9.3.2&9.3.3向量坐标表示与运算、向量平行的坐标表示 （题型专练）高一数学苏教版必修第二册

9.3.2向量坐标表示与运算9.3.3向量平行的坐标表示 题型一 平面向量的坐标表示 1．(24-25高一下·山东聊城·期末)已知点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用坐标表示向量即可. 【详解】由点，，得. 故选：D 2．(23-24高一下·天津第七中学·月考)已知向量与的夹角为，且，若点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题设可知，继而得到，由此即可解出点坐标. 【详解】由题意知与的长度相等，方向相反， 所以， 又因为， 设，则， 所以，解得，即， 故选：A 3．(23-24高一下·天津武清区天和城实验中学·月考)已知向量，则向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量线性运算的坐标表示求出即可 【详解】向量， 所以向量, 故选：D 4．已知为一组标准正交基，，，则在基下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】代入进行线性运算即可. 【详解】， 则在基下的坐标为. 故选：A. 5．(24-25高一下·甘肃兰州学府致远学校·期中)若点，点，则的坐标为___________． 【答案】 【分析】由终点坐标减去起点坐标即可得解. 【详解】若点，点，则的坐标为. 故答案为： 题型二 平面向量线性运算的坐标表示 1．若，，，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】利用向量加减法的坐标表示计算即得. 【详解】由， 则，，故． 故选：C. 2．(24-25高一下·重庆长寿区·期末)已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据坐标运算求解即可. 【详解】因为，所以， 故选：C 3．(24-25高一下·浙江台州·期末)已知平面向量，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的线性运算坐标表示即可求得结果. 【详解】因为向量，，所以， 故选：C 4．已知，，则____． 【答案】 【分析】利用平面向量的线性运算的坐标表示计算即得. 【详解】依题意，． 故答案为：. 5．(24-25高一下·上海浦东新区六校·期末)已知，则_________． 【答案】 【分析】设向量，得到，根据题意，列出方程组，求得的值，即可求解. 【详解】设向量，因为，可得， 因为，所以，解得，所以. 故答案为：. 题型三 向量共线的判断 1．已知，，有下列向量：①；②；③；④．其中，与平行的向量是（   ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】由坐标运算得，再根据向量平行的定理逐一判断即可． 【详解】已知，，则， 对于①，，故向量与平行； 对于②，，故向量与平行； 对于③，，故向量与平行； 对于④，由于，故向量与不平行； 所以与平行的向量是①②③中的向量． 故选：C． 2．（多选）已知向量，，则下列叙述中正确的是（    ） A．不论取何值都有 B．存在实数，使 C．存在实数，，使 D．存在实数，，使 【答案】AD 【分析】利用向量垂直的坐标表示判断A；利用共线向量的坐标表示推理判断BCD. 【详解】对于A，任意实数，，则，A正确； 对于B，，而方程无实数解，即不共线，B错误； 对于C，，若，则，而此方程无实数解，C错误； 对于D，令，则，无论为何值，都有，D正确. 故选：AD 3．(24-25高一下·广东东莞光明中学·月考)（多选）已知两点，，与平行，且方向相反的向量可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据向量的坐标运算得，再根据向量共线的坐标关系逐项判断即可得结论. 【详解】已知两点，，则， 对于A，，所以符合题意，A是； 对于B，，所以不符合题意，B不是； 对于C，，所以不符合题意，C不是； 对于D，，所以符合题意，D是. 故选：AD. 4．(24-25高一下·贵州六盘水水城区·) （多选）已知向量和均不共线，且，则向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据条件可得不共线，结合共线向量的坐标表示可得结果. 【详解】由题意得，不共线. A.∵，∴不共线，A正确. B.∵，∴，故为共线向量，B错误. C. ∵，∴不共线，C正确. D.∵，∴，故为共线向量，D错误. 故选：AC. 5．(24-25高一下·河南青桐鸣·期中)已知向量，，. (1)求向量； (2)证明：向量与共线； (3)已知实数、满足，求、的值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)， 【分析】（1）利用平面向量加法的坐标表示可求得向量的坐标； （2）利用平面向量共线的坐标表示可证得结论成立； （3）利用平面向量线性运算的坐标表示可得出关于、的方程组，即可解出这两个未知数的值. 【详解】（1）由题意可得． （2）因为向量，，所以，所以向量与共线． （3）因为，所以， 可得方程组，解得. 题型一 向量的线性运算求参数 1．(23-24高一下·河南郑州第一中学·期中)如图，在直角梯形中，，，，为的中点，若，则的值（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，由，利用向量相等求解. 【详解】解：建立如图所示平面直角坐标系： 则， 所以， 因为， 所以， 则，解得， 所以， 故选：B 2．(22-23高一下·四川眉山仁寿县文宫中学·期中)已知向量 满足 ， ， ，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D． 【答案】B 【分析】设出向量，的坐标，根据条件列出坐标方程，即可解出，的坐标，即可进一步列出含参数的坐标方程，从而解出参数，. 【详解】设，，又，， 所以，且， 解得，，即，.所以，则，解得，故. 故选：B. 3．(22-23高一下·山东菏泽·期中)我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，若E为AF的中点，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构建以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图直角坐标系，设，标注相关点的坐标，进而可得坐标，结合，应用向量线性运算的坐标表示列方程求出即可. 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图直角坐标系，设，又为的中点，    ∴，则， 由，得：， ∴，解得，则 故选：B. 4．(23-24高一下·广西桂林·)已知，，． (1)若，求，； (2)若，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据平面向量线性运算的坐标表示可得，即可求解； （2）设 ，根据平面向量线性运算的坐标表示和建立关于x、y的方程组即可求解. 【详解】（1）依题意得，， 则，所以， 所以，． （2）由（1）知，，所以． 设点的坐标为，则， 因为，所以，， 所以，，故点的坐标为． 5．(23-24高一下·江苏海门中学·调研)设是平面直角坐标系内的四点，已知点. (1)若，求点的坐标； (2)若，求点的坐标； (3)若，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设，由坐标对应相同可得点的坐标； （2）设，由坐标对应相同可得点的坐标； （3）由坐标对应相等得到的值. 【详解】（1）设，， 因为，所以，解得， 所以点的坐标为； （2）设，则， 因为，所以，解得， 所以点的坐标为； （3）， 所以， 因为，所以，解得， 所以. 题型二 利用坐标求向量的模 1．(23-24高一下·江苏盐城阜宁县·期中)已知向量，则向量的模为（    ） A． B．4 C．2 D． 【答案】C 【分析】求出向量的坐标，再求模长. 【详解】因为向量， 所以向量， 所以. 故选：C. 2．(25-26高一上·江苏南京师范大学附属中学·期末)若向量与垂直，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两向量垂直的坐标关系求出，再利用向量模长的计算公式求解. 【详解】，所以，所以， 所以. 故选：A 3．(25-26高一上·江苏南通如皋创新班·期末)如图，直角梯形，，，，分别为的中点，满足，则为（    ）    A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】以为原点建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算求. 【详解】以为原点建立平面直角坐标系，如图：    设（），则，所以，， 所以，， 由 ，又，所以. 所以 . 故选：B 4．已知平面向量，且，则（    ） A．9 B．3 C．4 D．16 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用垂直关系的向量表示及数量积运算律求得，进而求出目标值. 【详解】由，得，由，得 则，而，所以. 故选：C 5．（多选）已知向量与向量垂直，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】利用向量垂直的坐标公式和向量的模的坐标公式求解. 【详解】由题意，设，则，， 解得或，则或． 故选：CD. 题型三 向量的数量积 1．(24-25高一下·贵州名校协作体·)若向量，且向量在向量上的投影向量为，则（   ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】由投影向量的公式可知，结合条件可得. 【详解】由题意可知，，则， 因为，所以，则. 故选：C 2．已知在等腰三角形中，，，是的中点，且，则（    ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】以为坐标原点，所在的直线分别为轴建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标公式计算可得结果. 【详解】在等腰三角形中，是的中点， 所以，所以， 以为坐标原点，所在的直线分别为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，所以，， 则. 故选：D. 3．已知平面向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由平面向量数量积的坐标表示公式即可求解. 【详解】由平面向量数量积的坐标表示公式得. 故选：C. 4．如图，在平面凸四边形中，，则___________．    【答案】17 【分析】建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】建立如下图所示的平面直角坐标系， 因为， 所以点的坐标分别为，，， 过点作，垂足为， 因为， 所以点也是的中点， 因此， 所以由勾股定理可得， 因此点的坐标为， 所以. 故答案为：    5．(24-25高一下·甘肃定西临洮县·期末)已知，向量，. (1)若 ，求； (2)若，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过向量平行的坐标关系得出的值，代入差角的正切表达式求得结果； （2）利用向量点积的坐标运算列等式，整理后转化为正弦函数形式，结合角度范围求解. 【详解】（1）由，得，即，故. . （2），整理得， 即，变形为，故. 因，则，解得， 即. 题型四 向量的夹角 1．已知向量，则向量与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题设条件先求出的坐标，再由两向量夹角的坐标公式计算即得. 【详解】因为， 所以． 故选：A. 2．已知正方形的边长为2，为边的中点，为边上一点，当时，（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，设，则，，利用平面向量数量积的运算性质可得出的值，利用向量的夹角公式求出的值，即可得，再利用同角三角函数关系求得的值. 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系如图所示， 则、，设，则，，故，. 所以， 当时，，即，则， 故， 则， 结合题意可知为锐角，则可得，则， 故. 故选：A 3．(25-26高一·浙江台州书生中学·)若向量，，则__________. 【答案】 【分析】由向量夹角的坐标表示，代入数据即可求解. 【详解】由，， 得， 则，，， 所以， 又， 所以， 故答案为： 4．已知向量，其中，则______，与夹角的余弦值为______． 【答案】 10 【分析】根据平面向量线性运算和数量积的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】因为， 所以， 所以， 设与的夹角为， 则． 故答案为：10； 5．已知向量，若，则___________．（写出一个值即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】先根据已知条件，两边平方，化简整理可得，再根据向量数量积的坐标运算，即可求得，进而可得，从而可求得的值. 【详解】因为，所以， 所以，所以， 又，所以， 所以，所以， 所以，当时，可得. 故答案为：（答案不唯一） 题型五 投影向量 1．在平面直角坐标系 中，已知点 ，，，若向量，在上的投影向量相等，则 的值是（    ） A．0 B． C． D．3 【答案】A 【分析】根据数量积的坐标表示，代入投影向量公式，即可求解. 【详解】，，， 由条件可知， 所以，即，即. 故选：A 2．（多选）下列说法正确的是（   ） A． B．非零向量和，满足，且和同向，则 C．非零向量和满足，则 D．已知，，则在上的投影向量的坐标为 【答案】AC 【分析】根据向量的运算性质、向量的比较、向量垂直的判定及向量投影向量，对每个选项进行分析即可. 【详解】选项A：根据数量积的运算律可知，，故选项A正确； 选项B：向量不能比较大小，故选项B错误； 选项C：非零向量和满足，则， 即，所以，则，故选项C正确； 选项D：因为，， 所以，， 所以在上的投影向量为，故选项D错误． 故选：AC. 3．（多选）已知平面向量，，则（    ） A． B． C．与的夹角为锐角 D．在上的投影向量为 【答案】ACD 【分析】A利用向量的模的计算公式；B利用数量积的运算律以及向量的坐标运算；C利用公式；D利用公式 【详解】因，则，故A正确； 因，， 则，故B错误； ，故C正确； 在上的投影向量为，故D正确. 故选：ACD 4．已知向量满足，若向量在向量方向上的投影向量的坐标为，则__________. 【答案】 【分析】由题意可得，进而求得，利用可求解. 【详解】由题意可得，又，， 所以， 所以，所以，又， 所以. 故答案为：. 5．已知向量，，则_____________，在上的投影的数量为_____________． 【答案】 / / 【分析】由向量夹角余弦公式结合数量积、模长以及投影数量的坐标运算公式即可计算求解. 【详解】由题 ； 在上的投影数量 ． 故答案为：； 题型六 由向量共线求参数 1．(25-26高一上·湖南长沙长郡中学·期末)已知向量，且 ，则（    ） A．2 B．3 C．2或3 D．或 【答案】C 【分析】应用向量平行的坐标关系计算求解. 【详解】因为向量，又因为 ， 所以， 即，解得或. 故选：C. 2．已知，，三点共线，则的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】由三点坐标求出向量的坐标，根据三点共线得出向量共线，再向量共线的坐标公式列方程，即可解出的值. 【详解】根据题意，向量，向量， 因为三点共线，所以向量共线， 则，解得. 故选：D. 3．已知向量，.若，且方向相反，则（    ） A． B． C．2 D．5 【答案】B 【分析】法一：由共线判定定理即可求解，法二：由向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】方法一：依题意可设（）， 则， 所以解得， 故选：B. 方法二：因为， 所以，解得或. 根据向量，方向相反可知， 当时，，符合题意. 当时，，，两向量方向相同，不符合题意，舍去. 故选：B 4．（多选题）已知向量与向量共线，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】由向量共线设出的坐标，再利用向量模的坐标表示列式求解. 【详解】由，设，而， 则，解得， 所以或． 故选：AB 5．(25-26高一上·山东日照·期末)已知平面内三个向量，，. (1)若，求实数，的值； (2)若，求实数的值； (3)已知，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3). 【分析】（1）根据平面向量线性运算的坐标表示得到方程组，解得即可； （2）求出、的坐标，根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可； （3）表示出，利用坐标法计算，结合二次函数的性质计算可得. 【详解】（1），又，，， 即， ，解得. （2）因为，， 又， ，即，解得. （3）因为， 所以， 所以当时，取最小值. 题型一 向量垂直的应用 1．已知向量，若，则（   ） A． B．2 C． D．6 【答案】C 【详解】因为，所以， 得. 2．已知向量，，若，则实数（    ） A．1 B．2 C．－2 D．－1 【答案】B 【分析】由向量垂直的坐标表示，列出等式求解即可. 【详解】由已知得， 因为 ， 所以，解得， 故选：B． 3．已知向量，，，若，则（   ） A． B． C．1 D．5 【答案】C 【分析】首先求出的坐标，依题意可得，根据向量数量积的坐标运算得到方程，解得即可； 【详解】因为，，，所以， 因为，所以，解得. 故选：C. 4．（多选）已知向量，若与垂直，则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】BC 【分析】利用向量垂直的坐标运算求解即可. 【详解】因为向量，且与垂直， 所以． 故选：BC 5．已知向量，若，则实数__________． 【答案】4 【分析】由题意可知，则求解即可. 【详解】由题意得，因为，所以，解得 故答案为：4. 题型二 向量模长的最小值 1．已知平面向量、满足，且，则在上投影向量的模的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设平面向量、夹角为，得到在上投影向量的模为，令，由，平方得到，结合，得到，求得的范围，即可求解. 【详解】设平面向量、夹角为， 则在上投影向量的模为，且， 由，平方可得， 又因为， 可得：， 令，则， 由， 所以，整理得：， 解得：， 即， 所以， 即在上投影向量模的最小值为 故选：D 2．已知向量，若与的夹角不超过，则的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意确定，再通过求其范围，即可求解. 【详解】由题意设，得，且， 因为，在单位圆上取，    因为与的夹角不超过， 所以， 所以， 又，所以， 所以， 所以， 故的范围是， 故选：A 3．(25-26高一下·浙江平阳中学等校·)已知，满足，且，则在上的投影向量的模的最小值为______. 【答案】/ 【分析】利用向量的模、数量积等性质建立关于的不等式，进而求解投影向量的模的最小值. 【详解】解法1：已知，则， 又，满足， 则， 则， 又，即， 即，又， 即， 则在上投影向量为， 所以， 即在上投影向量的模的最小值为. 解法2：由， 又，故， 在上投影向量的模为， 由，得， 故投影向量的模为， 当时，在上的投影向量的模最小，最小值为， 所以在上投影向量的模的最小值为. 4．已知向量满足，且，则的最小值为________． 【答案】 【分析】解法一：由题意可得，再结合即可求解；解法二：设，取线段上靠近的三等分点，则，且，以所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，设， 则，所以的最小值为，即的最小值为． 【详解】解法一：由， 即， 而（为与的夹角）， 所以， 解得， 所以的最小值为． 解法二：设，由，得， 取线段上靠近的三等分点，则，且． 由，得． 如图，以所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，则． 设，由，得，易得点的轨迹是圆， 所以的最小值为，所以的最小值为， 即的最小值为． 故答案为：． 5．已知与，要使最小，则实数的值为____________，的最小值为____________． 【答案】 【分析】先求出向量的坐标，然后利用向量的模长公式得出关于的表达式，利用二次函数的基本性质求出的最小值以及对应的值，可得出结果. 【详解】， ． 当时，有最小值． 故答案为：， 题型三 数量积最值与取值范围问题 1．在等腰梯形中，，，，为线段上的动点（包括端点），则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解法1：建立平面直角坐标系，设，其中，利用坐标法计算可得；解法2：设在上的投影长为，则，再根据数量积的几何意义计算可得. 【详解】解法1：如图以为原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系， 过点作垂足为，过点作垂足为， 在等腰梯形中，，，，所以，， 则，，设，其中， 所以，， 所以，即的取值范围是. 解法2：设在上的投影长为，则，所以. 故选：C. 2．已知正方形的边长为1，为线段的中点，为边上的动点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立平面直角坐标系，根据平面向量数量积坐标运算即可求解. 【详解】以为坐标原点，为轴，为轴建立如图所示的平面直角坐标系，    则，，，设， ，， 则. 故选：C 3．已知正方形ABCD的边长为2，点M，N分别为边AB，DA上的动点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以点为原点，建立平面直角坐标系，设和，利用向量的数量积的坐标运算公式，得到，即可求解. 【详解】以点为原点，以和所在直线分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系， 如图所示，设，， 可得，则． 故选C． 4．在平面直角坐标系中，原点，已知，，是线段AB上的动点（含端点），且为的中点，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】可设（），利用表示出，再利用二次函数值域的求法求解. 【详解】如图： 设（）， 则 ， 又， 所以 . 所以 ，（）. 所以当时，取得最小值，为； 当时，取得最大值，为. 所以. 5．在平面直角坐标系中，已知点是轴上的两个动点，且，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】根据题意，将点位置分成在点左侧和在点右侧两种情况考虑，结合平面向量的数量积的坐标表示、二次函数的性质求解即可. 【详解】当点在点左侧时，设， 则， 所以， 则时，取得最小值为； 当点在点右侧时，设， 则， 所以， 则时，取得最小值为. 综上所述，的最小值为. 故答案为：. 题型四 向量夹角为锐角钝角问题 1．(24-25高一下·辽宁大连第二十四中学·期中)已知向量，且，的夹角为钝角，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用向量夹角公式及向量共线的坐标表示，列式求解. 【详解】向量，由，的夹角为钝角，得且不共线， 则，解得且， 所以的取值范围为. 故选：D 2．(24-25高一下·江西吉安·期末)已知向量，，若，的夹角为锐角，则的取值范围是_________． 【答案】 【分析】，的夹角为锐角的充要条件是，的数量积大于0且不共线，由此列不等式求解即可. 【详解】因为，，，的夹角为锐角， 所以且，解得且， 即的取值范围是. 故答案为：. 3．(24-25高一下·河南商丘百师联盟·期末)已知平面向量． (1)若，且，求和的值； (2)若，求的值； (3)若与的夹角为锐角，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据线性向量的坐标表示列出关于的方程组，然后求解即可. （2）先根据向量的垂直坐标表示求出的值，然后根据向量的模的计算公式进行求解即可. （3）根据向量的数量积和向量的夹角计算公式可列出不等式方程组，从而求出的范围. 【详解】（1）因为， 所以解得． （2）若，则，解得， 所以，，. （3）因为与的夹角为锐角，所以且不同向，即 解得且，即的取值范围是． 4．(24-25高一下·辽宁名校联盟·)已知平面直角坐标系中，为坐标原点，点． (1)求在上的投影向量（用坐标表示）； (2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据给定条件，利用投影向量的定义求解. （2）利用向量夹角公式及向量共线的坐标表示求出范围. 【详解】（1）依题意，，，， 所以在上的投影向量为. （2）由（1）得，由与的夹角为锐角， 得，且与不共线， 即，解得且， 所以的取值范围为． 5．(24-25高一下·贵州贵阳第三实验中学·)已知平面向量，，，. (1)若，求的值； (2)若，当时，求的值. (3)若与的夹角是钝角，求的取值范围. 【答案】(1)或 (2) (3)且 【分析】（1）根据向量垂直的坐标表示即可求出的值. （2）首先根据向量平行求出的值，然后得到向量的坐标，进而求得向量的模. （3）根据向量的夹角是钝角，列出不等式即可求得的范围. 【详解】（1）因为，， 所以，解得或者. （2）当时，，解得. 所以，， 所以. （3）因为与的夹角是钝角， 所以且， 解得且. 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 9.3.2向量坐标表示与运算9.3.3向量平行的坐标表 示 题型一平面向量的坐标表示 基础达标题 题型二平面向量线性运算的坐标表示 题型三向量共线的判断 题型一向量的线性运算求参数 题型二利用坐标求向量的模 题型三向量的数量积 能力提升题 向量坐标表示与运算&向量平行的坐标表示 题型四向量的夹角 题型五投影向量 题型六由向量共线求参数 题型一向量垂直的应用 题型二向量模长的最小值 拓展培优题 题型三数量积最值与取值范围问题 题型四向量夹角为锐角钝角问题 基础达标题 题型一平面向量的坐标表示 1,(24-25高一下山东聊城期末)已知点A(-1,3),B(1,2)，则A=() A.(-2,-1) B.(-21) C.(-1,2) D.(2,-1) 2.(23-24高一下天津第七中学，月考)已知向量A与=(6，-8)的夹角为π，且A=,若点A的坐 标为(-1,2)，则点B的坐标为() A.(-7,10) B.(7,10) c.(5,-6) D.(-5,6) 3.(23-24高一下.天津武清区天和城实验中学月考)已知向量可A=(-1,2,0方=(1，~1)，则向量A的坐 标为() A.（-2,3 B.(0,1 c.（-1,2 D.(2,-3 4.已知{i}为一组标准正交基，a=了+了，石=1-j,则号a-郭在基{i,}下的坐标为() 1/9 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.（-1,2) B.(1,-2) c.(-1,-2) D.(1,2) 5.(24-25高一下.甘肃兰州学府致远学校期中)若点A(5,3)，点B(1,2),则A的坐标为 题型二平面向量线性运算的坐标表示 1.若A=（1,1,Ai=(0,1,C2-C⑦=（a,b,则a+b=() A.-1 B.0 C.1 D.2 2.24-25高一下重庆长寿区期末已知向量=(（1,2，石=（-3,4)，则3+46=() A.（-3,6 B.（-3,10 Cc.（-9,22 D.（-9,18 3.(24-25高一下浙江台州期末)已知平面向量=(2,3)，6=(3,4)，则2-6=（) A.（1,2) B.(1,-2) c.(7,2) D.(7,-2) 4.已知a=(35),6=（-2,1,则-26= 5.(24-25高一下.上海浦东新区六校期末)已知2a-万=（-2,36=(2，-5)，则a= 题型三向量共线的判断 1.已知A(4,6),B(-3,),有下列向量：①a=(号，3)：②6=(7，号)：③c=(-号，-3)：④ ā=(-7,9.其中，与A平行的向量是() A.①② B.①③ C.①②③ D.①②③④ 2.(多逃)已知向量=(x3),石=(-3，x),则下列叙述中正确的是（) A.不论x取何值都有三⊥b B.存在实数x,使(a+b)/a c.存在实数x,m,使(mi+b)/日D.存在实数x,m,使(ma+b)/b 3.(24-25高一下广东东莞光明中学.月考)（多选）已知两点A(2,-1),B(3,1),与AB平行，且方向相 反的向量可能是() A.a=（-1,-2B.a=(9,3 c.a=(-1,2 D.=(-4,-8) 4.(24-25高一下贵州六盘水水城区)（多选）已知向量品和豆，均不共线，且品=xa+yb(xyER), 则向量a,b可以是() 2/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.a=(1,3),b=(3,-1) B.a=(2,-4),6=(-1,2) C.a=(3,2),6=(3,2) D.=(0,2),b=(0,1) 5.(24-25高一下河南青桐鸣期中)已知向量a=(1,1),6=(-2,-2),飞=(2,3). (1)求向量6+： (2)证明：向量a与6共线： (3)已知实数x、y满足(-3,8)=xa+y元，求x、y的值. B 能力提升题 题型一向量的线性运算求参数 1.(23-24高一下.河南郑州第一中学.期中)如图，在直角梯形ABCD中，AB|DC,AD⊥DC, AD=DC=2AB=4,E为AD的中点，若CA=C2+uDB(入，u∈R),则7+u的值() B A.号 8. C.2 D. 2.(22-23高一下.四川眉山仁寿县文宫中学期中)已知向量后，石满足2-b=(0,3),京-2b=(-3,0), a+6=(-1,1),则7+4=() A.-1 B.0 C.1 D.25 3.(22-23高一下山东菏泽，期中)我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图"给出了勾股定理 的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，若E 3/9 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 为AF的中点，E元=A店+AD,则入+4=() 0 H G B A.号 B. C. D.吉 4.(23-24高一下广西桂林)已知A(0,1),B(3,2),C(-15) (1)若AB-2A=(m,n),求m,n: (2)若A⑦=2AB+4AC,求点D的坐标。 5.(23-24高一下.江苏海门中学.调研)设AB,C,D是平面直角坐标系xOy内的四点，已知点 A(3,1),B(-2,2),C(-1,4) (1)若A=C⑦，求点D的坐标： 2)若驴=2PB,求点P的坐标； 3)若O元=OA+uOB(入，uER),求入μ的值. 题型二利用坐标求向量的模 1.(23-24高一下江苏盐城阜宁县期中)已知向量=(0，-23)，石=（1，V5),则向量+6的模为() A.V5+1 B.4 C.2 D.27 2.(25-26高一上江苏南京师范大学附属中学期末若向量=(x2)与6=(1，-1)垂直，则+= () A.V10 B.10 2 c.v2 .9 3.(25-26高一上江苏南通如皋创新班期末)如图，直角梯形ABCD,AD=2,AD⊥AB,AB=2DC, E,F分别为BC,CD的中点，满足A.A应=14，则C⑦为() 4/9 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D F A.2 B.4 C.6 D.8 4.已知平面向量a=(5,-1同=4，且（自-2）1，则1a-6=() A.9 B.3 C.4 D.16 5.(多选)已知向量6与向量=(1，-2)垂直，且6=35，则6=() A.(3,6) B.3,-6) c.(6,3) D.(-6,-3) 题型三向量的数量积 1.(24-25高一下贵州名校协作体若向量6=(1，V5),且向量在向量6上的投影向量为号6，则a6=() A.克 B.1 C.2 D.4 2.已知在等腰三角形ABC中，AB=AC=10,BC=12,D是BC的中点，且A=P方，则PB.P元= () A.-16 B.-10 C.0 D.-20 3.已知平面向量=(3-1,6=(1,2，则6=() A.-1 B.-3 c.1 D.2 4.如图，在平面凸四边形ABCD中，AB=BC=5,AC⊥CD,AC=CD=8,则BA.BD= D 5.(24-25高一下甘肃定西临挑县期末)已知a∈(0，π)，向量a=(sin%,cosc),b=(2,1): (1)若a/川b,求tan(c-): (2)若a.i=2√2+3cosa,求a. 5/9 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型四向量的夹角 1.已知向量=（-2,0+石=（-1,3，则向量与6夹角的余弦值为() A c..vo 5 2.己知正方形ABCD的边长为2，E为边BC的中点，F为边CD上一点，当AE.A=4时，tan∠EAF= () A.星 B.影 c.青 D. 3.(25-26高一浙江台州书生中学若向量=(1,2)，6=(2，-1)，则(-五，)= 4.已知向量a=3E1-2b=4+E2,其中可1=(1,0)，E2=(0,1),则a.6=,与6夹角 (京，)的余弦值为一 5.已知向量a=(cos6,sin8),b=（1,V5),若目+=|a-,则8= ·(写出一个值 即可) 题型五投影向量 1.在平面直角坐标系x0y中，已知点A(a,1),B(1,-b),C(2,2),若向量OA,OB在0元上的投 影向量相等，则a+b的值是() A.0 B.2 C.-2 D.3 2.(多选)下列说法正确的是() A.（a+b).e=a:e+b B.非零向量和6，满足<，且和6同向，则< c.非零向量a和配满足a+=a-,则上6 D.已知a=(2,V5),=(1,V5),则在品上的投影向量的坐标为（复，零） 3.(多选)已知平面向量=(1,3)，6=(2,1)，则() A.=V10 B.（2a-6)16 C.a与6的夹角为锐角 D.在6上的投影向量为(-寻，) 4.已知向量6满足=4，石=(2,2，若向量在向量品方向上的投影向量的坐标为(1,1，则后+= 6/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 5.已知向量=(3,3)，石=（-2,5，则cos(a,b)= ,在6上的投影的数量为 题型六由向量共线求参数 1.(25-26高一上湖南长沙长郡中学.期末)已知向量a=(x,x-6),6=(1,x-4),且后//石，则x= () A.2 B.3 C.2或3 D.-2或-3 2.已知A(1,2),B(1,-1),C(m,5)三点共线，则m的值为() A.4 B.3 C.2 D.1 3.已知向量a=(m-1,2),b=(3,m+4)若a6,且方向相反，则m=（) A.-2 B.-5 C.2 D.5 4.(多选题)已知向量6与向量a=(1,-2)共线，且=3V5,则6=() A.(-3,6) B.(3,-6) c.(6-3) D.(-6,3) 5.(25-26高一上山东日照期末)已知平面内三个向量=(1,3)，石=(-1,2)，c=(2,1). (1)若a=mb+nc,求实数m,n的值； 2)若(+k)/八26-)，求实数k的值； 3)已知t∈R,求+t的最小值. 拓展培优题 题型一向量垂直的应用 1.已知向量=(x,2),6=(2,1),若(+26)16，则x=() A.-2 B.2 c.-6 D.6 2.已知向量a=(5,0),6=(2,1),若(a+t6)1b,则实数t=（) 7/9 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.1 B.2 C.-2 D.-1 3.已知向量a=(1,0),6=(2,3),c=(1,-1),若(a+)1,则7=() A.-5 B.-1 C.1 D.5 4.(多选)已知向量a=(1,n),=(-1,n),若23-6与6垂直，则n=() A.1 B.V3 c.-5 D.2 5.已知向量a=(1,0),=(0,-2),若(m-b)1(a+),则实数m= 题型二向量模长的最小值 1.已知平面向量、6满足+2=1，且=(1，-1)，则6在上投影向量的模的最小值为（) A.2v B.2+1 2 c.29 D.呼 2.已知向量=(cos8,sim)石=(1，V3,若与6的夹角不超过号，则后-的范围是() A.[,5 B.[] c.[1,3 D.[京] 3.(2526高一下浙江平阳中学等校)已知a,6满足a+=1,且a=(1,-1),则6在上的投影向量的 模的最小值为 4.已知向量6满足2+=3，且.（a-石)=3，则a-的最小值为 5.已知=(2,1)与6=(1,2)，要使+t最小，则实数t的值为 目+t的最小值 为 题型三数量积最值与取值范围问题 1,在等腰梯形ABCD中，AB/DC,AB=2,CD=1,E为线段CD上的动点（包括端点），则A正，A 的取值范围是() A.[克，1] B.[3,] c.[1,3] D.[,3] 2.已知正方形ABCD的边长为1，E为线段AB的中点，F为CD边上的动点，则E示.A花的取值范围为() A.[-,] B.[-] c.[] D.[-1] 3.已知正方形ABCD的边长为2，点M,N分别为边AB,DA上的动点，则A.MN的取值范围是() A.[-4,1] B.[-2W2,2y2]c.[-4,0] D.[-2y2,1] 4.在平面直角坐标系中，原点0(0,0)，已知A(告写)，(1,0，C是线段B上的动点（含端点），且D为 8/9 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 OA的中点，则O元.C方的取值范围是 5.在平面直角坐标系中，已知点A(0,-2),B(0,2),E,F是x轴上的两个动点，E=2,则A正.B户 的最小值为 题型四向量夹角为锐角钝角问题 1.(24-25高一下辽宁大连第二十四中学期中)已知向量a=（-5,m,石=(2m-1,-3,且3，的夹角为 钝角，则m的取值范围为() A.(,+m) B.（,-U(-,) c.（-∞，) D.(,3)U(3+ 2.(24-25高一下江西吉安期末)已知向量=(3，-1)，乙=(2入，-3)，若，6的夹角为锐角，则入的取 值范围是 3.(24-25高一下河南商丘百师联盟期末)已知平面向量a=(2,-3),=(3,m),m∈R. (1)若c=(7,-5),且=xa+b,求x和m的值； (2)若16，求+2的值； (3)若三与的夹角为锐角，求m的取值范围. 4.(24-25高一下辽宁名校联盟)已知平面直角坐标系中，0为坐标原点，点A(1,-2),B(-2,6) (1)求0B在OA上的投影向量（用坐标表示）： (2)若0A与0A+10B的夹角为锐角，求实数的取值范围. 5.(24-25高一下贵州贵阳第三实验中学)已知平面向量=(1，x),6=(2x+3,-x),=(3,5), XER. (1)若1b,求x的值； 2)若x≠0，当ā//6时，求2a-的值. (3)若三与的夹角是钝角，求x的取值范围。 9/9