精品解析：吉林延吉市延边第二中学2026届高三下学期第二次模拟考试数学试题

延边第二中学2023级高三第二次模拟考试 数学学科试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设复数，其中是虚数单位，是的共轭复数，下列判断中正确的是（ ） A. 虚部为 B. C. D. 3. 已知集合，，则“”是“”的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 一组数据从小到大排列为：3，4，5，6，7，9，，，若该组数据的第百分位数、中位数、平均数分别是a，b，c，则（ ） A. B. C. D. 5. 设双曲线，椭圆的离心率分别为，若，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 6. 在中，角、、的对边分别为、、，满足，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列满足，则的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 8. 已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，满足，，为球O的直径且，则点到底面的距离为（    ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 记为等差数列的前项和，若，，则（ ） A. B. C. D. 当或5时，最大 10. 已知 f(x)的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则（ ） A. B. 的展开式中所有项的二项式系数和为1 C. 是5的倍数 D. 11. 已知是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，是椭圆上的动点，轴，垂足为，且点为的中点，轴，垂足为，且点为的中点，则（ ） A. B. 的最小值为 C. 面积的最大值为 D. 面积的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知空间向量，，若在上的投影向量是，则的值为__________． 13. 已知函数有2个极值，则的取值范围是________. 14. 盒中有2个红球，3个黑球，2个白球，从中随机地取出一个球，观察其颜色后放回，并加入同色球1个，再从盒中抽取一球，则第二次抽出的是红球的概率是_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在锐角中，角所对的边分别为，满足，且． （1）若为的外接圆，求的半径； （2）求锐角周长的取值范围． 16. 已知数列的前n项和，函数对任意的都有，数列满足 （1）求数列，的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和. 17. 近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能（Artificial Intelligence，简称AI）已然成为科技变革的核心驱动力，有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元.某地区随机调查了经常使用某AI工具的360名用户，统计他们的年龄，得到如下的统计表： 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 年龄 人数 30 150 90 60 30 （1）利用统计表中的数据试估计该AI工具用户的平均年龄； （2）已知用分层随机抽样的方法，从上面360名用户中随机抽取了12人，现从这12人中随机抽取4人，记抽到第一组的人数为m，第二组的人数为n．设，求的分布列； （3）已知该工具对某20个问题能准确答对其中的（，且）个．若从这20个问题中随机抽取10个对该工具提问，当t变化时，要使得恰好答对3个问题的概率取到最大值，求此时的取值． 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，不等式恒成立，求整数的最大值． 19. 如图1所示，用一个截面去截圆锥，记圆锥的母线与圆锥的轴线的夹角为，截面与圆锥的轴线的夹角为，当时，截线是圆；当时，截线是椭圆；当时，截线是抛物线；当时，截线为双曲线. 如图2所示，为圆锥的顶点，为底面圆心，为圆的一条直径，且为弧的中点，点满足，点为线段的中点； （1）求直线与平面所成角的大小； （2）平面与圆锥的截线记为曲线，在平面内，以所在的直线为轴（设以的方向为轴正方向），以线段的中垂线为轴（设以逆时针旋转后的方向为轴正方向），建立平面直角坐标系. ①求出曲线的标准方程； ②设为曲线上两动点，若的平分线与轴垂直，求证：直线的斜率是定值，并求出这个定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 延边第二中学2023级高三第二次模拟考试 数学学科试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因， 解得或，即或 又，则. 2. 设复数，其中是虚数单位，是的共轭复数，下列判断中正确的是（ ） A. 虚部为 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的概念、共轭复数的定义、复数的加法和乘法运算法则以及复数模的计算公式，逐项进行判断即可. 【详解】由题意，复数，则，虚部为，故A错误； 又，，因为复数不能比较大小，故B错误； 又，故C错误； 又，故D正确. 3. 已知集合，，则“”是“”的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，求出时，，结合充分条件与必要条件判断即可． 【详解】时，，符合， 时，，又， 或，解得或， 综上，时，， 则“”是“”的充分不必要条件． 4. 一组数据从小到大排列为：3，4，5，6，7，9，，，若该组数据的第百分位数、中位数、平均数分别是a，b，c，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】数据从小到大排列为：3，4，5，6，7，9，，， 第百分位数位置，为第2和第3项的平均值， 故； 中位数的位置，为第4和第5项的平均值， 故； 平均数， ． 5. 设双曲线，椭圆的离心率分别为，若，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：由题可知， 又，，即， 解得． 6. 在中，角、、的对边分别为、、，满足，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用正弦定理将边化为角，再结合三角函数两角和差公式化简等式，求出角与角的关系，最后结合二倍角公式，即可求解. 【详解】由题意，， 根据正弦定理，可得， 化简得， 即， 又，所以， 所以， 所以①，即，不符合题意， ②，即， 所以， 又，所以. 7. 已知数列满足，则的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【详解】当时，，解得， 当时，， 又因为， 作差得，， 则，，根据指数函数性质知此时数列单调递减， 则， 又因为，则的最大值为. 8. 已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，满足，，为球O的直径且，则点到底面的距离为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取的中点，分析出球心O是的中点，且，求出，利用勾股定理证明，再利用线面垂直的判定定理证明平面，进而得到平面，即可求出点到底面的距离. 【详解】 设球的半径为，取的中点，连接. 三棱锥的所有顶点都在球的球面上，为球O的直径且， 球心O是的中点，，. 在中，，， 在中，，， 在中，，. 又，平面，平面， ，平面， 点到底面的距离为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 记为等差数列的前项和，若，，则（ ） A. B. C. D. 当或5时，最大 【答案】AC 【解析】 【分析】由题意列方程组求得，根据等差数列通项公式计算可判断AB；根据等差数列前项和公式计算可判断C；根据等差数列性质可判断D. 【详解】设等差数列的首项为，公差为， 由题意可得，解得， 对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，因为， 所以数列单调递增， 当时，，当时，，且， 所以当或5时，最小，故D错误. 10. 已知 f(x)的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则（ ） A. B. 的展开式中所有项的二项式系数和为1 C. 是5的倍数 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】首先根据最大的二项式系数公式求，判断A，根据二项式系数和公式判断B，将写为，再根据二项展开式的特征判断C，利用二项展开式两边取导数，根据赋值法，判断D. 【详解】由条件可知，只有第5项的二项式系数最大，所以展开式有9项，由，可得，故A正确； 的展开式中所有项的二项式系数和为，故B错误； ，展开式的每一项都能被10整除，即能被5整除，故C正确； ，两边求导数，， 令，得，故D错误. 11. 已知是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，是椭圆上的动点，轴，垂足为，且点为的中点，轴，垂足为，且点为的中点，则（ ） A. B. 的最小值为 C. 面积的最大值为 D. 面积的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】代入点A坐标，可得m值，根据椭圆的定义，即可判断A的正误；设点，可得点B坐标，代入椭圆方程，可得点P的轨迹，根据点与圆的位置关系，结合两点间距离公式，可判断B的正误；分析可得当时，的面积最大，代入数据，可判断C的正误；设点，可得面积的表达式，结合基本不等式，即可得答案. 【详解】对于A，点在椭圆上，，解得， ，故A正确. 对于B，设点，则.将点的坐标代入椭圆的方程， 得，即，点的轨迹方程为， 则的最小值为点到圆心的距离减去半径， 即，故B错误. 对于C，由B可知，，则当时，的面积最大， 为，故C正确. 对于D，由椭圆对称性，设点在第一象限，， . ，当且仅当时，等号成立， 面积的最大值为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知空间向量，，若在上的投影向量是，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量投影向量的计算公式，结合已知条件列出关于的方程，求解的值. 【详解】，， ， ， 在上的投影向量为， 所以，. 13. 已知函数有2个极值，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】将极值问题转化为导数零点问题，再构造函数，结合导数分析单调性，建立不等式组，求解参数范围即可. 【详解】由题意的定义域为，且， 因为有2个极值，所以有2个变号零点， 令，可得， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减， 当时，，当时，， 而，可得，解得， 故的取值范围是. 14. 盒中有2个红球，3个黑球，2个白球，从中随机地取出一个球，观察其颜色后放回，并加入同色球1个，再从盒中抽取一球，则第二次抽出的是红球的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】先计算第一次分别抽出红球、黑球、白球的概率，对应三种互斥的事件，针对第一次抽球的每种结果，计算对应情况下第二次抽出红球的条件概率，结合全概率公式求得最终结果. 【详解】从盒中任取1球，是红球记为，黑球记为，白球记为， 则，，彼此互斥，设第二次抽出的是红球记为事件B， 则，，，，，， . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在锐角中，角所对的边分别为，满足，且． （1）若为的外接圆，求的半径； （2）求锐角周长的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由正弦定理对已知条件角化边，再应用余弦定理求角，进而可求解； （2）应用正弦定理边角转化应用辅助角公式化简，再根据角的范围应用正弦函数的性质求解． 【小问1详解】 由正弦定理原式可化为：， 整理得：， 即， 由余弦定理，代入得， 因为是锐角三角形，故， 由正弦定理可得， 所以的半径为； 【小问2详解】 由（1）得，则， 即， 由正弦定理可知，， 所以 ． 因为为锐角三角形，所以，， 则，， 则，即， 则， 故的周长的取值范围为． 16. 已知数列的前n项和，函数对任意的都有，数列满足 （1）求数列，的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和. 【答案】（1），bn （2） 【解析】 【分析】（1）需先根据数列前项和公式求的通项公式，再利用函数性质及倒序相加法求的通项公式； （2）先得出的表达式，再用错位相减法求前项和. 【小问1详解】 由题意，当时，， 当时，， ∵当时，也满足上式， ∴，， 对于数列：由， 可得 两式相加， 可得 ，. 【小问2详解】 由（1），可得， 则 两式相减， 可得 ∴. 17. 近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能（Artificial Intelligence，简称AI）已然成为科技变革的核心驱动力，有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元.某地区随机调查了经常使用某AI工具的360名用户，统计他们的年龄，得到如下的统计表： 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 年龄 人数 30 150 90 60 30 （1）利用统计表中的数据试估计该AI工具用户的平均年龄； （2）已知用分层随机抽样的方法，从上面360名用户中随机抽取了12人，现从这12人中随机抽取4人，记抽到第一组的人数为m，第二组的人数为n．设，求的分布列； （3）已知该工具对某20个问题能准确答对其中的（，且）个．若从这20个问题中随机抽取10个对该工具提问，当t变化时，要使得恰好答对3个问题的概率取到最大值，求此时的取值． 【答案】（1） （2）分布列见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）以每组数据的区间中点值为该组数据的代表值进行估算. （2）先根据分层抽样的概念确定第一次抽取的12人样本中第一组和第二组的人数，进而得到的可能取值，求其概率，可得的分布列. （3）先得到答对3题的概率，设，分析函数的单调性，求最大值的值. 【小问1详解】 估计平均年龄为. 【小问2详解】 由题意得，这12人中，年龄在第一组内的有（人）， 年龄在第二组内的有（人）， 则的所有可能取值为0，1，2，3，4， 所以， ， ， ， 则的分布列为： 0 1 2 3 4 【小问3详解】 从这20个问题中随机抽取10个对该工具提问，恰好答对3个问题的概率为， 设，由，且得， 所以， 显然，， 令， 当时，有，，即， 此时； 当时，有，，即， 此时，即， 所以． 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，不等式恒成立，求整数的最大值． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）先求出导数，再求斜率结合点斜式写出切线方程； （2）先把恒成立问题通过参数分离转化为求最小值求出的最大值. 【小问1详解】 当时，， 因为 ，所以， 所以曲线在点处的切线方程为，即． 【小问2详解】 由题意，知对任意恒成立， 可知对任意恒成立． 设函数，只需． 对函数求导，得． 设函数，对函数求导，得， 所以函数在上单调递增． 又， 所以存在，使，即， 所以当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 所以， 所以．又，所以， 所以整数的最大值为2． 19. 如图1所示，用一个截面去截圆锥，记圆锥的母线与圆锥的轴线的夹角为，截面与圆锥的轴线的夹角为，当时，截线是圆；当时，截线是椭圆；当时，截线是抛物线；当时，截线为双曲线. 如图2所示，为圆锥的顶点，为底面圆心，为圆的一条直径，且为弧的中点，点满足，点为线段的中点； （1）求直线与平面所成角的大小； （2）平面与圆锥的截线记为曲线，在平面内，以所在的直线为轴（设以的方向为轴正方向），以线段的中垂线为轴（设以逆时针旋转后的方向为轴正方向），建立平面直角坐标系. ①求出曲线的标准方程； ②设为曲线上两动点，若的平分线与轴垂直，求证：直线的斜率是定值，并求出这个定值. 【答案】（1） （2）①；②证明见解析， 【解析】 【分析】（1）由题设建立适当空间直角坐标系，求出和平面的一个法向量即可由向量夹角余弦公式计算求解，进而得解； （2）①先由题设结合（1）得到曲线是椭圆，由求出，接着求出点在平面内的坐标，由点在曲线上求出即可得解； ②设直线的方程为，与椭圆联立求出韦达定理，设点，由韦达定理与点坐标求出，同理求出点中的，即可计算直线的斜率是一个定值. 【小问1详解】 由题设以为原点，分别以所在直线和正方向为轴､轴､轴，建立空间直角坐标系， 则， 故， 设平面的一个法向量为， 则，令，则 故，则， 故直线与平面所成角的大小为. 【小问2详解】 ①由（1）知，直线与圆锥母线所成的角为，且，故曲线为椭圆， 设该椭圆的方程为，故； 由（1）可得，设与的交点为， 则， 易得，即，且， 设的中点为，易得，故， 故点在平面内的坐标为， 因为点在曲线上，故有， 故曲线的标准方程为. ②易知直线的斜率存在，设其方程为， 联立得， 设点，由韦达定理与点坐标，则， 的平分线与轴垂直，故直线与直线的斜率互为相反数， 设直线的方程为， 设点，同理可得， 故直线的斜率为，是一个定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $