精品解析：2026年江西赣州市南康区摸底考试九年级数学试题卷

2026年赣州市南康区摸底考试 九年级数学试题卷 说明：1．本卷共有三个大题，23个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟． 2．本卷分为试题卷和答题卷，请在答题卷上作答． 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 据统计，2025年一些国家的建筑服务出口同比增长率如下表： 中国 美国 德国 英国 日本 意大利 这一年，上述六国中同比增长率最低的是（ ） A. 美国 B. 德国 C. 英国 D. 意大利 2. 如图所示，由四个相同的小正方体组成的几何图形的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 将一副直角三角板如图放置，使两直角重合，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 2025年国庆中秋假期，宁德文旅热度再创历史新高．全市累计接待游客约为540万人次，实现旅游收入约为41亿元．全市各项旅游收入整理后绘制成如图所示的扇形统计图，根据图中信息，下列说法正确的是（ ） A. “酒店住宿”收入约为0.656亿元 B. “A级景区”的旅游人数约为64.8万人 C. “其它消费”收入是“跟团游相关”收入的3倍 D. “自驾游相关”收入对应的圆心角是12° 6. 如图，在正方形网格中，8条等长线段形成一个轴对称图形，那么擦去下列选项中的两条线段后，剩下的图形将不再是轴对称图形的是（ ） A. ①和② B. ②和③ C. ②和④ D. ③和④ 二、填空题（每小题3分，共18分） 7. 计算：___． 8. 因式分解：______． 9. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，，则的度数为______°． 10. 我国的陆地面积约为9600000km²，用科学记数法表示这个数是_______． 11. 一种笔记本售价是2.3元/本，如果一次买100本以上（不含100本），售价是2.2元/本，如果需要100本笔记本，最少需要_______元． 12. 在矩形中，，，动点、分别在边和上，且，连接，当为等腰三角形时，的长为_______． 三、解答题（共84分） 13. 计算及证明 （1）计算：； （2）如图，和相交于点，，求证：． 14. 先化简，再选择一个合适的数代入上式求值． 15. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，中，，两点为格点，为格线上任意点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． （1）在图1中，作出的重心； （2）在图2中，取的中点，连接，作． 16. 小红和小明在做“石头、剪刀、布”的游戏，游戏规则是：两人同时出一次手势为一次游戏，“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”，手势相同则为平局． （1）请列表或画树状图说明这个游戏是否公平； （2）直接写出两次游戏都是小红获胜的概率． 17. 小张骑自行车去外的外婆家，中途因道路施工推行了一段路，后到达外婆家．已知他骑车的平均速度是，推行的平均速度是，那么他骑车与推行各用多少时间？ 18. 某校甲、乙两班联合举办了“经典阅读”竞赛，从甲班和乙班各随机抽取10名学生．统计这部分学生的竞赛成绩，并对数据（成绩）进行了收集、整理，分析．下面给出了部分信息． 【收集数据】 甲班10名学生竞赛成绩：84，75，82，89，90，79，83，90，86，92 乙班10名学生竞赛成绩：90，79，80，81，86，84，90，92，78，90 【整理数据】 班级 甲班 2 5 3 乙班 2 4 4 【分析数据】 班级 平均数 中位数 众数 方差 甲班 85 85 26.6 乙班 85 90 25.2 【解决问题】根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：___________，___________； （2）请你根据【分析数据】中的信息，判断哪个班级成绩比较好，简要说明理由； （3）若甲、乙两个班级所有学生全部参赛，甲班共有学生40人，乙班共有学生45人，按竞赛规定，90分及90分以上的学生可以获奖，估计这两个班可以获奖的总人数是多少？ 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，与轴，轴分别交于点，． （1）求反比例函数和一次函数的表达式，并直接写出，两点的坐标； （2）在第三象限的反比例函数图象上有一点，使得，求点的坐标． 20. 如图，已知的直径，点在上，，是的切线． （1）当时，求的大小； （2）当时，连接，求的长． 21. 小明居住在安居工程小区，小区的左侧是乡村振兴大厦，右侧有一座人行桥，经过测量得到以下数据：如图，人行桥长120米，乡村振兴大厦点在点的正西方，点在点南偏西方向，点在点北偏西方向．（结果精确到整数，参考数据：，，，，，） （1）求桥东头与振兴大厦的水平距离的长； （2）已知测量点，，在同一水平面上，且点距离地面2米，在处测得振兴大厦顶端的仰角为；在处测得振兴大厦顶端的仰角为，求振兴大厦的高度． 22. 如图1，在中，点是的中点，将沿翻折至，点的对应点落在内，设． （1）若，平分，求的度数； （2）延长交边于，交射线于，延长交于，请补全图形并完成下列问题： ①求证：； ②在（1）的条件下，若，，直接写出的值． 23. 已知抛物线的顶点落在直线上，且对称轴为直线． （1）直接写出抛物线的解析式为___________； （2）若抛物线的顶点也落在直线上，其对称轴为直线，点在上，点在上，设， ①当时，取点关于直线对称的点，判断线段的中点是否落在直线上？并说明理由； ②当，时，求的取值范围； ③当的最小值大于或等于6时，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年赣州市南康区摸底考试 九年级数学试题卷 说明：1．本卷共有三个大题，23个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟． 2．本卷分为试题卷和答题卷，请在答题卷上作答． 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 据统计，2025年一些国家的建筑服务出口同比增长率如下表： 中国 美国 德国 英国 日本 意大利 这一年，上述六国中同比增长率最低的是（ ） A. 美国 B. 德国 C. 英国 D. 意大利 【答案】B 【解析】 【分析】找出最小值对应的国家即可． 【详解】， ∴六国同比增长率最低的是德国． 故选：B． 2. 如图所示，由四个相同的小正方体组成的几何图形的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，找到从上面看所得到的图形即可． 【详解】解：由四个相同的小正方体组成的几何图形的俯视图是： ． 故选：C． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别根据积的乘方，零指数幂，负整数指数幂，单项式除单项式法则计算各选项，判断正误． 【详解】解：A、，原计算正确，符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算错误，不符合题意． 4. 将一副直角三角板如图放置，使两直角重合，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质．根据三角形外角的性质解答即可． 【详解】解：如图， 根据题意得：， ∴， ∴． 故选：D 5. 2025年国庆中秋假期，宁德文旅热度再创历史新高．全市累计接待游客约为540万人次，实现旅游收入约为41亿元．全市各项旅游收入整理后绘制成如图所示的扇形统计图，根据图中信息，下列说法正确的是（ ） A. “酒店住宿”收入约为0.656亿元 B. “A级景区”的旅游人数约为64.8万人 C. “其它消费”收入是“跟团游相关”收入的3倍 D. “自驾游相关”收入对应的圆心角是12° 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了扇形统计图，根据从扇形统计图获得的信息进行解答即可． 【详解】解：A. “酒店住宿”收入约为亿元，故选项错误，不符合题意； B. 无法求出“A级景区”的旅游人数，故选项错误，不符合题意； C. ∵，∴“其它消费”收入是“跟团游相关”收入的3倍，故选项正确，符合题意； D. “自驾游相关”收入对应的圆心角是，故选项错误，不符合题意； 故选：C 6. 如图，在正方形网格中，8条等长线段形成一个轴对称图形，那么擦去下列选项中的两条线段后，剩下的图形将不再是轴对称图形的是（ ） A. ①和② B. ②和③ C. ②和④ D. ③和④ 【答案】B 【解析】 【详解】解：擦去①和②，①和③，②和④，剩下的图形都是轴对称图形； 擦去②和③，剩下的图形不是轴对称图形． 二、填空题（每小题3分，共18分） 7. 计算：___． 【答案】3 【解析】 【分析】求数a的立方根，也就是求一个数x，使得x3=a，则x就是a的一个立方根，根据立方根的定义计算可得． 【详解】解： ∵33=27， ∴． 故答案为3． 【点睛】此题考查了求一个数的立方根，熟记立方根定义是解题的关键． 8. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 9. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，，则的度数为______°． 【答案】167 【解析】 【分析】由，利用两直线平行同旁内角互补求出，然后由，利用两直线平行同位角相等可求出，由可得，由，问题得解． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 10. 我国的陆地面积约为9600000km²，用科学记数法表示这个数是_______． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，当原数绝对值大于时，等于原数的整数位数减． 【详解】解：我国陆地面积约为， ． 11. 一种笔记本售价是2.3元/本，如果一次买100本以上（不含100本），售价是2.2元/本，如果需要100本笔记本，最少需要_______元． 【答案】222.2 【解析】 【分析】本题需要分类讨论两种购买方案，分别计算总价后比较大小，得到最少花费． 【详解】分两种情况计算： 方案1：直接购买本，不享受优惠，总价为：元； 方案2：购买本，满足优惠条件，可享受优惠单价，总价为：元； 比较大小得， 因此最少需要元． 12. 在矩形中，，，动点、分别在边和上，且，连接，当为等腰三角形时，的长为_______． 【答案】4或 【解析】 【分析】根据等腰三角形的定义，分三种情况进行讨论，画出图形，利用矩形的性质，等腰三角形的性质以及勾股定理进行列方程求解． 【详解】解：①如图所示，当时，过点作于点，连接， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， 假设，则， ∴， 由勾股定理得， 即， 整理得， ∵， ∴该一元二次方程无解， ∴该种情况不存在； ②如图所示，当时，连接， ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， 假设，则， 由勾股定理得， 即， 解得， ∴； ③如图所示，当时，过点作于点，连接， ∴，， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， 假设，则，， 由勾股定理得， ∴， 即， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴； 综上，的长为4或． 三、解答题（共84分） 13. 计算及证明 （1）计算：； （2）如图，和相交于点，，求证：． 【答案】（1） （2）证明：， ， ∴， ． 【解析】 【分析】（1）先计算绝对值和乘方，再计算乘法，最后计算加减即可得出结果； （2）根据相似三角形的判定与性质证明即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 略 14. 先化简，再选择一个合适的数代入上式求值． 【答案】，当时，原式 【解析】 【分析】先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，最后根据分式有意义的条件确定x的值，然后代入求解． 【详解】解：原式 ， ∵，， ∴， ∴当时，原式． 15. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，中，，两点为格点，为格线上任意点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． （1）在图1中，作出的重心； （2）在图2中，取的中点，连接，作． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）取格点，连接交于点，易知四边形为矩形，根据“矩形的对角线相互平分”可得；取格点，使得，过点的格线交于，易得，则有，即；连接，则点即为的重心； （2）取格点，使得，过点的格线交于，易得，则，所以，即点为的中点；连接并延长，交格线于点，在中，易知，且，则，即，结合，可得． 【小问1详解】 解：如图，点即为所求； 【小问2详解】 解：如图，即为所求； 16. 小红和小明在做“石头、剪刀、布”的游戏，游戏规则是：两人同时出一次手势为一次游戏，“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”，手势相同则为平局． （1）请列表或画树状图说明这个游戏是否公平； （2）直接写出两次游戏都是小红获胜的概率． 【答案】（1）公平 （2） 【解析】 【分析】（1）列表根据概率公式分别求小红和小明胜的概率，若两人胜的概率相同，则游戏公平； （2）列表可得出所有等可能的结果数以及两次游戏中都是小红获胜的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：用列表法得出所有可能的结果如下： 小明 小红 石头 剪刀 布 石头 （石头，石头） （石头，剪刀） （石头，布） 剪刀 （剪刀，石头） （剪刀，剪刀） （剪刀，布） 布 （布，石头） （布，剪刀） （布，布） 根据表格可知共有9种等可能的结果， （小红获胜），（小明获胜）． （小红获胜）（小明获胜）， 这个游戏是公平的； 【小问2详解】 解：画出树状图如下： 两次游戏共有9种等可能的结果，其中两次游戏都是小红获胜的结果只有1种， （小红两次游戏获胜）． 17. 小张骑自行车去外的外婆家，中途因道路施工推行了一段路，后到达外婆家．已知他骑车的平均速度是，推行的平均速度是，那么他骑车与推行各用多少时间？ 【答案】他骑车用了小时，推行用了小时 【解析】 【分析】设他骑车用了小时，推行用了小时，根据题意列二元一次方程求解即可． 【详解】解：设他骑车用了小时，推行用了小时， 依题意得：， 解得：， 答：他骑车用了小时，推行用了小时． 18. 某校甲、乙两班联合举办了“经典阅读”竞赛，从甲班和乙班各随机抽取10名学生．统计这部分学生的竞赛成绩，并对数据（成绩）进行了收集、整理，分析．下面给出了部分信息． 【收集数据】 甲班10名学生竞赛成绩：84，75，82，89，90，79，83，90，86，92 乙班10名学生竞赛成绩：90，79，80，81，86，84，90，92，78，90 【整理数据】 班级 甲班 2 5 3 乙班 2 4 4 【分析数据】 班级 平均数 中位数 众数 方差 甲班 85 85 26.6 乙班 85 90 25.2 【解决问题】根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：___________，___________； （2）请你根据【分析数据】中的信息，判断哪个班级成绩比较好，简要说明理由； （3）若甲、乙两个班级所有学生全部参赛，甲班共有学生40人，乙班共有学生45人，按竞赛规定，90分及90分以上的学生可以获奖，估计这两个班可以获奖的总人数是多少？ 【答案】（1）90，85 （2）乙班成绩比较好，理由见解析 （3）30人 【解析】 【分析】本题考查频数分布表、中位数、众数、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据中位数和众数的定义进行求解即可； （2）根据方差越小成绩越稳定，即可得出答案； （3）样本估计总体即可得到答案． 【小问1详解】 解：甲班10名学生竞赛成绩出现次数最多的是90分， 则， 乙班10名学生竞赛成绩从小到大重新排列为：78，79，80，81，84，86，90，90，90，92， 则， 故答案为：90，85； 【小问2详解】 解：乙班成绩比较好． 平均数、中位数、众数相同，乙班成绩的方差小于甲班成绩的方差， 乙班成绩更稳定， 乙班成绩比较好； 【小问3详解】 解：（人） 答：估计这两个班可以获奖的总人数是30人． 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，与轴，轴分别交于点，． （1）求反比例函数和一次函数的表达式，并直接写出，两点的坐标； （2）在第三象限的反比例函数图象上有一点，使得，求点的坐标． 【答案】（1），，， （2） 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出两个函数解析式，再根据一次函数解析式先求出点C、D坐标即可； （2）根据与的面积关系，可求出点P的纵坐标，据此可解决问题． 【小问1详解】 解：将代入得，， ， 反比例函数的解析式为， 将代入得，， 点的坐标为， 将点和点的坐标代入得， ，解得， 一次函数的解析式为； ，； 【小问2详解】 解：的坐标为， ， ， 点的坐标为， ， 解得， 点在第三象限， ， 将代入得，， 点坐标为． 20. 