精品解析：四川省射洪中学校2025-2026学年高二下学期4月阶段检测数学试题

射洪中学高2024级高二下期第一次学月考试 数学试题 命题人：文一鸣 郭益 审题人：文质彬 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 的值是（ ） A. 3 B. 6 C. 15 D. 18 【答案】D 【解析】 【详解】. 2. 下列求导运算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】对于A，因为，故A错误；对于B，因为，故B正确； 对于C，因为，故C正确；对于D，因为，故D正确. 3. 某校开设类选修课3门，类选修课4门，若要求从两类课程中选一门，则不同的选法共有（ ） A. 3种 B. 4种 C. 7种 D. 12种 【答案】C 【解析】 【分析】利用分类计数原理求解即可. 【详解】选择课程的方法有2类：从类课程中选一门有3种不同的方法， 从类课程中选1门有4种不同的方法，∴共有不同选法（种）． 故选：C. 4. 已知是函数的导函数，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，得，，得. 5. 书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书.从书架上任取数学书和语文书各1本，不同的选取方法有（ ） A. 6种 B. 30种 C. 5种 D. 11种 【答案】B 【解析】 【详解】先从6本不同的数学书取出1本数学书，有6种方法，再从5本不同的语文书取出1本语文书，有5种方法， 由分步乘法计数原理，不同的选取方法有种. 6. 如图，用5种不同的颜色把图中、、、四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有 A. 200种 B. 160种 C. 240种 D. 180种 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可知，要求出给四个区域涂色共有多少种方法，需要分步进行考虑；对区域A、B、C、D按顺序着色，推出其各有几种涂法，利用分步乘法计数原理，将各区域涂色的方法数相乘，所得结果即为答案． 【详解】涂有5种涂法，有4种，有3种，因为可与同色，故有3种， ∴由分步乘法计数原理知，不同涂法有种．故答案选D． 【点睛】本题考查了排列组合中的涂色问题，处理区域涂色问题的基本方法为分步乘法计数原理． 7. 设是R上的可导函数，分别为的导函数，且，则当时，有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知可判断函数的单调性，根据其单调性，即可判断出答案. 【详解】∵， ∴函数是R上的减函数． ∴当时，， 故选：C. 8. 若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先构造函数，再求出导函数根据导函数正负得出单调性即可求出最值列式求出参数. 【详解】令，，则， 令，得；令，得， 则在上单调递减，在上单调递增，则， 又不等式恒成立，则，得， 则实数的取值范围为. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，至少两项是符合题目要求的，选不全对得2分，选错得0分. 9. 如图是的导数的图象，则下面判断错误的是（ ） A. 在内是增函数 B. 在内是减函数 C. 在时取得极大值 D. 当时取得极小值 【答案】AC 【解析】 【分析】由的图象，可得函数的单调性，从而即可求解. 【详解】解：对A，由的图象，可知时，，时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，故选项A错误； 对B，由的图象，可知时，，所以在上单调递减，故选项B正确； 对C，由的图象，可知时，， 所以在上单调递增，因为左右两边的单调性相同，所以取不到极大值，故选项C错误； 对D，由的图象，可知时，，时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在时取得极小值，故选项D正确. 故选：AC. 10. 有4名同学报名参加三个不同的社团，则下列说法中正确的是（ ）． A. 每名同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有种 B. 每名同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有种 C. 每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有24种 D. 每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有种 【答案】AC 【解析】 【分析】利用分步乘法计数原理可得答案. 【详解】对于AB选项，第1个同学有3种报法，第2个同学有3种报法， 后面的2个同学也有3种报法，根据分步计数原理共有种结果，A正确，B错误； 对于CD选项，每个社团限报一个人，则第1个社团有4种选择， 第2个社团有3种选择，第3个社团有2种选择， 根据分步计数原理共有种结果，C正确，D错误． 故选：AC. 11. 已知是定义在的偶函数，且当时，，则（ ） A. B. 当时， C. 是的极小值点 D. 任意实数，使得直线与的图象有2个公共点 【答案】ACD 【解析】 【详解】由题设，A对， 若，则，故， 由为偶函数，则，B错， 由上时，，则， 令，即在上单调递增， 又，故在上，在上， 所以在上单调递减，在上单调递增，故是的极小值点，C对， 由C分析，或时，且， 所以、上， 又为偶函数，则、上， 所以直线与的图象恒有2个交点，D对. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的定义域为，且为的导函数，若，则_____． 【答案】3 【解析】 【详解】由导数的定义，可得函数在处的导数满足： ， 则 解得. 13. 现有5名同学排成一排，其中甲不站最左边，则有________种站法（用数字作答）. 【答案】96 【解析】 【分析】由题意先安排学生甲，再对另外四名学生进行全排列即可. 【详解】先安排最左边的位置，有4种方法，然后剩余的4人在四个位置上排列，有种， 故共有种. 14. 若是函数的极值点，则的极小值为 _________ ． 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的导数，利用极值点，求出a，然后判断函数的单调性，求解函数的极小值即可． 【详解】函数， 可得， 是函数的极值点， 可得，即． 解得． 可得， 函数的极值点为：， 当，函数是增函数，时，函数是减函数，时，函数取得极小值： ． 即答案为-1. 【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的求法，考查计算能力． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数在处取得极值为. （1）求，的值； （2）求在点处的切线方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导后结合极值定义计算即可得； （2）利用导数的几何意义计算即可得. 【小问1详解】 ，依题意，，， 解得； 检验：当时，，则， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故是该函数的极值点，符合题意， 故； 【小问2详解】 ， ， ，， 故切线方程为：，整理得：. 16. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）若，求的最大值与最小值． 【答案】（1）单调递增区间为和，单调递减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，求出极值点，然后通过导函数的符号，判断函数的单调性求出单调区间． （2）借助（1）求解函数的极值、端点值比较即可． 【小问1详解】 因为． 令，得或， 当变化时，的变化情况如表所示． 2 0 0 单调递增 28 单调递减 单调递增 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为． 【小问2详解】 由（1）知当时，取得极小值． 因为 . 所以． 17. 口袋中装有8个白球和10个红球，每个球编有不同的号码，现从中取出2个球 （1）正好是白球､红球各一个的取法有多少种？ （2）至少有一个白球的取法有多少种？ （3）两球的颜色相同的取法有多少种？ 注：结果均用数字作答． 【答案】（1）80 （2）108 （3）73 【解析】 【分析】（1）由分步乘法即可得解； （2）分为白球、红球各一个和两个全是白球，结合分类加法即可得解； （3）分为两球全是白球和两球全是红球，结合分类加法即可得解. 【小问1详解】 取出1个白球，有8种取法；取出1个红球，有10种取法， 所以取出两个球正好是白球、红球各一个的取法有种． 【小问2详解】 至少有一个白球分为白球、红球各一个和两个全是白球， 取出的两个球全是白球的取法有种， 所以至少有一个白球共有种取法． 【小问3详解】 两球的颜色相同分为两球全是白球和两球全是红球， 取出的两个球全是红球的取法有种， 所以两球的颜色相同的取法有种． 18. 已知函数，． （1）当时，求函数的极值； （2）讨论函数的单调性； （3）若函数有两个零点，求的取值范围． 【答案】（1）极小值，无极大值 （2）时，在单调递增；时，在单调递减，在单调递增 （3） 【解析】 【分析】（1）根据导函数求解极值即可； （2）根据导函数求解单调性即可； （3）将零点问题等价为有两个不等根，令并进一步求解其单调性、极值，最后再结合函数图像即可求出的取值范围． 【小问1详解】 由函数，所以函数的定义域为， ，令得，得， 故在上单调递增，在上单调递减， 故当时取极小值，无极大值． 【小问2详解】 ， 当时，恒成立，故在单调递增； 当时，令得，解得， 故在单调递减，在单调递增； 综上所述，当时，在单调递增； 当时，在单调递减，在单调递增． 【小问3详解】 由题意可得有两个不等根，等价于有两个不等根， 令，则， 令得，得， 故在单调递增，在单调递减， 当时，，当时，，如图所示， 故与要有两个不同交点，则， 解得，故的取值范围为． 19. 已知函数，其中为常数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围； （3）设，求证：当时，. 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导后讨论导数正负即可得原函数单调性； （2）利用函数性质可得，再利用导数可得该函数单调性，即可得，解出即可得； （3）构造函数，利用导数计算可得该函数单调性，从而可得该函数小于0恒成立，即可得证. 【小问1详解】 当时，则的定义域为， 则， 令，解得；令，解得； 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为； 【小问2详解】 因为， 若，当趋近于时，趋近于，不合题意，所以， 因为， 且，则，，则， 可知在内单调递减，则， 可得，解得，所以实数的取值范围为； 【小问3详解】 令， 则， 因为，，则，， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减， 则， 因为，则， 可得， 即，所以当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 射洪中学高2024级高二下期第一次学月考试 数学试题 命题人：文一鸣 郭益 审题人：文质彬 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 的值是（ ） A. 3 B. 6 C. 15 D. 18 2. 下列求导运算错误的是（ ） A. B. C. D. 3. 某校开设类选修课3门，类选修课4门，若要求从两类课程中选一门，则不同的选法共有（ ） A. 3种 B. 4种 C. 7种 D. 12种 4. 已知是函数的导函数，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书.从书架上任取数学书和语文书各1本，不同的选取方法有（ ） A. 6种 B. 30种 C. 5种 D. 11种 6. 如图，用5种不同的颜色把图中、、、四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有 A. 200种 B. 160种 C. 240种 D. 180种 7. 设是R上的可导函数，分别为的导函数，且，则当时，有（ ） A. B. C. D. 8. 若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，至少两项是符合题目要求的，选不全对得2分，选错得0分. 9. 如图是的导数的图象，则下面判断错误的是（ ） A. 在内是增函数 B. 在内是减函数 C. 在时取得极大值 D. 当时取得极小值 10. 有4名同学报名参加三个不同的社团，则下列说法中正确的是（ ）． A. 每名同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有种 B. 每名同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有种 C. 每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有24种 D. 每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有种 11. 已知是定义在的偶函数，且当时，，则（ ） A. B. 当时， C. 是的极小值点 D. 任意实数，使得直线与的图象有2个公共点 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的定义域为，且为的导函数，若，则_____． 13. 现有5名同学排成一排，其中甲不站最左边，则有________种站法（用数字作答）. 14. 若是函数的极值点，则的极小值为 _________ ． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数在处取得极值为. （1）求，的值； （2）求在点处的切线方程. 16. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）若，求的最大值与最小值． 17. 口袋中装有8个白球和10个红球，每个球编有不同的号码，现从中取出2个球 （1）正好是白球､红球各一个的取法有多少种？ （2）至少有一个白球的取法有多少种？ （3）两球的颜色相同的取法有多少种？ 注：结果均用数字作答． 18. 已知函数，． （1）当时，求函数的极值； （2）讨论函数的单调性； （3）若函数有两个零点，求的取值范围． 19. 已知函数，其中为常数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围； （3）设，求证：当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $