精品解析：贵州省凯里市第一中学2026届高三下学期三月模拟陕西试卷

2026年高考数学三月模拟试卷 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. ，则（ ） A. B. C. D. 2. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 3. “体育强则中国强，国运兴则体育兴”.已知某运动员在2024年篮球联赛中连续10场的得分数据为：9，12，17，8，17，18，20，17，12，14，则这组数据的（ ） A. 第85百分位数为18 B. 众数为12 C. 中位数为17 D. 平均成绩为14 4. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 100 B. 110 C. 115 D. 120 5. 已知向量,满足，，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知实数满足，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 7. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD为正方形，，E为AP的中点，则异面直线PC与DE所成的角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 定义在上的函数与满足：，若是奇函数，则（　　） A. 0 B. 2025 C. 4050 D. 6075 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某市为了改善城市中心环境，计划将市区某工厂向城市外围迁移，需要拆除工厂内一个高塔，施工单位在某平台的北偏东方向处设立观测点，在平台的正西方向处设立观测点，已知经过三点的圆为圆，规定圆及其内部区域为安全预警区.以为坐标原点，的正东方向为轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系.经观测发现，在平台的正南方向的处，有一辆小汽车沿北偏西方向行驶，则（ ） A. 观测点之间的距离是 B. 圆的方程为 C. 小汽车行驶路线所在直线的方程为 D. 小汽车会进入安全预警区 10. 在平面直角坐标系中，已知双曲线的右顶点为A，直线l与以O为圆心，为半径的圆相切，切点为P．则（ ） A. 双曲线C的离心率为 B. 当直线与双曲线C的一条渐近线重合时，直线l过双曲线C的一个焦点 C. 当直线l与双曲线C的一条渐近线平行时，若直线l与双曲线C的交点为Q，则 D. 若直线l与双曲线C的两条渐近线分别交于D，E两点，与双曲线C分别交于M，N两点，则 11. 已知函数，则（ ） A. 当时，函数只有个1零点 B. 对任意的，函数不存在单调递减区间 C. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是 D. 若函数有3个零点，则实数的取值范围是 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知抛物线的焦点为，点M是抛物线C上一点，且，过点M作x轴的垂线，垂足为N，则的面积为_______________ ． 13. 在三棱锥中，，，两两垂直，，若点到平面的距离为1，则三棱锥体积的最小值为_____. 14. 方程有三个互不相等的实根，这三个实根适当排列后可构成一个等比数列，也可构成一个等差数列，则______，该方程的解集为______ 四．解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知函数． （1）求的单调递增区间； （2）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，．求角的大小． 16. 邢台市第一中学篮球队进行分投篮训练，已知队员投篮命中率为，其余队员命中率为． （1）如果队员、、轮流投篮一次，直到有人投进为止，投进球者获得奖励．若第一个投篮，求在第二次投篮时获得奖励的概率． （2）教练和队员约定：先投个球，如果都进，则其训练结束，否则需要再加练个投球，且，、为正整数．如果这样的约定以后一直进行，队员希望投篮的次数越少越好，那么他应该选择的值是多少？ 17. 已知椭圆的焦距为4，且的离心率为． （1）求的标准方程； （2）设的右焦点为，经过点且斜率非零的直线与交于两点，且在线段上． （i）证明：直线的斜率之和为0； （ii）若，求直线的斜率． 18. 如图1，在平行四边形中，，，，将沿翻折成如图2所示的四棱锥，使． （1）证明：平面平面． （2）若是棱的中点，求三棱锥的体积． （3）在图2中，平面内是否存在点，使得直线平面，若存在，说明点的轨迹，并探究该轨迹与平面所成角的正弦值．若不存在，请说明理由． 19. 设函数，. （1）求在上的最值； （2）若函数图象恰与函数图象相切，求实数的值； （3）若函数有两个极值点，，设点，，证明：、两点连线的斜率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学三月模拟试卷 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数代数形式的乘、除运算法则计算可得. 【详解】. 故选：B 2. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式得到，，利用交集概念求出答案. 【详解】因为，， 所以. 故选：A 3. “体育强则中国强，国运兴则体育兴”.已知某运动员在2024年篮球联赛中连续10场的得分数据为：9，12，17，8，17，18，20，17，12，14，则这组数据的（ ） A. 第85百分位数为18 B. 众数为12 C. 中位数为17 D. 平均成绩为14 【答案】A 【解析】 【分析】由百分位数、众数、中位数、平均数的定义求出即可. 【详解】将得分数据按升序排列为：8，9，12，12，14，17，17，17，18，20， 对于A：因为，所以第85百分位数为第9位数，即为18，故A正确； 对于B：众数为17，故B错误； 对于C：中位数为：，故C错误； 对于D：平均数，故D错误； 故答案为：A. 4. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 100 B. 110 C. 115 D. 120 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合等差数列的性质和等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】因为等差数列中，，可得， 由等差数列的性质，可得. 故选：B. 5. 已知向量,满足，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量的数量积的运算律及坐标表示求解即可. 【详解】因为，所以， 又，所以，解得． 故选：A. 6. 已知实数满足，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知得，然后对目标式变形为，利用基本不等式求解最值即可. 【详解】因为，显然，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立，即的最小值为. 故选：C 7. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD为正方形，，E为AP的中点，则异面直线PC与DE所成的角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系,利用夹角公式求出，即可求解异面直线的夹角． 【详解】根据题意，以,,分别为,,轴建立空间直角坐标系， 设，,0,,,2,,,0,,,2,， ,2,,,,， ， 则异面直线与所成角的余弦值为. 故选：D． . 8. 定义在上的函数与满足：，若是奇函数，则（　　） A. 0 B. 2025 C. 4050 D. 6075 【答案】A 【解析】 【分析】先利用奇函数性质推导的对称性与奇偶性相关结论，根据，分析的周期性，确定其周期，结合的性质推导的相关性质，进而得到的表达式，根据的周期性，计算一个周期内的和，再结合2025与周期的关系，求解总和. 【详解】因为是奇函数，所以，换元得， 说明关于点中心对称，令得； 由，得关于轴对称，结合可推得： ，因此的周期，且； 由，得，计算（一个周期）的和： ：，故， ：， ：，故， ：，故， 一个周期和为：； ，即前项共个完整周期，和为； 剩余最后一项，， 故， 因此. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某市为了改善城市中心环境，计划将市区某工厂向城市外围迁移，需要拆除工厂内一个高塔，施工单位在某平台的北偏东方向处设立观测点，在平台的正西方向处设立观测点，已知经过三点的圆为圆，规定圆及其内部区域为安全预警区.以为坐标原点，的正东方向为轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系.经观测发现，在平台的正南方向的处，有一辆小汽车沿北偏西方向行驶，则（ ） A. 观测点之间的距离是 B. 圆的方程为 C. 小汽车行驶路线所在直线的方程为 D. 小汽车会进入安全预警区 【答案】BD 【解析】 【分析】根据两点距离公式计算判断A，设圆C的方程，将三点的坐标代入求解判断B，代入点斜式直线方程计算判断C，利用直线与圆的位置关系判断D. 【详解】由题意，得，所以， 即观测点之间的距离是，故A错误； 设圆的方程为，因为圆经过三点， 所以，解得， 所以圆的方程为，故B正确； 小汽车行驶路线所在直线的斜率为，又点的坐标是， 所以小汽车行驶路线所在直线的方程为，故C错误； 圆化成标准方程为，圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 所以直线与圆相交，即小汽车会进入安全预警区，故D正确. 故选：BD. 10. 在平面直角坐标系中，已知双曲线的右顶点为A，直线l与以O为圆心，为半径的圆相切，切点为P．则（ ） A. 双曲线C的离心率为 B. 当直线与双曲线C的一条渐近线重合时，直线l过双曲线C的一个焦点 C. 当直线l与双曲线C的一条渐近线平行时，若直线l与双曲线C的交点为Q，则 D. 若直线l与双曲线C的两条渐近线分别交于D，E两点，与双曲线C分别交于M，N两点，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据双曲线离心率的求法判断A；设直线l与渐近线重合，点P位于第四象限，直线l与x轴的交点为T，通过计算得判断B；设直线l的方程为，根据相切求出直线方程为直线l的方程为，联立直线方程与双曲线方程求出点坐标，进而求出，判断C选项；P的坐标为，可得直线l的方程为，分别联立直线与渐近线方程和双曲线方程，分别求得线段DE的中点的横坐标和线段MN的中点的横坐标，证明相同，判断D. 【详解】对于A选项．由，，，可得双曲线C的离心率为，故A选项正确； 对于B选项，双曲线C的渐近线方程为． 由对称性，不妨设直线OP与渐近线重合，点P位于第四象限， 记直线l与x轴的交点为T，由直线的倾斜角为，有， 又由，可得．又由，故直线l过双曲线C的一个焦点，故B选项正确； 对于C选项，当直线l与双曲线C的一条渐近线平行时，由对称性， 不妨设直线l的方程为（其中），有，可得， 直线l的方程为，联立方程解方程组可得点Q的坐标为． 可得，故C选项错误； 对于D选项，设点P的坐标为，可得直线l的方程为．其中． 联立方程解得，联立方程 解得， 可得线段DE的中点的横坐标为，联立方程， 消去y后整理为， 可得线段MN的中点的横坐标为， 可得线段和的中点相同，故有，故D选项正确． 故选：ABD． 【点睛】关键点点睛：本题第四个选项，证明，如果直接证明长度等于长度计算量较大，本题采用了线段DE的中点的横坐标和线段MN的中点的横坐标相等来证明，更最直观简便. 11. 已知函数，则（ ） A. 当时，函数只有个1零点 B. 对任意的，函数不存在单调递减区间 C. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是 D. 若函数有3个零点，则实数的取值范围是 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，先利用导数分析函数的单调性，进而判断即可；对于B，若函数存在单调递减区间，则在上有解，令，转化问题为在上有解，进而求解判断即可；对于C，由函数在上单调递增，可得在上恒成立，进而求解判断即可；对于D，结合C选项分析求解判断即可. 【详解】由，，则. 对于A，当时，在上恒成立， 所以在上单调递增，又， 所以在上只有一个零点，故A正确； 对于B，若函数存在单调递减区间，则在上有解， 令，即在上有解， 此时，只需要，解得， 所以当时，函数存在单调递减区间，故B不正确； 对于C，因为函数在上单调递增，所以在上恒成立， 当时，在上恒成立， 即在上恒成立， 当时，只需要，解得， 综上所述，， 所以若函数在上单调递增，则实数的取值范围是，故C不正确； 对于D，由C知，当时，函数在上单调递增，函数在上至多有1个零点，不符合题意； 当时，由B知，有两个正根， 得， 由于，所以，当时，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，单调递增， 因为，所以在上有一个零点，且， 由得， 且， 所以在上各有一个零点， 所以当时，有3个零点，故D正确. 故选：AD. 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知抛物线的焦点为，点M是抛物线C上一点，且，过点M作x轴的垂线，垂足为N，则的面积为_______________ ． 【答案】 【解析】 【分析】由焦半径公式得到点坐标，可求出点坐标，从而求出三角形面积. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为， 不妨设点位于第一象限，由，得，解得， 故，则有， 所以的面积. 13. 在三棱锥中，，，两两垂直，，若点到平面的距离为1，则三棱锥体积的最小值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】设，，过作垂直于，连接，先证明平面，再利用等体积法求得，进而得到，构造函数，利用导数分析其单调性，进而求解即可. 【详解】不妨设，，则，，，， 过作垂直于，连接， 则，， 而，则， 因为，，且，平面， 所以平面， 由，则， 则，即， 所以， 不妨设，则， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则， 即三棱锥体积的最小值为. 故答案为：. 14. 方程有三个互不相等的实根，这三个实根适当排列后可构成一个等比数列，也可构成一个等差数列，则______，该方程的解集为______ 【答案】 ①. ②. ． 【解析】 【分析】设方程这三个实根为，根据多项式恒等可得根与系数的关系式，结合等比数列以及等差数列的性质即可求得答案. 【详解】设方程这三个实根为， 则 ， 得，，， 当它们成等比数列时，不妨设，，， 所以有，，． 又这三个数可构成一个等差数列，有以下三种情形： （1），或，又互不相等，所以； （2），与互不相等矛盾； （3）或，又互不相等．所以， 综上可知或，所以分别为，，6或6，，， 即该方程的解集为． 所以， 故答案为：； 四．解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知函数． （1）求的单调递增区间； （2）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，．求角的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦的二倍角公式、诱导公式、辅助角公式，结合正弦型函数单调性进行求解即可； （2）根据（1）的结论，结合正弦定理、两角差的正弦公式进行求解即可. 【小问1详解】 ， 令，， 得，，， 所以的单调递增区间为； 【小问2详解】 由（1）知，， 又，∴，所以，， 由正弦定理及，得，， ∴，整理得，， 又，∴，所以角B的大小为. 16. 邢台市第一中学篮球队进行分投篮训练，已知队员投篮命中率为，其余队员命中率为． （1）如果队员、、轮流投篮一次，直到有人投进为止，投进球者获得奖励．若第一个投篮，求在第二次投篮时获得奖励的概率． （2）教练和队员约定：先投个球，如果都进，则其训练结束，否则需要再加练个投球，且，、为正整数．如果这样的约定以后一直进行，队员希望投篮的次数越少越好，那么他应该选择的值是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用独立事件的概率乘法公式可求得所求事件的概率； （2）设队员投篮的次数的期望为，由题意可知，的可能取值有、、、、、、、、，求出的表达式，进而求出的最小值及其对应的值，即可得出结论. 【小问1详解】 若第一个投篮，在第二次投篮时获得奖励，则第一轮，三人都没投进， 由独立事件的概率乘法公式可知，所求概率为. 【小问2详解】 设队员投篮的次数的期望为， 由题意可知，的可能取值有、、、、、、、、，且， 由题意可得， 当且时，随着的增大而增大，此时，， 且，，， ，所以，最小， 所以，选择的值为. 17. 已知椭圆的焦距为4，且的离心率为． （1）求的标准方程； （2）设的右焦点为，经过点且斜率非零的直线与交于两点，且在线段上． （i）证明：直线的斜率之和为0； （ii）若，求直线的斜率． 【答案】（1） （2）（i）证明见解析； （ii） 【解析】 【分析】（1）根据离心率的公式以及的关系即可求解； （2）（i）设，利用韦达定理以及两点斜率公式即可证明； （ii）由平面几何知识以及正弦定理可得，方法一：，利用三角恒等变换公式将转化为的方程即可求解；方法二；将两边平方结合三角恒等变换公式把方程转化为关于的方程即可求解. 【小问1详解】 由已知得， ∴，的方程为． 【小问2详解】 （i）由（1）可知，设， 由得， ∵，∴或， ∴直线的斜率和为， ∵，∴直线的斜率之和为0． （ii）设为坐标原点，则由（i）知，， 而， 而，∴． 设，则在中，由正弦定理，， ∵， ∴，即， （方法一）令，则，由， 两边平方可得， ∴，∴， ∴，显然，∴， 又，∴，即， 易知，即直线的斜率为． （方法二）∵， ∴等式两边平方，可得，即， ∴，∴， ∴，∴， ∴或（舍去），∴， 易知，即直线的斜率为． 18. 如图1，在平行四边形中，，，，将沿翻折成如图2所示的四棱锥，使． （1）证明：平面平面． （2）若是棱的中点，求三棱锥的体积． （3）在图2中，平面内是否存在点，使得直线平面，若存在，说明点的轨迹，并探究该轨迹与平面所成角的正弦值．若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明如下： 取的中点，连接，， 且， 四边形为平行四边形，， ，由平行四边形性质得， 则， 又，且， 又，， ， 平面， 平面， 平面平面. （2）. （3）存在，点的轨迹是一条直线.． 【解析】 【分析】（1）先证明线面垂直，再证明面面垂直. （2）利用垂直找到棱锥的高，使用体积公式求棱锥. （3）建立空间直角坐标系，将线面的平行关系转化为向量的垂直关系，求出点的轨迹，最后求出轨迹的方向向量和平面法向量求夹角余弦值绝对值，对应所求正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知平面平面，且平面平面， 又，平面，平面， . 【小问3详解】 以的中点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 则，，，， ，， 设平面的法向量为， 由 令，得 是平面的一个法向量， 设点的坐标为， ， 平面， ， 可得， 点的轨迹是一条直线. 设，所以， 设平面的法向量为， 由， 令，得，， 是平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 则， 直线与平面所成角的正弦值为. 19. 设函数，. （1）求在上的最值； （2）若函数图象恰与函数图象相切，求实数的值； （3）若函数有两个极值点，，设点，，证明：、两点连线的斜率. 【答案】（1）， （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）借助导数可得该函数在上的单调性，即可得其最值； （2）设出切点，借助导数的几何意义计算即可得切点横坐标，即可得解； （3）由函数的两个极值点结合韦达定理可得、，表示出、两点连线的斜率后，借助韦达定理及换元法计算可将问题转化为证明，构造相应函数证明即可得. 【小问1详解】 ， 则当时，，当时，， ∴在上单调递增， ∴，； 【小问2详解】 设与切于， 由，则， 所以，则， 即， 令，则， 所以在上单调递增， 又，所以， 所以； 【小问3详解】 解法一： 由， 所以， 因为有两个极值点， ，即有两个不等的正根，且， ， 要证：，即证， 不妨设，即证：， 即证：， 令证， 令， 在上单调递增，证毕! 解法二： 因为，所以， 令，则， 因为函数有两个极值点，所以，解得， 所以， 所以的斜率 ， 令， 则， 所以在上单调递增，又， 所以当时，， 不妨设，令，则， 所以， 即，证毕! 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助换元法，令，将双变量，转化为，从而将双变量问题转化为单变量问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $