第18章矩形.菱形与正方形 单元综合测试卷2025-2026学年华东师大版八年级数学下册

第18章矩形.菱形与正方形单元综合测试卷 一、单选题(本大题共10小题.每小题3分.共计30分) 1．在中，，，D为的中点，则等于（   ） A． B． C． D． 2．矩形是特殊的平行四边形，下面是矩形具有而平行四边形不具有的性质的是（   ） A．矩形的对角线互相平分 B．矩形的对边相等 C．矩形的对边平行 D．矩形的四个角相等 3．如图，菱形中，对角线相交于点O，E为的中点．若菱形的周长为32，则的长为（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 4．在中，添加下列条件：①；②；③平分；④．能够判定是菱形的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图，将一张长方形纸条翻折，是折痕．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．如图，菱形中，对角线、相交于点，，交于点，，则的长为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在菱形中，，，顺次连接菱形各边的中点所得四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 8．如图，是线段所在直线上的一动点，点，在的两侧，于，于，，，，连接，，分别取，的中点，，连接．随着点的运动，线段的长（    ） A．随着点的位置变化而变化 B．保持不变，长为 C．保持不变，长为 D．保持不变，长为 9．如图，在平面直角坐标系中放置一菱形，已知，点在轴上，，先将菱形沿轴的正方向无滑动翻转，每次翻转，连续翻转次，点的落点依次为，，，，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 10．对于题目“点E是菱形边上一点（），将绕点A逆时针旋转得到，若点F恰好也在菱形边上，求满足条件的个数”． 甲同学的答案：1个； 乙同学的答案：3个； 丙同学的答案：无数个． 由下列说法中，正确的是（    ） A．只有甲答的对 B．甲、丙答案合在一起才完整 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整 二、填空题(本大题共6小题.每小题3分.共计18分) 11．如图，菱形中，两条对角线相交于点，点是的中点，若，则_____ 12．如图，在平面直角坐标系内，矩形的，两点对应的坐标分别是，，且，两点关于轴对称，则矩形对角线的交点坐标为______． 13．如图，在平面直角坐标系中，长方形的边分别在x轴，y轴上，点D在边上，将该长方形沿折叠，点C恰好落在边上的E处，若点，点，则点D的坐标是___________．    14．如图，已知菱形，四个顶点坐标分别为，，，，则的值为______． 15．如图，在直角三角形中，，，，点是边上一点（不与点，重合），作于点，于点，若点是的中点，则的最小值是______． 16．如图，将两张完全相同的矩形纸片，按如图方式放置，为重合的对角线，重叠部分为四边形，若，则四边形的面积为_______． 三、解答题(本大题共8小题.每题9分.共计72分) 17．如图，在矩形中，对角线、相交于点O，已知，求的度数． 18．如图，已知四边形中，、、、分别是四条边、、、的中点，、是对角线，连接、、、． (1)证明：四边形为平行四边形； (2)若______，则四边形是菱形请从；这两个选项中选择一个作为条件，使结论成立．（填序号） 19．如图，已知矩形沿着直线折叠，使点C落在处，交于点E，，求阴影部分面积． .20．如图，点是菱形的对角线和的交点，过点作，过点作，与相交于点． (1)求证：四边形是矩形． (2)连接，若，，求的长． 21．如图，在平行四边形中，E、F分别是边和的中点，连接、，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)作，与的延长线交于点G．求证：四边形是矩形． 22．如图，四边形是一个菱形绿地，其周长为，，在其内部有一个四边形花坛，其四个顶点恰好在菱形各边的中点，现在准备在花坛中种植茉莉花，其单价为10元/，请问需投资金多少元？（结果保留根号） 23．如图1，在矩形中，，．点从点出发沿运动，先以每秒个单位长度的速度运动，当到达点时速度变为每秒个单位长度；点从点出发沿运动，先以每秒个单位长度的速度运动，当点到达点时速度变为每秒个单位长度，它们同时从点出发后，首次相遇时都停止运动整个运动过程中不考虑的情形．设点、点运动时间为秒，线段的长度为，请解答下列问题： (1)直接写出关于的函数表达式并注明对应的取值范围； (2)在图2的平面直角坐标系中画出函数的图象，并根据图象写出函数的一条性质； (3)若的函数图象与直线有两个交点，则的取值范围是 ． 24．已知是斜边的中点，M、N分别是边上的点，且，连接． (1)求证：； (2)如图2，当，若，求的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第18章矩形.菱形与正方形单元综合测试卷 一、单选题(本大题共10小题.每小题3分.共计30分) 1．在中，，，D为的中点，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出的度数，再根据斜边中线性质得到边相等，利用等腰三角形等边对等角即可求出． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵D为的中点，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， ∴， ∴． 2．矩形是特殊的平行四边形，下面是矩形具有而平行四边形不具有的性质的是（   ） A．矩形的对角线互相平分 B．矩形的对边相等 C．矩形的对边平行 D．矩形的四个角相等 【答案】D 【分析】本题考查了矩形与平行四边形的性质，根据两者共有的性质和矩形特有的性质逐一判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、∵矩形的对角线互相平分，平行四边形的对角线互相平分， ∴矩形与平行四边形都具有，不符合题意； 、∵矩形的对边相等，平行四边形的对边相等， ∴矩形与平行四边形都具有，不符合题意； 、∵矩形的对边平行，平行四边形的对边平行， ∴矩形与平行四边形都具有，不符合题意； 、∵矩形是特殊的平行四边形，除具备平行四边形的所有性质外，还具有四个角均为直角（即四个角相等）的性质， ∴矩形具有而平行四边形不具有，符合题意； 故选：． 3．如图，菱形中，对角线相交于点O，E为的中点．若菱形的周长为32，则的长为（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】先由菱形的周长求解得到，再证明为的中位线，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵E为的中点 ∴． 4．在中，添加下列条件：①；②；③平分；④．能够判定是菱形的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】结合平行四边形的性质与菱形的判定定理，逐一分析每个条件能否判定平行四边形为菱形即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， 添加条件①可得是矩形，不是菱形； 条件②是平行四边形的固有性质，故添加条件②无法判定其为菱形； 添加条件③平分， 如图， ∵平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴是菱形； 添加条件④能判定是菱形； 综上，能够判定是菱形的是③④，共2个． 5．如图，将一张长方形纸条翻折，是折痕．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由折叠可得，且，根据直线得，最后由对顶角的性质求得． 【详解】解：如图所示： ∵是折痕， ， ， ， 又 ∵， ， ， 又 ∵， ． 6．如图，菱形中，对角线、相交于点，，交于点，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由菱形的性质，可得，，由平行线的性质，结合等腰三角形的判定和性质，可得，即可得的长． 【详解】解：菱形中，，， ∴，， 又∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 7．如图，在菱形中，，，顺次连接菱形各边的中点所得四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接、，交于点，根据菱形的性质和中位线定理可知四边形是矩形，根据菱形的性质可证是等边三角形，根据等边三角形的性质可求，，利用矩形的面积公式可求结果． 【详解】解：如下图所示，连接、，交于点， 四边形是菱形， ，， 又， 是等边三角形， ， 则， ， 点、、、分别是、、、的中点， ，， 同理可得，， 四边形是矩形， 四边形的面积为． 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、矩形的面积公式、等边三角形的判定和性质，解决本题的关键是根据菱形的性质和三角形的中位线定理证明四边形是矩形． 8．如图，是线段所在直线上的一动点，点，在的两侧，于，于，，，，连接，，分别取，的中点，，连接．随着点的运动，线段的长（    ） A．随着点的位置变化而变化 B．保持不变，长为 C．保持不变，长为 D．保持不变，长为 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 连接，过点作，交的延长线于，可得四边形为矩形，即得，，得到，进而由勾股定理得，再根据三角形中位线的性质得到，据此即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点作，交的延长线于， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵点分别为的中点， ∴为的中位线， ∴， 即的长保持不变，长为， 故选：C． 9．如图，在平面直角坐标系中放置一菱形，已知，点在轴上，，先将菱形沿轴的正方向无滑动翻转，每次翻转，连续翻转次，点的落点依次为，，，，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查菱形的性质、等边三角形的性质、勾股定理，根据菱形的性质分别求出点、、、、、、的坐标，根据翻折的规律可知第次翻折是第次循环中的第次翻折，得到点的坐标． 【详解】解：如下图所示，连接，过点作轴， 由图可知，第一次翻折得到菱形， 四边形是菱形，， ， 又， 是等边三角形， ， 由翻折可知， 轴， ， ，， ， 点的坐标为，点的坐标为， 第二次翻折得到菱形， 点的坐标为， 第三次翻折得到菱形， 点的坐标为， 第四次翻折得到菱形， 点的坐标为， 第五次翻折得到菱形， 点的坐标为 第六次翻折得到菱形， 点的坐标为， 由翻折可知， ， 是等边三角形，， ， ， ， 的坐标为， 每翻折次，菱形向右平移个单位长度， ， 第次翻折是第次循环中的第次翻折， 点的横坐标为，纵坐标为， 点的坐标为． 故选：D． 10．对于题目“点E是菱形边上一点（），将绕点A逆时针旋转得到，若点F恰好也在菱形边上，求满足条件的个数”． 甲同学的答案：1个； 乙同学的答案：3个； 丙同学的答案：无数个． 由下列说法中，正确的是（    ） A．只有甲答的对 B．甲、丙答案合在一起才完整 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整 【答案】D 【分析】分三种情况：①，②，③，分别画出相应的图形依次分析得到结论． 【详解】解：情况1：当时，如图，只有1个满足条件的，此时，； 情况2：当时，如图，有无数个满足条件的，此时，； 情况3：当时，如图，由3个满足条件的， 故选：D． 【点睛】此题考查了旋转的性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，根据条件画出图形进行分类讨论是解题的关键． 二、填空题(本大题共6小题.每小题3分.共计18分) 11．如图，菱形中，两条对角线相交于点，点是的中点，若，则_____ 【答案】 【详解】解：四边形是菱形，， ， 与相交于点， ， 点是的中点， ． 12．如图，在平面直角坐标系内，矩形的，两点对应的坐标分别是，，且，两点关于轴对称，则矩形对角线的交点坐标为______． 【答案】 【分析】首先根据题意结合对称性求出A点的坐标，然后根据矩形的性质可知A、C两点的中点即为该矩形对角线的交点． 【详解】解：∵，两点关于轴对称，点的坐标是， ∴点的坐标为， ∵矩形的对角线的相等且互相平分， ∴A、C两点的中点即为该矩形对角线的交点， ∴根据两点的中点坐标公式可得，AC的中点为， 故答案为：． 【点睛】本题考查坐标与图形，矩形的基本性质，以及中点坐标公式等，理解平面直角坐标系中点坐标的特征，以及矩形对角线的基本性质是解题关键． 13．如图，在平面直角坐标系中，长方形的边分别在x轴，y轴上，点D在边上，将该长方形沿折叠，点C恰好落在边上的E处，若点，点，则点D的坐标是___________．    【答案】 【分析】根据题意，由勾股定理可以得到，进而的长度，设，则，由勾股定理列出a的方程求得a的值，便可求得D点坐标． 【详解】解：∵点，点， ∴，， 设，则， 由题意可得，，由折叠知，， ∴， ∴， ∵， ∴，解得， ∴点D的坐标为． 故答案为：． 14．如图，已知菱形，四个顶点坐标分别为，，，，则的值为______． 【答案】6 【分析】由菱形的性质得到，，根据已知条件求得的大小，过点作于点，由勾股定理得到的大小，从而得到． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，， ∵，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 如图，过点作于点， 在中，，， ∴， ∴， ∴，， ∴． 15．如图，在直角三角形中，，，，点是边上一点（不与点，重合），作于点，于点，若点是的中点，则的最小值是______． 【答案】 【分析】连接，根据矩形的判定与性质可得，由点是的中点可得，当时，取得最小值，利用勾股定理求出的长，再利用等面积法求出的最小值，进而可得的最小值． 【详解】解：如图，连接， ，，， 四边形是矩形， ， 点是的中点， ， 当时，取得最小值，此时也取得最小值， 在中，，， ， ， ， 的最小值为 16．如图，将两张完全相同的矩形纸片，按如图方式放置，为重合的对角线，重叠部分为四边形，若，则四边形的面积为_______． 【答案】 【分析】本题考查了用勾股定理解三角形，根据矩形的性质求线段长，证明四边形是菱形，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先证明四边形是菱形，从而可得出，再利用勾股定理求得，从而可求得四边形的面积． 【详解】解：∵将两张完全相同的矩形纸片，按如图方式放置， ，， ∴四边形是平行四边形， ∵将两张完全相同的矩形纸片，按如图方式放置，， ∴，， ∵为重合的对角线， ∴平分， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∵，， ∴，解得：（负值舍去）， 又， ∴， 解得：， ∴四边形的面积为． 故答案为：． 三、解答题(本大题共8小题.每题9分.共计72分) 17．如图，在矩形中，对角线、相交于点O，已知，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，根据矩形的性质得到，则．进而利用外角得到． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴ 又∵， ∴． 18．如图，已知四边形中，、、、分别是四条边、、、的中点，、是对角线，连接、、、． (1)证明：四边形为平行四边形； (2)若______，则四边形是菱形请从；这两个选项中选择一个作为条件，使结论成立．（填序号） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据三角形中位线定理得到，，，，得到，，根据平行四边形的判定定理证明； （2）根据三角形中位线定理得到，再根据菱形的判定解答． 【详解】（1）证明：、、、分别是四条边、、、的中点， 、分别为、的中位线， ，，，， ，， 四边形为平行四边形； （2）解：、分别是四条边、的中点， 为的中位线， ， 当时，，则平行四边形是菱形． 19．如图，已知矩形沿着直线折叠，使点C落在处，交于点E，，求阴影部分面积． 【答案】6 【分析】根据折叠的性质，矩形的性质，推出，设，则，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：由折叠可知：， ∵矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，，解得， ∴；即阴影部分面积为6． .20．如图，点是菱形的对角线和的交点，过点作，过点作，与相交于点． (1)求证：四边形是矩形． (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)的长为 【分析】（1）由菱形的性质，得，由，，先证四边形为平行四边形，结合，即可证出四边形是矩形； （2）由菱形的性质，得，，由勾股定理得，结合矩形的性质，得，可得出的长． 【详解】（1）解：∵四边形为菱形，、为角平分线， ∴，，， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴四边形为矩形． （2）解：∵，，，， ∴，， ∵， 由勾股定理得， ∵四边形为矩形， ∴， 故的长为． 21．如图，在平行四边形中，E、F分别是边和的中点，连接、，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)作，与的延长线交于点G．求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行四边形对边平行且相等可得，由线段中点的定义可推出，则可证明四边形是平行四边形；再由平行线的性质和角平分线的定义证明，得到，据此可证明结论； （2）由菱形的性质得到，则由等边对等角和已知条件证明，得到；则可证明四边形是平行四边形；证明，进而可证明，则可证明平行四边形是矩形． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； ∵E、F分别是边和的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2）证明：由（1）可得四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴四边形是平行四边形； ∵E为的中点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形． 22．如图，四边形是一个菱形绿地，其周长为，，在其内部有一个四边形花坛，其四个顶点恰好在菱形各边的中点，现在准备在花坛中种植茉莉花，其单价为10元/，请问需投资金多少元？（结果保留根号） 【答案】需投资金元 【分析】本题考查了菱形的性质、矩形的判定、等边三角形的判定和性质、勾股定理以及三角形的中位线定理等知识，熟练掌握相关图形的性质、证明四边形是矩形是解题的关键． 连接，，相交于点O，根据菱形的性质和三角形的中位线定理证明四边形是矩形，求出矩形的边长即可解决问题． 【详解】解，连接，，相交于点O，    ∵四边形是菱形，，且其周长为m， ∴m， ， ， ∴是等边三角形， ∴m，， ∵， ∴m，， ∴m， ∴对角线 m，m， ∵E、F、G、H是菱形各边的中点， ∴，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴m，m， ∴矩形的面积为()． 即需投资金为(元) 答：需投资金为元． 23．如图1，在矩形中，，．点从点出发沿运动，先以每秒个单位长度的速度运动，当到达点时速度变为每秒个单位长度；点从点出发沿运动，先以每秒个单位长度的速度运动，当点到达点时速度变为每秒个单位长度，它们同时从点出发后，首次相遇时都停止运动整个运动过程中不考虑的情形．设点、点运动时间为秒，线段的长度为，请解答下列问题： (1)直接写出关于的函数表达式并注明对应的取值范围； (2)在图2的平面直角坐标系中画出函数的图象，并根据图象写出函数的一条性质； (3)若的函数图象与直线有两个交点，则的取值范围是 ． 【答案】(1) (2)图见解析，性质见解析 (3) 【分析】（1）分类讨论，利用勾股定理求解，当时，根据在上，用的长减去，即可； （2）依据题意画出图象即可得解； （3）找出临界值，结合函数图象，进而求解即可． 【详解】（1）解：在中， ， 点从到需要：秒，点从点到需要：秒， 相遇时为秒， 当时， ， 即； 当时，， 即； 综上，； （2）函数的图象如图， 性质：关于直线对称； 当时，随x增大而增大，当时，随x增大而减小； （3）如图， 当经过时，两个函数有一个交点， ∴ 解得：， 直线向下平移，此时与的函数图象开始有两个交点， 当经过时，两个函数有一个交点， 解得：， 综上，当的函数图象与直线有两个交点时，． 故答案为： 24．已知是斜边的中点，M、N分别是边上的点，且，连接． (1)求证：； (2)如图2，当，若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)25 【分析】（1）延长至点，使得，连接，，易证和，可得，，即可求得，根据勾股定理即可求解； （2）连接，易证，即可证明，可得，，，再根据的面积，即可解题． 【详解】（1）证明：延长至点，使得，连接，， ，， 垂直平分， ， 是中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ，即， ， ∴； （2）解：如图，连接， ∵，， ， ， ∵P是中点， ∴，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ∴， ∴， ∴， ∵，， 的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $