精品解析：黑龙江哈尔滨市第十二中学校2025-2026学年高二下学期4月月考数学试卷

2025-2026学年度 哈尔滨市第12中学校4月月考 数学试卷 考试时间：120分钟；命题人：高二数学备课组 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） （一）单项选择题（共8小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在数轴上分别标出集合A，B所表示的范围，由交集的运算法则即可求解. 【详解】在数轴上分别标出集合A，B所表示的范围，如图所示， 由图可知，. 2. 不等式的解集为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，解得或， 所以不等式的解集为或 3. 记为等差数列的前n项和，若，，则（ ） A. 11 B. 9 C. 8 D. 5 【答案】A 【解析】 【详解】等差数列中，由，得，即，解得， 而，则公差，所以. 4. 已知数列为等比数列，若，，则（     ） A. B. 4 C. D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】由等比数列通项公式将条件转化为和的等式，作除法即可求得，进而可求解. 【详解】由题意得，解得， 则. 5. 袋子中有大小相同5个球，标号为0的球1个，标号为1、2的球各两个，从中任取2个，已知有一个标号为1，求另外一个标号也为1的概率（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】记取出的 2个球中，有一个标号为1为事件，另一个标号为1为事件， 则，， 则. 6. 随机变量X的分布列为： X 1 2 3 P a 则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用分布列的性质计算即可求解. 【详解】由题意可得，解得， 所以. 故选：C. 7. 某班有54名学生，其中18名学生数学成绩优秀，每次从该班随机抽取1名学生，观察后放回，连续抽取6次，其中数学成绩优秀的学生数，则（ ） A. 13 B. 12 C. 5 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】，则，故． 8. 已知某足球队共有13名球员，其中主力球员11名，替补球员2名.假设主力球员定点射门的命中率为0.8，替补球员定点射门的命中率为0.6.现从该球队随机抽取1名球员进行定点射门，连续射门2次，则恰好命中1次的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全概率公式计算即可. 【详解】记“恰好命中1次”为事件，记“抽取的球员为主力球员”为事件. 由题意得，. ，， 则. （二）多项选择题（共3小题，每小题6分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 数列为等差数列，为其前项和.已知，，则下列结论正确的有（ ） A. 公差 B. C. D. 当时，最小 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据等差数列前项和公式，结合等差数列的通项公式逐一判断即可. 【详解】设等差数列的公差为，则，故A错误； 因为，，所以，解得，故B正确； 对于选项C、D，因为， 所以， 而；由于二次函数的图象开口向上，且对称轴为直线. 又因为，所以当时，最小，故C、D正确， 故选：BCD 10. 春节假期过后，车主小张选择去该市新开的，两家共享自助洗车店洗车．已知小张第一次去，两家洗车店洗车的概率分别为和，如果小张第一次去洗车店，那么第二次去洗车店的概率为；如果小张第一次去洗车店，那么第二次去洗车店的概率为，则下列结论正确的是（ ） A. 小张第一次去洗车店，第二次也去洗车店的概率为 B. 小张第二次去洗车店的概率比第二次去洗车店的概率小 C. 若小张第二次去了洗车店，则他第一次去洗车店的概率为 D. 若小张第二次去了洗车店，则他第一次去洗车店的概率为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据乘法公式以及全概率公式判断AB；由条件概率结合全概率公式求解CD. 【详解】记小张第次去洗车店为，第次去洗车店为， 则，，，，，. 选项A：，故A错误. 选项B：， ， 所以小张第二次去洗车店的概率比第二次去洗车店的概率小，故B正确. 选项C：，故C正确. 选项D：，故D正确. 11. 统计学中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值，简称为原则，某厂有一条零件加工的生产线，生产的零件长度服从正态分布（单位：毫米），则下列说法正确的是（ ）（参考数据：，） A. B. 若，则 C. D. 若抽检的10个样本中有1个样本的长度为45毫米，应对生产线进行检修 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正态分布的概念可判断A；根据正太分布的对称性可判断BC；根据题设原则计算概率进行比较可判断D． 【详解】A选项：由题可得均值，方差，故A正确； B选项：与关于对称，，故B正确； C选项： ∵，∴， ∵，∴， ∴，故C错误； D选项：根据原则，零件长度大于42的概率应该小于， 现在抽检的10个样本中有1个样本的长度为45毫米，其概率为，这远远大于， 故应该对生产线进行检修，故D正确． 故选：ABD． 第II卷（非选择题） （三）填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上） 12. 袋中有6个黄色的乒乓球，4个白色的乒乓球，做不放回抽样，每次抽取一球，取两次，则第二次才能取到黄球的概率为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件概率公式即可求解. 【详解】记“第一次取到白球”为事件，“第二次取到黄球”为事件，“第二次才取到黄球”为事件，所以. 故答案为：. 13. 已知等差数列，的前项和分别为，，若，则_____________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据等差数列的等差中项以及前项和公式，即可求得. 【详解】因为，所以. 故答案为：. 14. 已知数列中，…，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】 先将和代入条件，然后两式相除，可得答案. 【详解】当时，有 ① 当时，有 ② 由①÷②，可得 故答案为： （四）解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知10道试题中有4道选择题，甲、乙两人依次不放回地抽取1道，求： （1）甲抽到选择题的概率； （2）在甲抽到选择题的情况下，乙抽到选择题的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据古典概型概率计算公式，计算出所求概率. （2）根据古典概型概率计算公式，计算出所求概率. 【小问1详解】 甲抽到选择题的概率为 【小问2详解】 在甲抽到选择题的情况下，乙抽到选择题的概率为. 16. 在等比数列中， （1）已知，求； （2）已知，求n． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）方法一：设等比数列的公比为q，可得，求出的值，代入通项公式即可；方法二：设等比数列的公比为q，则，求出q值，代入通项公式即可； （2）方法一：根据条件求出的值，代入通项公式，结合条件，即可得n值；方法二：根据条件求出q及的值，代入通项公式，结合条件，即可得n值. 【小问1详解】 方法一：设等比数列的公比为q，则， 解得，所以 ． 方法二：设等比数列的公比为q，则，解得， 所以． 【小问2详解】 方法一：设等比数列的公比为q，则，解得， 代入可得，从而． 由，得，即，解得． 方法二：设等比数列的公比为q． 因为，所以． 因为，所以， 所以． 由，得，解得． 17. 已知数列的前n项和为，，. （1）求的通项公式及； （2）求数列的前n项和. 【答案】（1）， （2）（） 【解析】 【小问1详解】 因为， 所以数列是以为首项，1为公差的等差数列. 所以， . 【小问2详解】 由（1）知，公差，故数列是递增数列. 令，解得. 所以当时，；当时，；当时，. 当时，， 当时， ， 因为， 所以 . 综上所述，数列的前n项和为： （）. 18. 袋中有大小相同，质地均匀的3个白球，5个黑球，从中任取2个球，设取到白球的个数为. （1）求随机变量的分布列； （2）求随机变量的数学期望和方差. 【答案】（1）分布列见解析 （2）， 【解析】 【分析】（1）找出的所有可能取值并计算对应概率即可得； （2）借助分布列计算期望与方差即可得. 【小问1详解】 的可能取值为、、， 则， ， ， 故其分布列为： 【小问2详解】， . 19. 为了响应国家“双减”政策，某高中将周六的作息时间由上课调整为自愿到校自主自习，经过一个学期的实施后，从参加周六到校自主自习和未参加周六到校自主自习的学生中各随机选取75人进行调查，得到如下样本数据： 成绩有进步 成绩没有进步 合计 参加周六到校自主自习 55 20 75 未参加周六到校自主自习 30 45 75 合计 85 65 150 （1）从调查的未参加周六到校自主自习的学生中，按成绩是否进步采用分层随机抽样的方法抽取10人．若从这10人中随机抽取2人，记X为成绩有进步的学生人数，求X的分布列及数学期望和方差． （2）用样本估计总体，将频率视为概率，从这所高中未参加周六到校自主自习的学生中抽取2人，记Y为成绩有进步的学生人数，求Y的分布列及数学期望、方差． 【答案】（1）分布列见解析，，； （2）分布列见解析，，. 【解析】 【分析】（1）由题设X可能取值为0，1，2，应用超几何分布的概率求法求出分布列，进而求期望和方差； （2）由题意，应用二项分布的概率求法求分布列，进而求期望和方差. 【小问1详解】 按分层随机抽样，成绩有进步同学抽取4人，成绩没有进步同学抽取6人， 所以X可能取值为0，1，2，，，， X的分布列为： X 0 1 2 P 所以X的期望为，； 【小问2详解】 由题意，则，，， 的分布列为： 0 1 2 P ，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度 哈尔滨市第12中学校4月月考 数学试卷 考试时间：120分钟；命题人：高二数学备课组 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） （一）单项选择题（共8小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 不等式的解集为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 3. 记为等差数列的前n项和，若，，则（ ） A. 11 B. 9 C. 8 D. 5 4. 已知数列为等比数列，若，，则（     ） A. B. 4 C. D. 8 5. 袋子中有大小相同5个球，标号为0的球1个，标号为1、2的球各两个，从中任取2个，已知有一个标号为1，求另外一个标号也为1的概率（ ） A. B. C. D. 6. 随机变量X的分布列为： X 1 2 3 P a 则（ ） A. B. C. D. 7. 某班有54名学生，其中18名学生数学成绩优秀，每次从该班随机抽取1名学生，观察后放回，连续抽取6次，其中数学成绩优秀的学生数，则（ ） A. 13 B. 12 C. 5 D. 4 8. 已知某足球队共有13名球员，其中主力球员11名，替补球员2名.假设主力球员定点射门的命中率为0.8，替补球员定点射门的命中率为0.6.现从该球队随机抽取1名球员进行定点射门，连续射门2次，则恰好命中1次的概率为（ ） A. B. C. D. （二）多项选择题（共3小题，每小题6分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 数列为等差数列，为其前项和.已知，，则下列结论正确的有（ ） A. 公差 B. C. D. 当时，最小 10. 春节假期过后，车主小张选择去该市新开的，两家共享自助洗车店洗车．已知小张第一次去，两家洗车店洗车的概率分别为和，如果小张第一次去洗车店，那么第二次去洗车店的概率为；如果小张第一次去洗车店，那么第二次去洗车店的概率为，则下列结论正确的是（ ） A. 小张第一次去洗车店，第二次也去洗车店的概率为 B. 小张第二次去洗车店的概率比第二次去洗车店的概率小 C. 若小张第二次去了洗车店，则他第一次去洗车店的概率为 D. 若小张第二次去了洗车店，则他第一次去洗车店的概率为 11. 统计学中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值，简称为原则，某厂有一条零件加工的生产线，生产的零件长度服从正态分布（单位：毫米），则下列说法正确的是（ ）（参考数据：，） A. B. 若，则 C. D. 若抽检的10个样本中有1个样本的长度为45毫米，应对生产线进行检修 第II卷（非选择题） （三）填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上） 12. 袋中有6个黄色的乒乓球，4个白色的乒乓球，做不放回抽样，每次抽取一球，取两次，则第二次才能取到黄球的概率为______. 13. 已知等差数列，的前项和分别为，，若，则_____________． 14. 已知数列中，…，则__________． （四）解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知10道试题中有4道选择题，甲、乙两人依次不放回地抽取1道，求： （1）甲抽到选择题的概率； （2）在甲抽到选择题的情况下，乙抽到选择题的概率. 16. 在等比数列中， （1）已知，求； （2）已知，求n． 17. 已知数列的前n项和为，，. （1）求的通项公式及； （2）求数列的前n项和. 18. 袋中有大小相同，质地均匀的3个白球，5个黑球，从中任取2个球，设取到白球的个数为. （1）求随机变量的分布列； （2）求随机变量的数学期望和方差. 19. 为了响应国家“双减”政策，某高中将周六的作息时间由上课调整为自愿到校自主自习，经过一个学期的实施后，从参加周六到校自主自习和未参加周六到校自主自习的学生中各随机选取75人进行调查，得到如下样本数据： 成绩有进步 成绩没有进步 合计 参加周六到校自主自习 55 20 75 未参加周六到校自主自习 30 45 75 合计 85 65 150 （1）从调查的未参加周六到校自主自习的学生中，按成绩是否进步采用分层随机抽样的方法抽取10人．若从这10人中随机抽取2人，记X为成绩有进步的学生人数，求X的分布列及数学期望和方差． （2）用样本估计总体，将频率视为概率，从这所高中未参加周六到校自主自习的学生中抽取2人，记Y为成绩有进步的学生人数，求Y的分布列及数学期望、方差． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $