精品解析：江苏省赣榆高级中学2025-2026学年第一学期高二年级12月学情检测数学试题

2025~2026学年第一学期高二年级12月学情检测 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的焦点到其准线的距离为（    ） A. B. C. D. 1 2. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ）． A. 1 B. 2 C. D. 4 4. 已知圆和两点，，．若圆上存在点，使得，则的最小值为（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 5. 在平面直角坐标系中，椭圆的左､右焦点分别为，，过且垂直于轴的直线与交于，两点，与轴交于点，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，分别为等差数列，的前n项和，，设点A是直线外一点，点P是直线上一点，满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些整数染成红色．先染1；再染3个偶数2，4，6；再染6后面最邻近5个连续奇数7，9，11，13，15；再染15后面最邻近的7个连续偶数16，18，20，22，24，26，28；再染此后最邻近的9个连续奇数29，31，…，45；按此规则一直染下去，得到一红色子数列：1，2，4，6，7，9，11，13，15，16，……，则在这个红色子数列中，由1开始的第2027个数是（    ） A. 3997 B. 4003 C. 4008 D. 4010 8. 函数满足：，，且，则（    ）． A. 1225 B. 1275 C. 2550 D. 4950 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列结论中正确的有（    ） A. B. C. D. 10. 已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A. B. C. 数列中最大 D. 数列中最小 11. 椭圆的左、右焦点分别为、，为坐标原点，为上一点，则下列说法正确的是（　　） A. 的最大值为2 B. 椭圆上存在点，使得 C. 过圆上一点向椭圆作切线，切点为、，则 D. 过圆上一点作圆的切线，交椭圆于两点，则面积的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等比数列的前n项和为，若，，则______． 13. 已知直线与曲线有两个公共点，则的取值范围是___________． 14. 已知双曲线，其左右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，与双曲线左支交于点中点为．若内切圆半径为，则直线的斜率为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知以点为圆心圆与直线相切，过点的动直线与圆A相交于 （1）求圆的方程； （2）当时，求直线的方程． 16. 已知直线. （1）求经过点且与直线垂直的直线方程； （2）求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程. （3）若直线交x轴负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程. 17. 已知数列的首项为1，前项和为，且满足. （1）求； （2）求数列前项和. 18. 已知在正项数列中，且，其中为数列的前n项和． （1）求数列的通项公式； （2）若对于任意，恒成立，求实数取值范围； （3）设，求数列的前n项和． 19. 我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妹”圆锥曲线.已知双曲线与椭圆是“姊妹”圆锥曲线，分别为和的离心率，. （1）求椭圆的方程； （2）试确定的取值范围，使得椭圆上有两个不同的点关于直线对称； （3）若，是椭圆上的两动点（两点不关于轴对称），为坐标原点，的斜率分别为，问是否存在非零常数，使得时，的面积为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年第一学期高二年级12月学情检测 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的焦点到其准线的距离为（    ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线的几何性质求解． 【详解】由抛物线，得， 则，得， 得抛物线的焦点到其准线的距离为， 故选：C 2. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用椭圆的定义建立不等式，求解参数范围即可. 【详解】因为方程表示焦点在轴上的椭圆， 所以解得，故C正确. 故选：C. 3. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ）． A. 1 B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线平行求出参数的值，再将直线方程化为、对应系数一致，最后利用距离公式计算可得. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，解得， 所以直线，即，即， 所以两平行线之间的距离. 故选：B 4. 已知圆和两点，，．若圆上存在点，使得，则的最小值为（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由，知动点的轨迹是以为直径的圆，又点在圆上，故点是圆与圆的交点，因此可得两圆的位置关系是相切或相交.由两圆的位置关系可以得到代数关系，从而求出的取值范围，进而找到的最小值. 【详解】 解：，点的轨迹是以为直径的圆， 又点在圆上，故点是圆与圆的交点， 因此可得两圆的位置关系是相切或相交，即， 解得：． 的最小值为4． 故选：D． 【点睛】关键点点睛：此题考查圆与圆位置关系的应用，解题的关键通过化归与转化思想，确定点的轨迹是以为直径的圆与圆有交点，从而可求出，考查了学生化归与转化思想，数形结合的解题思想及运算求解能力，属于中档题. 5. 在平面直角坐标系中，椭圆的左､右焦点分别为，，过且垂直于轴的直线与交于，两点，与轴交于点，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意结合几何性质可得为等腰三角形，且，所以，求出的长，结合椭圆的定义可得答案. 【详解】如图，由题意轴，轴，则 又为的中点，则为的中点，又， 则为等腰三角形，且，所以 将代入椭圆方程得，，即 所以 ，则 由椭圆的定义可得，即 则椭圆的离心率 故选：B 6. 已知，分别为等差数列，的前n项和，，设点A是直线外一点，点P是直线上一点，满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列求和公式的性质及三点共线的推论计算参数即可. 【详解】根据等差数列前项和公式的二次函数特性，且， 不妨设， 则， 又三点共线，则， 所以. 故选：A 7. 正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些整数染成红色．先染1；再染3个偶数2，4，6；再染6后面最邻近的5个连续奇数7，9，11，13，15；再染15后面最邻近的7个连续偶数16，18，20，22，24，26，28；再染此后最邻近的9个连续奇数29，31，…，45；按此规则一直染下去，得到一红色子数列：1，2，4，6，7，9，11，13，15，16，……，则在这个红色子数列中，由1开始的第2027个数是（    ） A. 3997 B. 4003 C. 4008 D. 4010 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意将染色的所有数字进行分组，找出每组数字的最后一个数与组数和该组数的数字个数的关系，找出第组最后一个数在红色子数列中所处的位数，即可求得结果. 【详解】根据染色规律可将染色的所有数字分组，规律如下： 第一组：1                                    共1个数； 第二组：2，4，6                              共3个数； 第三组：7，9，11，13，15                     共5个数； 第四组：16，18，20，22，24，26，28           共7个数； 第五组：29，31，33，35，37，39，41，43，45   共9个数； …… 由此规律可知，第组最后一个数是该组组数与该组的数字个数的乘积为， 且该数在组成的红色子数列中是第个数， 易知，当时，即第45组最后一个数的位置是，数值为， 因为45为奇数，所以第45组为奇数数列，则第46组为偶数数列, 第2026个数为4005后的第一个偶数4006，第2027个数为4008. 故选：C 8. 函数满足：，，且，则（    ）． A. 1225 B. 1275 C. 2550 D. 4950 【答案】A 【解析】 【分析】利用递推式依次求得、、，最后令，，得到，应用累加法求得，最后应用分组求和及等差数列的前n项和公式求结果. 【详解】令，则，可得， 令，则，由可得， 令，则，可得， 令，，则， 可得， 当时， 则 ， 显然也满足上式， 所以， 故. 故选：A 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列结论中正确的有（    ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据常数的导数为零，判断选项A；利用幂函数的求导法则求导判断选项B；利用对数函数的求导法则求导判断选项C；利用指数函数的求导法则求导判断选项D． 【详解】是常数，，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D正确． 故选：CD． 10. 已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A. B. C. 数列中最大 D. 数列中最小 【答案】BCD 【解析】 【分析】由已知结合等差数列的项与和的性质推出，，即得，，由此可判断每个选项的正误即可. 【详解】由，可得，即， 又由，，即， 得，且，则， 所以，所以的最大值为，无最小值. 且数列中最小， 故B，C，D均正确，A错误. 故选：BCD. 11. 椭圆的左、右焦点分别为、，为坐标原点，为上一点，则下列说法正确的是（　　） A. 的最大值为2 B. 椭圆上存在点，使得 C. 过圆上一点向椭圆作切线，切点为、，则 D. 过圆上一点作圆的切线，交椭圆于两点，则面积的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】A项，利用基本不等式可得；B项，设，由数量积坐标运算化简可得；C项，先对切线斜率不存在时分析，再设点斜式直线方程，联立椭圆方程，结合得到关于的方程，由韦达定理得斜率之积为即可；D项，按斜率是否存在讨论，利用弦长公式及韦达定理得到的函数表达式，求解函数值域进而由面积公式可得范围. 【详解】A选项，由椭圆，可知， 则，， 则， 可得，当且仅当时取等号， 即当点位于短轴端点时，取最大值，故A正确； B选项，设椭圆上任一点，又，， 则，可得， 则， 故不存在点，使得，故B错误； C选项，设，则， ①当时，则， 可知椭圆的两条切线恰好垂直，即； ②当时，则椭圆的两条切线都存在斜率， 可设过点的椭圆切线方程为， 联立，消得， 由直线与椭圆相切， ， 化简得，则此关于的方程有两根，设为， 则， 由即为两切线的斜率，所以， 综合①②可知，，故C正确； D选项，当切线的斜率不存在时，切线方程为， 联立，解得，故此时； 当切线的斜率存在时，设直线的方程为， 由圆的圆心，半径， 则由直线与圆相切可得， 圆心到直线的距离，即， 联立，消得， 由，化简得， 由韦达定理得，. 则 ， 由得代入上式可得 ， 设，， 则 ，由，可得， 当，即时，最大，最大值为； 当，即时，最小，最小值； 综上所述，的范围为. 又由， 故面积的取值范围为，故D正确； 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等比数列的前n项和为，若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，显然，再根据等比数列求和公式求出，最后根据前项和公式计算可得. 【详解】解：设等比数列的公比为，因为，， 所以，则，， 所以，解得，所以； 故答案为： 13. 已知直线与曲线有两个公共点，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据直线方程与曲线具有两个公共点，联立方程进行求解. 【详解】直线过点，， 联立方程 则 ， 即，故， 根据图象的交点，可得， 故. 故答案为：. 14. 已知双曲线，其左右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，与双曲线左支交于点中点为．若内切圆半径为，则直线的斜率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线的定义及三角形的面积公式，求得.代入双曲线的方程，并由得点P在以O为圆心，c为半径的圆上，联立双曲线和圆的方程，即可求得点P的坐标，从而得到直线的方程，与双曲线方程联立，可求得，利用中点坐标公式求得点M的坐标，进而求得直线的斜率. 【详解】如图： 由题可知， 化简得，即. 因为，所以，所以， 所以双曲线， 设点，则点P在以O为圆心，c为半径圆上， 所以点P的坐标满足， 解得，即. 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为. 当点在第一象限时， 联立，得， 所以或， 所以.所以， 所以直线的斜率为. 根据双曲线的对称性，可得当点在第四象限时，直线的斜率为. 直线的斜率为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆A相交于 （1）求圆的方程； （2）当时，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】(1)由题意知点到直线距离公式可确定圆A半径，带入到圆的标准方程可求得圆的方程； (2) 过A做，由垂径定理可知圆心到直线，设出直线，可分为斜率存在和斜率不存在两种情况，解之可得直线方程 【小问1详解】 易知到直线的距离为圆A半径r， 所以， 则圆A方程为 【小问2详解】 过A做,由垂径定理可知，且， 在中由勾股定理易知 当动直线斜率不存在时，设直线的方程为， 经检验圆心到直线的距离为，且根据勾股定理可知， 显然合题意， 当动直线斜率存在时，过点，设方程为：， 由到距离为知得， 代入解之可得， 所以或为所求方程． 16. 已知直线. （1）求经过点且与直线垂直直线方程； （2）求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程. （3）若直线交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程. 【答案】（1） （2）或 （3）S的最小值为16，此时直线l的方程为． 【解析】 【分析】（1）根据直线的斜率可设所求直线方程为，代入点即可求解； （2）联立直线与的方程可得交点坐标，分截距为0和截距不为0两种情况分别求解； （3）先求出两点的坐标，进而得到的面积表达式，然后利用基本不等式求出面积的最小值，即可确定直线的方程． 【小问1详解】 由直线可得直线的斜率为， 依题意，所求直线斜率为，则其方程可设为， 该直线经过点，则，解得， 故所求直线方程为，即； 【小问2详解】 联立，解得，即直线与的交点为， 当直线经过原点时，满足题意，设直线方程为， 代入解得，此时； 当直线的截距都不为0时，设直线方程为， 依题意，解得，此时直线方程为， 综上，所求直线方程为或. 【小问3详解】 由题可知， 在中，令，解得，即得A， 再令，可得，即得， 故， 则 当且仅当，即时取等号， 故S的最小值为16，此时直线l的方程为． 17. 已知数列的首项为1，前项和为，且满足. （1）求； （2）求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）构造新数列，可得该数列是首项为的常数列，由此求得，由与的关系可求得. （2）利用裂项相消求和法可得数列的前项和. 【小问1详解】 因为，所以，所以数列是首项为的常数列. 所以，即. 所以当时，. 当时，，也符合上式. 所以 【小问2详解】 由（1）得，. 所以. 18. 已知在正项数列中，且，其中为数列的前n项和． （1）求数列的通项公式； （2）若对于任意，恒成立，求实数的取值范围； （3）设，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过前n项和差与已知条件相除，推得是等差数列，求出后利用（）得到通项公式. （2）将恒成立问题转化为恒成立，构造数列，分析其单调性找到最大值，确定的取值范围. （3）先化简的表达式，再利用错位相减法（乘以公比后与原和式相减）计算数列的前项和. 【小问1详解】 在数列中，①， 又因为②，， 所以，得． 又因为，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以，所以． 当时，， 当时，，也满足上式， 所以数列的通项公式为． 【小问2详解】 由（1）知，． 因为对于任意，恒成立，所以恒成立． 设，则， 当时，，； 当，时，， 所以， 所以数列的最大项是，所以， 即实数的取值范围为． 【小问3详解】 由（1）知， 所以． 所以．③ ．④ ，得 ． 所以． 19. 我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妹”圆锥曲线.已知双曲线与椭圆是“姊妹”圆锥曲线，分别为和的离心率，. （1）求椭圆的方程； （2）试确定的取值范围，使得椭圆上有两个不同的点关于直线对称； （3）若，是椭圆上的两动点（两点不关于轴对称），为坐标原点，的斜率分别为，问是否存在非零常数，使得时，的面积为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）已知双曲线，结合“姊妹”圆锥曲线的定义，可设出椭圆方程，再根据，即可求出，即可得到椭圆方程； （2）设出椭圆上的两点，以及的中点，利用点差法，结合直线的斜率，可以得到，再结合点在上，可求得，再利用点在椭圆内，即可求得的范围； （3）设出直线以及两点，根据可得，即.点在直线上，可得，联立直线与椭圆方程，由韦达定理可得，代入式，可得，表示出，再根据是定值，即可求出对应的. 【小问1详解】 已知双曲线，由“姊妹”圆锥曲线的定义，可设椭圆的方程为， 则，整理得，解得， ∴椭圆的方程为. 【小问2详解】 设椭圆上，两点关于直线对称， 设的中点为，则. 因为点在椭圆上，所以，两式相减得， 又因为，所以即，所以， 又因为点在直线上，所以，即，所以. 因为点在椭圆内部，所以， 得，即. 所以的取值范围为. 【小问3详解】 存在非零常数，使时，的面积为定值. 设存在这样常数，使时，为定值. 设直线的方程为，且直线与的交点坐标分别为，， ，，， . 联立，得， 由韦达定理，可得，， ， 即，因此. ∵点到直线的距离为， ， ， . 要使得的面积为定值，只需，得， 即，解得， 此时，即， 故存在非零常数，使得时，的面积为定值1. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $