精品解析：江苏南京市第一中学2025-2026学年第二学期4月阶段性检测试卷高一数学

南京一中2025－2026学年第二学期4月阶段性检测试卷 高一数学 2026.04 命题人：雷蕾 校对人：赵慧 审核人：蒋文化 注意事项： 1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分． 3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知平面向量，，则存在，使得“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】当时，可得； 当，时，满足，但不存在，使得； 所以存在，使得”是“”的充分不必要条件． 2. 已知，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意得， 所以. 3. 已知平面向量的夹角为，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为的夹角为，且， 所以在上的投影向量为． 4. 设的内角的对边分别为，若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由余弦定理求得，再由正弦定理及三角形面积公式即可求解. 【详解】因为， 所以由余弦定理可得，解得， 因为为三角形内角，所以． 又， 由正弦定理可得， 所以的面积． 5. 在中，，则正数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】在中，令角所对边分别为， 由及正弦定理，得， 由三角形任意两边的和大于第三边，得，解得． 6. 最大视角问题是1471年德国数学家米勒提出的几何极值问题，故最大视角问题一般称为“米勒问题”．如图，树顶A离地面18米，树上另一点B离地面11米，若在离地面2米的C处看此树，则tan∠ACB的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将用与，用两角差的正切建立关系式，利用均值不等式求解. 【详解】如图，过点作，交于点，则．    设，在中，． 在中，， 所以， 当且仅当，即时取等号． 7. 在斜三角形中，是的中点，在边上，，与交于点，若，且，则的值为（ ） A. 12 B. 6 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】取中点，由中位线及比例关系可得，再结合为中线，代入向量数量积等式并利用，即可解得. 【详解】如图，取中点，连接，所以， 因为，所以,所以为中点， 所以， 所以． 因为，， 所以， 又，所以． 在斜三角形中，，所以，则．所以A正确． 8. 已知，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角恒等变换表示，然后利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以， 所以， 所以，即， ， 要使得取得最大值，不妨设， 则， 当且仅当，即时取等号． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列代数式的值为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D， ，故D错误． 10. 在中，角A，B，C所对的边为a，b，c，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若满足条件的有2个，则的取值范围为 C. 面积的最大值为 D. 的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，利用余弦定理即可求解；对于B，利用正弦定理结合正弦函数图象与性质即可求解；对于C，由余弦定理结合面积公式可得,利用三角形面积公式求解即可；对于D，由正弦定理化简可得，，则，利用和差化积公式化简结合三角函数的图象与性质即可求解. 【详解】对于A，由余弦定理得，即，解得，故A错误； 对于B，由正弦定理得，因为，所以，结合正弦函数图象， 要使角有两个值，则，所以，故B正确； 对于C，因为，，所以，当且仅当时等号成立， 所以面积，故C正确； 对于D，由正弦定理得，则，， 所以， 其中，，因为，所以当时，的最大值为，故D正确． 11. 在中，点在上，且，过点的直线分别交直线于不同的两点，若，，，，则（ ） A. B. 的最小值为9 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，由得，， 又共线，则，所以，A正确； 对于B，由得，， 当且仅当时取等号，即的最小值为，B错误； 对于C，， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为，C正确； 对于D，由得，， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为，D正确． 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知的面积为S，且，则角C的大小为__________． 【答案】 【解析】 【详解】由得， 即，又因为，所以． 13. 已知是夹角为的单位向量，非零向量，则的最大值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】由向量求模公式得到的表达式，代入构造二次函数求最值. 【详解】因为是夹角为的单位向量，非零向量， ， 若，则， 若,则===， 所以当时，的最大值为1． 14. 在平面直角坐标系中，已知锐角的终边与单位圆交于，角的终边与单位圆交于，若，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【详解】由三角函数的定义可知，， 则 ， 所以，解得或（舍去）， 则． 四、解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知两个单位向量与的夹角为，设向量． （1）若，求的值； （2）若与的夹角为，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）向量平行，利用对应基底系数成比例求解参数. （2）利用向量夹角公式求解参数. 【小问1详解】 因为，则基底为与， 若，则由对应基底系数成比例可得，，解得． 【小问2详解】 因为单位向量与的夹角为，则. 而， ， 则， 所以， 即，且， 化简得，且，解得． 16. 在中，设角所对的边分别为，已知，且的外接圆半径． （1）求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1）． （2）或 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边转化为的表达式，代入已知等式，通过代数化简直接求出的值； （2）先由正弦定理求出，分和两种情况，结合余弦定理与的条件列方程求解，再由正弦定理得到的所有可能值． 【小问1详解】 由正弦定理得，所以，． 又，所以， 所以． 【小问2详解】 由正弦定理得， 又，所以， 因为，所以或． 由（1）知，． ①当时，， 所以． 因为，所以，所以， 所以． ②当时，， 因为，所以，所以，则， 所以． 综上所述，或 17. 已知向量，． （1）求函数的对称中心； （2）设，讨论函数在上的零点的个数． 【答案】（1） （2）当或时，在上零点的个数为0；当或时，在上零点的个数为1；当时，在上零点的个数为2． 【解析】 【分析】（1）利用数量积的坐标表示求出，再利用三角恒等变换化简并求出对称中心. （2）由（1）求出，利用函数零点的意义变形，构造函数并结合正弦函数的性质求出函数图象与直线交点个数即可. 【小问1详解】 依题意， ， 令，解得， 所以函数的对称中心为． 【小问2详解】 由（1）知，， 由得，，令， 则在上零点的个数，即方程在上的解的个数， 由，得， 当时，函数单调递增，此时， 当时，函数单调递减，此时． ①当或，即m≤0或时，在上无解； ②当或，即或时，在上只有一解； ③当，即时，在上有两解． 所以当或时，在上零点的个数为0； 当或时，在上零点的个数为1； 当时，在上零点的个数为2． 18. 如图，在梯形中，，，E为上一点，且． （1）若，求的值； （2）已知． ①求的长； ②若，设P是线段上的一个动点（含端点），求的最大值． 【答案】（1） （2）①；②． 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算，结合图形的几何性质，可得答案； （2）①利用同一组基底表示向量，根据数量积的运算律，可得答案； ②设，利用基底计算，根据二次函数性质求最值. 【小问1详解】 因为，，所以， 所以 ， 又，与不共线，所以，， 则． 【小问2详解】 ①由（1）知，， ， 所以 ． 又，所以，解得． ②设， 则， ． 又因为∠BAD＝，，， 所以 ． 因为，函数的对称轴为， 所以时，的最大值为． 19. 已知函数． （1）当时，若，求的值； （2）当时，若，求的值； （3）当时，若，求的取值范围． 【答案】（1）或或 （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）由余弦两角和差公式结合辅助角公式即可求解； （2）由辅助角公式得到，确定最大值，结合列出等式求解即可； （3）由题意通过分离参数得到，再结合换元法构造函数，求得最值即可求解. 【小问1详解】 当时， ． 因为，所以， 所以或， 即或， 即或． 又，所以或或， 所以或或． 【小问2详解】 当时， ，其中， ． 因为，所以． 又， 所以． 由， 化简得，解得． 【小问3详解】 当时，． 由，得，即， 即，即． 因为，所以，所以， 所以在上有解． 又 ， 令，则． 因为在上单调递减， 所以当时，，所以． 即的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南京一中2025－2026学年第二学期4月阶段性检测试卷 高一数学 2026.04 命题人：雷蕾 校对人：赵慧 审核人：蒋文化 注意事项： 1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分． 3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知平面向量，，则存在，使得“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 已知平面向量的夹角为，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 设的内角的对边分别为，若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，，则正数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 最大视角问题是1471年德国数学家米勒提出的几何极值问题，故最大视角问题一般称为“米勒问题”．如图，树顶A离地面18米，树上另一点B离地面11米，若在离地面2米的C处看此树，则tan∠ACB的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 在斜三角形中，是的中点，在边上，，与交于点，若，且，则的值为（ ） A. 12 B. 6 C. D. 8. 已知，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列代数式的值为的是（ ） A. B. C. D. 10. 在中，角A，B，C所对的边为a，b，c，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若满足条件的有2个，则的取值范围为 C. 面积的最大值为 D. 的最大值为 11. 在中，点在上，且，过点的直线分别交直线于不同的两点，若，，，，则（ ） A. B. 的最小值为9 C. 的最小值为 D. 的最小值为 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知的面积为S，且，则角C的大小为__________． 13. 已知是夹角为的单位向量，非零向量，则的最大值为______． 14. 在平面直角坐标系中，已知锐角的终边与单位圆交于，角的终边与单位圆交于，若，则的值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知两个单位向量与的夹角为，设向量． （1）若，求的值； （2）若与的夹角为，求的值． 16. 在中，设角所对的边分别为，已知，且的外接圆半径． （1）求的值； （2）若，求的值． 17. 已知向量，． （1）求函数的对称中心； （2）设，讨论函数在上的零点的个数． 18. 如图，在梯形中，，，E为上一点，且． （1）若，求的值； （2）已知． ①求的长； ②若，设P是线段上的一个动点（含端点），求的最大值． 19. 已知函数． （1）当时，若，求的值； （2）当时，若，求的值； （3）当时，若，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $