精品解析：重庆西南大学附属中学校2025-2026学年下学期九年级数学定时训练3

定时训练3 一、单选题（每小题4分，共40分） 1. 以下各数是有理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列国产软件图标属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，直线与射线相交于点．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 5. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题是假命题的是（ ） A. 对角线相等的菱形是正方形 B. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 C. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D. 一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形 7. 下列图形都是由同样大小的按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有5个，第②个图形中一共有12个，第③个图形中一共有21个，，按此规律排列，则第⑥个图形中的个数为（ ） A. 60 B. 45 C. 77 D. 50 8. 如图，四边形内接于，它的一个外角，分别连接，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，为对角线，平分交于点F，点E是上一点，连接、，若，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知关于的整式，其中为正整数，为自然数，为正整数，且满足．下列说法：（ ） ①当时，所有满足条件的整式的值的总和为16； ②若规定均为正整数，则的可能取值有3种； ③若，则的所有奇次项系数之和为． 其中正确的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 马拉松(Marathon)国际上非常普及的长跑比赛项目，全程距离26英里385码，折合约为42000米，用科学记数法表示42000为 ______． 12. 已知一个多边形的内角和是，则这个多边形的边数为______． 13. 2026年3月14日是全球的第七个“国际数学日”，其主题为“数学与希望”．为了让同学们更好地领略数学的魅力，某校在活动日策划了“数阵寻宝”“方程追击”“连数成画”三个挑战游戏．每人随机选择参与其中一个游戏，则小陈和小赵选择的游戏相同的概率为___________． 14. 已知是方程的一个根，则的值是_____． 15. 如图，点A，B是上两点，连接，直径与垂直于点E，点F在上，连接，，过点A作的垂线交于点G，交于点H，若，，，则的长度为__________，的长度为__________． 16. 一个四位数，各数位上的数字互不相等且均不为0，若将的千位数字和百位数字组成的两位数与的十位数字和个位数字组成的两位数相加，和为完全平方数，则称这个四位数为“方数”．例如：四位数4816，，是“方数”，则最大的“方数”是__________，若是一个“方数”，且是整数，则满足条件的的最大值与最小值的差是________． 三、解答题 17. 计算：解不等式组，并写出该不等式组的整数解． 18. 如图，已知在矩形中，点是边上一点． （1）尺规作图：作的角平分线交于点，交延长线于点，连接、；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（）的条件下，若，求证：四边形是菱形． 证明：∵四边形是矩形， ，， 又， ∴①______， ， 又，平分， ， 又， 在和中，， ， ∴②______， 平分，， ，， ∴③______， ， ， ∴④______， 又， 四边形是菱形． 19. 普法宣传教育是依法治国、建设法治社会的重要内容，为了宣传普法知识，我校在普法宣传日中开展了法律知识竞赛，从八、九年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取了20名学生的成绩进行统计分析．数据整理如下：（成绩得分用表示，共分成四组：．，．，．，．） 八年级20名学生的成绩是：99，81，95，89，85，100，86，87，92，79，90，93，94，95，87，95，75，95，85，98． 九年级20名学生的成绩在组中的数据是：91，91，93，92，92． 八、九年级抽取的学生成绩统计表： 年级 平均数 中位数 众数 八年级 90 91 九年级 90 96 九年级抽取的学生成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中______，______，______； （2）通过以上数据分析，你认为这次比赛中哪个年级的成绩更好？请说明理由（写出一条即可）； （3）我校八、九年级共有2000人参加此次知识问答活动，请你估计参加此次问答活动成绩优秀的学生有多少人． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 一项工程，甲队单独完成比乙队单独完成少用8天，甲队单独做3天的工作乙队单独做需要5天． （1）甲、乙两队单独完成此项工程各需几天？ （2）甲队每施工一天则需付给甲队工程款5.5万元，乙队每施工一天则需付给乙队工程款3万元．该工程先由甲、乙两队合作若干天后，再由乙队完成剩下的工程．若要求完成此项工程的工程款不超过65万元，则甲、乙两队最多合作多少天？ 22. 如图1，在中，为中点，连接，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿折线方向运动，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿折线方向运动，点，同时出发，到点时停止运动，设运动时间为秒，点到的距离为的周长与点的运动路程之比为． （1）请直接写出关于x的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 23. 如图，，，，是某科技公司的四个试验基地，且，，，在同一平面内，位于的正东方向处，位于的南偏东方向处，位于的正南方向，位于的南偏西方向．（参考数据：，，） （1）求和两试验基地之间的距离；（结果保留整数） （2）现甲从基地出发沿前往地办公，乙以基地出发沿方向前往基地，两人同时出发，乙的速度是甲速度的倍．当两人的距离是甲到基地距离的倍时，甲距离基地多少千米？（结果保留整数） 24. 如图，抛物线与x轴分别交于点，点B（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，对称轴为直线． （1）求抛物线的解析式： （2）点P为直线上方抛物线上一点，过点P作轴交于点M，过点P作交于点Q，当的值最大时，在直线上找一点N，连接，，使得的值最大．请求出点P的坐标并求出的最大值； （3）将抛物线沿射线方向平移后经过点C，在新抛物线上是否存在一点Q，使与互补，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 25. 如图，在中，，为的角平分线． （1）如图1，若，，求出； （2）如图2，当时，将线段绕点B顺时针旋转得线段．点F是线段上一点，且，连接，当，请判断与的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，当时，N为线段上一动点，F为的中点，连接，将线段绕点F顺时针旋转得线段．H为直线上一动点，连接，将沿翻折至所在平面内，得到，连接，，．当最大时，直接写出的面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 定时训练3 一、单选题（每小题4分，共40分） 1. 以下各数是有理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了有理数，根据有理数的定义逐一判断即可求解，熟记：“整数和分数统称为有理数”是解题的关键． 【详解】解：、、是无理数，则A、B、C不符合题意， 是有理数，则D符合题意， 故选D． 2. 下列国产软件图标属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，故此选项符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂除法，积的乘方，幂的乘方，单项式乘以单项式等内容，据此相关性质进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 4. 如图，，直线与射线相交于点．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线性质，以及邻补角性质，根据平行线性质求得，再结合邻补角性质求解，即可解题． 【详解】解：，， ， ； 故选：C． 5. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，根据月均下降率是x表示出5月份的售价是解答此题的关键．首先根据3月份售价为23万元，月均下降率是x可得出4月份的售价为万元，5月份的售价为万元，据此根据5月份售价为16万元可列出方程，进而可得出答案． 【详解】解：∵3月份售价为23万元，月均下降率是x，5月份售价为16万元， ∴． 故选：B． 6. 下列命题是假命题的是（ ） A. 对角线相等的菱形是正方形 B. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 C. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D. 一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理即可求得 【详解】A．对角线相等的菱形是正方形，此选项是真命题，不符合题意； B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形，此选项是真命题，不符合题意； C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形，此选项是真命题，不符合题意； D．有一组对边相等，一组对角相等的四边形不一定是平行四边形，此选项是假命题，符合题意， 反例：如下图所示：三角形，则对边与相等，对角与相等，但四边形不是平行四边形． 故选D． 【点睛】本题考查平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理，掌握判定定理是解题关键． 7. 下列图形都是由同样大小的按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有5个，第②个图形中一共有12个，第③个图形中一共有21个，，按此规律排列，则第⑥个图形中的个数为（ ） A. 60 B. 45 C. 77 D. 50 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了探究图形变化规律，找出图形变化的个数变化规律是解题的关键．写出各图形中三角形的个数和，然后根据变化规律写出第个图形中的个数，再取进行计算即可得解． 【详解】解：第①个图形中三角形有：（个）， 第②个图形中三角形有：（个）， 第③个图形中三角形有：（个）， ， 依此类推，第个图形中三角形有（个）， 所以，第个图形中正三角形个数一共是：（个）， 所以，第⑥个图形中圆和正三角形个数一共是：（个）． 故选：A． 8. 如图，四边形内接于，它的一个外角，分别连接，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠ADC，根据等腰三角形的性质、圆周角定理计算即可． 【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴， ∵， ∴， ∴， 由圆周角定理得，， 故选：A． 【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键． 9. 如图，在矩形中，为对角线，平分交于点F，点E是上一点，连接、，若，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先证明，作于点，设，则，利用证明，推出，在中，利用勾股定理列式求得，据此求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， 作于点， 设，则， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质，角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 10. 已知关于的整式，其中为正整数，为自然数，为正整数，且满足．下列说法：（ ） ①当时，所有满足条件的整式的值的总和为16； ②若规定均为正整数，则的可能取值有3种； ③若，则的所有奇次项系数之和为． 其中正确的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据题目给定条件，逐个验证三个说法，利用枚举法、代入法计算即可得到结果． 【详解】解：由题知，为正整数，为自然数，为正整数，满足．验证①： 当时，， ， 是正整数， ， 又，或， 当，仅， 此时，， 当， 正整数解共3种：， 此时，每个． 所有的值总和为，①正确； 验证②： 若所有均为正整数，共有个系数，每个系数至少为1， ． ， ，解得． 是正整数， ，共3种可能，②正确． 验证③ ∵， ∴的所有奇次项系数之和为， 令，∴， 即（1）， 令，∴， 即（2）， 得， ∴的所有奇次项系数之和为，∴③正确； 综上，正确的说法共3个． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 马拉松(Marathon)国际上非常普及的长跑比赛项目，全程距离26英里385码，折合约为42000米，用科学记数法表示42000为 ______． 【答案】4.2×104 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】将42000用科学记数法表示为4.2×10. 故答案是：4.2×104 【点睛】本题考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的基本形式是解决本题的关键. 12. 已知一个多边形的内角和是，则这个多边形的边数为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据多边形内角和公式列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 根据多边形内角和公式，可得方程， 解方程得 ． 13. 2026年3月14日是全球的第七个“国际数学日”，其主题为“数学与希望”．为了让同学们更好地领略数学的魅力，某校在活动日策划了“数阵寻宝”“方程追击”“连数成画”三个挑战游戏．每人随机选择参与其中一个游戏，则小陈和小赵选择的游戏相同的概率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先确定所有等可能的结果总数，再找出小陈和小赵选择游戏相同的结果数，利用概率公式计算即可． 【详解】解：记三个挑战游戏分别为，，． 根据题意，画出树状图： 所有等可能的结果总数为9种．其中小陈和小赵选择相同游戏的结果有种． 所以小陈和小赵选择的游戏相同的概率为． 14. 已知是方程的一个根，则的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，分式的化简求值，由已知条件是方程的根，可得 ，将所求表达式通分并化简，利用 代入计算，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解： 由是方程的根， 可得，得， 所以原式， 故答案为：． 15. 如图，点A，B是上两点，连接，直径与垂直于点E，点F在上，连接，，过点A作的垂线交于点G，交于点H，若，，，则的长度为__________，的长度为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】连接，，，由垂径定理可得，，由勾股定理可得，由同弧或等弧所对的圆周角相等可得，由可得，进而可得，由圆周角定理可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，，令，则，，由可得，进而可得，在中，根据勾股定理可得，即，解得，然后根据即可求出的长． 【详解】解：如图，连接，，， ，且是的直径， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 令，则，， ， ， ， 在中，根据勾股定理可得： ， 即：， 解得：或（不合题意，故舍去）， ， 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，同弧或等弧所对的圆周角相等，求角的正切值，特殊角的三角函数，圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余，含度角的直角三角形，已知正切值求边长，直接开平方法解一元二次方程等知识点，熟练掌握垂径定理及勾股定理是解题的关键． 16. 一个四位数，各数位上的数字互不相等且均不为0，若将的千位数字和百位数字组成的两位数与的十位数字和个位数字组成的两位数相加，和为完全平方数，则称这个四位数为“方数”．例如：四位数4816，，是“方数”，则最大的“方数”是__________，若是一个“方数”，且是整数，则满足条件的的最大值与最小值的差是________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了完全平方数，整式的加减，二元一次方程组的解，整除；根据题意最大的方数前两位为，再找，根据，求得最大的“方数”；根据①各数位上的数字互不相等且均不为0；②是的倍数，③是一个完全平方数，得出，进而找到最大的和最小的，即可求解． 【详解】解：∵是一个“方数”， ∴是一个完全平方数， 又∵各数位上的数字互不相等且均不为0， ∴，， ∴， ∴的取值可能是169，144，121，100，81，64，49， ①寻找最大方数： 当时，则，， 当时，取最大值，，，， ， ∴是最大的“方数”； ②∵是整数， ∴ 是的倍数， ∴是的倍数， I.当时，,， 此时，，，不是的倍数， ∴当时，没有满足条件的值； II.当时，，或， 当，时，取最大值，取最大值时，，，此时是的倍数，则为， 当，时，取最大值，，此时不是的倍数，没有满足条件的值， III. 当时，，， 当取最大值时，，，此时不是的倍数，没有满足条件的值， 当取最小值2时，，此时也没有满足条件的值， IV.当时，，，当最大值不能为，此时符合条件数不可能是最大值，以后几种情况同理， 当取最小值1时，，此时不是的倍数，没有满足条件的值， 当取最小值2时，，此时不是的倍数，没有满足条件的值， 当取最小值3时，，此时是的倍数，取最小值时，，则为， V.当时，，， 当取最小值1时，，此时不是的倍数，没有满足条件的值， 当取最小值2时，，此时是的倍数，取最小值时，，则为， VI.当时，，或，， 当取最小值1时，，此时没有满足条件、，即没有满足条件的值， 当取最小值1时，，此时不是的倍数，即没有满足条件的值， 当取最小值2时，，此时不是的倍数，即没有满足条件的值， 当取最小值2时，，此时是的倍数，取最小值时，，则为， VII.当时，，， 则当取最小值1时，，此时不是的倍数，即没有满足条件的值， 综上所述：满足条件的最大值与最小值分别为、， ∴满足条件的最大值与最小值的差是， 故答案为：，． 三、解答题 17. 计算：解不等式组，并写出该不等式组的整数解． 【答案】，不等式组的整数解为：，0，1 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的整数解为：，0，1 18. 如图，已知在矩形中，点是边上一点． （1）尺规作图：作的角平分线交于点，交延长线于点，连接、；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（）的条件下，若，求证：四边形是菱形． 证明：∵四边形是矩形， ，， 又， ∴①______， ， 又，平分， ， 又， 在和中，， ， ∴②______， 平分，， ，， ∴③______， ， ， ∴④______， 又， 四边形是菱形． 【答案】（1） 作图如下： （2），，，四边形是平行四边形 【解析】 【分析】（）根据题意作出图形即可； （）由矩形的性质可得，即得，得到，由角平分线的性质即得，即可证，得到，再根据平行线的性质和角平分线的定义可得，得到，即得到，即可证四边形是平行四边形，进而即可求证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了角平分线的作法和性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，菱形的判定，正确画出图形是解题的关键． 19. 普法宣传教育是依法治国、建设法治社会的重要内容，为了宣传普法知识，我校在普法宣传日中开展了法律知识竞赛，从八、九年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取了20名学生的成绩进行统计分析．数据整理如下：（成绩得分用表示，共分成四组：．，．，．，．） 八年级20名学生的成绩是：99，81，95，89，85，100，86，87，92，79，90，93，94，95，87，95，75，95，85，98． 九年级20名学生的成绩在组中的数据是：91，91，93，92，92． 八、九年级抽取的学生成绩统计表： 年级 平均数 中位数 众数 八年级 90 91 九年级 90 96 九年级抽取的学生成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中______，______，______； （2）通过以上数据分析，你认为这次比赛中哪个年级的成绩更好？请说明理由（写出一条即可）； （3）我校八、九年级共有2000人参加此次知识问答活动，请你估计参加此次问答活动成绩优秀的学生有多少人． 【答案】（1），，； （2）九年级成绩相对更好， 理由如下：九年级测试成绩的众数96大于八年级的众数95； （3）估计参加此次问答活动成绩优秀的学生有1250人． 【解析】 【分析】本题考查了中位数、众数、用样本估计总体，理解中位数、众数的意义，掌握用样本估计总体的方法是正确解答的关键． （1）先求出组所占的百分比，再求得值，再根据众数、中位数的定义求解出答案； （2）依据众数的意义求解即可； （3）总人数乘以样本中优秀人数所占比例即可． 【小问1详解】 九年级C组学生人数所占百分比为， ，即， 九年级成绩在A、B组人数为（人）， 所以九年级20名学生成绩中第10、11个数据落在组，将组数据从小到大排列后，可知成绩分别为92、93， 所以其中位数为， 根据八年级20名学生的成绩数据，可知出现次数最多，所以八年级成绩的众数， 故答案为：45、、95； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 （人） 答：估计参加此次问答活动成绩优秀的学生有1250人． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 ， 【解析】 【分析】第一步：首先，根据分式的混合运算规则化简分式：按照先展开多项式乘多项式，单项式乘多项式，同时将分式的分子分母进行因式分解及分式通分，再合并同类项，将除法运算变乘法运算进行约分，然后，再进行通分、合并，将分式化为最简形式；第二步：按照实数混合运算法则及特殊角的三角函数值得出；第三步：再将代入化简后的最简分式进行分母有理化运算即可． 【详解】解：原式 ， 由，得 ， ∴原式 ． 21. 一项工程，甲队单独完成比乙队单独完成少用8天，甲队单独做3天的工作乙队单独做需要5天． （1）甲、乙两队单独完成此项工程各需几天？ （2）甲队每施工一天则需付给甲队工程款5.5万元，乙队每施工一天则需付给乙队工程款3万元．该工程先由甲、乙两队合作若干天后，再由乙队完成剩下的工程．若要求完成此项工程的工程款不超过65万元，则甲、乙两队最多合作多少天？ 【答案】（1）甲队单独完成此项工程需12天，乙队单独完成此项工程需20天；（2）10天 【解析】 【分析】设甲队单独完成此项工程需x天，乙队单独完成此项工程需（x+8）天,根据等量关系，列出方程，解出来即可. 设甲乙两队合作m天，根据题意列出不等式，解出来即可. 【详解】（1）设甲队单独完成此项工程需x天，乙队单独完成此项工程需（x+8）天 根据题意得：＝ 解得x＝12 经检验x＝12是原方程的解 当x＝12时，x+8＝20 答：甲队单独完成此项工程需12天，乙队单独完成此项工程需20天． （2）设甲乙两队合作m天，根据题意得： 5.5m+×3≤65 解得m≤10 答：甲乙两队最多合作10天． 【点睛】此题考查根式方程的应用和不等式的实际应用，关键是合理设置未知数，根据等量关系列出方程是关键. 22. 如图1，在中，为中点，连接，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿折线方向运动，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿折线方向运动，点，同时出发，到点时停止运动，设运动时间为秒，点到的距离为的周长与点的运动路程之比为． （1）请直接写出关于x的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】（1）； （2） 解：如图所示， 函数的一条性质：当时函数取得最大值为 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了动点函数图象，解直角三角形，一次函数和反比例函数综合，画函数图象，根据题意列出函数关系式是解题的关键； （1）根据题意得出，，，的周长为，进而分段列出函数关系式，即可求解； （2）根据（1）中函数解析式，画出函数图象，根据函数图象写出函数的一条性质； （3）根据函数图象，即可求解． 【小问1详解】 解：∵在中，为中点， ∴，， ∴，的周长为 动点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿折线方向运动， ∴当时，点在上， 当时，点在上， ∴ ∴ ∵动点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿折线方向运动，点的运动路程为 ∴ ∴ 【小问2详解】 略 【小问3详解】 根据函数图象可得时的取值范围为或 23. 如图，，，，是某科技公司的四个试验基地，且，，，在同一平面内，位于的正东方向处，位于的南偏东方向处，位于的正南方向，位于的南偏西方向．（参考数据：，，） （1）求和两试验基地之间的距离；（结果保留整数） （2）现甲从基地出发沿前往地办公，乙以基地出发沿方向前往基地，两人同时出发，乙的速度是甲速度的倍．当两人的距离是甲到基地距离的倍时，甲距离基地多少千米？（结果保留整数） 【答案】（1）和两试验基地之间的距离约为 （2）当两人的距离是甲到基地距离的倍时，甲距离基地 【解析】 【分析】（1）作于，作于，在中，解直角三角形可求得，，进而得到，证明四边形为矩形，得到，在中，解直角三角形可求得,进而可得，即可得到； （2）如图，当两人的距离是甲到基地距离的倍时，甲运动到点处，乙运动到点处，作于点，连接，则，设，可表示出，，，在中，解直角三角形可表示出，，，在中，根据勾股定理列一元二次方程，解方程即可得解． 【小问1详解】 解：如图，作于，作于． 由题意得，，， ， 在中，， ， ． ，，， 四边形为矩形，， ，， ， 在中，, ， ， 即和两试验基地之间的距离约为； 【小问2详解】 解：如图，当两人的距离是甲到基地距离的倍时，甲运动到点处，乙运动到点处， 作于点，连接，则，， 设，则， 甲乙同时出发，且乙的速度是甲速度的倍， ， ． 在中，，． ． 在中，根据勾股定理得：， 即， 整理得， 解得，（负值，舍去）． 答：当两人的距离是甲到基地距离的倍时，甲距离基地． 24. 如图，抛物线与x轴分别交于点，点B（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，对称轴为直线． （1）求抛物线的解析式： （2）点P为直线上方抛物线上一点，过点P作轴交于点M，过点P作交于点Q，当的值最大时，在直线上找一点N，连接，，使得的值最大．请求出点P的坐标并求出的最大值； （3）将抛物线沿射线方向平移后经过点C，在新抛物线上是否存在一点Q，使与互补，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）， （3）点Q的坐标为或 【解析】 【分析】（1）由待定系数法即可求解； (2)可求直线：，设，则，那么，证得，得，进而得，再得，当时，的值最大，最大为8，此时，，；如图1，连接并延长至点，使得，连接， 点A，关于直线对称，则 ， 那么，当点三点共线时，取得最大值，而，则的最大值； (3）可求新抛物线，①当Q在x轴上方抛物线上时，可得，求出直线：，与抛物线解析式联立即可求解，②当Q在x轴下方抛物线上时，记x轴上方抛物线的点Q为，下方抛物线的点Q为 ，作关于x轴的对称点，则， 则直线与抛物线交点即为点，则，同理可求直线：，则与抛物线联立，即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴分别交于点，点B（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，对称轴为直线， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵对称轴为直线，与x轴分别交于点， ∴，即， 对于， 当时，， ∴，即， ∴， 设直线：， 代入点B，C的坐标，得， 解得， ∴直线：， 设， ∵轴， ∴， 将代入，得， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的值最大，最大为8，此时，， ∴； 如图1，连接并延长至点，使得，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 点A，关于直线对称， ∴ ， ∴， ∴当点三点共线时，取得最大值， ∵，且， ∴， ∵， ∴的最大值； 【小问3详解】 解：存在，理由如下： 在中，， 原抛物线：， ∴设平移后的解析式为， 代入，得， 解得或(舍）， ∴新抛物线解析式为，即 ， ①如图2，当Q在x轴上方抛物线上时， ∵与互补， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ， ∴， ∴， 设直线：，代入，得， 解得， ∴直线：，则 ， 解得或（舍）， ∴； ②如图3，当Q在x轴下方抛物线上时， 记x轴上方抛物线的点Q为，下方抛物线的点Q为 ，作关于x轴的对称点，则， 则直线与抛物线交点即为点， ∵ ， ∴， 同理可求：直线：， 则与抛物线联立得： ， 解得或(舍）， ∴ ， 综上：点Q的坐标为或． 【点睛】根据题意得到抛物线的解析式为，证出， ，得出，证得，熟练运用 “将军饮马”问题，添加辅助线得出，根据题意得出新抛物线解析式为，即 ， 再根据Q点的位置进行“分类讨论”是解题的关键． 25. 如图，在中，，为的角平分线． （1）如图1，若，，求出； （2）如图2，当时，将线段绕点B顺时针旋转得线段．点F是线段上一点，且，连接，当，请判断与的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，当时，N为线段上一动点，F为的中点，连接，将线段绕点F顺时针旋转得线段．H为直线上一动点，连接，将沿翻折至所在平面内，得到，连接，，．当最大时，直接写出的面积的最大值． 【答案】（1）3 （2）；见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）在上截取，证明，得出，由已知得出，进而得出，求出，即可求解； （2）过点作交的延长线与点，得出是等腰直角三角形，则，即，进而证明，，得出，即可得证； （3）勾股定理得出，最大时即取得最小值时，当时，最小，如图所示，设与交于点，依题意，，且，则，，当最大时，即与重合时，取得最大值，此时，进而根据三角形面积公式即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，在上截取， ∵为的角平分线，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：如图所示，过点作交的延长线与点， ∵为的角平分线，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵ ∴ ∵将线段绕点顺时针旋转得线段， ∴， ∴ 又∵， ∴ ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 【小问3详解】 解：∵，，为的角平分线， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵最大时即取得最小值时， 当时，最小，如图所示，设与交于点， 此时， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 依题意，，且， 则，， ∴的面积最大时，为边上的高取得最大值， ∴当最大时，即与重合时，取得最大值， 此时， ∴的面积的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $