精品解析：湖南汨罗市第一中学2025-2026学年高三下学期4月第二次模拟数学试卷

2025-2026学年高三下学期4月第二次模拟 数学试卷 全卷满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，全集，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知正数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4. 数列满足，则满足的的最小值为（ ） A. 16 B. 15 C. 14 D. 13 5. 幂函数是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，则m的值为（ ） A. ﹣6 B. 1 C. 6 D. 1或﹣6 6. 已知函数有最小值，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 双曲线的左右焦点分别为、，过的直线与双曲线的右支交于、两点，且、、成等差数列，则等于（ ） A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 8. 已知函数（）的一个零点为，一条对称轴为，，则的最小值是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知圆，圆．则下列选项正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 当圆和圆有三条公切线时，若P，Q分别是圆上的动点，则 C. 若圆和圆共有2条公切线，则 D. 当时，圆与圆相交弦的弦长为 10. 已知函数，，.则下列说法正确的是（ ） A. 函数与函数互为反函数 B. 函数在区间内有零点 C. 若，，均为正实数，且满足，则 D. 若函数的图象与函数的图象和函数的图象在第一象限内交点的横坐标分别为，，则 11. 对于定义在区间I上的函数，若存在正数，使得不等式对任意不同的实数恒成立，则称函数在区间I上是“-理想函数”，则下列说法正确的有（ ） A. 函数是“2-理想函数” B. 若函数在上是“-理想函数”，则的最小值为 C. 设，如果是“2025-理想函数”，且的零点也是的零点，，则方程在区间上有解 D. 若函数在上是“1-理想函数”，且，则存在满足条件的函数，存在，使得 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，若曲线在点处的切线过坐标原点，则实数的值为______． 13. 计算：__________. 14. 若函数在处取得极大值，则实数的取值范围为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 在中，角的对边分别为，且. （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长. 16. 云南省城市足球联赛，简称“滇超联赛”，覆盖全省16个州（市），于2025年11月29日开赛．赛事的第一阶段又称为积分赛阶段，16支球队进行15轮比赛，即每支球队与其他15支球队各对阵一场，第一阶段积分前八的球队方能进入第二阶段．其积分规则：常规时间90分钟内获胜的球队积3分，负者积0分；若常规时间战平，点球大战胜者积2分，负者积0分．假设某个球队甲，对其他所有球队常规时间取胜的概率均为，战平的概率均为，若进入点球大战则取胜的概率均为，且每场比赛相互独立． （1）求甲球队在接下来的三场比赛中恰有两场获胜的概率； （2）设X为甲球队在接下来的两场比赛中的积分，求X的分布列与期望． 17. 如图所示，四边形ABCD与BDEF均为菱形，，且． （1）求证：平面平面； （2）求平面ABF与平面ACF的夹角的余弦值； （3）试问直线BC上是否存在点M，使直线平面FDM，若存在，求出点M的位置；若不存在，请说明理由. 18. 已知函数． （1）试讨论函数的单调性； （2）当时，不等式恒成立，求整数的最大值． 19. 在平面直角坐标系中，点，动点P满足，记点P的轨迹为C． （1）求C的方程； （2）过点Q且斜率不为0的直线l与C相交于两点E，F（E在F的左侧）．设直线AE，AF的斜率分别为． ①求证：为定值； ②设直线AF，BE相交于点M，求证：为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高三下学期4月第二次模拟 数学试卷 全卷满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先化简的形式，再求出其共轭复数，最后得到它的虚部. 【详解】， 所以，其虚部为． 2. 已知集合，全集，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为集合，所以，即， 或． 则. 3. 已知正数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件对目标表达式进行化简，再通过构造乘积形式利用基本不等式求最小值． 【详解】，， ， 当且仅当，即，时取等号， 的最小值为． 故选：A． 4. 数列满足，则满足的的最小值为（ ） A. 16 B. 15 C. 14 D. 13 【答案】A 【解析】 【分析】分类讨论当时得到，当时得到，从而利用等比数列的前项和公式求得，进而得到，解之即可. 【详解】因为当时，，， 所以， 当时，， 所以当时，是以，的等比数列，故， 所以， 故，即， 因为，，所以，即， 所以的最小值为. 故选：A. 5. 幂函数是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，则m的值为（ ） A. ﹣6 B. 1 C. 6 D. 1或﹣6 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得， ，且为偶数，由此求得m的值． 【详解】∵幂函数是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数， ∴，且为偶数 或 当时，满足条件；当时，，舍去 因此：m＝1 故选：B 6. 已知函数有最小值，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出时的最小值，然后对于时，讨论的单调性和取值情况，结合题目要求进行研究，得到的取值范围. 【详解】当时， ，此时； 当时，. ①a=1时，为常函数，此时在R上满足函数有最小值为， ②a≠1时，函数f（x）此时为单调的一次函数，要满足在R上有最小值， 需 解得， 综上，满足题意的实数a的取值范围为： ， 故选：C． 7. 双曲线的左右焦点分别为、，过的直线与双曲线的右支交于、两点，且、、成等差数列，则等于（ ） A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得，再结合双曲线的定义得，代入整理即可得答案. 【详解】由题知， 因为、、成等差数列，所以， 由双曲线的定义得：①，②， 得， 又因为， 所以 故选：B 8. 已知函数（）的一个零点为，一条对称轴为，，则的最小值是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】结合三角函数的性质求解即可. 【详解】由题意可知，，，所以，，即，. 又，所以，，所以，. 因为，所以当时，取得最小值：. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知圆，圆．则下列选项正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 当圆和圆有三条公切线时，若P，Q分别是圆上的动点，则 C. 若圆和圆共有2条公切线，则 D. 当时，圆与圆相交弦的弦长为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据圆的方程确定圆心，可求出直线的方程，即可判断A；根据圆和圆外切求出a的值，数形结合，可判断B；根据两圆公切线条数判断两圆相交，列不等式求解判断C；求出两圆的公共弦方程，即可求得两圆的公共弦长，判断D. 【详解】对于A，由圆，， 可知，故直线的方程为， 即，即得直线恒过定点，A正确； 对于B，即， 当圆和圆有三条公切线时，圆和圆外切，则， 解得， 当时，如图示，当共线时,； 同理求得当时，，B正确； 对于C，若圆和圆共有2条公切线，则两圆相交， 则，即，解得，C错误 对于D，当时，两圆相交， ，， 将两方程相减可得公共弦方程， 则到的距离为， 则圆与圆相交弦的弦长为，D正确， 故选：ABD. 10. 已知函数，，.则下列说法正确的是（ ） A. 函数与函数互为反函数 B. 函数在区间内有零点 C. 若，，均为正实数，且满足，则 D. 若函数的图象与函数的图象和函数的图象在第一象限内交点的横坐标分别为，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据反函数的定义、零点存在定理、函数的图像等知识逐项判断即可. 【详解】对于A： 因为，所以与互为反函数，A正确； 对于B： 令，即， 当时，；当时，， 根据零点存在定理，则函数在区间内有零点，B正确； 已知函数，，，画出图像为： 如图符合题意，而，所以C错误； 对于D： 令，则，令，则. 因为函数的图象与函数的图象和函数的图象在第一象限内交点的横坐标分别为，， 所以①，②，假设，则. 将其代入①式中得，与②式相同，所以D正确； 故选：ABD. 11. 对于定义在区间I上的函数，若存在正数，使得不等式对任意不同的实数恒成立，则称函数在区间I上是“-理想函数”，则下列说法正确的有（ ） A. 函数是“2-理想函数” B. 若函数在上是“-理想函数”，则的最小值为 C. 设，如果是“2025-理想函数”，且的零点也是的零点，，则方程在区间上有解 D. 若函数在上是“1-理想函数”，且，则存在满足条件的函数，存在，使得 【答案】BC 【解析】 【分析】根据“-理想函数”的定义即可判断A错误，由幂函数单调性以及不等式恒成立可构造函数，并利用导数求出的取值范围可知B正确；由题意可求出，结合零点定义由三角函数值域以及零点存在定理可判断C正确，易证明函数在上是“1-理想函数”，则对任意，，因此D错误. 【详解】对于A，， 当时，， 所以函数不是“2-理想函数”，故A不正确； 对于B，由函数在上是“-理想函数” 即，显然函数在上单调递增，且， 不妨设，则恒成立， 令，则在上单调递减， 即当时，，即恒成立， 又当时，函数为单调递减，所以， 所以即可，即的最小值为，故B正确； 对于C，因为函数是“2025-理想函数”， 所以，即，所以， 由于的零点为，所以， 又也是的零点，所以， 又，所以，故，， 设，， 由，， 显然此时，由零点存在定理知方程在区间上有解，故C正确； 对于D，函数在上是“1-理想函数”， 则对任意，， 不妨设， 当时，则， 当时，由于， 则， 所以，故D错误． 故选：BC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，若曲线在点处的切线过坐标原点，则实数的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先对函数求导，然后表示出在点的切线方程，最后根据切线过原点求出实数. 【详解】因为，所以． 又， 所以曲线在点处的切线方程为, 又该切线过坐标原点，所以，即， 解得:． 故答案为：. 13. 计算：__________. 【答案】2 【解析】 【详解】tan， 又， 故上式可化为． 又由， 可得． 14. 若函数在处取得极大值，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】求导，通过讨论和0的大小，确定函数的单调性，进而可求解. 【详解】由，求导可得 令，可得：或， 当时，即，恒成立，在定义域上单调递减，不符合题意； 当时，因为，所以， 由，得，由，得或， 即在和单调递减，在单调递增， 即函数在处取得极小值，不符合题意； 当时，因为，所以， 由，得，由，得或， 即在和单调递减，在单调递增， 即函数在处取得极大值，符合题意； 综上实数的取值范围为， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 在中，角的对边分别为，且. （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用三角形内角和定理，即可求解； （2）利用余弦定理和三角形的面积公式，即可求解，从而求出周长. 【小问1详解】 由正弦定理得：， 在三角形中，所以， 即， 因为，所以， 因为，所以 【小问2详解】 ，所以， 由余弦定理得，所以， 则， 所以的周长为. 16. 云南省城市足球联赛，简称“滇超联赛”，覆盖全省16个州（市），于2025年11月29日开赛．赛事的第一阶段又称为积分赛阶段，16支球队进行15轮比赛，即每支球队与其他15支球队各对阵一场，第一阶段积分前八的球队方能进入第二阶段．其积分规则：常规时间90分钟内获胜的球队积3分，负者积0分；若常规时间战平，点球大战胜者积2分，负者积0分．假设某个球队甲，对其他所有球队常规时间取胜的概率均为，战平的概率均为，若进入点球大战则取胜的概率均为，且每场比赛相互独立． （1）求甲球队在接下来的三场比赛中恰有两场获胜的概率； （2）设X为甲球队在接下来的两场比赛中的积分，求X的分布列与期望． 【答案】（1） （2） 0 2 3 4 5 6 期望为 【解析】 【分析】（1）根据题意，甲单场获胜分为直接获胜和常规时间战平后点球获胜，分别求得其概率，结合互斥事件概率的加法公式，求得单场获胜的概率，再利用重复试验的概率公式，即可求解； （2）先求得甲单场比赛积分分别为3分，2分和0分的概率，根据题意，得到变量的可能取值为，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解. 【小问1详解】 解：根据题意，甲单场获胜包含两种情况： ①直接获胜，其概率为； ②常规时间战平后点球获胜，其概率为， 所以甲单场获胜的概率为， 则三场比赛恰有两场获胜的概率为. 【小问2详解】 解：甲单场比赛的积分有3种情况： 单场比赛积3分，其概率为；单场比赛积2分，其概率为； 单场比赛积0分，其概率为， 设为甲球队在接下来的两场比赛中的积分，则的可能取值为， 可得，， ，， ，， 所以随机变量分布列为： 0 2 3 4 5 6 则期望为. 17. 如图所示，四边形ABCD与BDEF均为菱形，，且． （1）求证：平面平面； （2）求平面ABF与平面ACF的夹角的余弦值； （3）试问直线BC上是否存在点M，使直线平面FDM，若存在，求出点M的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 设，的交点为，连接， 因为四边形与均为菱形，且， 所以，， 又因为，且为中点，所以， 又因为，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面． （2） （3）存在，点在延长线上且满足. 【解析】 【分析】（1）设，的交点为，连接，根据线面垂直的判定定理得到平面，根据面面垂直的判定定理得到平面平面． （2）利用线面垂直的判定定理以及勾股定理证垂直，从而以为坐标原点，，，为，，轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量，设平面与平面的夹角为，利用向量的数量积公式求出的值. （3）设，求出的坐标，求出平面的法向量，由平面得到，计算出的值，从而得到点在延长线上，且满足. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，，且，平面，所以平面， 设，因为四边形与均为菱形， 且，所以，， 又因为，在中，，所以， 因为，，，平面， 所以平面， 以为坐标原点，，，为，，轴建立空间直角坐标系，如下图： 所以，，，，， 由，得到， 所以，， 设平面的法向量，，所以， 因为平面的法向量， 设平面与平面的夹角为，所以. 【小问3详解】 设，所以， 则，，， 设平面的法向量，，所以， 因为平面，所以，所以， 此时在平面FDM外，符合题意， 所以存在点M符合题意，且点在延长线上，满足. 18. 已知函数． （1）试讨论函数的单调性； （2）当时，不等式恒成立，求整数的最大值． 【答案】（1）时，在上单调递减，时，在上单调递减，在上单调递增. （2） 【解析】 【分析】（1）求出原函数的导函数，对进行分类讨论即可得出原函数的单调区间； （2）由，不等式恒成立，转化为，构造函数，分类讨论求解单调性，求出的范围. 【小问1详解】 由，求导得，， 当时，，则在上单调递减， 当时，令，则， 当，，则在上单调递减， 当，，则在上单调递增， 故时，在上单调递减， 时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 由，不等式恒成立， 转化为， 构造函数， 求导 若时，则，所以在单调递减， 由于对于成立， 当时，则， 故，令，解得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故，但是，不满足题意. 故整数的最大值为. 19. 在平面直角坐标系中，点，动点P满足，记点P的轨迹为C． （1）求C的方程； （2）过点Q且斜率不为0的直线l与C相交于两点E，F（E在F的左侧）．设直线AE，AF的斜率分别为． ①求证：为定值； ②设直线AF，BE相交于点M，求证：为定值． 【答案】（1） （2） ①由，直线的斜率存在且不为0， 设直线的方程为，，，， 联立，得， 则，，， 所以， 又因为，所以，， 所以， . ②由①可知，，所以， 作关于轴的对称点，则，，三点共线， 又，，设， 则直线方程即为直线方程， 又直线方程为， 作差可得， 所以， 所以，， 又，得出， 又因为， 所以， 即，即， 所以点在以，为焦点，1为实轴长的双曲线的左支上运动， 所以. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义可知点在以，为焦点，4为长轴长的椭圆上，即可求出轨迹方程. （2）①设直线的方程为，，，，联立直线与椭圆方程，消元，列出韦达定理，即可得到，再由斜率公式计算可得； ②作关于轴的对称点，则，，三点共线，设，表示出直线、的方程，即可得到，，代入椭圆方程得到轨迹方程，结合双曲线的定义即可证明. 【小问1详解】 由，， 所以点在以，为焦点，4为长轴长的椭圆上， 设椭圆方程为， 焦距为，则，， 所以， 所以C的方程为. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $