四川省江油中学2025-2026学年高一下学期期中数学模拟卷

绵阳市江油中学2025-2026学年高一下学期期中数学模拟卷 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。 1.已知复数z满足，则z的虚部为    A. B. C. D. 2.下面命题中，正确的是(    ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若则 3.如图，在中，点N是BC的中点，点M是AN的中点，设，，那么    A. B. C. D. 4.如图，已知水平放置的的直观图中，，，那么的面积为(    ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5.已知平面向量，，若，则     A. B. C. D. 6.若高为1的正三棱柱的顶点都在半径为1的球面上，则该正三棱柱的体积为(    ) A. B. C. D. 7.斯特瓦尔特定理是由18世纪的英国数学家提出的关于三角形中线段之间关系的结论.根据斯特瓦尔特定理可得出如下结论：设中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，点D在边BC上，且，则已知中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，，，点D在BC上，且的面积与的面积之比为2，则AD的值是(    ) A. B. C. D. 8.已知M是边长为1的正的边AC上的动点，N为AB的中点，则的取值范围是      A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。 9.关于复数，则下列命题正确的是    A. B. z的共轭复数为 C. z在复平面内对应的点位于第四象限 D. 10.下列关于平面向量的说法中正确的是(    ) A. 设为非零向量，若，则 B. 若，则或 C. 设为非零向量，则 D. 若点G为的重心，则 11.已知圆台的轴截面如图所示，其上底面半径为1、下底面半径为2，母线 AB长为2， E为母线AB中点，则下列结论正确的是(    ) A. 圆台的高为2 B. 圆台的侧面积为 C. 圆台外接球的体积是 D. 在圆台的侧面上，从C到E的最短路径的长度为5 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知向量，满足，则在上的投影向量的坐标为          . 13.需要测量某塔的高度，选取与塔底D在同一个水平面内的两个测量基点A与B，现测得，，米，在点A处测得塔顶C的仰角为，则塔高CD为          米. 14.如图，E，F分别是正方形ABCD的边AB，AD的中点，把，，折起构成一个三棱锥重合于P点，则三棱锥的外接球与内切球的半径之比是          . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 已知与的夹角 求； 若，求k的值. 16.本小题15分 在①，②，③这三个条件中，任选一个，补充在下面问题中． 问题：在中，a ，b，c 分别为角A，B，C 所对的边，，_______________. 求角求的最大值. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 17.本小题15分 已知复数 若z为纯虚数，求m的值； 若z为实数，求m的值； 若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，求m的取值范围． 18.本小题17分 在平面直角坐标系中，已知，， 若三点共线，求实数m的值； 若，以的边AB所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成一个几何体，求该几何体的表面积. 19.本小题17分 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，已知 求角A； 已知，，点P，Q是边AC上的两个动点不重合，记 ①当时，设的面积为S，求S的最小值： ②记，问：是否存在实常数和k，对于所有满足题意的，，都有成立?若存在，求出和k的值；若不存在，说明理由. 答案和解析 1.【答案】C  【解析】解：因为， 所以， 的虚部为， 故选 2.【答案】D  【解析】解：对A，，但，不一定同向，所以，不一定相等，错误； 对B，向量不能比较大小，错误； 对C，若，则，错误； 对D，若，则，长度相等，且方向相同，所以，正确. 故选 3.【答案】A  【解析】【分析】根据已知条件结合平面向量基本定理求解即可. 【详解】因为在中，点N是BC的中点，点M是AN的中点，，， 所以 故选：A 4.【答案】D  【解析】解：由已知直观图根据斜二测化法规则画出原平面图形，如图所示： 其中，， 的面积为 故选： 5.【答案】C  【解析】解：已知，，则， ，，解得， ， ，，， ，， ，，， 故选 6.【答案】B  【解析】【分析】根据球的截面圆的性质，得到棱柱底面与球的截面圆的半径，进而求得底面三角形的边长为，结合棱柱的体积公式，即可求解. 【详解】由题意可知球的半径， 因为正三棱柱的高为1，则球心到三棱柱底面的距离， 根据球的截面圆的性质，可得，即，解得， 棱柱底面与球的截面圆的半径， 三棱柱的底面三角形为截面圆内接正三角形，可得三角形的边长为， 所以三角形的面积为， 该棱柱的体积为 7.【答案】A  【解析】解：由，可得，， 由，可得， 因为，可得，即有， 可得内角， 由余弦定理可得， 由的面积与的面积之比为2，可得，即， 所以， 解得 故选： 由三角形的正弦定理可得内角，由余弦定理可得，由三角形的面积公式可得，代入斯特瓦尔特定理，计算可得所求值． 本题考查三角形的正弦定理、余弦定理和面积公式、斯特瓦尔特定理，考查方程思想和运算能力，属于中档题． 8.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查了通过建立平面直角坐标系，利用向量坐标解决向量问题的方法，向量坐标的数量积运算，配方求二次函数值域的方法，考查了计算能力，属于中档题． 建立平面直角坐标系，求出各点坐标，从而可得出，根据x的范围，从而求得结果． 【解答】 解：取AC的中点O，以O为原点，直线AC为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则：， 设， ， ，且， 时，取最小值；时，取最大值， 的取值范围是 故选： 9.【答案】BCD  【解析】【分析】选项A，化简复数，再求z的模即可.选项B，写出共轭复数即可判断.选项C，确定z在复平面内对应的点为，即可判断.选项D，将z写成三角形式，即可确定辐角主值. 【详解】对于A选项，，故，所以A错误. 对于B选项，z的共轭复数，所以B正确. 对于C选项，因为z对应的点为，位于第四象限，所以C正确. 对于D选项，因为，又，所以辐角主值为，所以D正确. 故选： 10.【答案】AD  【解析】【分析】根据向量数量积的运算律即可判断A；根据模的定义及向量共线的概念即可判断B；根据数量积的运算法则即可判断C；根据向量线性运算及重心的性质即可判断 【详解】对于A，若，则，故A正确； 对于B，表示是的2倍，或表示与共线，且是的2倍，故B错； 对于C，，， 所以与不一定相等，故C错误； 对于D，如图，设D为BC的中点，点G为的重心， 则，即，所以，故D正确； 故选： 11.【答案】BCD  【解析】【分析】 本题考查圆台的结构特征，圆台的侧面积，圆台的外接球，球的体积，圆台侧面上的最短距离，属于中档题. 根据圆台的轴截面求出圆台的高，判断A；求出圆台的侧面积判断B；求出圆台的外接球体积判断C；由圆台补成圆锥，求出最短距离判断 【解答】 解：由轴截面得，圆台的高为，选项A错误； 圆台的侧面积，选项B正确； 设外接球的半径为R， 设，若圆台的两个底面在球心O的同一侧， 则， 可得，，圆台外接球半径为2， 若圆台的两个底面在球心O的两侧， 则 可得，，圆台外接球半径为2， 所以外接球的体积为，故选项C正确； 由圆台补成圆锥，可得大圆锥的母线长为4，底面半径为2， 侧面展开图的圆心角为， 连接CE，可得，，， 则，所以沿着该圆台表面，从点C到E的最短距离为5，故D正确． 故选 12.【答案】  【解析】解：，则， 因为，，即， 即，解得， 向量在向量上的投影向量为 故答案为： 13.【答案】  【解析】【分析】 本题考查三角形的解法，考查正弦定理的应用，考查运算求解能力，是基础题． 利用正弦定理求得AD，进而求得CD。 【解答】 解：因为在中，，，， 所以， 由正弦定理得，即，解得， 在中，，所以， 故塔高 14.【答案】  【解析】【分析】 本题考查球与多面体的组合体的问题及棱锥的体积，由已知PE，PF，PC两两垂直，将三棱锥放入长方体中，求出外接球的半径，利用等体积求出内切球的半径即可求解. 【解答】 解：由已知PE，PF，PC两两垂直， 将三棱锥放入长方体中，如下图， 则三棱锥的外接球即长方体的外接球， 设正方形ABCD的边长为2a， 则由已知，， 所以长方体的体对角线长为， 所以三棱锥的外接球的半径为， 设三棱锥的内切球的半径为r，球心为O， 将O与P，C，E，F连接，则得到四个小三棱锥，它们的高都为r， 由已知可得， 所以由等体积有， 解得， 所以三棱锥的外接球与内切球的半径之比是 故答案为 15.【答案】解：  ，  . 由  ，得 ， 解得  .   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 16.【答案】解：选择①由， 得， 即， 所以， 因为，所以， 故，所以 选择②由正弦定理，， 可化为， 由余弦定理，得， 因为，所以， 选择③由正弦定理，得， 又 由，得， 因为，所以， 因为，所以 在中，由及， ， 故，， 所以 ， 因为且为锐角， 所以存在角A使得， 所以的最大值为  【解析】本题考查了正余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了三角恒等变换以及三角函数的性质，属于中档题. 选择①②③中的任一条件，由正余弦定理结合两角和与差公式等求出角； 借助正弦定理和辅助角公式可得，再由三角函数的性质求出最值即可. 17.【答案】解：因为为纯虚数， 所以， 解得：； 若z为实数，则， 解得：或； 所对应的点在第二象限，则，即 解得： 故m的取值范围为   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 18.【答案】解：，，，， 三点共线，，，解得， 即实数m的值为 由知， ，，，即 ，，，， 以的边AB所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成的几何体是底面半径，高，母线长的圆锥， 故该几何体的表面积为   【解析】【分析】根据三点共线可知，由向量共线的坐标表示即可求解； 由可知，根据向量垂直的坐标表示求出实数m的值，进而可根据向量模长计算公式可计算，，以的边AB所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成的几何体是底面半径，高，母线长的圆锥，根据圆锥的表面积公式即可求解. 19.【答案】解：因为，所以由正弦定理可得， 所以， 所以，所以， 因为，， 所以或或， 即或舍去或舍去，又，所以； ①因为，所以，又，，所以， 如图，设，，    则在中，由正弦定理，得， 所以 在中，由正弦定理，得，所以， ， 因为，所以， 故当，即时，； ②假设存在实常数，k，对于所有满足题意的，，都有成立， 则存在实常数，k，对于所有满足题意的，， 都有， 由题意，是定值，所以，是定值， 对于所有满足题意的，成立， 故有， 因为，从而，即， 因为，为的内角，所以，从而，   【解析】先由正弦定理边角互化，由三角恒等变换、三角函数化简得解； ①先找到，设，，在和中，由正弦定理得，，从而由得解. ②假设存在实常数，k合题，由和差化积，积化和差化简可得： ，由，是定值，整理化简得到： ，故而，进而得解. 关键点睛：含参数的等式恒成立问题，只需通过参数整理，此题的关键是得到，则，变量多，技巧性较强. 第1页，共15页 学科网（北京）股份有限公司 $