如图，已知的直径，点在上，，是的切线． （1）当时，求的大小； （2）当时，连接，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）连接，证明是等边三角形，求出，再根据，是的切线，得到，由即可求解； （2）易得，求出，由切线长定理得到，即点在的垂直平分线上，结合，即点在的垂直平分线上，易证，推出，得到，即可求解． 【小问1详解】 解：连接， 直径，， ， 是等边三角形， ， ， ，是的切线， ， ； 【小问2详解】 解：如图， 是的直径， ， ，， ， ，是的切线， ，即点在的垂直平分线上， ，即点在的垂直平分线上， ， ， ， ， 解得：． 21. 小明居住在安居工程小区，小区的左侧是乡村振兴大厦，右侧有一座人行桥，经过测量得到以下数据：如图，人行桥长120米，乡村振兴大厦点在点的正西方，点在点南偏西方向，点在点北偏西方向．（结果精确到整数，参考数据：，，，，，） （1）求桥东头与振兴大厦的水平距离的长； （2）已知测量点，，在同一水平面上，且点距离地面2米，在处测得振兴大厦顶端的仰角为；在处测得振兴大厦顶端的仰角为，求振兴大厦的高度． 【答案】（1）桥东头与振兴大厦的水平距离的长是279米； （2）振兴大厦的高度是47米． 【解析】 【分析】（1）作，解直角三角形求出米，米，米，即可求解； （2）设振兴大厦顶端为点，依题意知米，解直角三角形求出米，即可求解． 【小问1详解】 解：作， ，米， 在中，，， 米，米， ， 在中，， 米， （米）， ∴桥东头与振兴大厦的水平距离的长是279米； 【小问2详解】 解：设振兴大厦顶端为点， 依题意知米， ， 在中，， 米， 点距离地面2米，（米）， 振兴大厦的高度是47米． 22. 如图1，在中，点是的中点，将沿翻折至，点的对应点落在内，设． （1）若，平分，求的度数； （2）延长交边于，交射线于，延长交于，请补全图形并完成下列问题： ①求证：； ②在（1）的条件下，若，，直接写出的值． 【答案】（1） （2）①见解析；② 【解析】 【分析】（1）由翻折得到，由得到，再根据等腰三角形和角平分线得到，，最后代入列方程求解即可； （2）①由折叠可得，，由可得，则，再由中点得到，最后结合公共角，证明； ②在（1）的条件下，，通过推导角度得到，，得到，作的角平分线交于，和都是顶角的等腰三角形，则，，，得到，代入解方程即可得到． 【小问1详解】 解：∵将沿翻折至， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 解得 【小问2详解】 解：①补全图形如下： 由折叠可得，， 由可得， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ②在（1）的条件下，， ∴，， ∴由折叠可得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 作的角平分线交于， ∴， ∴，， ∴，，， ∴， ∴， 整理得， 解得（负值舍去） ∴． 23. 已知抛物线的顶点落在直线上，且对称轴为直线． （1）直接写出抛物线的解析式为___________； （2）若抛物线的顶点也落在直线上，其对称轴为直线，点在上，点在上，设， ①当时，取点关于直线对称的点，判断线段的中点是否落在直线上？并说明理由； ②当，时，求的取值范围； ③当的最小值大于或等于6时，求的取值范围． 【答案】（1） （2）①是，见解析；②；③或 【解析】 【分析】（1）先求得顶点坐标为，利用待定系数法即可求解； （2）①求得，根据中点坐标公式计算即可判断； ②求得，根据二次函数的性质求解即可； ③求得，即最小值为，根据题意得到，分两种情况讨论即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线的顶点落在直线上，且对称轴为直线， ∴顶点坐标为， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：抛物线的对称轴为直线，则，顶点坐标为，代入得，即， ∴抛物线的解析式为； ①线段的中点落在直线上，理由如下： 当时，则顶点坐标为， ∴， 依题意知：点，点， 点与点关于直线对称， 点 ， 即中点为， 线段的中点落在直线上； ② ， ∴的最小值为0， 当时，设， 这是一个开口向上的二次函数，且对称轴为直线， ∴当，取得最小值，最小值为， 当时，， 当时，， ∵， ∴最大值为， ∴的范围是； ③∵，， ∴， 其对称轴为，开口向上， 当时，的最小值为， 由题意得， 分两种情况讨论：或， 当， 整理得，解得或； 当时，整理得， ，此情况无解； ∴当时， 的取值范围为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $