精品解析：宁夏永宁上游高级中学2025-2026学年高一下学期月考（一）数学试题

永宁上游高级中学2025-2026学年第二学期月考（一） 高一数学试卷 时间：120分钟 分值：150分 命题教师：王飞 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，满分40分.每小题给出的选项中，只有一个是符合题意的. 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 2. 如果表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，为向量，则“”是“或”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，，则（ ） A. B. C. D. 3 5. 已知向量，，，则向量与的夹角是（ ） A. B. C. D. 6. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状为（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 7. 如图，两座山峰的高分别为，，为测量峰顶M和峰顶N之间的距离，测量队在B点（A，B，C在同一水平面上）测得M点的仰角为30°，N点的仰角为60°，且，则两座山峰峰顶之间的距离（ ） A. 200m B. C. 400m D. 600m 8. 已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是　　 A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，满分18分.每小题给出的选项中，有多个选项是符合题意的.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分. 9. 下列叙述中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则三点共线 C. 若，，则线段的中点坐标为 D. 若，则与垂直的单位向量的坐标为或 10. 下列说法正确的有（ ） A. 若，则或 B. 已知不共线，若向量与向量共线，则实数 C. 设，，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围为 D. 已知向量与的夹角为120°，，，则在方向上的投影向量为 11. 已知，，分别是内角，，的对边，为边上一点，的面积为，且满足，，则（ ） A. B. 当为中线时， C. 当为高线时， D. 当为角平分线时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分. 12. 在中，，则_________． 13. 已知，若，则在方向上的投影向量的坐标为_________． 14. 在中，角所对的边分别为，且．若有两解，则的长的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，满分77分.解答应写出必要的文字说明、计算过程、演算步骤. 15. 已知． （1）若为与的夹角，求的值； （2）若与垂直，求的值． 16. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，. （1）求的外接圆的半径； （2）求的面积. 17. 在中，内角A、、所对的边分别为、、，满足. （1）求角的大小； （2）若，边上的中线的长为2，求的面积； 18. 已知的面积记为.内角，，的对边分别为，，，. （1）若，，求； （2）若为锐角三角形，，求的取值范围. 19. 如图，在等边中，，点O在边BC上，且.过点O的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N. （1）设，，试用，表示； （2）求； （3）设，，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永宁上游高级中学2025-2026学年第二学期月考（一） 高一数学试卷 时间：120分钟 分值：150分 命题教师：王飞 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，满分40分.每小题给出的选项中，只有一个是符合题意的. 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，利用复数的运算得，再由共轭复数的定义，即可求解. 【详解】因为，则， 所以. 2. 如果表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量基底的定义，结合平面向量共线定理逐一判断即可. 【详解】根据平面基底的定义知，向量为不共线非零向量，即不存在实数，使得， 对于A中，向量和，不存在实数，使得，可以作为一个基底； 对于B中，向量，假设存在实数，使得， 可得，此时方程组无解，所以和可以作为基底； 对于C中，向量和，假设存在实数，使得， 可得解得，所以和不可以作为基底； 对于D中，向量和，假设存在实数，使得， 可得此时方程组无解，所以和可以作为基底. 故选：C 3. 已知，，为向量，则“”是“或”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】已知，，为向量，记命题：，命题：或. 若成立，则或，当时，，则； 当时，，因此，即是或的必要条件. 反之，若成立，即，可能与垂直且均非零向量， 此时且，故不能推出，即不是的充分条件. 所以“”是“或”的必要不充分条件. 4. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】直接由余弦定理即可计算求解. 【详解】由余弦定理得，所以. 故选：D 5. 已知向量，，，则向量与的夹角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量模长的求法，结合向量数量积及夹角公式，直接求解即可. 【详解】因为，所以， 因为，化简得，所以， 所以，而， 所以向量与的夹角是. 故选：C 6. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状为（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理边角互化，以及两角和差正弦公式，化简可得结果. 【详解】因为，由正弦定理可得， 则，即， 所以，即， 又因为，则，即, 所以是等腰三角形. 7. 如图，两座山峰的高分别为，，为测量峰顶M和峰顶N之间的距离，测量队在B点（A，B，C在同一水平面上）测得M点的仰角为30°，N点的仰角为60°，且，则两座山峰峰顶之间的距离（ ） A. 200m B. C. 400m D. 600m 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，分别求得的长，然后在中，由余弦定理代入计算，即可得到结果. 【详解】在中，，. 在中，. 在中， . 故选：A 8. 已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是　　 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可． 【详解】建立如图所示的坐标系，以中点为坐标原点， 则，，， 设，则，，， 则 当，时，取得最小值， 故选：． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，满分18分.每小题给出的选项中，有多个选项是符合题意的.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分. 9. 下列叙述中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则三点共线 C. 若，，则线段的中点坐标为 D. 若，则与垂直的单位向量的坐标为或 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据共线向量坐标公式可以判断选项A，B；根据中点坐标公式判断选项C；根据两向量垂直的坐标公式和单位向量的模确定选项D. 【详解】对于A，因，则，故A正确； 对于B，若，，， 则，，因为， 所以，又，有公共点， 所以A，B，C三点共线，B正确； 由中点坐标公式可得线段的中点坐标为，C错误； 对于D，设与垂直的单位向量的坐标为， 则，解得或，故D正确. 10. 下列说法正确的有（ ） A. 若，则或 B. 已知不共线，若向量与向量共线，则实数 C. 设，，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围为 D. 已知向量与的夹角为120°，，，则在方向上的投影向量为 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，利用向量模的定义即可判断；对于B，利用向量共线定理即可判断；对于C，利用向量数量积坐标公式及共线坐标公式即可判断；对于D，利用投影向量的概念及数量积公式即可判断. 【详解】对于A，由知两向量模相等，但不能得到向量共线，故A错误； 对于B，因向量与向量共线，则，即， 所以，解得，故B正确； 对于C，因与的夹角为锐角，则且不平行于， 所以，解得且， 所以实数的取值范围为，故C错误； 对于D，在方向上的投影向量为， 因，， 则，故D正确. 11. 已知，，分别是内角，，的对边，为边上一点，的面积为，且满足，，则（ ） A. B. 当为中线时， C. 当为高线时， D. 当为角平分线时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用以及正弦定理可求，判断A；利用剩余两个条件可求，再利用余弦定理求出，利用判断B；利用等面积判断C；利用 判断D. 【详解】由以及正弦定理可得，，得，故A正确； 因为的面积为，所以，即， 因为，所以， 因为，所以，则，则， 在中利用余弦定理可得，， 则， 当为中线时，，则， 即，得，故B正确； 当为高线时，，得，故C错误； 当为角平分线时，则， 由，得， 则，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分. 12. 在中，，则_________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据正弦定理可得，结合三角形内角的取值范围即可求出C的值. 【详解】由正弦定理，得， 所以， 由，得或， 当时，， 当时，. 故答案为：或. 13. 已知，若，则在方向上的投影向量的坐标为_________． 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以，解得：, 则在方向上的投影向量的坐标为 14. 在中，角所对的边分别为，且．若有两解，则的长的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，利用正弦定理判断三角形解的个数的方法，即可求解. 【详解】如图，过作垂直所以直线于， 因为，则， 又有两解，则， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，满分77分.解答应写出必要的文字说明、计算过程、演算步骤. 15. 已知． （1）若为与的夹角，求的值； （2）若与垂直，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用平面向量的夹角公式求解； （2）根据向量与垂直，两个向量的数量积为零求解. 【小问1详解】 解：∵， ∴， 则， ∴． ∵，∴． 【小问2详解】 ∵， ∴． ∵向量与垂直， ∴， 解得． 16. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，. （1）求的外接圆的半径； （2）求的面积. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）利用两角和的正弦公式及诱导公式得到，求出B，再由正弦定理即可得解； （2）利用余弦定理得到，再将两边平方，即可求出，最后由面积公式计算可得. 【小问1详解】 因为， 所以， 即，又， 则， 又，所以，又， 所以，又，即. 【小问2详解】 由余弦定理，即， 又，所以，解得， 所以. 17. 在中，内角A、、所对的边分别为、、，满足. （1）求角的大小； （2）若，边上的中线的长为2，求的面积； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理结合两角和的正弦公式化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值. （2）解法一：利用余弦定理以及，可得出关于，的方程组，解出的值，结合三角形的面积公式可求得的面积. 【详解】（1）由及正弦定理， 因为、，所以，则，故. （2）解法一：因为，为中点，则， 由余弦定理得，得， 在中，， 在中， 因为，所以， 所以，，解得：， 故的面积为； 解法二：因为为的中点，则， 所以，，即， 由余弦定理可得，即，所以， 故的面积为. 18. 已知的面积记为.内角，，的对边分别为，，，. （1）若，，求； （2）若为锐角三角形，，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据条件得出角，结合余弦定理计算得到边长； （2）由正弦定理结合角得到，由边角关系计算得到答案. 【小问1详解】 由，得， 因为为三角形边长，所以，所以， 若，则，代入得，矛盾， 所以，方程两边同除以得，又，所以. 根据余弦定理， 得.即，整理得. 解得或（舍去）.所以. 【小问2详解】 由，得，， 因为，则，， 所以， ， 因为为锐角三角形，所以则， 所以，即取值范围为. 19. 如图，在等边中，，点O在边BC上，且.过点O的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N. （1）设，，试用，表示； （2）求； （3）设，，求的最小值. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用给定的基底表示向量. （2）利用向量的数量积定义、运算律及夹角公式求解. （3）利用共线向量的推论及基本不等式求出最小值. 【小问1详解】 由，得，所以. 【小问2详解】 在等边中，， 由（1）得， ，，， ， 所以. 【小问3详解】 由（1）知，，而，， 因此，而共线，则， 又，于是， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $