21.3.1矩形 导学案 2025-2026学年人教版八年级数学下册

21.3.1矩形的性质（1） 学习目标：理解矩形的概念，能清晰区分矩形与一般平行四边形的联系与区别，理解矩形的特殊化本质；学生能通过观察、猜想、证明，掌握矩形的特殊性质，能规范书写性质的文字语言和符号语言； 学习重点：探索并证明矩形的性质。 学习难点：明确矩形与平行四边形的区别与联系。 学习过程 （一）复习引入 将几何图形的组成元素特殊化，可以获得新的研究对象：如将三角形的边特殊化，可以得到 ，将三角形的角特殊化，可以得到 . 类似的，对四边形的边特殊化，可以得到 和 等. 对平行四边形的角或边特殊化，可以得到特殊的平行四边形.本节课我们就来研究特殊的平行四边形. （二）合作探究 活动1：利用一个活动的平行四边形教具演示,使平行四边形的一个内角变化,请同学们注意观察. 给出矩形的定义： 的平行四边形叫作矩形，矩形也就是长方形. 与研究平行四边形的性质类似，对于矩形，我们仍然从它的边、角、对角线出发进行研究. 思考 因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质.但由于它有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢? 追问 说一说，如何证明“矩形的四个角都是直角”？ 已知： ， 求证： . 矩形的特有性质1 . 符号语言∵ ∴ . 思考 你能证明“矩形的对角线相等”这个结论吗？ 已知： . 求证： . 证明： 矩形的特有性质2 . 符号语言 ∵ ， ∴ . （三）典例分析 例1 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=4.求矩形ABCD的对角线的长. （四）巩固练习 1.一个矩形的一条对角线长为8，两条对角线相交所成的角中有一个为120°.求这个矩形相邻两边的长. 2.如图，四边形ABCD是矩形，点E在BC的延长线上，DE//AC，△DBE是等腰三角形吗？试说明理由. （五）归纳总结：矩形的性质 21.3.1矩形的性质（2） 学习目标：能由矩形的性质推导出直角三角形斜边上的中线性质，理解二者的内在联系，能熟练运用该性质解决直角三角形的相关计算问题，进一步发展逻辑推理能力 学习重点：能熟练运用直角三角形斜边上的中线性质解决直角三角形的相关计算问题 学习难点：“倍长中线构造矩形”的转化思路 学习过程 （一）课前检测 1.矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（    ） A．对边平行且相等 B．对角相等 C．对角线相等 D．对角线互相垂直 2.如图，在矩形中，点在边上，，连接，若，，则的长为（　　） A．1 B．5 C．2 D． 3.若矩形的一条对角线与一边的夹角为40°,则两条对角线相交的锐角是 ( ) A.20 ° B.40° C.80 ° D.10° （二）合作探究 如图：矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，那么BO是Rt△ABC中一条怎样的特殊线段？它与AC有什么大小关系呢？由此你能得到怎样的结论呢？ 提出猜想： 已知： 求证： 证明 直角三角形的性质 直角三角形斜边上的中线等于 . 符号语言 ∵ ∴ （三）典例分析 例4 如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．若AB＝10，AC＝8，求四边形AEDF的周长 （四）巩固练习 1.若直角三角形的两条直角边分别5和12,则斜边上的中线长为 2.在矩形ABCD中，M为AD上一点，且BM⊥CM，点P，Q分别为BM，CM的中点，连接AP，PQ，DQ，若AP=4,DQ=3，则四边形APQD的周长为（ ） A.24 B.12 C.17 D.22 3.如图，△ABC中，E,F分别是AB,AC的中点，点D在EF上，延长AD交BC于点N, BD ⊥ AN,AB =6,BC =8,求DF的长？ （五）归纳总结：直角三角形的性质 21.3.1矩形的判定（1） 学习目标：经历矩形判定定理的猜想与证明过程，渗透类比思想，体会图形判定探究的一般思路，发展推理能力 学习重点：矩形判定的探索、证明和应用。 学习难点：探索并证明矩形的判定定理。 二、学习过程 （一）复习引入 问题1矩形的定义及定义的作用？ 问题2：矩形有哪些性质？ 问题3： 还有其他判定矩形的方法吗？你能说说矩形的对角线性质定理的逆命题吗？ （二）合作探究 猜想： 已知： 求证：四边形ABCD是矩形. 证明： 矩形的判定定理： 符号语言 ∵ ∴四边形ABCD是矩形. 应用 工人师傅在做矩形门窗或零件时，为了确保它们的形状是矩形，不仅要测量它们的两组对边是否分别相等，还要测量它们的两条对角线是否相等.你知道其中的道理吗？ （三）典例分析 例1.如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OD， （1）求证：四边形ABCD是矩形（2）∠OAD=50°．求∠OAB的度数． （四）巩固练习 1.如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△OAB是等边三角形，且AB=2.求▱ABCD的面积. 2.如图，在△ABC中，AB=AC，D，E分别是线段BC，AD的中点，过点A作AF//BC交BE的延长线于点F，连接CF.求证：四边形ADCF是矩形. 3 如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO上的一点,且AE=BF=CG=DH.求证:四边形EFGH是矩形. （五）本课小结：矩形的判定方法 21.3.1矩形的判定（2） 学习目标：能熟练掌握矩形的定义及两个判定定理，清晰区分各判定定理的适用条件，能根据题目给出的不同条件选取恰当的判定定理进行推理和计算 学习重点：能运用矩形判定定理解决几何证明、图形识别和简单的实际问题 学习难点：综合运用矩形的性质和判定解题时，实现二者的灵活转换 学习过程 （一）课前检测 1.如图，点O是△ABC边AC的中点，连接BO并延长至点D，使OD=BO，添加下列选项中的一个条件，不能判定四边形ABCD为矩形的是（  ） A．AB=BC B．∠ABC=90° C．∠ABD=∠ACD D．OB=OC 2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，点P是边AB上任意一点，过点P作PD⊥AC，PE⊥BC，垂足分别为点D，E，连接DE，则DE的最小值是 （二）合作探究 问题：你知道如何判定一个平行四边形是矩形吗？你还有其他的判定方法吗？ 猜想： . 已知： 求证：四边形ABCD是矩形. 证明： 矩形的判定定理： 符号语言 ∵ ∴ （三）典例分析 例2 如图，▱ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H.求证：四边形EFGH是矩形. （四）巩固练习 1.下列四边形中，不一定为矩形的是（   ） 2.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=5，BC=12，AC=13． 求证：四边形ABCD是矩形． （五）本课小结 学科网（北京）股份有限公司 $