9.3.2 向量坐标表示与运算（2）同步测试-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

9.3.2 向量坐标表示与运算（2）同步测试-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 一、单项选择题 1 (2025吴江月考)已知向量a＝(3，－1)，则a2等于(　　) A.10　 B.(10，－6) C.8 D.(8，－6)　 2 (2025重庆期中)若向量a＝(－2，－1)，b＝(λ，1)，a⊥b，则实数λ的值为(　　) A.2 B. C.－2 D.－ 3 (2025徐州月考)若向量a＝(，1)，b＝(1，)，则a与b的夹角为(　　) A. B. C. D. 4 (2025抚顺期中)已知点A(－1，－1)，B(2，－2)，C(0，1)，则向量在方向上的投影向量的坐标为(　　) A.(，) B.(，2) C. D.(1，2) 5 (2025连云港期中)若在边长为2的正方形ABCD内(含边界)有一动点P，则·的最大值是(　　) A.1 B.2 C.2 D.4 6 (2025青岛期中)已知点G是△ABC的外心，2＋＋＝0.若＝(1，2)，＝(－2，m)，则实数m的值为(　　) A. B. C. D.1 二、多项选择题 7 (2025日照期中)已知向量a＝(－2，2)，b＝(1，1)，且a＋b与a－b的夹角为θ，则下列结论中正确的是(　　) A.|a|＝2 B.a－b＝(－3，1) C.a⊥b D.cos θ＝ 8 (2025新乡期中)如图，在长方形ABCD中，已知AB＝3，AD＝1，＝λ(0<λ<1)，则下列结论中正确的是(　　) A.|＋|的最小值为2 B.当λ＝时，与夹角的余弦值为 C.当λ＝时，＝＋ D.对任意的λ∈(0，1)，·∈ 三、填空题 9 在△ABC中，已知AB＝AC＝5，BC＝8，D是AC的中点.若M为BC的中点，则·的值为________． 10 (2024青岛期中)已知向量a＝(1，2)，b＝(2，3)，若(a－λb)⊥2b，则λ＝________． 11 (2024台州期中)在平面向量a，b中，已知a＝(4，－3)，|b|＝1，且a·b＝5，则a与b的夹角为______，向量b的坐标为________． 四、解答题 12 已知向量a＝(1，2)，b＝(3，－2). (1) 求|a－b|的值； (2) 已知|c|＝，且(2a＋c)⊥c，求向量a与向量c的夹角． 13 在△ABC中，已知点A(2，4)，B(－1，－2)，C(4，3)，边BC上的高为AD. (1) 求证：AB⊥AC； (2) 求点D和向量的坐标； (3) 设∠ABC＝θ，求cos θ的值． 参 考 答 案 1.A　a2＝|a|2＝32＋(－1)2＝10. 2.D　由 a⊥b，得a·b＝－2×λ＋(－1)×1＝0，解得λ＝－. 3.A　由题意，得a·b＝×1＋1×＝2，|a|＝|b|＝＝2，设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝.又θ∈[0，π]，所以θ＝. 4.C　由题意，得＝(3，－1)，＝(1，2)，则向量在方向上的投影向量为·＝·＝(1，2)＝. 5.D　如图，以AB，AD所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，D(0，2).设P(x，y)(0≤x≤2，0≤y≤2)，则＝(2，0)，＝(x，y)，所以·＝2x.因为0≤x≤2，所以0≤·≤4，故·的最大值是4. 6.D　如图，取△ABC的边BC的中点D，则＋＝2.因为2＋＋＝0，所以2＋2＝0，即2＝0，故点G与点D重合且为BC的中点．又点G是△ABC的外心，所以△ABC是以BC为斜边的直角三角形，则⊥，故·＝－2＋2m＝0，解得m＝1. 7.BCD　对于A，|a|＝＝2，故A错误；对于B，a－b＝(－2，2)－(1，1)＝(－3，1)，故B正确；对于C，因为－2×1＋2×1＝0，所以a·b＝0，即a⊥b，故C正确；对于D，因为a＋b＝(－2，2)＋(1，1)＝(－1，3)，a－b＝(－3，1)，所以cos θ＝＝＝，故D正确．故选BCD. 8.AC　如图，以A为坐标原点，向量，的方向分别为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(3，0)，C(3，1)，D(0，1)，E(3λ，1).对于A，＋＝(3λ，1)＋(3λ－3，1)＝(6λ－3，2)，则|＋|＝，当6λ－3＝0，即λ＝时，|＋|取得最小值2，故A正确；对于B，当λ＝时，E(1，1)，＝(－1，－1)，＝(2，－1)，则与夹角的余弦值为＝＝－，故B错误；对于C，当λ＝时，E(2，1)，则＋＝(2，1)＋(－1，1)＝(0，1).又＝(0，1)，故C正确；对于D，·＝(－3λ，－1)·(3－3λ，－1)＝9－，当λ＝时，·取得最小值－，当λ＝0或λ＝1时，·的值为1，所以对任意的λ∈(0，1)，·∈，故D错误．故选AC. 9.8　以BC所在的直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，由AB＝AC＝5，BC＝8，得AO＝3，则A(0，3)，B(－4，0)，C(4，0)，D.当M为BC的中点时，有M(0，0)，＝(4，0)，＝，故·＝8. 10.　因为向量a＝(1，2)，b＝(2，3)，所以a－λb＝(1－2λ，2－3λ)，2b＝(4，6).因为(a－λb)⊥2b，所以(a－λb)·2b＝(1－2λ)×4＋(2－3λ)×6＝0，解得λ＝. 11. 0　 　因为a＝(4，－3)，所以|a|＝＝5.又|b|＝1，且a·b＝5，设a与b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|cos θ＝1×5cos θ＝5，解得cos θ＝1.又θ∈[0，π]，所以θ＝0，即a与b的夹角为0，所以a与b同向共线．又|b|＝1，所以b为a方向上的单位向量，所以b＝＝(4，－3)＝. 12.(1) 因为a＝(1，2)，b＝(3，－2)， 所以a－b＝(－2，4)， 所以|a－b|＝＝2. (2) 设向量a，c的夹角为θ， 因为a＝(1，2)，|c|＝，(2a＋c)⊥c， 所以|a|＝，(2a＋c)·c＝0， 所以2a·c＋c2＝0，所以2|a||c|cos θ＋|c|2＝0， 即2×××cos θ＋10＝0，解得cos θ＝－. 因为θ∈[0，π]，所以θ＝， 即向量a与向量c的夹角为. 13.(1) 由题意，得＝(－3，－6)，＝(2，－1). 因为·＝－3×2＋(－1)×(－6)＝0， 所以AB⊥AC. (2) 设点D的坐标为(x，y)， 则＝(x－2，y－4)，＝(5，5). 因为AD⊥BC， 所以·＝5(x－2)＋5(y－4)＝0.① 又＝(x＋1，y＋2)，与共线， 所以存在实数λ，使＝λ， 即(5，5)＝λ(x＋1，y＋2)， 所以 消去λ，得5(x＋1)－5(y＋2)＝0.② 联立①②，解得x＝，y＝， 所以点D的坐标为，＝. (3) 因为＝(3，6)，＝(5，5)， 所以cos θ＝＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $