精品解析：贵州省凯里市第一中学2026届高三数学模拟考试（黄金Ⅱ卷）数学试题

凯里一中2026届高三模拟考试（黄金Ⅱ卷） 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、班级、座位号在答题卡上填写清楚. 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数（i为虚数单位），则在复平面对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】化简复数再根据复数的几何意义可得结果. 【详解】化简得， 对应的复平面的点为，在第四象限. 故选：D 2. 设全集，，若，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先解分式不等式求得集合，再使用补集的运算，计算，结合集合与元素的关系可得实数m的取值范围. 【详解】解得 或，则集合， 则，因为，所以实数m的取值范围是， 故选：B. 3. 在平面直角坐标系中，“”是“方程表示双曲线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】若表示双曲线，则表明与的系数同号，即，解得 ，由充分必要条件的概念可得是 的充分不必要条件. 【详解】若表示双曲线，则有，解得 ， 易得是 的充分不必要条件， 因此“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件. 故选：A. 4. 已知向量，向量在上的投影向量为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由投影向量公式结合条件可得，其中可由计算，进而可求得的值. 【详解】由题意在上的投影向量为， 因为，则，又， 则. 故选：D. 5. 为深入学习贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想，某校于2026年1月组织高一、高二、高三三个年级共400名学生参加“青春心向党·奋进新征程”党史知识竞赛．如图，结合参赛学生的年级分布饼图与高一学生的排名分布频率条形图，下列命题中错误的是（） A. 这400名学生中，高一人数比高二人数多40 B. 成绩前200名的高一学生有90人 C. 成绩前100名的学生中，高三学生人数不超过64 D. 成绩第101名到第200名的学生中，高二人数比高一人数多 【答案】D 【解析】 【分析】根据饼状图和条形图提供的数据逐一分析判断选项． 【详解】由饼图可知，高一人数比高二人数多选项正确； 由条形图可知，成绩前200名中高一人数为人，B选项正确； 成绩前100名的学生中，高一人数为人， 故高三人数不超过人，C选项正确； 成绩第101名到第 名的学生中，高一人数为人， 故高二最多有人，因此高二人数比高一少，D选项错误， 故选：D 6. 已知函数（）的最小正周期为，点是其图象的一个对称中心，则的最小值为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角函数的周期性与对称性结合题目条件即可求出的最小值. 【详解】由 ，得，令，则，容易验证当 时，最小，此时. 故选：A 7. 已知正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，侧棱长为2，则该正四棱台的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据几何体的对称性，可得正四棱台的外接球的球心在上下底面中心的连线上，设球心到下底面的距离为，外接球的半径为，根据球的截面圆的性质，列出方程组，即可求解. 【详解】如图所示，正四棱台下底面对角线交点为，上底面对角线交点为， 因为正四棱台下底面边长为，上底面边长为，侧棱长为， 可得上、下底面正方形的对角线长为和，可得， 根据几何体的对称性，可得正四棱台的外接球的球心在线段上或在其延长线上， 设外接球的球心为，球心到下底面的距离为，外接球的半径为， 因为正四棱台的高为， 所以若球心在线段上，则，解得，矛盾， 若球心在线段的延长线上，则，解得， 所以， 所以该正四棱台的外接球的表面积为. 故选：C. 8. 已知关于x的方程有三个不等的实根，，，且，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用导数求出方程有三个不等实根时的取值范围，再利用根与系数的关系将已知不等式转化为关于的不等式求解，最后综合两个范围求交集即可. 【详解】设，则， 由题可知和是函数的极值点． 因，故需， 即有，解得． 另一方面，设， 展开对比系数容易得到， 于是， 解得， 故， 故选：B 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9. 已知m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据平面的基本性质，线面垂直、面面平行的性质判断选项即可. 【详解】对于选项A，若，则与相交或平行，所以A错误； 对于选项B，由两个相交平面都和第三个平面垂直，那么它们的交线与这个平面垂直，所以B正确； 对于选项C，若有可能在内，故C错误； 对于选项D，若，根据线面平行的性质定理和判定定理， 可以判断，所以D正确. 故选：BD 10. 已知椭圆（）的左，右焦点分别为，，点在椭圆内，点在椭圆上，则（） A. 的最小值为 B. 椭圆C的离心率的取值范围是 C. 存在点N使得 D. 当椭圆C的离心率为时，的最大值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】A选项利用椭圆的定义及基本不等式，将目标式变形后求最小值；B选项根据点在椭圆内建立不等式，结合离心率定义求解范围；C选项分析焦点三角形顶角的最大值位置，判断给定角度是否存在；D选项结合离心率确定椭圆方程，利用椭圆的定义和三角形不等式求最值. 【详解】∵点在椭圆上，∴， ， 当且仅当时，即时等号成立，A选项正确； ∵点在椭圆内，∴，即， 解得， 所以椭圆C的离心率的取值范围是，B选项正确； 当点位于椭圆上下顶点时，最大， 此时， 存在，C选项正确； ∵由，， ，D选项错误. 故选：ABC 11. 已知是定义在上的奇函数，且当 时，，则（ ） A. 当 时， B. 曲线在处的切线过点 C. 函数有5个零点 D. 若对任意 ，恒成立，则实数的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用奇函数性质推导 时解析式，需代入 并取负，即根据 的表达式将自变量替换为 后再整体取负，从而可判断A选项的表达式是否正确；B选项通过求导得切线斜率，验证切线是否过定点；C选项结合导数分析正区间单调性及零点存在性，由奇函数对称性得总零点个数；D选项分离参数后构造函数求最值，转化为恒成立问题. 【详解】对于A，当 时， ， ，A选项错误； 对于B，当 时，， 又在处的切线方程为， 令，则 ，切线过点 ，B选项正确： 对于C，由可知，在上单减，上单增， 当时，，又 在 上有且仅有2个零点， 又是定义在上的奇函数， 在 上有且仅有2个零点， 又，所以函数在上有5个零点，C选项正确； 对于D，当 时，由，得， 设，则， 容易得到当时，取得最小值选项正确， 故选：BCD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 的展开式中的常数项为________． 【答案】15 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式求解即可. 【详解】的展开式通项公式为， 令，解得， 所以常数项为． 故答案为： 13. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其面积，则的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】由余弦定理结合三角形面积公式可得，，则可使用两角和差公式将转化为，使用辅助角公式将之转化为，则当时取最大值1，此时取最大值. 【详解】联立，得， 又因为，则有， 因为，所以有，即， 因为，所以， 因为 ，，则， 则， 由辅助角公式可得，其中， 因为，所以， 当时取最大值1，此时取最大值， 故答案为：. 14. 已知直线l：，若圆上存在点与关于直线l对称，则实数r的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出直线所过定点，再根据对称性得到点的对称点的轨迹是以为圆心、为半径的圆，将原题条件转化为圆与该轨迹圆有公共点，利用两圆圆心距与半径的关系建立不等式，从而解出参数 的范围. 【详解】由题，，联立 解得直线过定点， 设点关于直线对称点为，则 点在以点为圆心，2为半径的圆上． 题目条件等价于：圆与圆有公共点，即这两个圆相交或相切， ∴，解得．所以 的取值范围为． 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知数列满足，且． （1）求证数列是等差数列，并求的通项公式； （2）求的前n项和． 【答案】（1）是公差为1，首项为的等差数列，证明见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）由得，由等差数列的定义可得是公差为1，首项为的等差数列，进而可求的通项公式； （2）直接使用错位相减法，结合等比数列前 项和的公式即可求即的前 项和. 【小问1详解】 由得， 所以，即， 所以是公差为1，首项为的等差数列， 所以， 则. 【小问2详解】 设， 则， ， 则， ， . 所以的前n项和. 16. 某商场店庆抽奖规则：不透明容器内有6个颜色、大小均相同的小球，分别标有“五”“折”各1个，“钜”“惠”共4个．每位观众仅抽1次，一次性抽取2个球：若抽到“五”和“折”，获5折券；若抽到“钜”和“惠”，获7折券．已知获7折券的概率是获5折券概率的3倍． （1）求标有“惠”的小球个数； （2）若某观众已抽到1个“五”球，求其获得5折券的概率； （3）现有三位观众独立参加抽奖，求获得7折券的人数X的分布列与数学期望． 【答案】（1）或 （2） （3）分布列见详解；数学期望为 【解析】 【分析】（1）设“惠”球个数为，根据“获折券概率是折券的倍”列方程，求解； （2）已知已抽到“五”球，在剩余个球中，抽到唯一“折”球即可获得折券，直接计算条件概率； （3）先确定单次抽奖获折券的概率，判断获得折券的人数服从二项分布，再用二项分布公式求分布列与数学期望. 【小问1详解】 设标有“惠”的小球有个，则“钜”的小球有个，为正整数，且， 从个球中一次性抽取个的总方法数：， 获折券（抽到“五”和“折”）的方法数：，概率为， 获折券（抽到“钜”和“惠”）的方法数：，概率为， 由题意，即：， 化简得，解方程 ，得或， 因此，标有“惠”的小球个数为或； 【小问2详解】 已抽到“五”球后，剩余个球，其中“折”球有个，要获得折券，需抽到“折”球，故概率为：； 【小问3详解】 由第一问可知，“惠”的个数有两个解：或； 当“惠”，“钜”时，单次抽奖获折券的概率为， 当“惠”，“钜”时，单次抽奖获折券的概率为， 两种情况下，单次抽奖获得折券的概率恰好都是， 三位观众独立获得折券的人数服从二项分布，故， 则，， ，， 分布列： 数学期望：. 17. 如图，在三棱柱中，，，． （1）证明：； （2）若，，在线段上是否存在点P，使得二面角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见详解 （2）存在点满足条件， 【解析】 【分析】（1）由题意可得，，由线面垂直的判定即可得证； （2）由题意可得两两垂直，则以为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系，设，可得，分别求出平面和平面的法向量，由向量夹角公式结合条件即可求得的值. 【小问1详解】 取的中点，连接，如图： 因为，是的中点，所以， 在中，，，所以是等边三角形， 因为是的中点，所以， 因为，平面 ， 所以 平面 ， 又因为 平面 ，所以. 【小问2详解】 因为，易得，且有，则， 即，则两两垂直， 以为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系，如图： 易得， 在线段上取点，设，即， 则， 平面的法向量为， 设平面的法向量为 ，，， 则有，不妨设，则， 由题意得，解得或（舍）， 故存在点满足条件，且. 18. 已知抛物线 上一点到焦点的距离为2．点在直线上，过点作抛物线的两条切线、，切点分别为，为坐标原点． （1）求抛物线的方程； （2）若，且垂足为，求证；存在定点，使得为定值； （3）求 面积的最小值． 【答案】（1） （2）存在定点，使得为定值 （3）4 【解析】 【分析】（1）将点代入到抛物线方程，可得，由题意，结合抛物线定义有，进而可求得 ，即求出抛物线的方程. （2）设，过作抛物线的切线，切点为 ，可得切点弦的方程为，进而求得直线的方程，联立后求得垂足的坐标，整理后可得，代入 的表达式化简得，则点的轨迹以为圆心，为半径的圆，额外讨论 和的情况，综上，存在定点，使得为定值. （3）先求点到直线的距离，再联立抛物线方程与直线的方程，结合韦达定理求弦长，进而可得，接下来求二次函数的最小值即可求得 面积的最小值. 【小问1详解】 由题意得抛物线的方程为，焦点为，准线方程为， 点在抛物线上，故，解得， 点到焦点的距离为2，则有，即，解得 ， 因此抛物线的方程为 . 【小问2详解】 点在直线上，设点， 过作抛物线的切线，切点为 ， 抛物线方程为 ，即，则， 所以有切线，切线， 因为点在切线上，所以对于有， 这表明满足直线方程， 则切点弦的方程为， 当时，过原点且垂直于的直线的斜率为，方程为， 解垂足坐标，联立，解得， 消去并整理得， 当时，点满足上述方程，而点 满足上述方程，此时直线，不符合题意， 因此点的轨迹以为圆心，为半径的圆（除点 外）， 综上，存在定点，使得为定值. 【小问3详解】 点到直线的距离， 联立得，则有， 则， 则， 因为，所以， 所以， 设，则， 则 面积的最小值为. 19. 已知函数，其中． （1）证明：当 时， ； （2）当时，证明：对任意，； （3）若是的极小值点，求实数的取值范围． 【答案】（1）设 ，则 ， 所以在上单调递增，当 时， ， 即 . （2）设 ， 因为当时， ，由（1）可知 ， 所以 ， 所以 在 上单调递增，即， 即，得证. （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数证明不等式，设 ，由导数得在上单调递增，则当 时， ，得证； （2）利用导数证明不等式，设 ，由导数结合（1）中结论，并使用由局部到整体的思想，可得，进而可得 在 上单调递增，即，得证； （3）由题意得，令，求导，当 时，则，取 ，根据导数及函数是偶函数讨论即可求解，当时， ，根据导数讨论即可判断. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意得， 令，， （ⅰ）当 ，即时，取 ， 所以，当 时， ，结合（1）可知 ， 函数的定义域为，关于原点对称， 因为 ， 所以函数是偶函数， 故当 时，， 因为 ，所以 是的极小值点，符合题意； （ⅱ）当时，因为 ，且在区间上连续可导， 又因为 ， 所以函数是定义在上的偶函数， 故存在 ，使得对任意 ，都有 ， 所以函数在区间 上单调递减， 当 时， ，当 时， ， 所以 是的极大值点，不符合题意； 所以实数的取值范围是 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 凯里一中2026届高三模拟考试（黄金Ⅱ卷） 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、班级、座位号在答题卡上填写清楚. 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数（i为虚数单位），则在复平面对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 设全集，，若，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，“”是“方程表示双曲线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知向量，向量在上的投影向量为，则（ ） A. B. C. D. 5. 为深入学习贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想，某校于2026年1月组织高一、高二、高三三个年级共400名学生参加“青春心向党·奋进新征程”党史知识竞赛．如图，结合参赛学生的年级分布饼图与高一学生的排名分布频率条形图，下列命题中错误的是（） A. 这400名学生中，高一人数比高二人数多40 B. 成绩前200名的高一学生有90人 C. 成绩前100名的学生中，高三学生人数不超过64 D. 成绩第101名到第200名的学生中，高二人数比高一人数多 6. 已知函数（）的最小正周期为，点是其图象的一个对称中心，则的最小值为（） A. B. C. D. 7. 已知正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，侧棱长为2，则该正四棱台的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知关于x的方程有三个不等的实根，，，且，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9. 已知m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 10. 已知椭圆（）的左，右焦点分别为，，点在椭圆内，点在椭圆上，则（） A. 的最小值为 B. 椭圆C的离心率的取值范围是 C. 存在点N使得 D. 当椭圆C的离心率为时，的最大值为 11. 已知是定义在上的奇函数，且当 时，，则（ ） A. 当 时， B. 曲线在 处的切线过点 C. 函数有5个零点 D. 若对任意 ，恒成立，则实数的取值范围是 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 的展开式中的常数项为________． 13. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其面积，则的最大值为________． 14. 已知直线l：，若圆上存在点与关于直线l对称，则实数r的取值范围为________． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知数列满足，且． （1）求证数列是等差数列，并求的通项公式； （2）求的前n项和． 16. 某商场店庆抽奖规则：不透明容器内有6个颜色、大小均相同的小球，分别标有“五”“折”各1个，“钜”“惠”共4个．每位观众仅抽1次，一次性抽取2个球：若抽到“五”和“折”，获5折券；若抽到“钜”和“惠”，获7折券．已知获7折券的概率是获5折券概率的3倍． （1）求标有“惠”的小球个数； （2）若某观众已抽到1个“五”球，求其获得5折券的概率； （3）现有三位观众独立参加抽奖，求获得7折券的人数X的分布列与数学期望． 17. 如图，在三棱柱中，，，． （1）证明：； （2）若，，在线段上是否存在点P，使得二面角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 18. 已知抛物线 上一点到焦点的距离为2．点在直线上，过点作抛物线的两条切线、，切点分别为，为坐标原点． （1）求抛物线的方程； （2）若，且垂足为，求证；存在定点，使得为定值； （3）求 面积的最小值． 19. 已知函数，其中． （1）证明：当 时， ； （2）当时，证明：对任意，； （3）若是的极小值点，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $