精品解析：四川省射洪中学校2025-2026学年高一下学期4月阶段检测数学试题

射洪中学高2025级高一下期第一次综合素质测评 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡对应题号的位置上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将答题卡交回. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 已知复数满足，在复平面内，对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 若，与的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 3. 在平行四边形中，对角线与交于点，，则（ ）． A. B. C. D. 4. 的三内角A，B，C所对边长分别是a，b，c，若，则角的大小为（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，满足，，，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 三角板是一种用于几何绘图和测量的工具.如图，这是由两块三角板拼出的一个几何图形，其中，，，，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 设的面积为，角所对的边分别为，且，若，则此三角形的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 8. 十七世纪法国数学家､被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出一个著名的几何问题：已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小.其答案如下：当三角形的三个角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，所求的点为三角形最大内角的顶点.在费马问题中所求的点被称为费马点.已知分别是的内角的对边，且，若为的费马点，则（ ） A. -1 B. -2 C. -3 D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设是平面内的一组基底向量，则下列四组向量中，不能作为基底的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 10. 已知平面向量，则下列说法错误的是（ ） A. 当时， B. 若在方向上的投影向量为，则 C. 当时，在方向上的投影向量为 D. 若和的夹角为钝角，则的取值范围为 11. 在中，内角所对的边分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则为等腰三角形 C. 若，则的取值范围为 D. 若，且三角形有两解，则的取值范围为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，满足，，，，则实数______ 13. 若，其中是虚数单位，且，设，则=______ 14. 普利寺塔，又名万佛塔，被国务院批准列入第五批全国重点文物保护单位名单.如图，某测量小组为测量该塔的总高度，选取与塔底在同一水平面内的两个测量点与，现测得米，在点测得塔顶的仰角为，则该塔的总高度约为__________米.取） 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知向量，，. （1）若，，求的值； （2）若，求与的夹角的余弦值. 16. 在中，角，，所对的边分别为，，，且，，． （1）求的面积； （2）求边长及的值． 17. 已知分别为的内角所对的边，且. （1）求； （2）已知是边的中点，求的最大值. 18. 在△中，角所对的边分别为且． （1）求△的外接圆半径； （2）若△为锐角三角形，求△周长的取值范围． 19. 如图所示，在中，是边的中点，是线段的中点.过点的直线与边，分别交于点，.设，，，. （1）化简：； （2）求证：为定值； （3）设的面积为，的面积为，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 射洪中学高2025级高一下期第一次综合素质测评 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡对应题号的位置上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将答题卡交回. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 已知复数满足，在复平面内，对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的几何意义与四则运算法则计算. 【详解】由，得， 所以对应的点为，位于第四象限. 故选：D 2. 若，与的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量数量积的定义求解. 【详解】，与的夹角为， 所以. 故选：C 3. 在平行四边形中，对角线与交于点，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的线性运算直接计算. 【详解】 由已知对角线与交于点，， 则， 所以， 故选：A. 4. 的三内角A，B，C所对边长分别是a，b，c，若，则角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理将角转化为边，可得，然后利用余弦定理可知结果. 【详解】在中，由正弦定理，可得：，， ，可得：，整理可得：， 由余弦定理可得：， . 故选：A. 5. 已知向量，满足，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过平方的方法，结合向量数量积运算求得正确答案. 【详解】由得， 两边平方得， 所以. 故选：A 6. 三角板是一种用于几何绘图和测量的工具.如图，这是由两块三角板拼出的一个几何图形，其中，，，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】以B为坐标原点，建立如图所示直角坐标系，作，交的延长线于点F，由向量的坐标运算求出. 【详解】以B为坐标原点，，的方向分别为x，y轴的正方向，建立如图所示的直角坐标系. 作，交的延长线于点F， 由题中数据可得，，，， 则，，. 因为，所以，则， 解得，故. 故选：B 7. 设的面积为，角所对的边分别为，且，若，则此三角形的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】根据计算得出角，因为利用正弦定理和余弦定理得到，从而判断三角形形状. 【详解】因为，所以， 则，因为，所以， 又，所以， 由，所以，， 所以为等腰直角三角形. 故选：D. 8. 十七世纪法国数学家､被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出一个著名的几何问题：已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小.其答案如下：当三角形的三个角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，所求的点为三角形最大内角的顶点.在费马问题中所求的点被称为费马点.已知分别是的内角的对边，且，若为的费马点，则（ ） A. -1 B. -2 C. -3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先分析题意，根据两角和的三角函数公式进行化简，下一步依据三角函数的同角关系，余弦定理，结合向量数量积的定义进行求解即可. 【详解】因为， ， 所以， 即.因为，所以. 因为，所以. 由三角形内角和性质可知，的三个内角均小于，结合题设易知点一定在的内部. 由余弦定理可得3， 解得， 所以， 所以. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设是平面内的一组基底向量，则下列四组向量中，不能作为基底的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】BC 【解析】 【分析】根据向量是否共线，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，假设，则使得， 因为不共线得且，则无解， 故，不共线可作为一组基底； 对于B，因为，所以，不能作为基底； 对于C，因为，所以，不能作为基底； 对于D，假设，则使得，则因为不共线得且，则无解，故和不共线可作为一组基底. 故选:BC. 10. 已知平面向量，则下列说法错误的是（ ） A. 当时， B. 若在方向上的投影向量为，则 C. 当时，在方向上的投影向量为 D. 若和的夹角为钝角，则的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据向量平行列方程求，即可判断，对于B，根据投影向量定义列方程求，即可判断，对于C，根据投影向量定义求投影向量即可判断，对于D，根据数量积的性质列不等式求的范围即可判断. 【详解】对于A，因为，， 所以 或，A错误； 对于B，由已知， 所以，故， 又，​， 所以，故， 解得或，B错误， 对于C，当时，， 在方向的投影向量为， 又， ， 所以在方向的投影向量为，C正确； 对于D，因为与的夹角为钝角，所以，且不反向平行， 由 ，解得， 由可得或， 当时，，反向平行，夹角不是钝角， 当时，，方向相同， 所以若和的夹角为钝角，则的取值范围为，D错误. 11. 在中，内角所对的边分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则为等腰三角形 C. 若，则的取值范围为 D. 若，且三角形有两解，则的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，有大边对大角结合余弦函数单调性判断即可；对于B，由余弦定理化简得即可判断；对于C，由正弦定理化简得，故只需求得的范围并验算即可；对于D，由正弦定理判断即可. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，若，则，所以，则为等腰三角形，故B正确； 对于C，， 因为， 所以， 所以的取值范围为，故C正确； 对于D，因为，所以，而， 所以， 由题意直线和的图象有两个交点， 所以，解得，故D正确. 故选：BCD. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，满足，，，，则实数______ 【答案】 【解析】 【详解】由题设，可得. 13. 若，其中是虚数单位，且，设，则=______ 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以，， 所以，解得，所以， 所以，. 14. 普利寺塔，又名万佛塔，被国务院批准列入第五批全国重点文物保护单位名单.如图，某测量小组为测量该塔的总高度，选取与塔底在同一水平面内的两个测量点与，现测得米，在点测得塔顶的仰角为，则该塔的总高度约为__________米.取） 【答案】 【解析】 【分析】设米，由锐角三角函数得到，再在中由正弦定理计算可得. 【详解】设米，则， 又，，所以 在中由正弦定理， 即，解得(米). 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知向量，，. （1）若，，求的值； （2）若，求与的夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助向量坐标运算以及相等向量计算即可得； （2）借助向量垂直可得数量积为0，解出，再结合向量夹角公式计算即可得. 【小问1详解】 由题设，所以， 因为，所以，解得，所以； 【小问2详解】 因为，所以， 即，解得，所以， 故． 16. 在中，角，，所对的边分别为，，，且，，． （1）求的面积； （2）求边长及的值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）利用平方关系和面积公式求解即可. （2）利用余弦定理和正弦定理求解即可. 【小问1详解】 由，且， 则， 所以． 【小问2详解】 由， 则， 又，则． 17. 已知分别为的内角所对的边，且. （1）求； （2）已知是边的中点，求的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理与两角和的正弦公式求解即可； （2）利用平面向量，余弦定理，以及基本不等式求解即可. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得：， 因为， 所以， 因为，所以，所以， 所以，即， 因为，所以，所以，所以． 【小问2详解】 因为，，所以， 因为是的中点，所以， 所以 ， 因为，所以，即， 所以， 当且仅当时，等号成立．所以的最大值为． 18. 在△中，角所对的边分别为且． （1）求△的外接圆半径； （2）若△为锐角三角形，求△周长的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理角化边，在结合余弦定理求得，即可求解； （2）根据正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式及辅助角公式，将转化为三角函数，根据为锐角三角形得出的范围，结合三角函数的性质得出范围即可求解． 【小问1详解】 因为，所以， 由， 可得：，即， 又，所以， 所以，， 所以， 所以△的外接圆半径为. 【小问2详解】 由（1）知，， 由正弦定理有， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，解得， 所以，则， 所以，则， 所以周长的取值范围为． 19. 如图所示，在中，是边的中点，是线段的中点.过点的直线与边，分别交于点，.设，，，. （1）化简：； （2）求证：为定值； （3）设的面积为，的面积为，求的取值范围. 【答案】（1） （2）证明见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）利用向量的运算法则求解； （2）设，利用向量的运算法则可知， ，然后利用三点共线可知. （3）利用三角形的面积公式可计算求得，然后根据，可求出的取值范围. 【小问1详解】 解：由题意得： 是边的中点，是线段的中点 【小问2详解】 证明：设 于是 又，，， ， 根据向量的运算法则可知 三点共线 整理可得：，即 故为定值，定值为. 【小问3详解】 设 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $