10.1.2 两角和与差的正弦（2）同步测试-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

10.1.2 两角和与差的正弦（2） 同步测试-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 一、单项选择题 1 (2024连云港期中)已知α∈，sin (α＋)＝，则sin α的值为(　　) A. B. C. D. 2 (2025承德期中)已知函数f(x)＝cos x＋a sin x的图象关于点对称，则f(x)的最大值为(　　) A.1 B.2 C. D. 3 在△ABC中，A＝，cos B＝，则sin C的值为(　　) A. B.－ C. D.－ 4 (2025连云港期中)已知sin (α－β)＝，tan α＝2tan β，则sin (α＋β)等于(　　) A. B. C. D. 5 (2024江西期中)已知0<α<，0<β<，且cos (α＋)＝，cos ＝，则sin (α＋β)的值为(　　) A.－ B.－ C. D. 6 (2025南通期中)若tan αtan ＝，则等于(　　) A.－3 B.－ C. D.3 二、多项选择题 7 (2025湖北期中)已知sin (α－β)cos α－cos (α－β)sin α＝，则cos 的可能值为(　　) A.－ B.－ C. D. 8 (2025南京期末)已知α，β为锐角，cos (α＋β)＝，tan αtan β＝，则下列结论中正确的是(　　) A.sin αsin β＝ B.cos (α－β)＝1 C.tan α＋tan β＝4 D.sin αcos β＝ 三、填空题 9 已知α为锐角，且sin α＋cos α＝，则tan α＝________． 10 的值为________． 11 已知tan β＝2tan (α＋β)，则＝________． 四、解答题 12 三角函数内容丰富，公式很多.若仔细观察、大胆猜想、科学求证，你也能发现其中的一些奥秘.现有如下两个等式： ①＋＝； ②＋＝. 根据以上等式，请你猜想出一个一般性的结论并证明． 13 (2025重庆期中)如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边的锐角α和钝角β的终边分别交单位圆于A，B两点.已知点A的横坐标为，点B的纵坐标为. (1) 求sin (α－β)的值； (2) 求2α－β的值． 参 考 答 案 1.D　因为α∈，所以α＋∈.又因为sin ＝>0，所以α＋∈，所以cos ＝－，则sin α＝sin ＝sin cos －cos sin ＝×－×＝. 2.D　由题意，得f＝＋a＝0，解得a＝－，所以f(x)＝cos x－sin x＝cos ，故当x＋＝2kπ，k∈Z，即x＝－＋2kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值. 3.C　因为cos B＝，B∈(0，π)，所以sin B＝＝.又A＝，则sinC＝sin [π－(A＋B)]＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B＝×＋×＝. 4.D　因为tan α＝2tan β，所以＝，所以sin αcos β＝2sin βcos α ①.因为sin (α－β)＝，所以sin αcos β－sin βcos α＝ ②，由①②得sin βcos α＝，sin αcos β＝，所以sin (α＋β)＝sin αcos β＋sin βcos α＝＋＝. 5.C　因为0<α<，所以<α＋<.又cos (α＋)＝，所以sin ＝.因为0<β<，所以<β＋<.因为cos (β＋)＝，所以sin (β＋)＝，则sin (α＋β)＝－cos [(α＋)＋(β＋)]＝sin (α＋)sin (β＋)－cos (α＋)cos ＝×－×＝. 6.B　＝＝ ＝＝＝＝－. 7.BD　因为sin (α－β)cos α－cos (α－β)sin α＝sin (α－β－α)＝sin (－β)＝，所以sin β＝－，则cos β＝±＝±＝±，当cosβ＝－时，cos (β＋)＝cos βcos －sin βsin ＝－×＋×＝－；当cos β＝时，cos ＝cos βcos －sin βsin ＝×＋×＝.故选BD. 8.BD　对于A，因为tan αtan β＝＝，所以cos (α＋β)＝＝cos αcos β－sin αsin β＝4sin αsin β－sin αsin β＝3sin αsin β，解得sin αsin β＝，cos αcos β＝，故A错误；对于B，cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝＋＝1，故B正确；对于C，因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π).又cos (α＋β)＝>0，所以α＋β∈，所以sin (α＋β)＝，则tan α＋tan β＝＋＝＝＝1，故C错误；对于D，因为α，β为锐角，所以α－β∈.又cos (α－β)＝1，所以sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝0.又sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝，解得sin αcos β＝，故D正确．故选BD. 9.　因为sin α＋cos α＝，所以sin α＋cos α＝，即sin ＝.因为α为锐角，所以<α＋<，所以α＋＝，即α＝，所以tan α＝. 10.　＝＝＝＝＝＝. 11.－3　因为tan β＝2tan (α＋β)，所以＝＝＝＝＝－3. 12.猜想：＋＝，证明如下： 由诱导公式可得cos (90°－α)＝sin α， sin (135°－α)＝sin (45°＋α)， 所以＋＝＝＝. 13.(1) 由题意，得0<α<，<β<π，cos α＝， sin β＝， 所以sin α＝＝，cosβ＝＝－， 所以sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝×－×＝－. (2) 由(1)可得sin (α－β)＝－， 因为cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝－， 所以sin (2α－β)＝sin [α＋(α－β)]＝sin αcos (α－β)＋cos αsin (α－β)＝×＋×＝－. 又cos α＝<，所以<α<， 又<β<π，所以－<2α－β<， 所以2α－β＝－. 学科网（北京）股份有限公司 $