10.1.2 两角和与差的正弦（1）同步测试-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

10.1.2 两角和与差的正弦（1） 同步测试-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 一、单项选择题 1 sin cos －cos sin 的值是(　　) A.－ B. C.－1 D.1 2 (2024莆田期中)已知α∈，sin α＝，则sin (α＋)的值是(　　) A. B. C. D. 3 已知sin (α－β)cos α－cos (α－β)sin α＝，且β为第三象限角，则tan β的值为(　　) A. B. C. D. 4 已知cos (α＋)＝，0<α<π，则sin α的值为(　　) A. B. C. D. 5 (2025福建期中)已知α，β都是锐角，sin α＝，cos (α＋β)＝－，则sin β等于(　　) A. B. C. D. 6 (2025牡丹江第三高级中学月考)已知<α<，0<β<，cos ＝－，sin (＋β)＝，则sin (α＋β)的值为(　　) A. B.－ C.－ D. 二、多项选择题 7 (2025嘉峪关月考)若a＝cos 15°－sin 15°，b＝，c＝sin 105°cos 15°－cos 75°sin 15°，则a，b，c的大小关系为(　　) A.c<a B.b<a C.b<c D.a<c 8 (2024河北开学考试)已知α，β∈，cos (α＋β)＝，sin (α－β)＝，则下列结论中正确的是(　　) A.sin (α＋β)＝ B.cos (α－β)＝－ C.sin 2α＝ D.＝ 三、填空题 9 (2025抚顺期中)sin 14°＋sin 46°－cos 16°的值为__________． 10 (2025江苏期末)已知cos ＝，θ∈，则sin θ＝________． 11 (2025南通期中)已知角α，β满足sin (α＋β)＝，＝2，则sin (α－β)＝________． 四、解答题 12 已知sin ＝－，sin ＝，且α∈，β∈，求sin (α－β)的值． 13 (2025重庆期末) 如图，在平面直角坐标系xOy中，A(，)为单位圆上一点，射线OA绕点O逆时针方向旋转θ后交单位圆于点B，点B的横坐标记为f(θ). (1) 求f(θ)的表达式，并求f的值； (2) 若α为任意角，f(β)＝，求sin (α－β)cos α－cos (α－β)sin α的值． 参 考 答 案 1.B　原式＝sin cos ＋cos sin ＝sin (＋)＝sin ＝. 2.B　因为α∈，sin α＝，所以cos α＝，所以sin ＝sin αcos ＋cos αsin ＝×＋×＝. 3.C　由sin (α－β)cos α－cos (α－β)sin α＝，得sin [(α－β)－α]＝sin (－β)＝－sin β＝，即sin β＝－.又β是第三象限角，则cos β＝－，所以tan β＝＝＝. 4.C　因为0<α<π，所以<α＋<.又cos (α＋)＝>0，所以<α＋<，所以sin ＝＝，所以sinα＝sin [(α＋)－]＝sin (α＋)cos －cos (α＋)sin ＝×－×＝. 5.A　因为α是锐角，且sin α＝，所以cos α＝＝.又α∈，β∈，所以α＋β∈(0，π).又cos(α＋β)＝－，所以sin (α＋β)＝＝，所以sinβ＝sin [(α＋β)－α]＝sin (α＋β)cos α－cos (α＋β)sin α＝×－×＝. 6.D　由<α<，0<β<，得<α＋<π，<＋β<π.因为cos ＝－，sin ＝，所以sin ＝，cos ＝－，所以sin (α＋β)＝－sin ＝－[sin ·cos ＋cos sin ]＝－[×＋×]＝－＝. 7.BCD　由题意，得a＝cos 15°－sin 15°＝(sin 45°cos 15°－cos 45°sin 15°)＝sin (45°－15°)＝，因为sin 105°＝sin (180°－75°)＝sin 75°，所以c＝sin 105°cos 15°－cos 75°sin 15°＝sin 75°cos 15°－cos 75°sin 15°＝sin (75°－15°)＝.又b＝，所以b<a<c.故选BCD. 8.ACD　对于A，由α，β∈，得α＋β∈(0，π)，所以sin (α＋β)＝＝，故A正确；对于B，由α，β∈，得α－β∈，所以cos(α－β)＝＝，故B错误；对于C，因为2α＝(α＋β)＋(α－β)，所以sin2α＝sin [(α＋β)＋(α－β)]＝sin (α＋β)cos (α－β)＋cos (α＋β)sin (α－β)＝×＋×＝，故C正确；对于D，因为＝＝＝，所以＝，解得＝，故D正确．故选ACD. 9.0　sin 14°＋sin 46°－cos 16°＝sin (30°－16°)＋sin (30°＋16°)－cos 16°＝2sin 30°cos 16°－cos 16°＝0. 10.　因为θ∈，所以θ－∈.又cos ＝，所以sin ＝，所以sin θ＝sin [＋]＝sin cos ＋cos (θ－)sin ＝×＋×＝. 11.　因为＝2，所以＝2.又sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝，解得所以sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝. 12.因为α∈，所以－α∈， 所以cos ＝. 因为β∈，所以＋β∈， 所以cos ＝－， 所以sin (α－β)＝sin (π－α＋β)＝sin [(－α)＋(＋β)]＝sin cos ＋cos (－α)sin (＋β)＝×＋×＝. 13.(1) 设射线OA为锐角θ0的终边，由A，得cos θ0＝，sin θ0＝，所以θ0＝， 射线OA绕点O逆时针方向旋转θ后交单位圆于点B，则射线OB为角θ＋的终边， 由三角函数的定义可得f(θ)＝cos ， 则f＝cos ＝cos (506π＋＋)＝cos ＝cos cos －sin sin ＝×－×＝. (2) 方法一：由题意，得f(β)＝cos ＝cos βcos －sin βsin ＝cos β－sin β＝， 联立sin2β＋cos2β＝1， 解得sinβ＝或sin β＝. 因为sin (α－β)cos α－cos (α－β)sin α＝sin (α－β－α)＝－sin β， 所以sin (α－β)cos α－cos (α－β)sin α的值为或. 方法二：因为f(β)＝cos ＝， 所以sin ＝±＝±. 由两角差的正弦公式，得sin(α－β)cos α－cos (α－β)sin α＝sin (α－β－α)＝－sin β. 当sin ＝时，sin β＝sin ＝sin (β＋)cos －cos sin ＝×－×＝， 所以sin (α－β)cos α－cos (α－β)sin α＝－sin β＝； 当sin ＝－时，则sin β＝sin ＝sin (β＋)cos －cos sin ＝－×－×＝－， 所以sin (α－β)cos α－cos (α－β)sin α＝－sin β＝. 综上，sin (α－β)cos α－cos (α－β)sin α的值为或. 学科网（北京）股份有限公司 $