第17章平行四边形单元综合测试卷 2025-2026学年华东师大版八年级数学下册

第17章平行四边形单元综合测试卷 一、单选题(本大题共10小题.每小题3分.共计30分) 1．如图，在平行四边形中，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．在下列条件中，不能判定四边形为平行四边形的是（    ） A．两组对边分别相等 B．两组对边分别平行 C．一组对边平行且另一组对边相等 D．对角线互相平分 3．如图，的顶点的坐标分别是，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 4．如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，平行四边形的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 5．如图，在中，是对角线上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形一定为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，是的角平分线，，是的角平分线，有下列四个结论： ①； ②； ③； ④．其中，正确的是（    ） A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②④ 7．如图，在平行四边形中，将沿着所在的直线翻折得到，交于点，连接，若，，，则的长是（    ） A．1 B． C． D． 8．如图有一条直角弯道河流，河宽为2，、两地到河岸边的距离均为1，，，，现欲在河道上架两座桥、，使最小，则最小值为　　    A． B． C．14 D．12 9．如图，在和中，，点M，N，P分别为的中点，若绕点A在平面内自由旋转，则面积的最大值为（   ） A．32 B．36 C．48 D．64 10．如图，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，点、分别是，的中点．若，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为 B．的面积为 C．周长的最小值为16 D．的最小值为 二、填空题(本大题共6小题.每小题3分.共计18分) 11．如图，在▱中，已知，，平分交边于点，则等于____ 12．如图 1， 对 “三角形中位线定理” 进行拓展思考， 可以提出以下三个命题∶ ①若 ，则 ． ②若 ，则 是 的中位线． ③若 ，则 ． 图 2 是以上命题中某个假命题的反例示意图，则此假命题是___ (选填①②③中其一) 13．在中，以A为圆心，长为半径画弧交边于点E，再分别以B、E为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点F，连接并延长交于点G，若，，则长为________． 14．如图，已知与关于点O成中心对称，过点O作直线MN分别交AD，BC于点M，N．现有下列结论：①点M和点N，点B和点D分别关于点O对称；②直线BD必经过点O；③四边形ABCD是中心对称图形；④四边形DMOC和四边形BNOA的面积相等；⑤和关于点O成中心对称．其中正确的有________（填序号）． 15．如图，过的顶点分别作、的平分线的垂线、，垂足分别为，，连接．若，，，则______． 16．如图，已知中，，，点为平面内一点，满足，分别以，为边作，连接，则的最小值为______． 三、解答题(本大题共8小题.每题9分.共计72分) 17．如图，在中，，分别是，上的点，．求证：． 18．在四边形中，E，F，G，H分别是，，，的中点，，．求四边形的周长． 19．画图并填空：如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小正方形的顶点叫格点． (1)将向左平移8格，再向下平移1格．请在图中画出平移后的； (2)利用网格在图中画出的中线，高线； (3)在图中能使的格点P的个数有 个（点P异于A）． 20．如图，在平行四边形中，点、分别在，上，且． (1)求证：； (2)若，平分，求的度数． 21．如图，在中，，的平分线分别交于点，，、相交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 22．如图1，在平行四边形中，点E、F分别为，的中点，点G，H在对角线上，且．    (1)求证：四边形是平行四边形． (2)如图2，连接交于点O，若，，，求的长． 23．如图，在四边形中，，，，点P自点A向D以的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以的速度运动，到B点即停止，点P，同时出发，设运动时间为． (1)用含t的代数式表示：______；______；______； (2)当为何值时，四边形是平行四边形？ (3)当t为何值时，四边形是平行四边形？ 24．如图，在中，，垂足为C，且．过点B作，过点E作，交的延长线于点F． (1)求证≌； (2)若连接，求的长； (3)若P为的中点，连接，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第17章平行四边形单元综合测试卷 一、单选题(本大题共10小题.每小题3分.共计30分) 1．如图，在平行四边形中，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，由等边对等角求出，再有平行四边形的性质求出，进而可求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴． ∵行四边形， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 2．在下列条件中，不能判定四边形为平行四边形的是（    ） A．两组对边分别相等 B．两组对边分别平行 C．一组对边平行且另一组对边相等 D．对角线互相平分 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定定理和等腰梯形的定义分别分析各选项，即可求得答案． 【详解】解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故此选项不符合题意； B、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故此选项不符合题意； C、一组对边平行且另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，例如等腰梯形满足此条件，但等腰梯形不是平行四边形，故此选项符合题意； D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故此选项不符合题意． 3．如图，的顶点的坐标分别是，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“平行四边形的对边平行且相等的性质”得到点的纵坐标与点的纵坐标相等，且，即可得到结果． 【详解】解：在中，，， ， ， 点的纵坐标与点的纵坐标相等， ∵ ． 4．如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，平行四边形的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了正多边形的判定，以及平行四边形的判定，由是由六个全等的正三角形拼成的，可得出是正六边形，进而可得出，则四边形是平行四边形，同理可得出四边形，四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形． 【详解】解：∵是由六个全等的正三角形拼成的， ∴是正六边形， ∴，，是正六边形的对角线， 可得， ∴四边形是平行四边形， 同理：四边形，四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形，共6个， 故选C． 5．如图，在中，是对角线上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形一定为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定，结合已知，选择适当判断方法求解即可． 【详解】解：连接交于点O， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 选项A不符合要求； ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∵， ∴     ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 选项B不符合要求． ∵，无法判定四边形是平行四边形． 选项C符合要求． ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴     ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 选项D不符合要求． 6．如图，是的角平分线，，是的角平分线，有下列四个结论： ①； ②； ③； ④．其中，正确的是（    ） A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】利用，BD平分，EF平分，可以判断出①②正确；再根据 与不一定相等，再利用 与相等，可判断出③不一定正确；根据，推出与是等底等高的三角形，最后利用等式性质可得到④正确． 【详解】∵， ∴，， ∵BD平分，EF平分， ∴，， ∴， ， ∴， 故①②正确； ∴ 与不一定相等， 由题意可知， ∴与不一定相等， 故③错误； ∵， ∴与是等底等高的三角形， ∴， ∴， 故④正确， ∴①②④正确． 故选：D． 【点睛】此题考查了角平分线的定义，平行线的判定及性质，平行线间的距离处处相等等相关内容，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键． 7．如图，在平行四边形中，将沿着所在的直线翻折得到，交于点，连接，若，，，则的长是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行四边形的性质、翻折不变性可得△AEC为等腰直角三角形，根据已知条件可得CE得长，进而得出ED的长，再根据勾股定理可得出； 【详解】解：∵四边形是平行四边形 ∴AB=CD ∠B=∠ADC=60°，∠ACB＝∠CAD 由翻折可知：BA＝AB′＝DC，∠ACB＝∠AC B′=45°， ∴△AEC为等腰直角三角形 ∴AE=CE ∴Rt△AE B′≌Rt△CDE ∴EB′=DE ∵在等腰Rt△AEC中， ∴ ∵在Rt△DEC中， ，∠ADC=60° ∴∠DCE=30° ∴DE=1 在等腰Rt△DE B′中，EB′=DE=1 ∴= 故选：B 【点睛】本题考查翻折变换、等腰三角形的性质、勾股定理、平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 8．如图有一条直角弯道河流，河宽为2，、两地到河岸边的距离均为1，，，，现欲在河道上架两座桥、，使最小，则最小值为　　    A． B． C．14 D．12 【答案】C 【分析】延长到，使得，延长到，使得，连接交河道于点，，得到两座桥，，此时的值最小． 【详解】解：延长到，使得，延长到，使得，连接交河道于点，，得到两座桥，，此时的值最小．    ∴四边形是平行四边形， ∴， 同理：=， 延长交的延长线于点． ∴，， ∴，， 在中，， ， 的最小值为14． 故选：C． 【点睛】本题考查轴对称最短问题，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题． 9．如图，在和中，，点M，N，P分别为的中点，若绕点A在平面内自由旋转，则面积的最大值为（   ） A．32 B．36 C．48 D．64 【答案】A 【分析】连接，根据三角形中位线定理得到推出，根据全等三角形的性质得到，推出是等腰直角三角形．根据等腰直角三角形的性质得到，推出最大时，面积最大，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：连接并延长交于交于， 点，是.的中点， ， 点，是的中点， ， ， ， 即， 在与中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形． ， 最大时，面积最大，最小时，面积最小， 当点在的延长线上时，最大，此时，， ． 10．如图，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，点、分别是，的中点．若，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为 B．的面积为 C．周长的最小值为16 D．的最小值为 【答案】D 【分析】延长、交于点，过点作直线，由等边三角形的性质可得，，证明四边形为平行四边形，得出为中点，从而可得在直线上运动，证明为等边三角形，得出，连接，则，，求出，从而可得点到直线的距离都为，再由三角形的面积公式即可判断B错误；作点关于直线的对称点，连接，当点运动到与直线的交点，即、、共线时，最小，由勾股定理即可判断D正确；由得出当、、共线时，最小，最小值为的长度，即可判断A错误；过点作于，过点作于，由等边三角形的性质可得，，求出，即可判断C错误． 【详解】解：如图，延长、交于点，过点作直线， ∵和是位于直线同侧的两个等边三角形， ∴，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∵为中点， ∴为中点， ∵在线段上运动， ∴在直线上运动， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 连接， ∵点是的中点， ∴，， ∴， ∴点到直线的距离都为， ∴的面积为，故B错误； 作点关于直线的对称点，连接，当点运动到与直线的交点，即、、共线时，最小，此时最小值为，故D正确； ∵， ∴， ∴当、、共线时，最小，最小值为的长度， ∴的最小值为，故A错误； 如图，过点作于，过点作于， ∵和是位于直线同侧的两个等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴周长的最小值为，故C错误； 故选：D． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、轴对称的性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 二、填空题(本大题共6小题.每小题3分.共计18分) 11．如图，在▱中，已知，，平分交边于点，则等于____ 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质以及角平分线的性质可知的长度，然后根据线段的和差关系即可求解． 【详解】解：在▱中，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 12．如图 1， 对 “三角形中位线定理” 进行拓展思考， 可以提出以下三个命题∶ ①若 ，则 ． ②若 ，则 是 的中位线． ③若 ，则 ． 图 2 是以上命题中某个假命题的反例示意图，则此假命题是___ (选填①②③中其一) 【答案】③ 【分析】图2是③的反例示意图，可利用平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质证明命题①和②是真命题．本题考查了命题与定理以及三角形中位线定理，掌握平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 【详解】解：图2是③的反例示意图． 真命题为命题①和②， 命题①的证明： 证明：过点作交边于点，连接， 又， 四边形是平行四边形， ，， 又， ， 四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， ，， ， 又， 四边形是平行四边形， ，， ，， 命题②的证明如下： 证明：如图，延长至点， 使，连接， 是边的中点， ． 又， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）， ， ， 是边的中点， 是的中位线． 故答案为：③． 13．在中，以A为圆心，长为半径画弧交边于点E，再分别以B、E为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点F，连接并延长交于点G，若，，则长为________． 【答案】10 【分析】连接，设交于点O，由作图过程可知，，，可得，再证明，可得，进而可得四边形为菱形，则，可得． 【详解】解：连接，设交于点O， 由作图过程可知，，， ， 四边形为平行四边形， ∴， ，， ， ， 四边形为平行四边形． ， 四边形为菱形， ， ． 14．如图，已知与关于点O成中心对称，过点O作直线MN分别交AD，BC于点M，N．现有下列结论：①点M和点N，点B和点D分别关于点O对称；②直线BD必经过点O；③四边形ABCD是中心对称图形；④四边形DMOC和四边形BNOA的面积相等；⑤和关于点O成中心对称．其中正确的有________（填序号）． 【答案】①②③④⑤ 【分析】本题主要考查了中心对称的性质以及平行四边形的性质的运用，熟练掌握平行四边形的性质及中心对称图形的性质是解决此题的关键． 由于与关于点成中心对称，那么可得到、，即四边形是平行四边形，由于平行四边形是中心对称图形，且对称中心是对角线交点，可根据上述特点对各结论进行判断． 【详解】解：与关于点成中心对称， 、， ∴四边形是平行四边形， ∴点就是的对称中心，则有： ①点和点；和是关于中心的对称点，正确，符合题意； ②直线必经过点，正确，符合题意； ③四边形是中心对称图形，正确，符合题意； ④∵四边形是平行四边形， ∴四边形与四边形成中心对称， ∴四边形与四边形的面积相等，正确，符合题意； ⑤与关于点成中心对称，正确，符合题意； 其中正确的有①②③④⑤， 故答案为：①②③④⑤． 15．如图，过的顶点分别作、的平分线的垂线、，垂足分别为，，连接．若，，，则______． 【答案】 【分析】分别延长与直线交于点，证明，所以，，同理可得，，故有是的中位线，然后通过中位线性质定理可得，再求出的长即可求解． 【详解】解：如图，分别延长与直线交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 同理可得：，， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴． 16．如图，已知中，，，点为平面内一点，满足，分别以，为边作，连接，则的最小值为______． 【答案】 【分析】在延长线上截取，连接，，由平行四边形的判定和性质得出四边形是平行四边形，进而得出且，再证明是等腰直角三角形，由勾股定理得出，再由三角形三边关系得出，进而可求出的最小值． 【详解】解：在延长线上截取，连接，， 四边形是平行四边形，， ， ， 四边形是平行四边形， 且， ，，， 是等腰直角三角形， ， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 三、解答题(本大题共8小题.每题9分.共计72分) 17．如图，在中，，分别是，上的点，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质．由平行四边形的性质得到，，进而得到，证明四边形是平行四边形，即可得到． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． 18．在四边形中，E，F，G，H分别是，，，的中点，，．求四边形的周长． 【答案】 【分析】根据三角形中位线定理求出四边形的四条边的长即可得到答案． 【详解】解：∵在四边形中，E，F分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， 同理可得， ∴四边形的周长． 19．画图并填空：如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小正方形的顶点叫格点． (1)将向左平移8格，再向下平移1格．请在图中画出平移后的； (2)利用网格在图中画出的中线，高线； (3)在图中能使的格点P的个数有 个（点P异于A）． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3) 【分析】本题考查了平移作图，作中线和高线，平行线间的距离等知识，熟练掌握相关知识点正确作图即可． （1）根据平移的性质作图即可； （2）取中点，连接即为中线；延长与过点的水平线的交点为，即为高线； （3）根据同底等高的三角形面积相等，以及平行线间的距离相等，过点作与平行的直线，点为直线上的格点，即可得解． 【详解】（1）解：如图，即为所求作； （2）解：如图，中线，高线即为所求作； （3）解：过点作与平行的直线，点为直线上的格点， 则除点外，格点P的个数有个； 20．如图，在平行四边形中，点、分别在，上，且． (1)求证：； (2)若，平分，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）结合平行四边形性质，利用边角边证明； （2）结合平行四边形性质求出的度数，再由角平分线定义、平行线性质推得的度数，最后结合全等三角形的性质即可得解． 【详解】（1）证明：， ∴，， 在和中， ； （2）解：在中，， ， 平分， ， ， ， ． 21．如图，在中，，的平分线分别交于点，，、相交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）根据平行四边形的性质和平行线的性质得到，然后根据角平分线的性质推知，，可得即证； （2）由（1）得，根据线段的和差即可求出． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵，的平分线交于点， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵，的平分线分别交于点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理，， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 22．如图1，在平行四边形中，点E、F分别为，的中点，点G，H在对角线上，且．    (1)求证：四边形是平行四边形． (2)如图2，连接交于点O，若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长是4 【分析】（1）由平行四边形的性质得，，则，由，，得，即可证明，得，，则，所以四边形是平行四边形． （2）设交于点L，连接，根据三角形的中位线定理可证明，则，所以四边形是矩形，则，而，则，进而可得，则可解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ， ∵E、F分别为，的中点， ，， ∴， 在和中， ， ， ，， ， ∴四边形是平行四边形． （2）如图②，设交于点L，连接， ，， ， ， ， ∴四边形是矩形， ， ， ， ，， ， ∴的长是4．    【点睛】本题考查平行四边形判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的中位线定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，证明是解题的关键． 23．如图，在四边形中，，，，点P自点A向D以的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以的速度运动，到B点即停止，点P，同时出发，设运动时间为． (1)用含t的代数式表示：______；______；______； (2)当为何值时，四边形是平行四边形？ (3)当t为何值时，四边形是平行四边形？ 【答案】(1)，， (2)当运动5秒时，四边形是平行四边形 (3)当运动4秒时，四边形是平行四边形 【分析】（1）根据题意列出代数式即可； （2）根据平行四边形的判定定理可得当时，四边形是平行四边形．由此列出关于的一元一次方程，解方程即可得出结果； （3）根据平行四边形的判定定理可得当时，四边形是平行四边形．由此列出关于的一元一次方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可得：，，． （2）解：∵， ∴， ∴当时，四边形是平行四边形． ， 解得：． ∴当运动5秒时，四边形是平行四边形． （3）解：， ∴， 当时，四边形是平行四边形． ∵， ， 解得：． ∴当运动4秒时，四边形是平行四边形． 24．如图，在中，，垂足为C，且．过点B作，过点E作，交的延长线于点F． (1)求证≌； (2)若连接，求的长； (3)若P为的中点，连接，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）由已知证明，结合已知即可证明；（2）求出的长度，即得的长度，可得长度，由，运用勾股定理即可求出的长度； （3）在上截取，连接．证明，可得，得，由，即得． 【详解】（1）证明：如答图1， ∵， ∴． ∴． ∴． 在和中， ∴ （2）解：如答图1，∵， ∴． ∴． 在中，由勾股定理得； （3）解：如答图2，在上截取，连接． ∵， ∴． 在和中， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题考查了三角形综合题，熟练掌握全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的中位线性质，是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $