若反射光线的函数关系式为，则入射光线的函数关系式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握光的反射定律及待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键．将坐标代入，求出b，从而求得反射光线的函数关系式，当时，求出对应x的值，从而求得点B的坐标；求出点C关于x轴的对称点的坐标，由光的反射定律可知，点在入射光线上，进而利用待定系数法求出入射光线的函数关系式即可． 【详解】解：将坐标代入，得，解得， 反射光线的函数关系式为， 当时，， 解得， ， 根据光的反射定律，点关于x轴的对称点在入射光线上， 设入射光线的函数关系式为（m、n为常数，且）， 将坐标和分别代入， 得， 解得， 入射光线的函数关系式为． 15. 如图，在矩形中，，点E是边上一点，连接，将沿直线折叠得到，连接交于点，连接，则线段的最小值为 ___________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得出点F在以为直径的半圆O上运动，确定当点在一条直线上时，的长度最小，即，然后利用勾股定理结合图形求解即可． 【详解】解：如图所示，取的中点O，连接， 由折叠的性质可得， ， ∴点F在以为直径的半圆O上运动， ∴当点在一条直线上时，的长度最小，此时， ∵在矩形中，， ， ∴， ． 三、解答题：（本大题共10个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先分别计算有理数乘方、绝对值、二次根式的平方、负整数指数幂、特殊角的三角函数值，再按有理数加减法则从左到右依次计算即可． 【详解】解：原式 ． 17. 解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【答案】，整数解为和 【解析】 【分析】分别解出两个不等式的解集，再根据解集的规律：大小小大中间找确定不等式组的解集，然后再确定所有整数解，即可解题． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ． ∴整数解为和． 18. 如图，在菱形中，于点E，于点F．求证：． 【答案】证明：四边形是菱形， ∴， ∵于点E，于点F， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】此题考查了菱形的性质，全等三角形的性质和判定，首先得到，然后得到，证明出，得到，进而证明即可． 【详解】略 19. 为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为5米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为4.4米，当太阳光线与地面的夹角为时． （1）求遮阳棚边缘点A到墙体的距离； （2）求阴影的长． （结果精确到米．参考数据：，，） 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义，求出相关线段的长度． （1）过作于，在中，根据余弦定义求出即可； （2）过作于，在中，根据余弦定义求出，根据矩形的判定与性质可得米，（米），而，知米，故，计算即可． 【小问1详解】 解：如图，过作于， 在中， （米）， 即遮阳棚边缘点A到墙体的距离米； 【小问2详解】 解：过作于， 在中， （米）， ， 四边形是矩形， 米，（米）， 在中， ， 米， （米）， 阴影的长约为米． 20. 如图，是的内接三角形，，，点D在的延长线上，交于点E，交于点F，，连接． （1）求证：是的切线； （2）求的长． 【答案】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， 又为的半径， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，切线的判定定理，三角形内角和定理证明即可； （2）连接，是直径，根据勾股定理，等腰三角形的性质，利用解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， 是直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 21. 某种饮品由浓缩咖啡、牛奶和糖浆三种成分调制而成，不同的配比会带来不同的口味．为了解不同配比对口味的影响，某咖啡店进行了“糖浆加入量对口味影响”的试验：保持浓缩咖啡30毫升和牛奶150毫升不变，分三个方案改变糖浆的加入量（方案A：10毫升；方案B：30毫升；方案C：50毫升），并从300位品尝嘉宾中随机抽取10位嘉宾对每种方案的甜度和整体口感评分（以1至10的整数评分，分值越高对应甜度越高或整体口感越好）． 数据处理 根据收集到的数据，绘制了下列统计图表． 数据应用 （1）在表1中，________，________． 请根据整体口感评分，说明三个方案中哪个方案最受欢迎． （2）结合图1，估计300位嘉宾在三个方案中最喜爱方案C的人数． （3）补全图2，并简单分析糖浆的加入量对饮品口味的影响． （4）调查显示，嘉宾对饮品的甜度和整体口感的关注度占比为，现按照这个占比计算三种方案的综合得分，得分大于分的方案即可推出，请结合数据分析，推断该店将会推出哪种方案． 【答案】（1），5，方案B （2）90人 （3）图见解析，随着糖浆的加入量的增多，饮品甜度不断增加，整体口感得分先增高后降低 （4）推断该店将会推出方案B 【解析】 【分析】（1）根据图1求方案A整体口感的平均数可得得到m的值；根据方案C整体口感的得分以及中位数的定义解答即可，再根据平均数和中位数即可确定最受欢迎方案； （2）由图一可知最喜欢方案C的嘉宾有3人，然后运用样本估计整体即可解答； （3）根据表1补全图2，再根据图2进行分析即可解答； （4）分别求得三种方案的加权平均数，然后比较判断即可． 【小问1详解】 解：方案A整体口感的平均数为：，即． 方案C整体口感得分从小到大排列为：2，2，3，3，5，5，5，8，8，9，则中位数为，即． 由表1可知：方案B的平均数和中位数都最大，方案B最受欢迎． 故答案为：，5． 【小问2详解】 解：由图1可知：最喜欢方案C的有3人，则300位嘉宾在三个方案中最喜爱方案C的人数为人． 答：估计300位嘉宾在三个方案中最喜爱方案C的人数为人． 【小问3详解】 解：补全图2如下： 由图2可知：随着糖浆的加入量的增多，饮品甜度不断增加，整体口感得分先增高后降低． 【小问4详解】 解：方案A综合得分为：； 方案B综合得分为：； 方案C综合得分为：； 由，则推断该店将会推出方案B． 【点睛】本题主要考查了折线统计图、条形统计图、平均数、中位数、用样本估计整体等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 22. 根据以下素材，探究完成任务． 背景 2026年3月14日是第七个国际数学日，为增强同学们学习数学的兴趣，张老师的班级将开展数学知识抢答赛活动，他提前在线上平台购买了玩偶与徽章等文创品作为奖品． 素材一 线上平台无促销活动时，若买10个玩偶和20个徽章共需390元；若买15个玩偶和15个徽章共需405元． 素材二 2026年线上平台促销活动信息如下： 方式一：购买48元会员卡后所有商品打8折； 方式二：非会员所有商品打9折． 解决问题： （1）线上平台在无促销活动时，求玩偶和徽章的销售单价各是多少元？ （2）张老师计划在促销期间购买玩偶和徽章共35个，其中购买玩偶m个（）， 若按方式一购买，共需 元； 若按方式二购买，共需 元．（均用含m的代数式表示） （3）请你帮张老师算一算，在任务二的条件下，购买玩偶的数量在什么范围内时，选择方式一更划算？ 【答案】（1）玩偶的销售单价是15元，徽章的销售单价是12元 （2）， （3）在任务二的条件下，购买玩偶的数量时，选择方式一更划算． 【解析】 【分析】（1）设线上平台在无促销活动时，玩偶的销售单价是x元，徽章的销售单价是y元，根据题意列方程组计算即可； （2）由题意可知购买玩偶m个，则购买徽章个，再根据购买方式列代数式即可； （3）根据题意列不等式计算即可． 【小问1详解】 解：设线上平台在无促销活动时，玩偶的销售单价是x元，徽章的销售单价是y元， 根据题意得：， 解得：， 答：线上平台在无促销活动时，玩偶的销售单价是15元，徽章的销售单价是12元； 【小问2详解】 解：根据题意得：购买玩偶m个，则购买徽章个， 方式一购买，共需（元）， 方式二购买，共需（元）； 【小问3详解】 解：根据题意得：， 解得：， 又∵， ∴． 答：在任务二的条件下，购买玩偶的数量时，选择方式一更划算． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象的一个交点为，与x轴的交点为． （1）求k的值； （2）直线与反比例函数的图象在第三象限交于点C，点D在反比例函数的图象上，若，求直线的函数表达式； （3）P为x轴上一点，直线交反比例函数的图象于点E（异于A），连接，若的面积为2，求点E的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合思想解答是解题的关键． （1）把代入，可求出一次函数的解析式，从而得到点A的坐标，即可求解； （2）连接，求出点C的坐标为，可得，设点D的坐标为，可得到，再由勾股定理求出m的值，即可求解； （3）设点E的坐标为，求出直线的解析式，可用t表示点E的坐标，再由三角形的面积公式解答，即可求解． 【小问1详解】 解：∵直线与x轴的交点为， ∴， 解得：， ∴一次函数的解析式为， 把代入得： ，解得：， ∴点， 把点代入得：； 【小问2详解】 解：如图，连接， 由（1）得：反比例函数的解析式为， ∵直线与反比例函数的图象在第三象限交于点C，点， ∴点C的坐标为， ∴， 设点D的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴点D的坐标为， 设直线的函数表达式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的函数表达式为； 【小问3详解】 解：设点E的坐标为， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴点P的坐标为， ∴， ∴， ∵的面积为2， ∴， 解得：或， ∴点E的坐标为或． 24. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，，D是直线上方抛物线上一动点，作交于点E，垂足为点F，连接． （1）求抛物线的表达式； （2）设点D的横坐标为， ①用含有的代数式表示线段的长度； ②是否存在点D，使是等腰三角形?若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由； （3）连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． 【答案】（1） （2）①；②存在，或或 （3） 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法即可求解； （2）①求出直线：，则，，即可用的代数式表示；②用两点间距离公式分别表示三边，分类讨论，建立方程求解即可； （3）在轴负半轴取点，连接并延长交轴于点，连接，证明，则，确定点在线段上运动（不包括端点），故当时，最小，可证明，求得，而当时，，即可由面积法求最小值． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，， ∴， ∴ 解得：， ∴抛物线表达式为； 【小问2详解】 解：①对于抛物线表达式， 当， ∴， 设直线表达式为：， 则， 解得：， ∴直线：， ∵， ∴，， ∴， ∴； ②存在， ，而 当时，， 解得：或（舍）， ， ∴； 当时， 整理得：， 解得：或（舍）， ， ∴； 当时， 整理得：， 解得：或（舍）或（舍）， ， ∴， 综上：是等腰三角形时，或或； 【小问3详解】 解：在轴负半轴取点，连接并延长交轴于点，连接， 由旋转得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点在线段上运动（不包括端点）， ∴当时，最小， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴当时， ∴， ∴， ∴线段长度的最小值． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及得到系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，等腰三角形的存在性问题，两点间距离公式，全等三角形的判定与性质，垂线段最短等知识点，难度较大，综合性强． 25. 【基础巩固】 （1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB． 【尝试应用】 （2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长． 【拓展提高】 （3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC＝2EF，∠EDF＝∠BAD，AE＝2，DF＝5，求菱形ABCD的边长． 【答案】（1）见解析；（2）AD＝；（3）5﹣2 【解析】 【分析】（1）根据题意证明△ADC∽△ACB，即可得到结论； （2）根据现有条件推出△BFE∽△BCF，再根据相似三角形的性质推断，即可得到答案； （3）如图，分别延长EF，DC相交于点G，先证明四边形AEGC为平行四边形，再证△EDF∽△EGD，可得，根据EG＝AC＝2EF，可得DE＝EF，再根据，可推出DG＝DF=5，即可求出答案． 【详解】解：（1）证明：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A， ∴△ADC∽△ACB， ∴， ∴AC2＝AD•AB； （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，∠A＝∠C， 又∵∠BFE＝∠A， ∴∠BFE＝∠C， 又∵∠FBE＝∠CBF， ∴△BFE∽△BCF， ∴， ∴BF2＝BE•BC， ∴BC＝＝=， ∴AD＝； （3）如图，分别延长EF，DC相交于点G， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB∥DC，∠BAC＝∠BAD， ∵AC∥EF， ∴四边形AEGC为平行四边形， ∴AC＝EG，CG＝AE，∠EAC＝∠G， ∵∠EDF＝∠BAD， ∴∠EDF＝∠BAC， ∴∠EDF＝∠G， 又∵∠DEF＝∠GED， ∴△EDF∽△EGD， ∴， ∴DE2＝EF•EG， 又∵EG＝AC＝2EF， ∴DE2＝2EF2， ∴DE＝EF， 又∵， ∴DG＝DF=5， ∴DC＝DG﹣CG＝5﹣2． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，菱形的性质，平行四边形的性质和证明，证明三角形相似是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $