9.3.2 第2课时 向量数量积的坐标表示 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套练习word（苏教版）

9.3.2 第2课时 向量数量积的坐标表示 [课时跟踪检测]　　　　　　 　　　　　 　　　　　 1.(2022·全国乙卷)已知向量a=(2，1)，b=(-2，4)，则|a-b|= (　　) A.2 B.3 C.4 D.5 解析：选D　由题意知a-b=(2，1)-(-2，4)=(4，-3)，所以|a-b|==5，故选D. 2.若向量a=(1，1)，b=(0，-1)，则a与b的夹角等于 (　　) A.- B. C. D. 解析：选D　因为cos<a，b>===-，又<a，b>∈[0，π]，所以<a，b>=，即a与b的夹角等于.故选D. 3.(2024·新课标Ⅰ卷)已知向量a=(0，1)，b=(2，x)，若b⊥(b-4a)，则x= (　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 解析：选D　因为b⊥(b-4a)，所以b·(b-4a)=0，所以b2-4a·b=0，即4+x2-4x=0，解得x=2，故选D. 4.已知向量a=(1，)，b=(3，m).若向量a，b的夹角为，则实数m等于 (　　) A.2 B. C.0 D.- 解析：选B　因为a=(1，)，b=(3，m)，所以|a|=2，|b|=，a·b=3+m.又a，b的夹角为，所以cos ===， 所以+m=，解得m=. 5.(多选)已知向量a，b在平面直角坐标系中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长均为1，则 (　　) A.a·b=4 B.向量b在向量a上的投影向量为a C.(a+b)⊥(a-b) D.若c=(-1，2)，则c∥(a-b) 解析：选BD　由题图可知a=(3，0)，b=(2，2)，则a·b=2×3+0×2=6，故A错误;向量b在向量a上的投影向量为·=·=a，故B正确;因为a+b=(5，2)，a-b=(1，-2)，则(a+b)·(a-b)=5×1+2×(-2)=1，所以a+b与a-b不垂直，故C错误;因为c=(-1，2)，a-b=(1，-2)，则c=-(a-b)，所以c与a-b平行，故D正确.故选BD. 6.已知向量a=(-1，2)，b=(3，4)，c=2a-λb，若c⊥b，则实数λ= (　　) A.- B. C.- D. 解析：选D　由题意得c=2a-λb=2(-1，2)-λ(3，4)=(-2-3λ，4-4λ)，b=(3，4)，且c⊥b，所以c·b=3(-2-3λ)+4(4-4λ)=0，解得λ=. 7.在△ABC中，BC=6，AB=4，∠CBA=，设点D为AC的中点，E在BC上，且·=0，则·= (　　) A.16 B.12 C.8 D.-4 解析：选A　由题意以B为原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则A(4，0)，B(0，0)，C(0，6)，D(2，3)， 设E(0，b)，则=(-4，b)， =(2，3)，=(0，6). 由题意可知·=0， 即(-4，b)·(2，3)=0，即-8+3b=0，解得b=.所以E， =，所以·=16. 8.(5分)已知点A(1，0)，B(-2，1)，向量e=(0，1)，则在e方向上的投影向量的模为　　　　.  解析：由A(1，0)，B(-2，1)，可得=(-3，1)，所以在e方向上的投影向量的模为==1. 答案：1 9.(5分)已知向量a=(-2，3)，非零向量b满足a⊥b，则b=　　　　.(写一个向量坐标即可)  解析：设b=(x，y)，则由a⊥b得a·b=-2x+3y=0，取x=3，则y=2，b=(3，2). 答案：(3，2) 10.(5分)如图，在2×4的方格纸中，若向量a，b的起点和终点均在格点，则向量a+b，a-b夹角的余弦值是　　　　.  解析：设每个小正方形的边长为1，建立如图所示的平面直角坐标系，则a=(2，-1)，b=(3，2)，所以a+b=(5，1)，a-b=(-1，-3). 所以(a+b)·(a-b)=-5-3=-8，|a-b|=，|a+b|=.所以向量a+b，a-b夹角的余弦值为=-. 答案：- 11.(5分)已知平面向量=(-1，k)，=(2，1)，若△ABC是直角三角形，则k的取值可能是　　　　.  解析：因为=(-1，k)，=(2，1)，所以=-=(3，1-k). 若A=90°⇒·=0，∴-2+k=0⇒k=2;若B=90°⇒·=0， ∴-3+k(1-k)=0，无解;若C=90°⇒·=0，∴6+(1-k)=0⇒k=7. 答案：2或7 12.(10分)已知点A(-2，1)，B(6，-3)，C(0，5)，求证：△ABC是直角三角形. 证明：因为A(-2，1)，B(6，-3)，C(0，5)， 所以=(8，-4)，=(2，4)，=(-6，8). 所以||===4， ||===2， ||===10. 所以|AB|2+|AC|2=|BC|2，即△ABC是直角三角形. 13.(10分)在平面直角坐标系xOy中，点A(-1，-2)，B(2，3)，C(-2，-1). (1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线的长;(5分) (2)设实数t满足(-t)·=0，求t的值.(5分) 解：(1)由题设知=(3，5)，=(-1，1)，则+=(2，6)，-=(4，4).所以|+|=2，|-|=4.故所求的两条对角线的长分别为2，4. (2)由题设知，=(-2，-1)，-t=(3+2t，5+t)，由(-t)·=0，得(3+2t，5+t)·(-2，-1)=0，从而5t=-11，所以t=-. 14.(10分)已知向量a=(-3，0)，b=(μ+3，-1)，c=(1，λ). (1)若λ=8，μ=-6，求向量a-c与b的夹角;(5分) (2)若(a+b)⊥c，且a在c上的投影向量的模为1，求λ与μ的值.(5分) 解：(1)当λ=8，μ=-6时，b=(-3，-1)，c=(1，8)，a-c=(-4，-8).设向量a-c与b的夹角为θ，则cos θ===.因为θ∈[0，π]，所以向量a-c与b的夹角为. (2)由题意知，a+b=(μ，-1)，c=(1，λ).因为(a+b)⊥c，所以(a+b)·c=μ-λ=0，得μ=λ.又因为a在c上的投影向量的模为1，则=1，所以=3，解得λ=μ=2或λ=μ=-2. 15.(15分)在平面直角坐标系中，O是坐标原点，向量=(3，1)，=(2，-1)，=(a，b)，其中a>0，b>0. (1)若与的夹角为45°，求的值;(6分) (2)若⊥，求+的最小值.(9分) 解：(1)由题意知向量=(2，-1)，=(a，b)，因为与的夹角为45°，所以cos<>===，解得=(负值舍去). (2)因为=-=(-1，-2)，=-=(a-3，b-1)，又⊥，所以·=(-1)·(a-3)+(-2)·(b-1)=0，即得a+2b=5.又a>0，b>0，故+=(a+2b)·=≥，当且仅当=且a+2b=5，即a=，b=时取得等号，所以=. 学科网（北京）股份有限公司 $