精品解析：重庆市西南大学附属中学校2025--2026学年4月12日九年级数学定时练习

4月12日数学定时练习 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. ﹣6的相反数是（　　） A. ﹣6 B. ﹣ C. 6 D. 2. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 调查全国年轻人喜欢的奶茶品牌 B. 调查重庆市民对长寿湖元旦烟花的燃放效果是否满意 C. 调查某市中学生课外阅读情况 D. 调查“长征十二号”火箭各部分零件合格情况 4. 如图，和是以点为位似中心的位似图形，，周长为4，则的周长为（ ） A. 6 B. 10 C. 12 D. 15 5. 估算的值在（　　） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 6. 如图，点A，B，C，D在上，弦，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 用五角星按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有3个五角星，第②个图案中有7个五角星，第③个图案中有12个五角星，第④个图案中有18个五角星，按此规律排列下去，则第⑧个图案中五角星的个数为（　　） A. 42 B. 52 C. 56 D. 63 8. 有3人患了流感，经过两轮传染后共有432人患了流感．若每轮传染中平均一个人传染了x个人，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，点是靠近点的四等分点，连接，的角平分线交于点，将沿着所在直线进行翻折，点的对称点记为，连接并延长交于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式，其中，，均为绝对值不超过2的整数，为自然数，规定为中所有项的指数和．下列说法中： ①当时，满足条件的共有25个； ②当时，恒成立，满足条件的共有4个； ③当时，，则满足条件的共有14个． 其中正确的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：________． 12. 一个不透明的袋中装有除颜色外完全相同的3个红球和1个黄球，从中随机摸出两个球，恰好都是红球的概率是________． 13. 从一个多边形的一个顶点出发能引5条对角线，则这个多边形的内角和为______°． 14. 若实数，同时满足，，则的值为______． 15. 如图，在菱形中，点、、均在圆上，为菱形对角线，与圆交于点，过作圆切线，交于点，交于点．若，，则长为______；长为______． 16. 若一个四位自然数的各个数位上的数字互不相等且不为零，其中满足，则称这个四位自然数为“差方数”．例如，故6743是“差方数”，则最大的“差方数”为______；对于“差方数”M，将其千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调，所得新数记为N，记，，若为整数，且是一个完全平方数，则满足条件的所有M值的和为______． 三、解答题：（本大题9个小题，17－18每小题8分，19－25每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解不等式组：，把解集在数轴上表示出来，并写出它的所有负整数解． 18. 如图，在平行四边形中，E为线段延长线上的一点，连接．请完成以下作图和填空： （1）在平行四边形的外部，用尺规作，且交直线于点F，连接，． （2）在（1）问的条件下，求证：四边形是平行四边形． 证明：∵四边形是平行四边形，∴，，∴___①___， ∵，，∴___②___， 在和中，，∴， ∴___③___，，∴___④___，∴四边形是平行四边形． 19. 在观看了2025年国庆大阅兵后，某学校组织了以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛活动，从八、九年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（用表示学生成绩，所有学生成绩均不低于60分，共分为四组：A．，B．，C．，D．，得分在90分及以上为优秀），下面给出了部分信息： 八年级20名学生的竞赛成绩是：66，67，71，81，83，85，85，86，89，90，90，93，93，93，95，96，98，99，100，100． 九年级20名学生竞赛成绩在B组的数据是：82，83，85，86，87，88． 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 方差 八年级 88 90 10.3 九年级 88 94 11.0 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的_________，_________，_________； （2）根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的知识竞赛成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）若该校八年级有800名，九年级有700名学生参加了此次以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛，估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有多少人？ 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 为迎接我县景颇族目瑙纵歌节，某商家第一次用6600元购进一批舞蹈扇，深受顾客喜爱，很快售完．第二次又以8000元购进同款舞蹈扇，第一次购进每把舞蹈扇的价格是第二次的倍，且第二次比第一次多购进200把． （1）求第二次购进每把舞蹈扇的价格； （2）商家以每把15元的价格进行销售，当第二次售出时，决定降价促销，若要使第二次的销售利润不低于3840元，则剩余的舞蹈扇每把售价至少要多少元？ 22. 如图1，在平行四边形中，，对角线、交于点O，，，点P沿折线方向运动，运动路程为x，记的面积为，的面积与点P运动的路程之比为． （1）请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 23. 如图，港在港北偏东方向，港在港的正西方向12海里处，港在港的正北方向，港在港的北偏西方向，港在港的正西方向6海里处，且在港的西北方向．（参考数据：，） （1）求，两港之间的距离（结果保留根号）； （2）甲货船从港出发，向港运送物资，乙货船从港出发，向港运送物资，甲船速度为乙船速度的2倍（均沿直线匀速运送）．请问当两艘船相距海里时，甲船离港多少海里（结果精确到0.1海里）？ 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线函数解析式分别交轴于，两点，交轴于点，连接，，其中，抛物线对称轴为直线． （1）求抛物线的解析式： （2）点是直线上方抛物线上的一动点，过点作交直线于点，轴交直线于点．点是直线轴上的动点，当周长最大时，求的最小值； （3）将抛物线沿的角平分线方向平移个单位长度得到新抛物线，平移后的抛物线顶点为且与轴交于点，点为抛物线上一动点．若，请直接写出符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 25. 如图，在中，，，点为边上一点，连接． （1）如图1，将射线绕点顺时针旋转交于点，若，求的长； （2）如图2，将射线绕点顺时针旋转交于点，过点作交的延长线于点，连接，试猜想、、的关系，并证明你的猜想； （3）如图3，将射线绕点顺时针旋转得到，若，连接，当最小时，点为直线上一点，连接，作点关于的对称点，连接、，点为的中点，当最大时，若，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 4月12日数学定时练习 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. ﹣6的相反数是（　　） A. ﹣6 B. ﹣ C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相反数的意义，即可解答． 【详解】解：的相反数是6， 故选：C． 【点睛】本题考查了相反数，熟练掌握相反数的意义是解题的关键． 2. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据中心对称图形和轴对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A、平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形； B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形； C、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形； D、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形． 3. 下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 调查全国年轻人喜欢的奶茶品牌 B. 调查重庆市民对长寿湖元旦烟花的燃放效果是否满意 C. 调查某市中学生课外阅读情况 D. 调查“长征十二号”火箭各部分零件合格情况 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全面调查与抽样调查的识别，根据全面调查与抽样调查的概念结合选项判定即可． 【详解】解：A、调查全国年轻人喜欢的奶茶品牌，适合运用抽样调查，不符合题意； B、调查重庆市民对长寿湖元旦烟花的燃放效果是否满意，适合运用抽样调查，不符合题意； C、调查某市中学生课外阅读情况，适合运用抽样调查，不符合题意； D、调查“长征十二号”火箭各部分零件合格情况，适合运用全面调查，符合题意； 故选：D． 4. 如图，和是以点为位似中心的位似图形，，周长为4，则的周长为（ ） A. 6 B. 10 C. 12 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了位似变换，正确得出和的周长比是解题关键．直接利用位似图形的性质得出和的周长比，进而求出答案． 【详解】解：， ， 和是以点为位似中心的位似图形， 和的周长比等于位似比是， 的周长为， 的周长为． 故选：B． 5. 估算的值在（　　） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式乘法计算，无理数的估算，不等式的性质，根据二次根式乘法计算法则求出的结果，再根据无理数的估算方法估算出计算结果的范围即可得到答案． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 6. 如图，点A，B，C，D在上，弦，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，平行线的性质．根据，可得，再由圆周角定理，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故选：B 7. 用五角星按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有3个五角星，第②个图案中有7个五角星，第③个图案中有12个五角星，第④个图案中有18个五角星，按此规律排列下去，则第⑧个图案中五角星的个数为（　　） A. 42 B. 52 C. 56 D. 63 【答案】B 【解析】 【分析】仔细观察图形，找到图形的变化规律，利用规律求解即可． 【详解】解：第①个图案中有个五角星， 第②个图案中有个五角星， 第③个图案中有个五角星， 第④个图案中有个五角星， ∴第n个图案中有个五角星， 当时，个五角星， 故选：B． 【点睛】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是找到图形的变化规律． 8. 有3人患了流感，经过两轮传染后共有432人患了流感．若每轮传染中平均一个人传染了x个人，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，涉及流感传染问题. 初始患者为3人，每轮传染中平均一人传染x人，经过两轮传染后总患者数为，据此建立方程． 【详解】解：∵ 初始患者为3人，每轮传染中平均一人传染x人， ∴ 第一轮后患者总数为：人， 第二轮传染时，有个患者，每人传染x人， ∴ 第二轮新增患者为：人， ∴ 两轮后总患者为：人， 故方程为：． 故选：C． 9. 如图，在正方形中，点是靠近点的四等分点，连接，的角平分线交于点，将沿着所在直线进行翻折，点的对称点记为，连接并延长交于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正方形的性质得到，，，设，则，，根据勾股定理得到，根据折叠的性质得到，，则，，证明，求出，证明，求出，，进而求出，，，根据勾股定理得到，进而得到，即可求出的值． 【详解】解：∵正方形， ∴，， 设， ∵点是靠近点的四等分点， ∴，， ∴， ∵将沿着所在直线进行翻折，点的对称点记为， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 10. 已知整式，其中，，均为绝对值不超过2的整数，为自然数，规定为中所有项的指数和．下列说法中： ①当时，满足条件的共有25个； ②当时，恒成立，满足条件的共有4个； ③当时，，则满足条件的共有14个． 其中正确的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】当时，；当时，，；当时，在中，则，即，且；在中，结合题意，分类讨论即可求解． 【详解】解：∵，，均为绝对值不超过2的整数， ∴，，可能的值为， ∵为自然数，为中所有项的指数和， ∴， 当时，即， ∴，， 当时，，共5种情况； 当时，，共5种情况； 当时，，共5种情况； 当时，，共5种情况； ∴，故①错误； 当时，即， ∴，， ∵恒成立， ∴，且， ，，共3种情况； ，，共3种情况； ∴，即共有6种情况，故②错误； 当时，即， ∵， ∴， 当，且时， 则，即， ∴的值可以是或，共有2种情况； 的值可以是或，共有2种情况； 当，且，时， 三个数的值的组合方式有： 和 共有10种情况； ∴种情况，故③正确； 综上所述，正确的个数为1， 故选：B ． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：________． 【答案】0 【解析】 【分析】本题主要考查了负整数指数幂，求一个数的立方根，先计算负整数指数幂，求一个数的立方根，然后再计算加减法即可． 【详解】解：， 故答案为：0 12. 一个不透明的袋中装有除颜色外完全相同的3个红球和1个黄球，从中随机摸出两个球，恰好都是红球的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查概率的计算，画出树状图得到所有等可能的结果数，再找出恰好都是红球的结果数，利用概率公式求解． 【详解】解：由树状图可知，从中随机摸出两个球的所有等可能结果为种， 摸出两个都是红球的结果数为种， 因此概率， 故答案为． 13. 从一个多边形的一个顶点出发能引5条对角线，则这个多边形的内角和为______°． 【答案】1080 【解析】 【分析】根据n边形从一个顶点出发的对角线条数为，结合已知条件求出多边形的边数，再利用多边形内角和公式计算即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为n，由题意，得 ． 解得． 根据多边形内角和公式，得： ． 14. 若实数，同时满足，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，可得，再分、两种情况，再解二元一次方程组即可． 【详解】解：，， ， ①当时， ，方程组无解； ②当时， ，解得，此时； 综上，． 15. 如图，在菱形中，点、、均在圆上，为菱形对角线，与圆交于点，过作圆切线，交于点，交于点．若，，则长为______；长为______． 【答案】 ①. 8 ②. 【解析】 【分析】连接交于点H，连接，由菱形的性质可得，，解直角三角形得到，再利用勾股定理建立方程可求出的长，进而可得的长；设，则，由勾股定理得，解方程得到，，则，由切线的性质得到，解直角三角形得到，则． 【详解】解：如图所示，连接交于点H，连接， ∵四边形是菱形， ∴，， 在中，， ∴， 设， 由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴； 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴，， ∴ ∵是的切线， ∴， ∴， ∴． 16. 若一个四位自然数的各个数位上的数字互不相等且不为零，其中满足，则称这个四位自然数为“差方数”．例如，故6743是“差方数”，则最大的“差方数”为______；对于“差方数”M，将其千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调，所得新数记为N，记，，若为整数，且是一个完全平方数，则满足条件的所有M值的和为______． 【答案】 ①. 9814 ②. 8994 【解析】 【分析】第一问：根据“差方数”的定义，要使“差方数”最大，则a取9，b取8，通过枚举求得符合题意的c，d的值，从而得出结果； 第二问：根据题意设，，分别表示出，，的式子，结合为整数，得出的式子能被9整除，并得出该式子为奇数，求出其取值范围并得到可能取得的数，通过枚举的方式，结合是一个完全平方数，分情况讨论a，b，c，d的取值，逐一代入验证，得到符合条件的“差方数”M，并最终求得结果． 【详解】解：由题意知，要使“差方数”最大， 则a取9，b取8， ∴， ∴的解有，， ∵各个数位上的数字互不相等且不为零， 其中符合题意的解为，， ∴最大的“差方数”为9814； 设，， ∴， ， ∵为整数， ∴， ∴能被9整除， ∵，，且a和b互不相等，均不为0， ∴，， ∴， ∵为奇数， ∴的值可以为27，45，63，81，99，117，135，153，171，189，207， ∵是完全平方数， 此时分情况讨论： （1）当时，不存在对应的a，b值，不符题意舍去； （2）当时，的值可能为，， 当，时，，即， 此时，，代入得：，而25是完全平方数，符合题意； 当，时，，即，此时，，与a，b重复，不符合题意舍去； （3）当时，不存在对应的a，b值，不符合题意舍去； （4）当时，的值为， 当，时，，即，此时可能为，， 当，时，代入得：，而27不是完全平方数，不符合题意舍去； 当，时，代入得：，而42不是完全平方数，不符合题意舍去； （5）当时，不存在对应的a，b值，不符合题意舍去； （6）当时，的值可能为，， 当，时，，即，此时可能为，，但均与a或b重复，不符合题意舍去； 当，时，，即，此时可能为，，而当，时，与重复，不符合题意舍去； 当，时，代入得：，而53不是完全平方数，不符合题意舍去； （7）当时，不存在对应的a，b值，不符合题意舍去； （8）当时，的值为，， 当，时，，即， 此时可能为，，，而当，时，与重复，不符合题意舍去； 当，时，代入得：，而70不是完全平方数，不符合题意舍去； 当，时，代入得：，而49是完全平方数，符合题意； 当，时，，即， 此时，，代入得：，而67不是完全平方数，不符合题意舍去； （9）当时，不存在对应的a，b值，不符合题意舍去； （10）当时，的值可能为，， 当，时，，即， 此时，，代入得：，而79不是完全平方数，不符合题意舍去； 当，时，，即，此时可能为，，但均与a或b重 复，不符合题意舍去； （11）当时，不存在对应的a，b值，不符合题意舍去， 综上所述，符合条件的“差方数”M有1632，7362， ∴满足条件的所有M值的和为． 三、解答题：（本大题9个小题，17－18每小题8分，19－25每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解不等式组：，把解集在数轴上表示出来，并写出它的所有负整数解． 【答案】，数轴见解析，所有负整数解是 【解析】 【分析】先求出每个不等式的解集，再取解集的公共部分作为不等式组的解集，即可在数轴上画出解集，即可写出负整数解． 【详解】解： 由①得，； 由②得，， ∴不等式组的解集为， 所有负整数解是， 数轴表示为： 18. 如图，在平行四边形中，E为线段延长线上的一点，连接．请完成以下作图和填空： （1）在平行四边形的外部，用尺规作，且交直线于点F，连接，． （2）在（1）问的条件下，求证：四边形是平行四边形． 证明：∵四边形是平行四边形，∴，，∴___①___， ∵，，∴___②___， 在和中，，∴， ∴___③___，，∴___④___，∴四边形是平行四边形． 【答案】（1）如图即为所求． （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴①， ∵，， ∴②， 在和中，， ∴， ∴③，， ∴④， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】（1）根据题意作图即可． （2）根据题中思路求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 在观看了2025年国庆大阅兵后，某学校组织了以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛活动，从八、九年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（用表示学生成绩，所有学生成绩均不低于60分，共分为四组：A．，B．，C．，D．，得分在90分及以上为优秀），下面给出了部分信息： 八年级20名学生的竞赛成绩是：66，67，71，81，83，85，85，86，89，90，90，93，93，93，95，96，98，99，100，100． 九年级20名学生竞赛成绩在B组的数据是：82，83，85，86，87，88． 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 方差 八年级 88 90 10.3 九年级 88 94 11.0 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的_________，_________，_________； （2）根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的知识竞赛成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）若该校八年级有800名，九年级有700名学生参加了此次以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛，估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有多少人？ 【答案】（1），， （2） 八年级学生的知识竞赛成绩更好， 理由：两个年级的平均数相同，八年级的中位数高于九年级，方差小于九年级． （3）估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有755人． 【解析】 【分析】（1）根据众数、中位数的定义求解即可； （2）根据中位数、方差的意义求解即可； （3）八、九年级人数分别乘以对应年级样本中优秀人数所占比例，相加即可． 【小问1详解】 解：根据数据，八年级20名学生的竞赛成绩中，93出现次数最多， 所以众数， 由题知，九年级20名学生竞赛成绩在B组的数据有6个， 所以占，则， 根据扇形图可知，竞赛成绩在C、D占，共名学生， 又20名学生竞赛成绩的中位数为从小到大排列第10、11位的平均值， 所以中位数， 故答案为：93；87.5；30． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：根据数据，八年级学生知识竞赛成绩达到优秀占， 又八年级有800名，所以知识竞赛成绩达到优秀有（人）； 九年级学生知识竞赛成绩达到优秀占， 又九年级有700名，所以知识竞赛成绩达到优秀有（人）； （人）． 答：估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有755人． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 ， 【解析】 【分析】掌握分式的化简求值、二次根式的混合运算、特殊角的三角函数值是解题的关键，先根据分式的运算法则 把分式化简，再把的值代入化简后的分式中计算． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 21. 为迎接我县景颇族目瑙纵歌节，某商家第一次用6600元购进一批舞蹈扇，深受顾客喜爱，很快售完．第二次又以8000元购进同款舞蹈扇，第一次购进每把舞蹈扇的价格是第二次的倍，且第二次比第一次多购进200把． （1）求第二次购进每把舞蹈扇的价格； （2）商家以每把15元的价格进行销售，当第二次售出时，决定降价促销，若要使第二次的销售利润不低于3840元，则剩余的舞蹈扇每把售价至少要多少元？ 【答案】（1）第二次购进每把舞蹈扇的价格为10元 （2）剩余的舞蹈扇每把的售价至少为14元 【解析】 【分析】（1）设第二次购进每把舞蹈扇的价格为元；那么第一次购进每把舞蹈扇的价格为元，根据“第二次比第一次多购进200把”列方程求解即可． （2）设剩余的舞蹈扇每把的售价至少为元，根据“第二次的销售利润不低于3840元”列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设第二次购进每把舞蹈扇的价格为元；那么第一次购进每把舞蹈扇的价格为元． 根据题意得， 两边同乘得：， ∴， 解得：， 检验：当时，，所以是原方程的解． 答：第二次购进每把舞蹈扇的价格为10元． 【小问2详解】 解：设剩余的舞蹈扇每把的售价至少为元． 根据题意得， 整理得， ∴， 解得：， 答：剩余的舞蹈扇每把的售价至少为14元． 22. 如图1，在平行四边形中，，对角线、交于点O，，，点P沿折线方向运动，运动路程为x，记的面积为，的面积与点P运动的路程之比为． （1）请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】（1）， （2） 画图如下： 当时，有最大值8（答案不唯一） （3） 【解析】 【分析】（1）过点D作交延长线于点H，证明出四边形是正方形，得到，然后分两种情况讨论，分别表示即可； （2）列表，描点，然后画出图象，然后根据图象写出性质即可； （3）由图象求解即可． 【小问1详解】 解：过点D作交延长线于点H ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∵， ∴四边形是矩形 ∵ ∴四边形是正方形 ∴ 当时，； 当时，； ∴； ∵的面积 ∴； 【小问2详解】 解：∵， 列表如下： 2 4 6 4 8 0 4 2 画图如下： 由图象得，当时，有最大值8（答案不唯一）； 【小问3详解】 解：由图象得，当时x的取值范围为． 【点睛】此题考查了动点问题的函数图象，正方形的性质和判定，一次函数和反比例函数的图象和性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 23. 如图，港在港北偏东方向，港在港的正西方向12海里处，港在港的正北方向，港在港的北偏西方向，港在港的正西方向6海里处，且在港的西北方向．（参考数据：，） （1）求，两港之间的距离（结果保留根号）； （2）甲货船从港出发，向港运送物资，乙货船从港出发，向港运送物资，甲船速度为乙船速度的2倍（均沿直线匀速运送）．请问当两艘船相距海里时，甲船离港多少海里（结果精确到0.1海里）？ 【答案】（1）海里 （2）海里 【解析】 【分析】（1）连接，过点作于点，延长交于点，则，由题意得，，，，海里，海里，则，由三角形内角和定理可得，解 ，求出海里，解中，求出海里，则海里，解，求出海里，则海里，再由角直角三角形的性质求解即可； （2）设两艘船相距海里时，甲船位于点处，乙船位于点处，过点作于点，过点作于点，解，求出，由（）得，海里，则（海里），由题意得，海里，根据题意可设，则，解，，，则，再表示出，由题意得，海里，然后在中，运用勾股定理建立方程求解． 【小问1详解】 解：连接，过点作于点，延长交于点，则， 由题意得，，，，海里，海里， ∴ ∴， 在中， ∴（海里）， 在中， ∴海里， 在中，， ∴海里， ∴（海里）， 在中，， ∴（海里）， 答：，两港之间的距离为海里； 【小问2详解】 解：设两艘船相距海里时，甲船位于点处，乙船位于点处，过点作于点，过点作于点， 在中，，海里， ∴， 由（）得，海里， ∴（海里） 由题意得，海里， 根据题意可设，则 ∴在中，，， ∴， ∵， ∴， 由题意得，海里， 在中，由勾股定理得，， ∴， 解得，（舍） 答：当两艘船相距海里时，甲船离港海里． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线函数解析式分别交轴于，两点，交轴于点，连接，，其中，抛物线对称轴为直线． （1）求抛物线的解析式： （2）点是直线上方抛物线上的一动点，过点作交直线于点，轴交直线于点．点是直线轴上的动点，当周长最大时，求的最小值； （3）将抛物线沿的角平分线方向平移个单位长度得到新抛物线，平移后的抛物线顶点为且与轴交于点，点为抛物线上一动点．若，请直接写出符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）先求得，再由，求出，即可得到，再根据抛物线的对称轴求出点，即可设，再代入，即可求解抛物线表达式； （2）延长交轴于点，可求直线，而，设，则，那么，则当时，取得最大值，证明，求出，，则周长，因此可得当取得最大值时，周长取得最大值，此时，过点作的平行线，延长交平行线于点，过点作于点，连接，则由得到，故，那么，故的最小值为，设交轴于点，由求得，，则，那么，即可求解的最小值； （3）先求出平移后的抛物线，则顶点，，当点在上方抛物线上时，过点作，过点作，然后延长至点，使得，连接，可证明，则，求出，则，设，代入求得，再与抛物线联立求解即可；当点在下方抛物线上时，则，设直线交于点，则，设，得到方程，求出，那么，再与抛物线求解即可． 【小问1详解】 解：对于，当时， ∴，则， ∵ ∴， ∴， ∵抛物线对称轴为， ∴抛物线与轴的交点， 设， 代入，则 解得， ∴ ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：延长交轴于点， 设直线， 代入点，得： ，解得， ∴直线， ∵， ∴， ∴， 设 ∵轴交直线于点 ∴， ∴， ∵，， ∴当时，取得最大值， ∵轴 ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴，， ∴周长， ∴当取得最大值时，周长取得最大值， ∴此时， 过点作的平行线，延长交平行线于点，过点作于点，连接， ∴， ∴ ∴， ∴ ∵， ∴， ∵ ∴， ∴的最小值为， 设交轴于点， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴，， ∴， ∴ ∴， ∴的最小值为； 【小问3详解】 解：∵的角平分线与轴正方向夹角为， ∴当抛物线沿的角平分线方向平移个单位长度时，相当于向上平移个单位长度，向右平移个单位长度， ∵， ∴平移后的抛物线，即 ∴顶点， 令，则 ∴， 当点在上方抛物线上时，过点作，过点作，然后延长至点，使得，连接， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴同（2）可求， ∴设， 代入得，， 解得， ∴， 与抛物线联立得， 解得，（舍去）， ∴； 当点在下方抛物线上时，则， 设直线交于点， ∴， 设 ∴， 解得 ∴， 同理可求， 与抛物线联立得，， 解得，（舍去）， ∴， 综上：符合条件的点的坐标为或． 25. 如图，在中，，，点为边上一点，连接． （1）如图1，将射线绕点顺时针旋转交于点，若，求的长； （2）如图2，将射线绕点顺时针旋转交于点，过点作交的延长线于点，连接，试猜想、、的关系，并证明你的猜想； （3）如图3，将射线绕点顺时针旋转得到，若，连接，当最小时，点为直线上一点，连接，作点关于的对称点，连接、，点为的中点，当最大时，若，请直接写出的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理得到，可得，则，由旋转可得，，则，过点作于点，解即可； （2）延长至点，连接，使得，连接，在上取点，使得，连接，先证明，再证明，通过角度推导可得，则，故，那么，过点作于点，则，故； （3）连接，过点作于点，先得到点共圆，则，故当时，最小，，求出，连接，由对称可得，，取的中点，连接，则，确定点在以点为圆心，为半径的圆上运动，则当点在延长线上时，取得最大值，过点作于点，过点作于点，由勾股定理求解，，则，再由求出，则根据，求出，再根据三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由旋转可得，， ∴， 过点作于点，如图： 则为等腰直角三角形， ∴设， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：， 证明：延长至点，连接，使得，连接，在上取点，使得，连接， ∵， ∴， 由旋转可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点作于点， ∵，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：连接，过点作于点， 由旋转可得，， ∵， ∴点共圆， ∴， ∴， ∴当时，最小，， ∵，， ∴， ∴， 连接， 由对称可得，， 取的中点，连接，则， ∵点为的中点， ∴， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上运动， ∵， ∴， ∴当点在延长线上时，取得最大值，如图： 过点作于点，过点作于点， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴， 解得， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $