9.2.3 向量的数量积（2） 同步测试-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

9.2.3 向量的数量积（2） 同步测试-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 一、单项选择题 1 (2025江苏期中)已知平面向量a，b是两个单位向量，且a，b的夹角为，则|a＋b|等于(　　) A.1 B. C. D.3 2 (2025重庆北碚期中)已知在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，＝，＝2，则·等于(　　) A.－4 B.－1 C.1 D.4 3 (2025安徽月考)已知向量a与b的夹角为，|a|＝，a⊥(a＋b)，则|b|等于(　　) A.1 B. C.2 D. 4 (2025连云港期中)已知非零向量a在向量b上的投影向量为b，|b|＝2，则(a－b)·b等于(　　) A.－4 B.－3 C.－2 D.－ 5 (2025石家庄一中月考)已知e1，e2是单位向量，e1·e2＝－，则e1＋2e2与e2的夹角为(　　) A. B. C. D. 6 (2025承德期中)如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，P是边BC上的动点，则有关·(＋)的值的说法中正确的是(　　) A.为定值16 B.不为定值，有最大值16 C.为定值32 D.不为定值，有最小值32 二、多项选择题 7 (2025深圳期中)已知a，b，c是三个向量，则下列结论中正确的是(　　) A.a·b＝b·a B.a·(b＋c)＝a·b＋a·c C.(a·b)·c＝a·(b·c) D.若a·b＝a·c，则b＝c 8 (2025汕尾月考)若单位向量a，b满足|a＋b|＝，则下列说法中正确的是(　　) A.a·b＝1 B.a与b的夹角为 C.a⊥(a－2b) D.a－b在b上的投影向量为－b 三、填空题 9 (2025临高新盈中学期末)已知向量a，b，c两两夹角均为60°，且|a|＝|b|＝|c|＝1，则|a＋b－c|＝________． 10 (2025南京期中)已知正方形ABCD的边长为2，E为边BC的中点，F为边CD上一点，且·＝5，则·＝________． 11 (2025德州期中)已知正三角形ABC的边长为2，O为BC的中点，P为边BC上的任意一点，则·＝________． 四、解答题 12 (2025石家庄三十八中开学测试)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a，b的夹角为60°. (1) 求(2a－b)·(a＋b)； (2) 若(a＋b)⊥(λa－2b)，求实数λ的值． 13 (2025马坝高级中学月考)如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点． (1) 求证：AF⊥DE； (2) 求·的值． 参 考 答 案 1.A　由题意，得a·b＝|a|·|b|·cos ＝1×1×＝－，故|a＋b|＝＝＝＝1. 2.B　因为＝＋＝＋，＝＋＝－＋，所以·＝·＝－||2＋·＋||2＝－×9＋×4＝－1. 3.C　由题意可知a·(a＋b)＝|a|2＋|a||b|cos ＝2＋|b|·＝2－|b|＝0，则|b|＝2. 4.C　因为a在向量b上的投影向量为b，所以·b＝b，即＝.又|b|＝2，所以a·b＝|b|2＝2，所以(a－b)·b＝a·b－|b|2＝2－4＝－2. 5.A　因为(e1＋2e2)2＝e＋4e1·e2＋4e＝1－2＋4＝3，所以|e1＋2e2|＝.设e1＋2e2与e2的夹角为θ，因为(e1＋2e2)·e2＝e1·e2＋2e＝－＋2＝，所以cos θ＝＝＝.又θ∈[0，π]，所以θ＝. 6.C　如图，取BC的中点O，连接AO.由题意，得AO⊥BC，则AO＝＝4，＋＝2，故·(＋)＝2·＝2||||cos ∠PAO＝2||2＝32. 7.AB　设向量a，b的夹角为α，向量b，c的夹角为β.对于A，因为a·b＝|a||b|cos α，b·a＝|b||a|cos α，所以a·b＝b·a，故A正确；对于B，由向量数量积的运算律，得a·(b＋c)＝a·b＋a·c，故B正确；对于C，因为(a·b)·c＝[|a||b|cos α]·c，a·(b·c)＝[|b||c|cos β]·a，所以(a·b)·c与a·(b·c)不一定相等，故C错误；对于D，若a＝0，则a·b＝a·c＝0，此时b与c不一定相等，故D错误．故选AB. 8.BCD　对于A，由|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝1＋1＋2a·b＝3，得a·b＝，故A错误；对于B, 设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝.因为θ∈[0，π]，所以θ＝，故B正确；对于C，由a·(a－2b)＝a2－2a·b＝1－1＝0，得a⊥(a－2b)，故C正确；对于D，由(a－b)·b＝a·b－b2＝－，得a－b在b上的投影向量为·b＝－b，故D正确．故选BCD. 9.　由题意，得|a＋b－c|＝＝＝＝. 10.0　·＝(－)·＝·－||2＝·－(||2＋||2)＝5－22－12＝0. 11.3　由题意，得AO⊥OP.又正三角形ABC的边长为2，所以AO＝＝，所以·＝(＋)·＝||2＋·＝()2＝3. 12.(1) (2a－b)·(a＋b)＝2a2＋a·b－b2＝2＋2－16＝－12. (2) 由(a＋b)⊥(λa－2b)， 得(a＋b)·(λa－2b)＝λa2＋(λ－2)a·b－2b2＝λ＋2(λ－2)－32＝0， 所以3λ－36＝0，解得λ＝12. 13.(1) 由题意，得·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋·＋·. 因为正方形ABCD的边长为2， 所以·＝·＋·＋·＋·＝0＋2－2＋0＝0， 所以⊥，即AF⊥DE. (2) 由题意，得·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋·＋·. 因为正方形ABCD的边长为2， 所以·＝·＋·＋·＋·＝0－4＋1＋0＝－3， 即·＝－3. 学科网（北京）股份有限公司 $