9.4.1 向量应用（1）同步测试-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

9.4.1 向量应用（1） 同步测试-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

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一、单项选择题

1 在四边形ABCD中，若·＝0，且＝，则该四边形是(　　)

A.平行四边形    B.矩形

C.直角梯形      D.矩形或直角梯形

2 (2025靖远一中期末)已知三个力F1＝(3，4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3，1)同时作用于某质点上，若对该质点再施加一个力F4，该质点恰好达到平衡状态(合力为零)，则F4等于(　　)

A.(8，0)      B.(8，－8)   

C.(－8，0)    D.(－8，8)

3 (2025榆林期中)一物体在力F的作用下，由点A(1，4)移动到点B(6，2).若F＝(－1，3)，则F对物体所做的功为(　　)

A.－11    B.11

C.－1     D.1

4 在△ABC中，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，点D在边BC上，且BD＝BC，则AD的长度为(　　)

A.    B.

C.    D.

5 (2025福州期中)已知一条河的两岸平行，一艘船从河的岸边A处出发，向对岸航行，若船的速度v1＝(m，3m)(m>0)，水流速度v2＝(－3，0)，且船实际航行的速度的大小为9，则m等于(　　)

A.3      B.

C.    D.12

6 (2025如皋中学月考)在△ABC中，·＋||2＝0，·＝，则△ABC的形状为(　　)

A.等腰直角三角形   

B.三边均不相等的三角形

C.等边三角形   

D.等腰(非直角)三角形

二、多项选择题

7 (2025东莞期中)在日常生活中，我们会看到这样的情境：两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为G，作用在行李包上的两个拉力分别为F1，F2，

且|F1|＝|F2|，F1与F2的夹角为θ，则下列结论中正确的是(　　)

A.|F1|＝

B.θ越小越费力，θ越大越省力

C.当θ＝时，|F1|＝|G|

D.θ的范围为[0，π]

8 (2024深圳外国语学校调研)已知点O在△ABC所在的平面内，则下列命题中正确的是(　　)

A.若＋＋＝0，则点O为△ABC的重心

B.若||＝||＝||，则点O为△ABC的外心

C.若(＋)·＝(＋)·＝(＋)·＝0，则点O为△ABC的内心

D.若·＝·＝·，则点O为△ABC的垂心

三、填空题

9 如图，用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个物体．已知物体的重力大小为10 N，则每根绳子的拉力大小是________N.

10 在△ABC中，若·＋||2＝0，则△ABC的形状是________三角形．

11 (2025承德双滦中学月考)已知O是△ABC内部一点，并且满足＋2＋＝0，△AOC的面积为S1，△BOC的面积为S2，则＝________．

四、解答题

12 (2024福建月考)如图，一条河南北两岸平行．河面宽度d＝1 km，一艘游船从南岸码头A处出发航行到北岸．游船在静水中的航行速度是v1，水流速度v2的大小为|v2|＝4 km/h.设v1和v2的夹角为θ(0°<θ<180°)，北岸上的A′处在A处的正北方向．

(1) 若游船沿AA′到达北岸A′处所需的时间为6 min，求v1的大小和cos θ的值；

(2) 当θ＝60°，|v1|＝10 km/h时，游船航行到北岸的实际航程是多少？

 

 

 

 

 

 

 

13 (2024浙江期末)如图，在△ABC中，已知AB＝2，AC＝4，∠BAC＝60°，M，N分别为边BC，AC上的点，＝，＝，AM，BN相交于点P.

(1) 求||的值；

(2) 求证：AM⊥PN.

 

 

 

 

 

 

参 考 答 案

1.B　由＝可知四边形ABCD为平行四边形．又·＝0，即AB⊥BC，所以四边形ABCD为矩形．

2.C　由题意，得F1＋F2＋F3＝(3＋2＋3，4－5＋1)＝(8，0).若想要该质点恰好达到平衡状态，则只需F1＋F2＋F3＋F4＝0，即F4＝－(8，0)＝(－8，0).

3.A　由题意，得＝(5，－2).又F＝(－1，3)，所以F对物体所做的功为F·＝－5－6＝－11.

4.D　在△ABC中，点D在边BC上，且BD＝BC，则＝＋＝＋(－)＝＋.又||＝1，||＝2，∠BAC＝60°，所以||＝＝＝，即AD的长度为.

5.A　如图，设船实际航行的速度为v，则v＝v1＋v2＝(m－3，3m).又|v|＝9，所以＝9，解得m＝3(负值舍去).