精品解析：2026届吉林通化市梅河口市第五中学高三二模数学试题

高三数学 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，解得，由，解得， 则. 2. 若抛物线的准线过点，则（ ） A. 1013 B. C. D. 2026 【答案】D 【解析】 【详解】由题意易得，解得. 3. 已知等差数列满足，则（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【详解】记的公差为，由得. 故， 于是. 4. 已知单位平面向量，满足，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】通过可得即可求解. 【详解】显然，解得， 于是. 5. 已知函数，设甲：，乙：曲线关于直线对称，则（ ） A. 甲是乙的充分不必要条件 B. 甲是乙的必要不充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲是乙的既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】对于充分性，由可得，即，可得，此时， 于是， 所以曲线关于直线对称，充分性成立； 对于必要性，若曲线关于直线对称，则，此时， 若取，则，此时，因，不满足，必要性不成立. 故甲是乙的充分不必要条件. 6. 已知等差数列的前项和为，且，则使得的的最小值为（    ） A. 4050 B. 4051 C. 4052 D. 4053 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，结合等差数列通项公式可得公差，再利用等差数列前项和公式求解判断. 【详解】设等差数列的公差为，由，得，则， 而，解得，则，， 由和，得，则， ，由，得数列单调递减，当时，， 则当时，，所以使得的的最小值为4051. 故选：B 7. 已知直线与圆相交于不同两点，劣弧所对的圆心角为，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得圆心到直线的距离，且即可，计算得解. 【详解】如图，过圆心向直线作垂线，垂足为， 当时，则，又圆的半径，可得， 又直线过定点，且点在圆上， 若要使得，则圆心到直线的距离，且即可； 所以，且，解得且， 所以实数的取值范围为. 8. 椭圆与双曲线共焦点、，它们的交点对两公共焦点、的张角为，椭圆与双曲线的离心率分别为、，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，并设，，利用椭圆和双曲线的定义以及余弦定理可得出、关于的等式，从而可得出、的关系式. 【详解】设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，并设，，焦距为，在中，由余弦定理得， 由椭圆和双曲线的定义得，解得. 代入， 得， 即，， 即，，因此，. 故选B. 【点睛】本题考查共焦点和共交点的椭圆和双曲线的综合问题，要充分结合椭圆、双曲线的定义以及余弦定理列等式求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的是（    ） A. 一个样本（数据不全为3）的平均数为3，若添加一个新数据3组成一个新样本，则新样本的平均数不变，方差变小 B. 在成对样本数据中，两个变量间的样本相关系数越小，则它们的线性相关程度越弱 C. 数据，53，56，69，70，72，79，65，80，45，41的极差为40，则这组数据的第m百分位数为79 D. 依据小概率值的独立性检验推断两个分类变量X与Y之间是否有关联，经计算得，则可以认为“X与Y没有关联” 【答案】AC 【解析】 【分析】利用平均数与方差的定义可判断A；由相关系数的概念可判断B；利用百分位的定义求解可判断C；由独立性检验的意义可判断D. 【详解】一个样本（数据不全为3）的平均数为3，若添加一个新数据3组成一个新样本，则新样本的平均数不变， 根据方差公式，可知方差变小，故A正确； 两个变量的相关系数越小，则两者的线性相关程度越弱，故B错误; 除m外，剩余数据的极差为，因为所有数据的极差为40，且， 所以 把数据技从小到大题序排列，得：41，45，53，56，65，69，70，72，79，80， 由，所以这组数据的第m百分位数为第9个，为故C正确; 零假设为与Y相互独立，即X与Y没有关联，由， 可知依据的独立性检验，没有充分证据推断不成立，可以认为“X与Y有关联”，故D错误. 故选：AC. 10. 在中，角的对边分别为外接圆的半径为2，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 面积的最大值为 D. 若，角的平分线交于点，则 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于A，因为，所以， 所以，又，即， 则，又，所以， 解得，又，故，故A错误； 对于B，因为，外接圆的半径为2， 所以，故B正确； 对于C，因为，即， 又，所以，得，当且仅当时，取等号， 所以，即面积的最大值为，故C正确； 对于D，由，结合，解得， 由，即， 解得，故D正确. 11. 定义在上的奇函数满足，当时，，则下列结论正确的有（ ） A. 当时， B. 的图象在处的切线方程为 C. 的图象与的图象所有交点的横坐标之和为10 D. 的图象与直线恰有一个公共点，则实数 【答案】BCD 【解析】 【分析】先判断函数的对称性，周期性，对A，利用周期可得；对B，求出表达式，然后求导计算；对C，作出两个函数图象判断即可；对D，作出图形，然后分情况讨论，利用导数计算判断. 【详解】由函数为上的奇函数，所以， 由，所以函数关于对称，且，则，所以4为函数的一个周期. 对A，，则，，所以， 由当时，，所以，错误； 对B，由A可知：当时，，所以当时，， 所以当时，，则， ，， 所以函数的图象在处的切线方程为，即，正确； 对C，作出函数与图象， 函数图象关于对称，当时，图象共有5个交点，由为奇函数，所以当时，图象也有5个交点，所以图象所有交点的横坐标之和为10，正确； 对D，如图： 当时，；当时，， 当为图中情况，，，令，， 所以切点为，所以； 当为图中情况，，，令，， 所以切点为，所以； 所以函数的图象与直线恰有一个公共点，则实数，正确。 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 暑期同学们相约到某体育馆参加社会实践活动，其中小李、小明等6名同学被安排到，两个场馆，若每个场馆至少安排2人，则小李、小明被安排在同一场馆的方法共_______种(用数字作答). 【答案】 【解析】 【分析】分小李、小明所在场馆有人、人、4人，进行讨论即可得. 【详解】分情况讨论：若小李、小明所在场馆有人(即只有小李和小明)， 此时另一场馆有人，共种安排方法； 若小李、小明所在场馆有人，从剩下名同学中选名和小李、小明在同一场馆， 有种，此时安排方法为种； 若小李、小明所在场馆有4人，从剩下名同学中选名和小李、小明在同一场馆， 有种，此时安排方法为种； 所以共有种安排方法. 13. 已知抛物线：的焦点为 ，直线过 与 相交于， 两点，若点的坐标为，则（为坐标原点）的面积为_______. 【答案】##2.5 【解析】 【分析】先求出抛物线方程及焦点坐标，得到直线方程，联立求出点坐标，即可求出面积. 【详解】因为点在抛物线上，所以，解得，所以，则. 所以直线的方程为，即. 与抛物线方程联立，整理得，即. 解得或. 所以. 故的面积为. 14. 已知直线l： 与曲线和 都相切，则 _______. 【答案】## 【解析】 【分析】先分别设切点求导数得出切线斜率进而得出切线方程，由题意对照直线方程分别求出即得. 【详解】设直线 与曲线的切点为 ， 由求导得，则切线方程为 依题意，其与直线为同一条直线， 故 ,解得; 设直线l： 与曲线 的切点为 由求导得 则切线方程为 ， 依题意，其与直线为同一条直线， 故, 由②解得， 代入①，可得. 所以 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知 的内角所对的边分别为，且 （1）求； （2）若，求的面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据余弦定理解三角形，求出角即可. （2）根据正弦定理边角互化和正弦二倍角公式，对条件进行变形，求出，再根据基本不等式和三角形正弦面积公式，求出面积最大值. 【小问1详解】 由已知得，由余弦定理得，即. 【小问2详解】 由，所以， 由正弦定理得，故. 由（1）知 ， 所以，即，所以，当且仅当时等号成立， 所以，故的面积的最大值为. 16. 近几年来空气质量逐步转好，全民健身运动引起广泛关注．某兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）： 空气质量 锻炼人次 优良 7 26 37 轻度污染 6 7 8 中度污染 7 2 0 （1）求空气质量优良的概率的估计值； （2）根据所给数据，完成下面的列联表： 空气质量 人次≤400 人次 合计 优良 污染 合计 （3）根据小概率值的独立性检验，能否认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？ 附：． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1） （2）列联表见解析 （3）能 【解析】 【分析】（1）根据表格中数据利用频率即可估计概率； （2）根据题干表格进行统计即可； （3）计算出，与进行比较即可． 【小问1详解】 由表格中数据可得空气质量优良的概率的估计值为：； 【小问2详解】 列联表为： 空气质量 人次≤400 人次 合计 优良 33 37 70 污染 22 8 30 合计 55 45 100 【小问3详解】 零假设为：一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量无关． 根据表中数据，得 ， 依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即可以认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关． 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，. （1）求证：平面平面； （2）若，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段AB的长. 【答案】（1）证明见解析；（2）或. 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理得平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结果； （2）以为原点，建立空间坐标系，设，则，求出平面的法向量，利用空间向量求出线面夹角，得到关于t的方程，求解即可. 【详解】（1）证明：在四棱锥中，平面平面，， 又平面，平面平面，所以平面， 又平面，所以平面平面； （2）如图以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴建立如图所示直 角空间坐标系，设，则， 由，，，， 则，，，， 所以，， 设平面的法向量为，得， 取，则 设直线与平面所成角为，则有， 即，化简得：， 解得：或，即或. 【点睛】方法点睛：本题考查面面垂直，及线面角的求法，利用空间向量求立体几何常考查的夹角： 设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则 ①两直线所成的角为(),； ②直线与平面所成的角为(),； ③二面角的大小为(), 18. 在平面直角坐标系xOy中，过点Q(-2，0)的直线与抛物线C：y2=4x的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，P为抛物线C上异于A，B的一点，直线PA，PB与直线l：x=a交于M(a，y3)，N(a，y4)两点. （1）①；②，其中k1，k2，k3分别是直线OA，AB，OB的斜率；③AF·BF-(AF+BF)，其中F为抛物线C的焦点.请从①②③中任选一个，证明其结果为定值.(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分) （2）若，求实数a的值. 【答案】（1）答案见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）设直线方程，与联立得韦达定理，选①向量坐标化得；选②，将斜率表示出来代入求值得定值0；选③：利用焦半径公式代入求值得定值3；（2）设，得直线，得，同理得，由整理得由的任意性得 【详解】解：（1）设过点的直线方程为，与联立消去得， 所以 ①. ②. ③. （2）设，则，所以， 即， 令，则，同理：， 所以， 所以， 所以， 又，所以， 由点的任意性知，且，所以 【点睛】本题关键考查韦达定理的整体应用，注意设而不求的合理应用 19. 定义：若存在，，使得曲线在点和点处有相同的切线l，则称切线l为曲线的“自公切线”.已知函数． （1）若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围； （2）证明：当时，曲线不存在“自公切线”； （3）若曲线有且只有两条“自公切线”，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由函数的单调性转化为导函数在区间恒成立，分离参数求解； （2）根据新定义转化为，换元后利用导数证明方程不成立即可得证； （3）根据新定义利用导数，分类讨论求解. 【小问1详解】 当时，，， 由题意可知，，即在区间上恒成立， 设函数，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，所以，即. 【小问2详解】 当时，，， 假设在点和点处存在“自公切线”l， 则l的斜率，， 即， 同时， 故，即 不妨设，令，， 则， 所以在区间上单调递减，，故不成立， 所以当时，曲线不存在“自公切线”. 【小问3详解】 因为，所以为偶函数， 又由（2）可得，当时，曲线不存在“自公切线”， 所以当时，曲线也不存在“自公切线”． 假设在点和点处存在“自公切线”l， 则和只可能一正一负，不妨设，， 则l的斜率， 即 同时， 所以， 所以或，即或， ①当时，因为，所以， 所以，令，则， 当时，，在上单调递增，， 所以函数没有零点，此时没有满足题意的，即没有“自公切线”； 当时，时，，单调递减， 时，，单调递增， 所以， 因为，且时，， 当，即时，，没有零点，即没有“自公切线”； 当，即时，，有一个零点，即有一条“自公切线”； 当，即时，，有两个零点，即有两条“自公切线”． ②当时，，又，所以， 因为，所以， 所以， 设函数，， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 且，，， 所以当，即时，有一个解，即有一条“自公切线”； 当，即时，有两个解，即有两条“自公切线”； 当或，即或时，无解，即没有“自公切线”． 又因为当时， 在情况①中，，； 在情况②中，，； 所以当时，与同时成立，有且只有一条“自公切线”． 综上所述，若曲线有且只有两条“自公切线”，实数a的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若抛物线的准线过点，则（ ） A. 1013 B. C. D. 2026 3. 已知等差数列满足，则（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 4. 已知单位平面向量，满足，则（ ） A. B. C. D. 2 5. 已知函数，设甲：，乙：曲线关于直线对称，则（ ） A. 甲是乙的充分不必要条件 B. 甲是乙的必要不充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲是乙的既不充分也不必要条件 6. 已知等差数列的前项和为，且，则使得的的最小值为（    ） A. 4050 B. 4051 C. 4052 D. 4053 7. 已知直线与圆相交于不同两点，劣弧所对的圆心角为，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 椭圆与双曲线共焦点、，它们的交点对两公共焦点、的张角为，椭圆与双曲线的离心率分别为、，则 A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的是（    ） A. 一个样本（数据不全为3）的平均数为3，若添加一个新数据3组成一个新样本，则新样本的平均数不变，方差变小 B. 在成对样本数据中，两个变量间的样本相关系数越小，则它们的线性相关程度越弱 C. 数据，53，56，69，70，72，79，65，80，45，41的极差为40，则这组数据的第m百分位数为79 D. 依据小概率值的独立性检验推断两个分类变量X与Y之间是否有关联，经计算得，则可以认为“X与Y没有关联” 10. 在中，角的对边分别为外接圆的半径为2，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 面积的最大值为 D. 若，角的平分线交于点，则 11. 定义在上的奇函数满足，当时，，则下列结论正确的有（ ） A. 当时， B. 的图象在处的切线方程为 C. 的图象与的图象所有交点的横坐标之和为10 D. 的图象与直线恰有一个公共点，则实数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 暑期同学们相约到某体育馆参加社会实践活动，其中小李、小明等6名同学被安排到，两个场馆，若每个场馆至少安排2人，则小李、小明被安排在同一场馆的方法共_______种(用数字作答). 13. 已知抛物线：的焦点为 ，直线过 与 相交于， 两点，若点的坐标为，则（为坐标原点）的面积为_______. 14. 已知直线l： 与曲线和 都相切，则 _______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知 的内角所对的边分别为，且 （1）求； （2）若，求的面积的最大值. 16. 近几年来空气质量逐步转好，全民健身运动引起广泛关注．某兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）： 空气质量 锻炼人次 优良 7 26 37 轻度污染 6 7 8 中度污染 7 2 0 （1）求空气质量优良的概率的估计值； （2）根据所给数据，完成下面的列联表： 空气质量 人次≤400 人次 合计 优良 污染 合计 （3）根据小概率值的独立性检验，能否认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？ 附：． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，. （1）求证：平面平面； （2）若，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段AB的长. 18. 在平面直角坐标系xOy中，过点Q(-2，0)的直线与抛物线C：y2=4x的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，P为抛物线C上异于A，B的一点，直线PA，PB与直线l：x=a交于M(a，y3)，N(a，y4)两点. （1）①；②，其中k1，k2，k3分别是直线OA，AB，OB的斜率；③AF·BF-(AF+BF)，其中F为抛物线C的焦点.请从①②③中任选一个，证明其结果为定值.(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分) （2）若，求实数a的值. 19. 定义：若存在，，使得曲线在点和点处有相同的切线l，则称切线l为曲线的“自公切线”.已知函数． （1）若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围； （2）证明：当时，曲线不存在“自公切线”； （3）若曲线有且只有两条“自公切线”，求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $