9.4.1 向量应用（1）同步测试-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

9.4.1 向量应用（1） 同步测试-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 一、单项选择题 1 在四边形ABCD中，若·＝0，且＝，则该四边形是(　　) A.平行四边形 B.矩形 C.直角梯形 D.矩形或直角梯形 2 (2025靖远一中期末)已知三个力F1＝(3，4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3，1)同时作用于某质点上，若对该质点再施加一个力F4，该质点恰好达到平衡状态(合力为零)，则F4等于(　　) A.(8，0) B.(8，－8) C.(－8，0) D.(－8，8) 3 (2025榆林期中)一物体在力F的作用下，由点A(1，4)移动到点B(6，2).若F＝(－1，3)，则F对物体所做的功为(　　) A.－11 B.11 C.－1 D.1 4 在△ABC中，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，点D在边BC上，且BD＝BC，则AD的长度为(　　) A. B. C. D. 5 (2025福州期中)已知一条河的两岸平行，一艘船从河的岸边A处出发，向对岸航行，若船的速度v1＝(m，3m)(m>0)，水流速度v2＝(－3，0)，且船实际航行的速度的大小为9，则m等于(　　) A.3 B. C. D.12 6 (2025如皋中学月考)在△ABC中，·＋||2＝0，·＝，则△ABC的形状为(　　) A.等腰直角三角形 B.三边均不相等的三角形 C.等边三角形 D.等腰(非直角)三角形 二、多项选择题 7 (2025东莞期中)在日常生活中，我们会看到这样的情境：两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为G，作用在行李包上的两个拉力分别为F1，F2，且|F1|＝|F2|，F1与F2的夹角为θ，则下列结论中正确的是(　　) A.|F1|＝ B.θ越小越费力，θ越大越省力 C.当θ＝时，|F1|＝|G| D.θ的范围为[0，π] 8 (2024深圳外国语学校调研)已知点O在△ABC所在的平面内，则下列命题中正确的是(　　) A.若＋＋＝0，则点O为△ABC的重心 B.若||＝||＝||，则点O为△ABC的外心 C.若(＋)·＝(＋)·＝(＋)·＝0，则点O为△ABC的内心 D.若·＝·＝·，则点O为△ABC的垂心 三、填空题 9 如图，用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个物体．已知物体的重力大小为10 N，则每根绳子的拉力大小是________N. 10 在△ABC中，若·＋||2＝0，则△ABC的形状是________三角形． 11 (2025承德双滦中学月考)已知O是△ABC内部一点，并且满足＋2＋＝0，△AOC的面积为S1，△BOC的面积为S2，则＝________． 四、解答题 12 (2024福建月考)如图，一条河南北两岸平行．河面宽度d＝1 km，一艘游船从南岸码头A处出发航行到北岸．游船在静水中的航行速度是v1，水流速度v2的大小为|v2|＝4 km/h.设v1和v2的夹角为θ(0°<θ<180°)，北岸上的A′处在A处的正北方向． (1) 若游船沿AA′到达北岸A′处所需的时间为6 min，求v1的大小和cos θ的值； (2) 当θ＝60°，|v1|＝10 km/h时，游船航行到北岸的实际航程是多少？ 13 (2024浙江期末)如图，在△ABC中，已知AB＝2，AC＝4，∠BAC＝60°，M，N分别为边BC，AC上的点，＝，＝，AM，BN相交于点P. (1) 求||的值； (2) 求证：AM⊥PN. 参 考 答 案 1.B　由＝可知四边形ABCD为平行四边形．又·＝0，即AB⊥BC，所以四边形ABCD为矩形． 2.C　由题意，得F1＋F2＋F3＝(3＋2＋3，4－5＋1)＝(8，0).若想要该质点恰好达到平衡状态，则只需F1＋F2＋F3＋F4＝0，即F4＝－(8，0)＝(－8，0). 3.A　由题意，得＝(5，－2).又F＝(－1，3)，所以F对物体所做的功为F·＝－5－6＝－11. 4.D　在△ABC中，点D在边BC上，且BD＝BC，则＝＋＝＋(－)＝＋.又||＝1，||＝2，∠BAC＝60°，所以||＝＝＝，即AD的长度为. 5.A　如图，设船实际航行的速度为v，则v＝v1＋v2＝(m－3，3m).又|v|＝9，所以＝9，解得m＝3(负值舍去). 6.A　因为·＋||2＝0，所以(＋)·＝0，即·＝0，所以⊥，即AC⊥BC，则∠ACB＝.又，分别表示与，同向的单位向量，所以·＝1×1×cos ∠CAB＝.又∠CAB∈，所以∠CAB＝，则∠CBA＝，故△ABC是等腰直角三角形． 7.AC　因为|F1|＝|F2|，所以以F1，F2为邻边的平行四边形为菱形，则|F1|cos ＝|G|，即|F1|＝，故A正确；根据向量加法的平行四边形法则可知θ越小越省力，θ越大越费力，故B错误；如图，当θ＝时，∠ABD＝.又AB＝AD，所以△ABD为等边三角形，即|F1|＝|G|，故C正确；若θ＝π，则F1＋F2＝0，与F1＋F2＝G矛盾，所以θ≠π，故D错误．故选AC. 8.ABD　如图，设边BC，AC，AB的中点分别为D，E，F.对于A，易得＋＝2，又＋＋＝0，所以＋2＝0，即＝－2，可得A，O，D三点共线，所以点O在中线AD上，同理可得点O在中线BE，CF上，所以点O是△ABC的重心，故A正确；对于B，若||＝||＝||，则点O为△ABC的外心，故B正确；对于C，由(＋)·＝0，得2·＝0，所以OF为线段AB的垂直平分线，同理可得OE，OD分别为线段AC，BC的垂直平分线，所以点O为△ABC的外心，故C错误；对于D，由已知可得·－·＝·(－)＝·＝0，即OB⊥CA，所以点O在边AC的高上，同理可得点O在边AB的高上，点O 在边BC的高上，所以点O是△ABC的垂心，故D正确．故选ABD. 9.10　因为绳子等长，所以每根绳子上的拉力和合力所成的角都相等，且等于60°，所以每根绳子的拉力大小都是10 N. 10.直角　因为·＋||2＝·(＋)＝·＝0，所以AB⊥AC，则△ABC是直角三角形． 11.2　因为＋2＋＝0，所以＋＝－2＝2，所以＝(＋).如图，取AC的中点D，则＝(＋)，所以＝，故O为BD的中点，则S△AOC＝2S△COD，S△COD＝S△BOC，所以S△AOC＝2S△BOC，即＝2. 12. (1) 如图，设游船的实际航行速度为v， 由AA′＝1 km，6 min＝0.1 h，得|v|＝10 km/h， 又|v2|＝4 km/h， 所以|v1|2＝|v|2＋|v2|2＝102＋42＝116， 解得|v1|＝2 km/h， 所以cos θ＝－＝－， 故v1的大小为2 km/h，cos θ的值为－. (2) 当θ＝60°，|v1|＝10 km/h时， 如图，设到达北岸B处所用的时间为t h， 则AB2＝|tv|2＝t2(v1＋v2)2＝t2(102＋42＋2×10×4×cos 60°)＝156t2，可得AB＝2t km. 在Rt△AA′C中，t|v1|cos 30°＝1，解得t＝ h， 所以AB＝×2＝(km)， 故游船的实际航程为 km. 13. (1) 因为＝， 所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋， 则||2＝＝||2＋·＋||2＝×4＋×2×4×＋×16＝， 故||＝. (2) 因为＝， 所以＝＋＝－＋， 则·＝(＋)·(－＋)＝－||2＋||2＝－×4＋×16＝0， 所以⊥，所以AM⊥BN，即AM⊥PN. 学科网（北京）股份有限公司 $