精品解析：湖南新高考教学教研联盟2026届高三4月第二次联考数学试题

高三数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求得，再由交集的定义求解即可. 【详解】由解得，， 由解得，， 故得． 2. 已知复数在复平面内对应的点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为复数在复平面内对应的点为， 所以，故， 则． 3. 已知单位向量，，满足，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】通过平方，结合向量数量积运算律即可求解. 【详解】由得， 则， 即 解得． 4. 直线与圆的交点为，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】在中，圆的半径为4， 所以圆心到直线的距离为， 由点线距离公式得，所以，解得． 5. 已知函数的图象向左平移个单位长度后关于原点对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】函数图像向左平移个单位后得到函数. 由其图象关于原点对称可得. 所以. 由于，所以的最小值为. 6. 已知数列的通项公式为，数列是以1为首项，2为公比的等比数列，则（ ） A. 1013 B. 1014 C. 502 D. 503 【答案】A 【解析】 【详解】由题意，又，故， ． 7. 已知是定义在上的奇函数，的图象关于对称，，则（ ） A. 0 B. C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由奇函数定义可得，由对称性性质可得，再证明函数为周期为的周期函数，结合周期性性质和奇函数性质求结论. 【详解】因为是定义在上的奇函数， 所以， 因为的图象关于对称， ， 令可得，， 所以，故函数的一个周期为4， 所以． 8. 已知随机事件，，发生的概率均为，且两两独立，那么这三个事件同时发生的概率可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由两两相互独立得到， 设， 则 ，解得， 又考虑， 解得，综上得． 【点睛】利用概率的非负性和事件并集的概率上限，结合独立性条件逐步缩小范围. 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】由对数函数的性质判断A，C；由基本不等式判断B；由判断D． 【详解】由于，则，，所以A，C正确； ，由A可知，所以此处等号不能取，所以，故B正确； ，D错误． 10. 在舞台上，智能机器人从舞台中心出发，伴着音乐节拍，每秒随机向正东、正西、正南、正北四个方向之一移动1米，仿佛在跳一支充满不确定性的“随机舞”．与此同时，另一台机器人从舞台中心正东方向2米的位置起步，移动规则与相同，若相遇，则继续独立移动．下列说法中正确的是（ ） A. 机器人移动4秒来到舞台中心的路径条数为12 B. 已知机器人移动4秒到达舞台中心，则其在4秒移动中至少存在一步向正南移动的概率为 C. 机器人在移动3秒来到舞台中心的正北方向上的概率为 D. 移动1秒后机器人与的距离为米的概率为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据分步计数原理，排列组合，结合概率公式逐项判断即可． 【详解】机器人移动4秒到达舞台中心，则机器人需要有两步向西， 剩下两步为东西各一步或者南北各一步，那么路径条数共有种，故A错误； 机器人移动4秒到达舞台中心， 由A可知，在4秒移动中存在一步向正南移动的可能情况是两步向西且南北各一步， 故所求概率为，故B正确； 移动3秒机器人移动到正北方向上，即移动到正北方向距离舞台中心1米、3米处， 则距离为3米可能的情况有1种，距离为1米可能的情况有向北两步向南一步、向北一步向西一步向东一步， 即种，故所求概率为，故C错误； 移动1秒后机器人与的距离为米， 即向北向西、向东向北、向东向南、向南向西，共4种情况， 而与在移动1秒后有种情况，故所求概率为，故D正确． 11. 如图，对每个正整数，是抛物线上的点，过焦点的直线交抛物线于另一点，并记为抛物线上分别以与为切点的两条切线的交点．则（ ） A. B. C. 若，则的最小值为2 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，先设出直线的方程，然后与抛物线方程联立，得到关于的一元二次方程，再利用根与系数的关系即可判断；对于B，求出在和处的切线方程，相减可得点的坐标，进而由斜率关系可得，即可判断；对于C，由两点间的距离公式，当，可得，再利用对勾函数性质可得的最小值，即可判断；对于D，将代入，利用等比数列求和公式计算即可判断. 【详解】设直线的方程为， 将它与抛物线方程联立，得， 由一元二次方程根与系数的关系得，所以A正确； 对任意固定的，因为， 则抛物线在处的切线的斜率， 故在处的切线方程为：，① 同理，在处的切线方程为：，② 由②-①，得，，，③ 将③代入①并结合得交点的坐标为． 由可知， 是直角三角形，又， 则，， 由射影定理，知，B正确； 由两点间的距离公式， 得． 当，则， 由对勾函数性质知，时，，C错误； 若，利用上述已证结论并由等比数列求和公式得： ，故D正确． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，则曲线在点处的切线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查导数的几何意义，即函数在某点处的切线斜率等于该点处的导数值，再利用点斜式方程求出切线方程即可. 【详解】由，则，所以，又， 所以在点处的切线方程为，即. 13. 如图，在平行四边形中，已知，，，现将沿折起，得到三棱锥，且三棱锥外接球的表面积为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】作出辅助线，转化为三棱柱的外接球问题，结合正弦定理和余弦定理得到答案 【详解】如图，过作，且，过作，且， 连接，，，，根据题意可知，， 由题意知，，，所以， 又，是平面内的两条相交直线，所以⊥平面， 所以三棱柱为直三棱柱． 则三棱锥与直三棱柱的外接球相同，设其半径为． 由，知，设三角形的外接圆半径为， 则，求得． 设，则，在中，设，， 则，， 代入，解得或（舍），． 14. 已知数列，令，其中，，且，定义，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】先找到数列个位数字的周期性，利用周期性得到差的规律，从而得到数列的周期性，利用周期求和即可. 【详解】由题意知，，，且，所以是的个位数． 由于，；，；，；，；，；，，… 以此类推可知，周期为5， 下面分析，设，对每个，先计算， 时，相减得； 时，相减得； 时，相减得， 同理可计算与时，与， 故是以1，2，1，2，1循环的周期数列，是以循环的周期数列，周期为10． . 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在脑机接口技术实验中，研究人员为验证不同思维任务下，两个大脑的信号同步性是否独立，研究人员选取了200组观测数据，聚焦于“逻辑推理”与“创造性想象”两类任务，记录了两位受试者脑电信号的同步情况，得到了如下列联表： 思维任务类型 信号同步性 合计 信号同步 信号不同步 逻辑推理 42 58 100 创造性想象 28 72 100 合计 70 130 200 （1）分别计算两类任务中信号同步的频率，根据频率，你认为思维任务类型与信号同步性有关吗？简述理由． （2）根据小概率值的独立性检验，分析思维任务类型与信号同步性有关吗？ 附：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）有关，理由见解析 （2）无关 【解析】 【小问1详解】 逻辑推理任务中信号同步的频率，创造性想象任务中信号同步的频率， 思维任务类型与信号同步性有关，因为两类任务的同步频率存在明显差异，即； 【小问2详解】 零假设：思维任务类型与信号同步性无关， 根据表中数据可得， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可以认为成立，即思维任务类型与信号同步性无关． 16. 在中，已知，且． （1）求角的大小； （2）若，为中点，且，求的面积． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）利用降幂公式，结合正弦型函数的性质求解即可； （2）法一：由余弦定理可分别求出，，再根据两角互补可求出，可求出，由正弦定理可求出，根据三角形面积公式即可求解，法二：在中，由余弦定理可求，在中，由余弦定理得，可求出，再有面积公式即可求解. 【小问1详解】 ， ，即， ， 或， 又，为三角形的内角且，，． 【小问2详解】 法一：在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理，得， 又因为，所以，又因为中点， 所以，故， 化简可得， 故，在中， 由正弦定理得，所以， 在中，， 所以，可得， 所以三角形是等腰直角三角形，故， 所以，． 法二：在中，由余弦定理得，① 在中，因为为中点，所以， 由余弦定理得，② 由②-①，得，③ 将，代入③式，解得，， 将，代入②式，解得， 所以的面积． 17. 如图，和都垂直于平面，且，，是的中点． （1）证明：平面； （2）若四棱锥的体积为3，求平面与平面夹角的余弦值的最大值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，证明为平行四边形，再根据线面平行的判定定理即可求出； （2）法一：先根据体积求出点到平面的距离，再建立空间直角坐标系求出平面与平面的法向量，代入公式即可求出最大值； 法二：先根据体积求出点到平面的距离，延长和交于点，过作于，找到为平面与平面的夹角，再根据三角形面积相等得，同时结合即可求出. 【小问1详解】 取的中点，连接，， ，分别是和的中点，与平行且xd； 和都垂直于平面，且，与平行且相等， 与平行且相等，四边形为平行四边形，， 又平面，平面，平面． 【小问2详解】 设到平面的距离为， 则，故． 法一：由于垂直于平面，建立如图空间直角坐标系， ，， ，，，， 设，则， ，， 设平面的法向量为，则由得 取，得，，因此平面的一个法向量． 由于垂直于平面，因此是平面的一个法向量． 设平面与平面的夹角为， 则， ∴平面与平面夹角的余弦值的最大值为． 法二：延长和交于点，过作于， 平面，，又,，且两直线在平面内， 平面，， 为平面与平面的夹角， 由，得， 而，所以，当且仅当时等号成立； ，， ∴平面与平面夹角的余弦值的最大值为． 18. 已知椭圆的上、下焦点分别为，，右顶点为，为锐角三角形且面积为． （1）求椭圆的离心率． （2）过的直线交椭圆于，两点（在的左侧），且的面积与的面积相等． （ⅰ）求直线的斜率； （ⅱ）若，求椭圆的方程． 【答案】（1） （2）（ⅰ）或；（ⅱ）. 【解析】 【分析】（1）法一：利用三角形面积公式求出，得到，进而得到关系，求出离心率； 法二：联立方程组，将代入，得到关于的齐次式，进而求出离心率； （2）（ⅰ）由得到和到直线的距离相等，分两种情况：当和在直线同侧时，，计算的斜率；当和在直线异侧时，直线过的中点，计算的斜率； （ⅱ）先验证斜率为时，，不符合题意，舍去； 再分析斜率为的情况：联立直线与椭圆方程，用韦达定理求出弦长，由垂直平分得，结合椭圆定义转化得，进而求出，得到椭圆方程. 【小问1详解】 法一：因为， 所以，又为锐角三角形，所以，即为等边三角形， 所以，即． 法二：由题意得消去得， 同除以得，即，解得或， 因为为锐角三角形，所以，即，故． 【小问2详解】 （ⅰ），和到直线的距离相等， 当和在直线同侧时，，直线的斜率为； 当和在直线异侧时，直线过的中点， 直线的斜率， 综上，直线的斜率为或． （ⅱ）当直线的斜率为时，设直线的方程为，，， 联立消去，得， 解得或所以，， （不合题意，舍去）； （另解：在中，，，故，从而，不合题意） 当直线的斜率为时，设直线的方程为，，， 联立消去，得， 故，． ， 由（ⅰ）知垂直平分，故， 所以，故， 此时椭圆的方程为， 综上所述：椭圆的方程为． 19. 已知函数，． （1）当时，证明有唯一极值点； （2）讨论的零点个数； （3）若存在，当时，总有，求符合条件的的最小值． 【答案】（1）证明见解析 （2）分类讨论，答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先求出，令，求导讨论单调性，确定极值点；（2）分类讨论分析的单调性，结合零点存在性定理确定零点个数；（3）先将问题转化为，构造函数，，分别讨论单调性确定. 【小问1详解】 ， 令， 则， 当时， ①当时，，，，故； ②当时，令， ， 因为，，，故， 单调递减，因为，， 所以，使得， 当时，当时， 综合①②，得， 当时，当时， 所以有唯一极值点，即有唯一极值点． 【小问2详解】 ①当时，在上单调递增，在上单调递减， ，， 又，，使得， 当时，单调递增， 当时，单调递减， ，当时，， ，又， 存在唯一，使得， 因此有2个零点和； ②当时，，，有唯一零点； ③当时，当时，，，， 又，，有唯一零点． 综上所述：当时，有2个零点；当时，有1个零点． 【小问3详解】 原问题等价于存在，当时，总有． 设，则， 设，则， 若，，单调递增， 当时，，即， ，单调递减， 当时，，即，命题成立． 下面仅需考虑的情况： 在上单调递减，其中， 故，在上均单调递减， ，， ①如果，即， 则，单调递增， ，即， 又，在上单调递减， 故，所以在上单调递减， 所以，即， 当时，总有，命题成立． ②如果，即，故由零点存在定理知，使得， 当时，，单调递减，， 即（不合题意，舍去）． 综上：的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数在复平面内对应的点为，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知单位向量，，满足，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 直线与圆的交点为，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的图象向左平移个单位长度后关于原点对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列的通项公式为，数列是以1为首项，2为公比的等比数列，则（ ） A. 1013 B. 1014 C. 502 D. 503 7. 已知是定义在上的奇函数，的图象关于对称，，则（ ） A. 0 B. C. 3 D. 4 8. 已知随机事件，，发生的概率均为，且两两独立，那么这三个事件同时发生的概率可能为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 在舞台上，智能机器人从舞台中心出发，伴着音乐节拍，每秒随机向正东、正西、正南、正北四个方向之一移动1米，仿佛在跳一支充满不确定性的“随机舞”．与此同时，另一台机器人从舞台中心正东方向2米的位置起步，移动规则与相同，若相遇，则继续独立移动．下列说法中正确的是（ ） A. 机器人移动4秒来到舞台中心的路径条数为12 B. 已知机器人移动4秒到达舞台中心，则其在4秒移动中至少存在一步向正南移动的概率为 C. 机器人在移动3秒来到舞台中心的正北方向上的概率为 D. 移动1秒后机器人与的距离为米的概率为 11. 如图，对每个正整数，是抛物线上的点，过焦点的直线交抛物线于另一点，并记为抛物线上分别以与为切点的两条切线的交点．则（ ） A. B. C. 若，则的最小值为2 D. 若，则 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，则曲线在点处的切线方程为______． 13. 如图，在平行四边形中，已知，，，现将沿折起，得到三棱锥，且三棱锥外接球的表面积为，则______． 14. 已知数列，令，其中，，且，定义，则______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在脑机接口技术实验中，研究人员为验证不同思维任务下，两个大脑的信号同步性是否独立，研究人员选取了200组观测数据，聚焦于“逻辑推理”与“创造性想象”两类任务，记录了两位受试者脑电信号的同步情况，得到了如下列联表： 思维任务类型 信号同步性 合计 信号同步 信号不同步 逻辑推理 42 58 100 创造性想象 28 72 100 合计 70 130 200 （1）分别计算两类任务中信号同步的频率，根据频率，你认为思维任务类型与信号同步性有关吗？简述理由． （2）根据小概率值的独立性检验，分析思维任务类型与信号同步性有关吗？ 附：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 16. 在中，已知，且． （1）求角的大小； （2）若，为中点，且，求的面积． 17. 如图，和都垂直于平面，且，，是的中点． （1）证明：平面； （2）若四棱锥的体积为3，求平面与平面夹角的余弦值的最大值． 18. 已知椭圆的上、下焦点分别为，，右顶点为，为锐角三角形且面积为． （1）求椭圆的离心率． （2）过的直线交椭圆于，两点（在的左侧），且的面积与的面积相等． （ⅰ）求直线的斜率； （ⅱ）若，求椭圆的方程． 19. 已知函数，． （1）当时，证明有唯一极值点； （2）讨论的零点个数； （3）若存在，当时，总有，求符合条件的的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $