精品解析：安徽省滁州市天长市部分学校2026年中考一模九年级数学试卷

2026年中考一模九年级数学试卷 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．请在答题卡上答题，否则无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 在中，最大与最小实数的和是（ ） A. B. C. 0 D. 1 2. 2025年中国工业机器人市场规模将达到元，位居全球第一．数据可表示为（ ） A. 9.51亿 B. 95.1亿 C. 951亿 D. 9510亿 3. 计算，则的值为（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 4. 下列选项中，不是如图所示几何体的三视图的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 一次函数的图象如图所示，则关于的方程的解为（ ） A. B. C. D. 7. 在综合实践活动课上，兴趣小组先画一个，折叠纸张使得点与点重合，折痕与边交于点；再折出射线，点在延长线上；最后折叠纸张使得落在上，点的对应点为点，连接，．对下列结论①四边形为平行四边形；②若是直角三角形，则四边形为矩形；③若是等腰三角形，则四边形为菱形．判断正确的是（ ） A. ① B. ①② C. ①③ D. ①②③ 8. 若一个两位数的十位、个位上的数字分别为，则通常这个两位数可表示为，于是．类似的方法也可以表示三位数或四位数．则一定是（ ） A. 2的倍数 B. 5的倍数 C. 11的倍数 D. 37的倍数 9. 如图，在菱形中，，点从点匀速运动到点，，交于点，将菱形沿折叠，记折叠的部分与原菱形重叠部分面积为，，则关于的图像大致是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，是的角平分线，，垂足为点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 分解因式___________． 12. 如图，点分别在反比例函数和位于第一象限的图象上．分别过点向轴作垂线，若阴影部分的面积为2，则___________． 13. 现将一块含的直角三角板按如图放置，顶点落在以为直径的半圆上，斜边恰好经过点，一条直角边与半圆交于点，若，则的长为___________． 14. 已知二次函数经过点和点． （1）若将二次函数的图象先向左平移个单位，再向上平移12个单位经过原点，则___________； （2）若，则的取值范围是___________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 如图，方格纸上每个小正方形的边长均为个单位长度，的顶点，，都在格点上（两条网格线的交点叫格点）． （1）将向右平移个单位，得到对应，请画出平移后的； （2）将绕点点逆时针旋转得到对应，画出旋转后的． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 电动汽车的续航里程和电池质量的比值称为比能量，比能量是电动汽车重要指标之一．某新能源汽车公司通过对电池技术升级提高比能量，升级后电池质量下降，续航里程却提高了，求升级后电池比能量增长率． 18. 根据我国现行的建筑设计规范和相关标准，居民楼的间距一般在至之间，如图，和是两栋居民楼，比高，，，在同一水平线上，在点处测得处仰角为，测得处仰角为，通过计算说明和之间的楼间距是否符合设计规范（参考数据：，，结果精确到）． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，点为圆内一点，，延长线交圆于点，连接，． （1）求证：； （2）若，求的值． 20. 为了解2025年前三季度“长三角”41市经济运行情况，兴趣小组通过网络查询得知，经济增速最高为，最低为．他们将经济增速按照查询的结果进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．2025年前三季度“长三角”各市经济增速分布表： 分类 城市数量 增长率（精确到） A 7 B 14 C 11 D 9 b．B组具体数据如下表： 城市 南京 常州 嘉兴 六安 泰州 安庆 滁州 杭州 南通 扬州 蚌埠 池州 苏州 上海 增速 c．2025年前三季度，全国经济平均增速为． （1）本次调查中，经济增速的中位数落在___________组（填“A”“B”“C”或“D”）． （2）从表中数据可知，长三角41市中，前三季度经济增速超过全国平均水平的占长三角城市总数百分比为___________（精确到）； （3）现从B组增长率为的四个城市中，任选两个进行调查研究，通过画树状图或列表法求选中的两个城市是南京和六安的概率． 六、（本题满分12分） 21. 数学兴趣小组开展探究活动，研究了“一组有规律的数据和相关问题”的问题． （1）【规律特殊化】给出一列数据：依次把这列数据记为，则，则___________，___________（填“>”“<”或“=”）； （2）【规律一般化】这列数据的第（均大于1）个数据分别为，且，探究与之间的关系． 思路探究：， 同理___________，___________， ___________，___________． ___________ （3）【思想一般化】已知个正实数满足，其中．则___________（填“>”“<”或“=”）． 七、（本题满分12分） 22. 如图，在四边形中，点在边上，且，，． （1）求证：； （2）如图1，若，，求的长； （3）如图2，延长交于点，过点作交于点，连接，求证：． 八、（本题满分14分） 23. 已知二次函数与轴交于两点，且，与轴交于点，抛物线顶点为． （1）将二次函数解析式化为顶点式，写出抛物线对称轴； （2）若，求的取值范围； （3）令，是否存在定值，无论，为何值，都存在为等边三角形，如果存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考一模九年级数学试卷 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．请在答题卡上答题，否则无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 在中，最大与最小实数的和是（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】先比较给定四个实数的大小，找出最大数和最小数，再计算二者的和即可得到结果． 【详解】解：对四个实数进行大小排序 最大的实数是，最小的实数是 ∴． 2. 2025年中国工业机器人市场规模将达到元，位居全球第一．数据可表示为（ ） A. 9.51亿 B. 95.1亿 C. 951亿 D. 9510亿 【答案】C 【解析】 【分析】将科学记数法表示的数，换算为以亿为单位的数，利用亿的换算关系即可得到结果。 【详解】解：∵亿， 又， ∴元可表示为951亿元． 3. 计算，则的值为（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先利用幂的乘方法则化简左边，再利用同底数幂的除法法则整理，最后根据等式两边同底数幂的指数相等列方程求解n即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴． 4. 下列选项中，不是如图所示几何体的三视图的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定该几何体的三视图，然后再判断即可解答． 【详解】解：几何体的主视图为，左视图为，俯视图为． 5. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先化简已知不等式，再根据不等式的性质逐一判断选项即可． 【详解】解：， ∴， A、不等式两边加得，即，故选项A错误； B、当，时，满足，但不满足，故选项B错误； C、不等式两边加1得，故选项C错误； D、不等式两边同乘，不等号方向改变，得，故D选项一定成立． 6. 一次函数的图象如图所示，则关于的方程的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将点代入一次函数解析式中，得到与的关系式，再将所求方程进行变形，求解即可． 【详解】解：观察图象可知，一次函数的图象经过点， ， ， 关于的方程可变形为：， 即， ， ． 7. 在综合实践活动课上，兴趣小组先画一个，折叠纸张使得点与点重合，折痕与边交于点；再折出射线，点在延长线上；最后折叠纸张使得落在上，点的对应点为点，连接，．对下列结论①四边形为平行四边形；②若是直角三角形，则四边形为矩形；③若是等腰三角形，则四边形为菱形．判断正确的是（ ） A. ① B. ①② C. ①③ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】先根据折叠得，，证明四边形为平行四边形，再结合三角形的条件判断②③，即可作答． 【详解】解：①由题意可得：，， ∴四边形为平行四边形，故①正确； ②条件中没有明确说明哪个角是直角，故不能说明四边形为矩形，故②错误； ③条件中没有明确说明哪条边是腰，故不能说明四边形为菱形，故③错误． 8. 若一个两位数的十位、个位上的数字分别为，则通常这个两位数可表示为，于是．类似的方法也可以表示三位数或四位数．则一定是（ ） A. 2的倍数 B. 5的倍数 C. 11的倍数 D. 37的倍数 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查列代数式、合并同类项和倍数的判断，根据数的表示方法把原式转化为代数式，化简后分解因式即可判断． 【详解】解：根据题意，可得：，， 则 是不为的正整数， 一定是的倍数． 9. 如图，在菱形中，，点从点匀速运动到点，，交于点，将菱形沿折叠，记折叠的部分与原菱形重叠部分面积为，，则关于的图像大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分和两种情况分别求出阴影部分的面积，根据函数解析式判断图像即可． 【详解】解：如下图，过点作于点， ∵四边形为菱形，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴,, ∴， 当点与点重合时, 点与点重合，此时点与点重合， 可分两种情况讨论， 当时，如图所示，重叠部分为， ， ， ， ， 这是一个开口向上的抛物线，当时，； 当时，重叠部分如图所示，过点作于点， 此时，， ∴， ∵，，且， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵四边形为菱形，， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∵重叠部分面积， ∴， 这是一个开口向下的抛物线，当时，， 当时，， 综上所述： 其函数图像如图所示： 10. 如图，在中，是的角平分线，，垂足为点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】延长交于点，即可证明，有和，结合题意可得和，作，则，可证明为的中位线，可得，同理可证为的中位线，则，那么有，根据三角形三边关系得到，有，即可解得答案． 【详解】解析：如图，延长交于点， 则， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ． 作，则， ∴点Q为的中点， ∴为的中位线， ∴． ∵， ∴同理可证为的中位线， ∴， 则， ∵， ∵， ∴， 则， 那么，． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 分解因式___________． 【答案】 【解析】 【分析】先提出公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：． 12. 如图，点分别在反比例函数和位于第一象限的图象上．分别过点向轴作垂线，若阴影部分的面积为2，则___________． 【答案】7 【解析】 【分析】阴影部分的面积刚好等于以为斜边的大三角形的面积减去以为斜边的小三角形的面积，即可得． 【详解】解：如图， ∵点分别在反比例函数和位于第一象限的图象上， ∴，， 又阴影部分的面积为2， ∴, 解得：． 13. 现将一块含的直角三角板按如图放置，顶点落在以为直径的半圆上，斜边恰好经过点，一条直角边与半圆交于点，若，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，，则，得是等边三角形，则，由弧长公式可求出的长． 【详解】解：连接，，如图， ∵， ∴， 又， ∴是等边三角形， ∴， ∴的长． 14. 已知二次函数经过点和点． （1）若将二次函数的图象先向左平移个单位，再向上平移12个单位经过原点，则___________； （2）若，则的取值范围是___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）先根据“左加右减，上加下减”得到平移后抛物线解析式为，再代入求解即可； （2）可求抛物线的对称轴为直线，再由和点关于抛物线对称轴对称得到，再进行后续代入求解不等式即可． 【详解】解：（1）平移后抛物线解析式为， ∵该抛物线经过点 ， 解得． 又 ． （2）对于，可得对称轴为直线， ∵二次函数经过点和点 ∴． 又， ∴ ， 解得． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据分式的混合运算法则化简，然后利用负指数幂和算术平方根化简，最后代入求值即可． 【详解】解： ； 将代入可得原式． 16. 如图，方格纸上每个小正方形的边长均为个单位长度，的顶点，，都在格点上（两条网格线的交点叫格点）． （1）将向右平移个单位，得到对应，请画出平移后的； （2）将绕点点逆时针旋转得到对应，画出旋转后的． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2）如图所示，即为所求． 【解析】 【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，，再顺次连接即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，，，再顺次连接即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 电动汽车的续航里程和电池质量的比值称为比能量，比能量是电动汽车重要指标之一．某新能源汽车公司通过对电池技术升级提高比能量，升级后电池质量下降，续航里程却提高了，求升级后电池比能量增长率． 【答案】升级后电池比能量增长率为 【解析】 【分析】设升级后电池比能量增长率为，根据“升级后电池质量下降，续航里程却提高了”列方程求解即可． 【详解】解：设升级后电池比能量增长率为，则可列方程 ， 解得． 答：升级后电池比能量增长率为． 18. 根据我国现行的建筑设计规范和相关标准，居民楼的间距一般在至之间，如图，和是两栋居民楼，比高，，，在同一水平线上，在点处测得处仰角为，测得处仰角为，通过计算说明和之间的楼间距是否符合设计规范（参考数据：，，结果精确到）． 【答案】和之间的楼间距符合设计规范 【解析】 【分析】过点作，垂足为点．求出，则可得，从而可求出，进而求出，可得结论． 【详解】解：如图，过点作，垂足为点．则四边形是矩形， ∴， 由题意可知，， ， ． ． ， 故和之间的楼间距符合设计规范． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，点为圆内一点，，延长线交圆于点，连接，． （1）求证：； （2）若，求的值． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵， ∴，， ∴， ∵为直径， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，结合圆的性质得到和，则，根据直径所对的圆周角得到，即有即可证明； （2）根据勾股定理求得，，进一步证明，有，代入求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ， 即，解得． 20. 为了解2025年前三季度“长三角”41市经济运行情况，兴趣小组通过网络查询得知，经济增速最高为，最低为．他们将经济增速按照查询的结果进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．2025年前三季度“长三角”各市经济增速分布表： 分类 城市数量 增长率（精确到） A 7 B 14 C 11 D 9 b．B组具体数据如下表： 城市 南京 常州 嘉兴 六安 泰州 安庆 滁州 杭州 南通 扬州 蚌埠 池州 苏州 上海 增速 c．2025年前三季度，全国经济平均增速为． （1）本次调查中，经济增速的中位数落在___________组（填“A”“B”“C”或“D”）． （2）从表中数据可知，长三角41市中，前三季度经济增速超过全国平均水平的占长三角城市总数百分比为___________（精确到）； （3）现从B组增长率为的四个城市中，任选两个进行调查研究，通过画树状图或列表法求选中的两个城市是南京和六安的概率． 【答案】（1）B （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据中位数的定义解答即可； （2）得出前三季度经济增速超过全国平均水平的城市数，除以被调查的城市数可得结论； （3）分别用A、B、C、D表示南京、常州、嘉兴和六安，画出树状图，得出所有等可能的结果数，和选中的两个城市是南京和六安的结果数，再用概率公式计算出概率即可． 【小问1详解】 解：把41个数据按从小到大的顺序排列，最中间的是第21个数据， 而A类与B类数量和， 所以，在本次调查中，经济增速的中位数落在B组； 【小问2详解】 解：前三季度经济增速超过全国平均水平的占长三角城市总数百分比为：； 【小问3详解】 解：分别用A、B、C、D表示南京、常州、嘉兴和六安，画树状图如下： 由树状图可得，共有12种等可能的结果，其中选中的两个城市是南京和六安的结果数有2种， 所以，选中的两个城市是南京和六安的概率为． 六、（本题满分12分） 21. 数学兴趣小组开展探究活动，研究了“一组有规律的数据和相关问题”的问题． （1）【规律特殊化】给出一列数据：依次把这列数据记为，则，则___________，___________（填“>”“<”或“=”）； （2）【规律一般化】这列数据的第（均大于1）个数据分别为，且，探究与之间的关系． 思路探究：， 同理___________，___________， ___________，___________． ___________ （3）【思想一般化】已知个正实数满足，其中．则___________（填“>”“<”或“=”）． 【答案】（1）23；= （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由提供的数据可知后一个数比前一个数大3，由此得第n个数为，代入相关数据可得结论； （2）根据（1）得出的规律进行解答即可； （3）根据提供的规律进行解答即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴可得后一个数比前一个数大3， ∴， ∴； ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：， 同理，， ，． 【小问3详解】 解： ， ． 是不为1的正数，， ． ． 七、（本题满分12分） 22. 如图，在四边形中，点在边上，且，，． （1）求证：； （2）如图1，若，，求的长； （3）如图2，延长交于点，过点作交于点，连接，求证：． 【答案】（1） 证明：∵ ∴． 在和中， ∴． （2） （3） 证明：， ∴，， ，． ，即， ， ． 又， 点到距离相等， ． 【解析】 【分析】（1）由得，根据可证明;; （2）过点作，垂足为点，由结合勾股定理求出，，，再证明，可求出； （3）证明，，可得出，由得点到距离相等，从而得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点作，垂足为点， 由（1）知， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∴， 解得：（负值舍去） ． 又， ∴， ∴； ∵， ， ∵， ， ， ，即， ． 【小问3详解】 略 八、（本题满分14分） 23. 已知二次函数与轴交于两点，且，与轴交于点，抛物线顶点为． （1）将二次函数解析式化为顶点式，写出抛物线对称轴； （2）若，求的取值范围； （3）令，是否存在定值，无论，为何值，都存在为等边三角形，如果存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；直线 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将一般式化为顶点式即可，同时得到抛物线对称轴为直线． （2）根据题意知，得，则抛物线解析式为．进一步结合题意可知， 时，，以及时，，求解即可； （3）由对称轴对称得，连接和，对称轴与x轴交于点E，结合等边三角形，则，则有，解得，结合有，化简得，则有，即可． 【小问1详解】 解：，抛物线对称轴为直线； 【小问2详解】 解：由题意可知，， ∴， 故抛物线解析式为． 由题意可知，当时，，即，解得； 当时，，即，解得， ； 【小问3详解】 解：当时，为等边三角形，证明如下： 关于对称轴对称， ． 如图，连接和，对称轴与x轴交于点E， 若为等边三角形，则， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ， 抛物线与轴交于两点，故顶点不可能在轴上， 故， ∴， ∵， ∴， 当时，无论为何值，都存在为等边三角形． 【点睛】本题主要考查二次函数与几何的结合，涉及二次函数的顶点式、二次函数的性质、解不等式、等边三角形的性质和解直角三角形，解题的关键是掌握二次函数的性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $