精品解析：江苏省赣榆高级中学2025-2026学年第二学期4月学情检测高二数学试题

赣榆高级中学2025—2026学年度第二学期4月学情检测 高二数学试题 命题：汪薇 审题：李石璞 一、单选题 1. 若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ） A. B. ， C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量共面的充要条件可证明A，B，C三个选项中的向量均为共面向量，利用反证法可证明D中的向量不共面即可求解. 【详解】因为，所以共面，故A不正确； 因为，所以共面，故B不正确； 因为，所以共面，故C不正确； 若共面，则， 则为共面向量，此时与为空间的一组基底矛盾， 故不共面.故D正确. 故选：D 2. 已知空间向量，，，若，，共面，则实数（ ） A. 2 B. 3 C. 13 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用共面向量定理列式计算得解. 【详解】由空间向量，，共面，得，即， 则，解得. 故选：D. 3. 已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量在向量上投影向量的计算公式求解即可. 【详解】因为向量，向量， 所以向量在向量上的投影向量为： . 故选：B. 4. 已知m，n是实数，若点，在同一直线上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三点共线列方程，化简求得，进而求得. 【详解】， 依题意，三点共线， 所以，解得. 故选：A 5. 3只猫把4只老鼠捉光，每只老鼠都恰被一只猫捉住，不同的捉法种数有（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】根据题意，对于每只老鼠，都可以被3只猫中的任意一只捉住， 故每只老鼠的被捉情况有3种， 则有种不同的捉法. 6. 阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为．阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据材料求得平面的法向量和直线的方向向量，再结合空间向量的数量积求直线与平面所成角的正弦值即可. 【详解】根据材料可知平面的法向量可取， 平面的法向量可取， 平面的法向量可取， 因为直线是两平面与的交线，设的方向向量， 则，取可得的一个方向向量， 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为， 故选：A 7. 在正四面体中，、分别为棱、中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，，，设异面直线与所成角为，设，利用、、表示向量、，利用空间向量的数量积可求得的值. 【详解】设，，，设异面直线与所成角为，设， 则 ，， 由空间向量数量积的定义可得， 则， ， ， 故， 故选：C. 8. 以等腰直角三角形斜边上高为折痕，把和折成的二面角.若，，则最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二面角的平面角的定义得是和折成120°的二面角的平面角，解三角形求得，，由已知得点P在平面ABC内，则的最小值为点D到平面ABC的距离，设点D到平面ABC的距离为h，运用等体积法可求得答案. 【详解】由已知得， 所以是和折成的二面角的平面角，所以， 又，所以， ，所以， 因为，其中， 所以点在平面内，则的最小值为点到平面的距离， 设点到平面的距离为， 因为，，平面， 所以平面，所以是点到平面的距离， 所以， 又中，，所以， 而为三角形内角，所以， 则， 所以，解得， 所以的最小值为， 故选：C. 【点睛】关键点点睛：空间向量中的线段长度的最值问题，可根据向量代数式的几何意义转化为点面距的问题来处理. 二、多选题 9. 已知，，是空间的三个单位向量，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，两两共面，则，，共面 C. 对于空间的任意一个向量，总存在实数，，，使得 D. 若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底 【答案】AD 【解析】 【详解】根据空间向量共面的判定定理及空间向量基底的概念逐项判断即可. 【解答】解：，，是空间的三个单位向量， 由，，则，故A正确； ，，两两共面，但是，，不一定共面，，，可能两两垂直，故B错误； 由空间向量基本定理，可知只有当，，不共面，才能作为基底，才能得到，故C错误； 若 是空间的一组基底，则，，不共面，可知也不共面，所以也是空间的一组基底，故D正确． 故选：AD. 10. 如图，棱长为2的正方体中，E，F分别为BD，的中点，若点G满足（，），则（ ） A. 平面 B. 当时，平面 C. 当时，平面 D. 当时，点G到平面的距离为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用共面向量定理可判断A；以点为坐标原点，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，利用向量法计算可判断BCD. 【详解】因为，所以共面，又均过点， 所以共面，所以平面，故A正确； 以点为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 当时，，所以， 所以，又，所以不平行于平面，故B错误； 所以，所以，所以平面，故C正确； 当时，， 所以点G到平面的距离为，故D错误. 故选：AC. 11. 如图，在正方体中，为棱的中点．动点沿着棱从点向点移动，对于下列四个结论．正确的是（ ） A. 存在点，使得 B. 存在点，使得平面 C. 的面积越来越小 D. 四面体的体积不变 【答案】ACD 【解析】 【分析】设正方体棱长为，，求出、，由解得，确定A正确，考虑到到平面的距离不变，从而易判断D，建立空间直角坐标系，可证明不可能与垂直，故B不正确；设，由空间向量法求得到的距离，由距离的变化规律判断C正确. 【详解】设正方体棱长为，， 由平面，平面得，同理， 所以， 由得，存在使得，A正确； 正方体中，平面，，所以到平面的距离不变， 即到平面的距离不变，而面积不变， 因此三棱锥，即四面体的体积不变，D正确； 以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，如下图， 设正方体棱长为，则、、、， 所以，，，， 所以不可能与垂直，故平面也不可能成立，故B错误； 设，则，，， 所以， 设到直线的距离为， 则 ， 由二次函数性质知时，递减，所以递减， 又不变，所以的面积为递减，C正确， 综上：ACD正确 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：立体几何中存在性或探究性问题涉及到的点具有运动性和不确定性属于动态几何问题,用纯几何的方法来解决对空间想像能力、作图能力和逻辑推理能力的要求很高，若用向量方法处理，尤其是通过建立空间直角坐标系求解问题则思路简洁明了，本题中用向量法解决点到直线的距离问题避免了抽象复杂找距离过程，而且将距离的变化情况转化为函数的单调性问题解决更简单明了. 三、填空题 12. 已知向量，若向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围是__________. 【答案】且 【解析】 【分析】根据已知条件及向量的线性运算的坐标表示，再利用向量的数量积的坐标运算及向量平行的坐标表示即可求解. 【详解】因为， 所以，， 因为向量与的夹角为锐角， 所以，解得， 当时，，解得， 所以实数的取值范围为且. 故答案为：且. 13. 已知平面，异面直线与所成的角是，则线段的长为_____． 【答案】5或 【解析】 【分析】作辅助线，可知或，可证平面，进而分情况求解即可. 【详解】如图，作且，连接， 则（或其补角）为异面直线所成的角，即或， 由，且，得是平行四边形，则， 由，得，而平面， 因此平面，又平面，则，， 当时，； 当时，， 所以的长为5或. 故答案为：5或 14. 已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，是以AD为斜边的等腰直角三角形，平面PAD，E是线段PD上的动点（不含端点），若线段AB上存在点F（不含端点）、使得异面直线PA和EF所成的角的余弦值为，则线段AF长的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法列方程，结合二次函数的性质求得AF长的取值范围. 【详解】设O是AD的中点，则，由于平面PAD，平面PAD， 所以，由于，平面ABCD， 所以平面ABCD，由于平面PAD，所以平面平面ABCD， 以D为原点建立如图所示空间直角坐标系， ，，， 设，；设，， 则，设PA与EF所成角为， ， 整理得，函数的开口向下，对称轴为， 所以函数在上递增，所以， 而，，所以，解得. 所以AF的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 15. 已知图所示，在四棱锥中，底面是矩形，平面，M，N分别是AB，PC的中点，. （1）求证：平面 （2）求证：平面PCD. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，可证，，从而面面，即可证明平面； （2）先证明，由，、分别是、的中点，可证，，从而得证． 【详解】证明：（1）取的中点，连接，， 、分别是、的中点， ， 又面，面，所以面 又面，面，所以面 因为，面 面面， 因为面 平面； （2）底面是矩形，平面， ，，，平面，平面 平面， 平面 ， 又， 平面 ，、分别是、的中点， ，，面 平面． 【点睛】本题考查了空间几何体的线面位置关系判定与证明： （1）对于异面直线的判定要熟记异面直线的概念：把既不平行也不相交的两条直线称为异面直线； （2）对于线面位置关系的判定中，熟记线面平行与垂直、面面平行与垂直的定理是关键. 16. 已知正项数列的前n项和为，且和满足：. （1）求的通项公式； （2）设，求的前n项和； （3）在（2）的条件下，对任意，都成立，求整数m的最大值. 【答案】（1） （2） （3）7 【解析】 【分析】（1）依题意可得，根据，作差整理得，即可得到是以1为首项，2为公差的等差数列，从而求出的通项公式； （2）由（1）可得，利用裂项相消法计算可得； （3）利用作差法说明的单调性，即可求出，从而求出参数的取值范围，即可得解； 【小问1详解】 解：∵， ∴，① ∴，② ①－②得. ∴，化简. ∵，∴. ∴是以1为首项，2为公差的等差数列. ∴. 【小问2详解】 解：由（1）可得. ∴. 【小问3详解】 解：由（2）知， 所以. ∴数列是递增数列，则， ∴，解得，∴整数的最大值是7. 17. 如图，在四棱锥中，四边形是菱形，，. （1）证明：平面平面； （2）若二面角的余弦值为，求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）依据面面垂直判定定理去证明平面平面； （2）建立空间直角坐标系，以向量的方法去求二面角的正弦值. 【小问1详解】 设，连接， 在菱形中，为中点，且， 因为，所以， 又因为，且，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面； 【小问2详解】 作平面，以为，，轴，建立空间直角坐标系， 易知，则，， 因为，，所以为二面角的平面角， 所以，则，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，由，得 取，则，，所以， 设平面的法向量为，由，得 取，则，，所以， 设二面角为，则， 又，则. 18. 如图，已知椭圆过点，焦距为；斜率为的直线与椭圆相交于异于点的，两点，且直线PM，PN均不与轴垂直. （1）求椭圆的方程； （2）若，求MN的方程； （3）记直线PM的斜率为，直线PN的斜率为，证明：为定值. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据条件列方程组求解即可； （2）设直线的方程为，与椭圆联立，由弦长公式求得的方程； （3）将韦达定理代入中计算结果为定值． 【小问1详解】 由椭圆过点，焦距为， 得，解得， 故椭圆的方程为． 【小问2详解】 设直线的方程为，，， 联立，消去得， 由，得， 则． ， 解得或， 当时，直线的方程为； 当时，直线经过点，不符合题意，舍去． 所以当时，的方程为． 【小问3详解】 证明：直线，均不与轴垂直，所以，，则且， 所以 ， 所以为定值． 【点睛】方法点睛： 解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 19. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面，为边CD的中点，且. （1）求线段的长； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）在线段上（不含端点）是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，设，由即可求解； （2）分别求平面与平面的法向量，利用夹角公式即可求解； （3）设，利用直线与平面所成角的正弦值为即可求解. 【小问1详解】 由底面平面， 故，又底面是矩形，故， 故AD、AB、PA两两垂直， 故可以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则、， 设，则， 则， 由，则， 解得，即； 【小问2详解】 ， 设平面的一个法向量， 因为，可得， 令，则，所以， ， 设平面的一个法向量， 可得， 令，则，所以， 设平面与平面夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为； 【小问3详解】 （3）设， 则， 因为与平面所成角的正弦值为，设AN与平面所成角， 所以， 所以所以或， 因为所以，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 赣榆高级中学2025—2026学年度第二学期4月学情检测 高二数学试题 命题：汪薇 审题：李石璞 一、单选题 1. 若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ） A. B. ， C. D. 2. 已知空间向量，，，若，，共面，则实数（ ） A. 2 B. 3 C. 13 D. 3. 已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 已知m，n是实数，若点，在同一直线上，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 3只猫把4只老鼠捉光，每只老鼠都恰被一只猫捉住，不同的捉法种数有（    ） A. B. C. D. 6. 阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为．阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. 0 B. C. D. 7. 在正四面体中，、分别为棱、中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 以等腰直角三角形斜边上高为折痕，把和折成的二面角.若，，则最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知，，是空间的三个单位向量，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，两两共面，则，，共面 C. 对于空间的任意一个向量，总存在实数，，，使得 D. 若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底 10. 如图，棱长为2的正方体中，E，F分别为BD，的中点，若点G满足（，），则（ ） A. 平面 B. 当时，平面 C. 当时，平面 D. 当时，点G到平面的距离为 11. 如图，在正方体中，为棱的中点．动点沿着棱从点向点移动，对于下列四个结论．正确的是（ ） A. 存在点，使得 B. 存在点，使得平面 C. 的面积越来越小 D. 四面体的体积不变 三、填空题 12. 已知向量，若向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围是__________. 13. 已知平面，异面直线与所成的角是，则线段的长为_____． 14. 已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，是以AD为斜边的等腰直角三角形，平面PAD，E是线段PD上的动点（不含端点），若线段AB上存在点F（不含端点）、使得异面直线PA和EF所成的角的余弦值为，则线段AF长的取值范围是___________. 四、解答题 15. 已知图所示，在四棱锥中，底面是矩形，平面，M，N分别是AB，PC的中点，. （1）求证：平面 （2）求证：平面PCD. 16. 已知正项数列的前n项和为，且和满足：. （1）求的通项公式； （2）设，求的前n项和； （3）在（2）的条件下，对任意，都成立，求整数m的最大值. 17. 如图，在四棱锥中，四边形是菱形，，. （1）证明：平面平面； （2）若二面角的余弦值为，求二面角的正弦值. 18. 如图，已知椭圆过点，焦距为；斜率为的直线与椭圆相交于异于点的，两点，且直线PM，PN均不与轴垂直. （1）求椭圆的方程； （2）若，求MN的方程； （3）记直线PM的斜率为，直线PN的斜率为，证明：为定值. 19. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面，为边CD的中点，且. （1）求线段的长； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）在线段上（不含端点）是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $